Einführung in die Stochastik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Stochastik"

Transkript

1 Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse von Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeitsrechnung(-theorie : Modelle zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, charakteristische Kenngrößen, Grenzwertsätze,... Statistik : Vergleich von Modell und Realität (Daten, Anpassung von Modellparametern, Entscheidung zwischen verschiedenen Modellen,... Zufallsexperiment : Vorgang, bei dem ein nicht vorhersagbares Ergebnis aus einer Menge Ω möglicher Ergebnisse eintritt, z. B. - Münzwurf: Ergebnis Kopf K oder Zahl Z - Zahlenlotto 6 aus 49 : 6 verschiedene Zahlen aus {1,...,49} (ohne Zusatzzahl - Lebensdauer einer Festplatte: Zeit T 0 - Anzahl defekter Chips in einer Tagesproduktion vom Gesamtumfang N: zufällige Zahl 0, 1,...,N - Anzahl von Schadenfällen in einer KFZ-Versicherungsklasse innerhalb eines Jahres: zufällige Zahl 0, 1,... - Ziehen von n Kugeln aus Urne mit N = R + S Kugeln (R = # roter Kugeln, S = N R = # schwarzer Kugeln: Anzahl gezogener roter Kugeln, also 0, 1, 2,... oder 0, 1,..., min(n,r Wichtig für die mathematische Beschreibung: Ω = Menge der möglichen Ergebnisse ω des Zufallsexperiments (Ergebnisraum, Ereignisraum, Stichprobenraum, z.b. 1

2 - Münzwurf: Ω = {K,Z} oder Ω = {0, 1} - Zahlenlotto: Ω = {ω = (ω 1,...,ω 6 ω i {1,...,49},ω i ω j (i j} z.b. ω = (21, 12, 49, 28, 1, 43 oder Ω = { ω = { ω 1,..., ω 6 } ω {1,...,49}, ω = 6} z.b. ω = {21, 12, 49, 28, 1, 43} - Lebensdauer: Ω = {ω ω 0} = [0, - defekte Chips: Ω = {0, 1,...,N} - Schadenfälle: Ω = {0, 1,...} = N 0 - Urne: Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i? } Ziehen mit/ohne Zurücklegen Beschreibung mit/ohne Beachtung der Reihenfolge (vgl. Urnenmodelle Ereignis: Teilmenge A von Ω, also A P(Ω Falls Ergebnis ω in A liegt: A tritt ein, z.b. - Münzwurf: A = Zahl geworfen = {Z} - Zahlenlotto: A = 3. gezogene Zahl ist die 21 = {ω = (ω 1,...,ω 6 Ω ω 3 = 21}, aber: A { ω = { ω 1,..., ω 6 } 21 { ω 1,..., ω 6 }} B = (genau 5 Richtige = {{1, 12, 21, 28, 43, ω 6 }, {1, 12, 21, 28, 49, ω 6 },......,{12, 21, 28, 43, 49, ω 6 } ; ω 6 {1,...,49}} oder in Ω: B = {(ω 1,...,ω 6 1 ω i / {1, 12, 21, 28, 43, 49}} Wahrscheinlichkeit P(A eines Ereignisses A Ω: Maß für die Unsicherheit des Eintretens von A Normierung: 0 P(A 1, P(Ω = 1 - Münzwurf: Wahrscheinlichkeit (Wkt. für Zahl? } Ω = {Z, K} P(A = A A = {Z} Ω = 1 2 2

3 - Zahlenlotto: Wahrscheinlichkeit für (genau 5 Richtige in Ω: Ω = B = 6 43 ( P(B = = = in Ω : Ω = B = P(B = ( ( = 49! 6!43! = ( 49 6 ( 6 ( ( 49 = = Mathematische Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Angabe von Wahrscheinlichkeitsräumen (W-Räumen (Ω, A, P : Definition 1.1. a Ω ( heißt Ereignisraum. b Ein System A von Teilmengen von Ω, also A P(Ω, heißt σ-algebra (in Ω, falls (i Ω A (ii A A = A c A (iii A 1,A 2,... A = A i A c Sei Ω und A eine σ-algebra in Ω. Eine Abbildung P : A [0, 1] heißt W-Maß auf A, falls die Kolmogorov schen Axiome gelten, d.h. (i P(A 0 A A Nichtnegativität (ii P(Ω = 1 (iii P( A i = Normiertheit P(A i (A i,2,... A, A i A j = (i j σ Additivität Das Tripel (Ω, A, P heißt W-Raum. 3

4 Bemerkung 1.1. Falls Ω endlich oder abzählbar unendlich ist (kurz: abzählbar, so können W-Maße immer auf A = P(Ω definiert werden. Falls Ω überabzählbar ist, so müssen W-Maße i.a. auf kleineren σ-algebren definiert werden (vgl. Georgii (2009, Satz 1.5. Beispiel 1.1. Laplace-Experimente Ω endlich, etwa Ω = N ( N A = P(Ω P(A = A Ω = Anzahl günstiger Fälle Anzahl möglicher Fälle, insbesondere P({ω} = 1 ω Ω Ω (Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich Beispiel 1.2. Diskrete W-Räume Ω abzählbar, etwa Ω = {ω 1,ω 2,...} A = P(Ω, P =? Durch eine Festlegung P({ω i } := p i mit p i 0, p i = 1, wird eindeutig ein W-Maß P auf A definiert. Es gilt: P(A = p i. i:ω i A Z.B. Wiederholtes Würfeln : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim i-ten Wurf zum ersten Mal eine 6 auftritt? Ω = {1, 2,...} = N (Nr. des Wurfs mit erster 6 A = P(Ω P({i} = 5i 1 1 = ( 5 i 1 ( i 6 (i = 1, 2,... Laplace-Ansatz Allgemeiner: P({i} = q i 1 p (i = 1, 2,..., 0 < p,q < 1, p + q = 1 geometrische Wahrscheinlichkeiten 4

5 Beachte: p i := P({i} 0, p i = p q i 1 = p 1 q = p p = 1 Sprechweise: Sei (Ω, A, P diskreter W-Raum. Die Funktion ω p(ω := P({ω}, ω Ω, heißt (diskrete W-Dichte (von P. Bemerkung 1.2. Für Ω überabzählbar ist es i.a. nicht möglich, P punktweise, d.h. durch Angabe von P({ω}, festzulegen. Z.B. Zufallszahlen : Zufallsgenerator liefert willkürlich eine Zahl zwischen 0 und 1. Ω = (0, 1 = {ω 0 < ω < 1}, A =? P({ω} =? (nicht sinnvoll, allenfalls = 0 Ansatz: P((a,b = b a 1 = b a (a,b (0, 1 σ-algebra? I.A.: A = kleinste σ-algebra in (0, 1, die alle Intervalle (a,b enthält (= Borel-σ-Algebra in (0, 1 Allgemeiner: Beispiel 1.3. Ω = R 1 Durch eine Festlegung P((a,b := A = kleinste σ-algebra in R 1, die alle Intervalle enthält =: B 1 b a f(xdx, wobei f Riemann-integrierbar über beliebigen Intervallen [a,b] R 1, f 0 und f(xdx = 1, wird eindeutig ein W-Maß P auf A festgelegt. Interpretation: P((x, x + x f(x x (f stetig, x klein Z.B. f(x = { 1, 0 < x < 1 0, sonst Rechteck-Verteilung (Gleichverteilung über (0,1 5

6 Folgerungen aus den Kolmogorovschen Axiomen: Lemma 1.1. Sei (Ω, A, P ein W-Raum. Dann gilt : a P( = 0 ; n b P( A i = n P(A i für je endlich viele, paarweise disjunkte (p.d. A 1,...,A n A ; c P(A c = 1 P(A, A A ; d P(B\A = P(B P(A B, A,B A ; e Für A B, A,B A : P(B\A = P(B P(A, f 0 P(A 1, A A ; P(A P(B ; g P(A B = P(A + P(B P(A B, A,B A, n P(A 1... A n = P(A i P(A i A j +... (Siebformel von Poincaré-Sylvester ; 1 i<j n... + ( 1 n 1 P(A 1... A n, A i A h P( A i = lim P(A n, A 1 A 2... A, n P( A i = lim P(A n, A 1 A 2... A. n Obige Rechenregeln sind nützlich bei der konkreten Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten: Beispiel 1.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei am selben Kalendertag Geburtstag haben ( Geburtstagsproblem? O.E.: n 365, sonst Wahrscheinlichkeit = 1 Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,365}}, Ω = 365 n, A = P(Ω A = {ω Ω ω i = ω j i j} A c = {ω Ω ω i ω j i j}, A c = (365 n + 1 P(A = 1 P(A c (365 n + 1 = n Überraschend: Für n = 23 : P(A = > 1 2 Informatik: n Daten zufällig auf N Speicherplätze verteilt Wahrscheinlichkeit für Mehrfachbelegung = 1 N(N 1 (N n+1 N n Hashing 6

7 Beispiel 1.5. Es werden n Zahlen 1,...,n zufällig permutiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zahl an ihrem Platz bleibt? (Rencontre-Problem, z.b. Tanzpaare treffen sich wieder Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,n}, ω i ω j (i j}, Ω = n! A = P(Ω A i = i-te Komponente bleibt fix = {ω Ω ω i = i}, A i = (n 1! ( n Siebformel n P(A = P A i = ( 1 k 1 P(A i1... A ik k=1 1 i 1 <...<i k n n ( n (n k! n = ( 1 k 1 = ( 1 k 1 n! (n k! k n! k!(n k! n! k=1 k=1 n = 1 ( 1 k 1 k! 1 e (n k=0 Viele diskrete W-Räume lassen sich als (so genannte Urnenmodelle interpretieren. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten besteht dann im Wesentlichen in der Bestimmung der Mächtigkeit der interessierenden Ereignisse (Kombinatorik: Betrachtet wird hier das Ziehen von Kugeln aus einer Urne. (Das Verteilen von Kugeln auf Urnen (vgl. statistische Physik ist auffassbar als Ziehen der Urnennummern für die zu verteilenden Kugeln. Gegeben: Urne mit N Kugeln der Nummern 1,...,N. Es werden n Kugeln gezogen. Vier Möglichkeiten: mit mit ր ց ր ց Ziehen Zurücklegen Beachtung der Reihenfolge ց ր ց ր ohne ohne 1 Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: Ω 1 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}}, A 1 = P(Ω 1 P 1 ({ω} = 1 N n ω Ω 1 Ω 1 = N n ω heißt n-permutation mit Wiederholung oder geordnete Stichprobe (vom Umfang n mit Wiederholung 7

8 Z.B. n-facher Münzwurf (N = 2, n-faches Würfeln (N = 6, Spiel 77 (Ziehen einer 7-stelligen Zahl, N = 10,n = 7 2 Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: Ω 2 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω i ω j (i j} Ω 2 = N (N 1 (N n + 1 =: N (n, A 2 = P(Ω 2 P 2 ({ω} = 1 N (n ω Ω 2 ω heißt n-permutation ohne Wiederholung oder geordnete Stichprobe (vom Umfang n ohne Wiederholung Z.B. Zahlenlotto (n = 6, N = 49; Reihenfolge notiert, Qualitätskontrolle, Speicherplatzbelegung ohne Kollision, jeweils Reihenfolge notiert 3 Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: Ω 3 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω 1 <... < ω n } (äquivalent zu {ω = {ω 1,...,ω n } ω i {1,...,N}} Ω 3 = ( N n, A3 = P(Ω 3 P 3 ({ω} = ( 1 ω Ω N 3 n ω heißt n-kombination ohne Wiederholung oder ungeordnete Stichprobe (vom Umfang n ohne Wiederholung Z.B. wie in 2, aber ohne Notieren der Reihenfolge 4 Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: Ω 4 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω 1... ω n } Ω 4 = ( ( N+n 1 n = N+n 1 N 1 Beweis: Bei ω 1 ω 2... ω n sind n 1 = -Zeichen möglich = Ω 4 = = ( ( ( ( n 1 N n 1 N n 1 n 1 ( N + n 1 n ( n 1 n 1 ( N 1 Beachte: (1 + x n 1 (1 + x N = (1 + x N+n 1 Binomische Formel, Cauchy-Produkt und Koeffizientenvergleich liefern die Behauptung. 8

9 Alternativ: Die Abbildung ω = (ω 1,ω 2,...,ω n (ω 1,ω 2 + 1,...,ω n + n 1 := ω, ω Ω 4, ist injektiv mit Bildmenge Ω 3 = { ω = ( ω 1,..., ω n ω i {1,...,N + n 1}, ω 1 < ω 2 <... < ω n } Folglich: Ω 4 = Ω 3 = ( ( N+n 1 n = N+n 1 N 1. W-Modelle in der statistischen Physik: Beispiel 1.6. Es werden n Kugeln (Moleküle, Elementarteilchen auf N Zellen (Energiezustände verteilt. Wie viele mögliche Besetzungsmuster gibt es, wenn I die Kugeln unterscheidbar sind; II die Kugeln nicht unterscheidbar sind; a jede Zelle höchstens mit 1 Kugel belegt werden darf (Pauli-Verbot; b die Zellen mit mehreren Kugeln belegt werden dürfen? Lösungen: I a Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}, ω i ω j (i j} ω i : Zellen-Nr. für i-te Kugel Ω = N (n I b Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}} Ω = N n Werden diese N n Möglichkeiten als gleichwahrscheinlich postuliert (Laplace-Ansatz, so erhält man das Maxwell-Boltzmann-Modell (für Gasmoleküle II a Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ω j {0, 1}} ω j : Anzahl der Kugeln in Zelle Nr. j Ω = ( N n (n Plätze aus N auszuwählen Laplace-Ansatz liefert das Fermi-Dirac-Modell (für Elektronen, Neutronen, Protonen II b Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ω j {0, 1,...,n}, ω j : Anzahl der Kugeln in Zelle Nr. j Ω = ( N+n 1 N 1 ( = N+n 1 n 9 N ω j = n} j=1

10 Beweis: n Objekte werden durch N 1 Trennwände getrennt, d.h. man hat n + N 1 Plätze, auf die N 1 Trennwände zu verteilen sind, also ( n+n 1 N 1 Möglichkeiten. Aus den obigen Urnenmodellen lassen sich weitere W-Modelle ableiten: Beispiel 1.7. a N Kugeln in einer Urne, davon R rote (Nummern 1,...,R und S schwarze (Nummern R + 1,...,R + S = N. Es werden n Kugeln zufällig gezogen (mit Zurücklegen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A r = genau r rote Kugeln werden gezogen. Lösung: Benutze (Ω 1, A 1,P 1. Für r = 0, 1,...,n gilt: ( ( n n A r = R r S n r = R r (N R n r = r r P 1 (A r = A r Ω 1 = ( n r p r (1 p n r, wobei p := R N Setzt man p r := ( n r p r (1 p n r, r = 0, 1,...,n (p fest, so gilt p r 0, (p r r=0,...,n definiert ein W-Maß auf B := P({0, 1,...,n}. n p r = 1, d.h. r=0 Definition 1.2. Sei X = {0, 1,...,n}, B = P(X. Das durch P(B := ( n p r (1 p n r, B X, r r B definierte W-Maß auf B heißt Binomialverteilung mit Parametern n,p. Bezeichnung : B(n,p oder β n (p b In der obigen Situation (N = R + S Kugeln werde n-mal ohne Zurücklegen gezogen. Man bestimme entsprechend die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse à r = genau r rote Kugeln werden gezogen. 1. Lösung: Benutze (Ω 2, A 2,P 2. Man beachte zunächst, dass gilt: max(0,n S r min(n,r ( ( n n R! Ãr = R (r S (n r S! = r r (R r! (S n + r! P 2 (Ãr = Ãr ( R N R r( Ω 2 = n r ( N n 10 =

11 2. Lösung: Benutze (Ω 3, A 3,P 3. Für r w.o.: Ar = ( R r P 3 ( Ar = A 1 Ω 3 = ( N R = n r ( R N R r( n r ( N, max(0,n S r min(n,r n Definition 1.3. Sei X = {0, 1,...,n}, B = P(X. Das durch P(B := ( R N R r( n r ( N, B X, r B n definierte W-Maß auf B heißt hypergeometrische Verteilung mit Parametern n; N, R. Bezeichnung : H(n;N,R Beispiel 1.8. Urne: N 1 Kugeln der Farbe 1, N 2 Kugeln der Farbe 2,...,N k Kugeln der Farbe k ( 2, N N k =: N. Es werden n Kugeln gezogen (mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass n 1 Kugeln der Farbe 1,...,n k Kugeln der Farbe k gezogen werden (n n k = n? Lösung: Benutze (Ω 1, A 1, P 1, ω = (ω 1,...,ω n A n1,...,n k = {ω genau n 1 der ω i {1,...,N 1 }, genau n 2 der ω i {N 1 + 1,...,N 1 + N 2 },..., genau n k der ω i {N N k 1 + 1,...,N N k }} ( ( ( n n n1 n n1 n k 1 A n1,...,n k = n 1 n 2 n } {{ k } 1 = P 1 (A n1,...,n k = wobei n! n 1! n k! Nn N n k k p i = N i N n! n 1! n k! pn p n k k =: p n1,...,n k, k ( 0, p i = 1. N n 1 1 N n N n k k 11

12 Definition 1.4. Sei X = {(n 1,...,n k n i N 0, k n i = n} R k, B = P(X. Das durch P(B := p n1,...,n k, B X, (n 1,...,n k B definierte W-Maß heißt Multi-(Poly-nomialverteilung mit Parametern n;p 1,...,p k. Bezeichnung : M(n;p 1,...,p k Auch durch asymptotische Betrachtungen lassen sich aus Urnenmodellen weitere W- Modelle gewinnen: Beispiel 1.9. Seien p k = p k (n = ( n k p k (1 p n k, k = 0, 1,...,n, die Wahrscheinlichkeiten der B(n,p-Verteilung aus Beispiel 1.7. Falls p = p(n derart, dass np(n λ > 0 (n, so folgt: lim p k(n = λk n k! e λ =: p k (k = 0, 1,... Definition 1.5. Sei X = N 0 = {0, 1, 2,...}, B = P(X. Das durch P(B := k B λ k k! e λ, B X, definierte W-Maß heißt Poisson-Verteilung mit Parameter λ (> 0. Bezeichnung : P(λ, Poiss(λ, π λ,... Relative Häufigkeiten und Simulation: Wird ein Zufallsexperiment (Ω, A,P unter identischen Bedingungen n-mal unabhängig durchgeführt (s.u., so nähert sich die relative Häufigkeit H n (A eines Ereignisses A A, d.h. H n (A := 1 (Anzahl der Versuche, in denen A eintritt, n für n der Wahrscheinlichkeit P(A für das Eintreten von A (vgl. Grenzwertsätze. 12

13 Vorsicht: H n (A ist zufällig, d.h. hängt von ω 1,...,ω n ab, wobei ω i das Ergebnis im i-ten Versuch bezeichnet. Möglich ist H n (A = 0, aber P(A > 0. Die Erfahrungstatsache H n (A P(A (n groß wird benutzt, um mit Hilfe von Simulation stochastischer Vorgänge unbekannte (oder nur aufwendig zu berechnende Wahrscheinlichkeiten zu approximieren (Monte-Carlo-Verfahren. Beispiel Spieler besitzt 1.000e,benötigt aber 5.000e(um Schulden zu tilgen. Er spielt solange Roulette, bis er sein Kapital auf e erhöht (oder aber die 1.000everloren hat. Betrachte folgende drei Strategien: 1. Spieler setzt stets 100eauf Rot (Gewinnwkt. je Spiel: 18, Auszahlung: 200e Spieler setzt gesamtes Kapital (bzw. die Differenz zu 5.000eauf Rot (Gewinnwkt.: 18, Auszahlung: doppelter Einsatz Spieler setzt stets 100eauf 1 (Gewinnwkt.:, Auszahlung: 3.600e 37 Bei welcher Strategie ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das Kasino mit (mindestens 5.000e verlassen kann am größten? Simulation: Für jede der drei Strategien werden n = 1000 Spielverläufe simuliert, d.h. Computer erzeugt Zufallszahlen U 1,U 2,..., wobei U i R(0, 1-verteilt ist, also P(U i (a,b] = b a (a,b] (0, 1 Setze V i = 37 U i und W i = k, falls V i (k,k + 1] (k = 0, 1,...,36 Dann gilt P(W i = k = P(V i (k,k + 1] = P(U i ([ k, ] k = 1, 37 also beschreiben die W 1,W 2,... dasselbe Zufallsgeschehen wie ein wiederholtes Roulettespiel. Setze noch 0, W i = 0, X i = 1, W i {1,...,18}, 2, W i {19,...,36}, so gilt P(X i = 0 = 1 37, P(X i = 1 = = P(X i = 2. Identifiziere: 1 ˆ= Rot, 2 ˆ= Schwarz Folgende Tabelle gibt für n = 1000 Simulationsläufe (jeweils bis 5.000eoder 0eerreicht sind die relative Häufigkeit dafür an, dass der Spieler nach 200, 400, 600, 800, 1000 Spielen 13

14 bei Strategie 1, 2, 3 zu den gewünschten 5.000egelangt ist: Strategie # Spiele Die Simulationsergebnisse legen die Vermutung nahe, dass gilt: Strategie 2 Strategie 3 Strategie 1 14

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 3. Vorlesung - 21.10.2016 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass : a) man eine grüne

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Fachschaft Mathematik Uni Dortmund Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis Stochastik I Wahrscheinlichkeitsrechnung Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Letzte Änderung: 8. November 00 Gesetzt

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II. Vorlesungsskript

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II. Vorlesungsskript WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II Wolfgang König TU Berlin und WIAS Berlin Vorlesungsskript SS 2005 und WS 2005/06 überarbeitet im WS 2008/09 kleine Korrekturen im März und Juli 2012 und im März 2013

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Statistik 1: Einführung

Statistik 1: Einführung Seite Stat- Statistik : Einführung Die mathematische Disziplin der Stochastik, die die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik umfaßt, beschäftigt sich mit der Beobachtung, Aufzeichnung

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

KAPITEL 2. Kombinatorik

KAPITEL 2. Kombinatorik KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Variationen Permutationen Kombinationen

Variationen Permutationen Kombinationen Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Vorlesungsnotizen Einführung in die Stochastik Hanspeter Schmidli Mathematisches Institut der Universität zu Köln INHALTSVERZEICHNIS iii Inhaltsverzeichnis 1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1 1.1.

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen? 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Statistik II - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Christine Müller Technische Universität Dortmund

Statistik II - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Christine Müller Technische Universität Dortmund Statistik II - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof Dr Christine Müller Technische Universität Dortmund Sommersemester 2014 1 Literatur Henze, N (1997 Stochastik für Einsteiger Vieweg, Braunschweig

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

Bei dieser Vorlesungsmitschrift handelt es sich um kein offizielles Skript!

Bei dieser Vorlesungsmitschrift handelt es sich um kein offizielles Skript! Diskrete Stochastik für Informatiker WS003/04 Diskrete Stochastik für die Informatik Bei dieser Vorlesungsmitschrift handelt es sich um kein offizielles Skript! Bei Fragen, Anmerkungen oder Fehlern bitte

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975) Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss

Mehr

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung Fachseminar zur Stochastik Die Binomialverteilung 23.11.2015 Referenten: Carolin Labrzycki und Caroline Kemper Gliederung Einstieg Definition der Binomialverteilung Herleitung der Formel an einem Beispiel

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Einführung in die Stochastik. Dr. Lothar Schüler

Einführung in die Stochastik. Dr. Lothar Schüler Einführung in die Stochastik für Studierende der Informatik im Bachelorstudiengang TU Braunschweig SS 2007 Dr. Lothar Schüler Institut für Mathematische Stochastik Technische Universität Braunschweig Pockelsstr.

Mehr

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 3. November 2010 1 Kombinatorik Fakultät Binomialkoeffizienten Urnenmodelle 2 Definition Tabellen Fakultät, Beispiel

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 SG15/25D NAME: Lösungen 1. In einer Packung sind Glühbirnen, davon sind zwei

Mehr

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, die in ihrem Ausgang unbestimmt sind. Sie versucht mögliche Ergebnisse der Vorgänge zu quantifizieren.

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

2 Grundbegriffe der Stochastik

2 Grundbegriffe der Stochastik 2.0 Grundbegriffe der Stochastik 76 2 Grundbegriffe der Stochastik In der beschreibenden Statistik (Kapitel 1) haben wir die zu analysierenden Daten als gegeben hingenommen und nicht genauer hinterfragt,

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

Lernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm

Lernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Lernzusammenfassung für die Klausur Hallo! In diesem Text habe ich die wichtigsten Dinge der Stochastikvorlesung zusammengefaÿt, jedenfalls soweit, wie ich bis

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Einführung in die. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Einführung in die. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Institut für Mathematische Stochastik Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Kurzskript zur Vorlesung Wintersemester 2014/15 von Prof. Dr. Norbert Gaffke Inhaltsverzeichnis 1 Wahrscheinlichkeitsräume

Mehr

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage

Mehr

Teil I Beschreibende Statistik 29

Teil I Beschreibende Statistik 29 Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................

Mehr

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als:

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als: 9-9 Die befasst sich mit der Untersuchung, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Falles aufgrund bestimmter Voraussetzungen stattfindet. Bis anhin haben wir immer logisch gefolgert: 'Wenn diese Voraussetzung

Mehr

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik)

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) 1. Einleitung Deskriptive Statistik: Allgemeine und spezielle

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. 10. 6. 2016 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Einführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte

Einführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte Einführung in die Statistik für Biologen Jörg Witte 1997 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Wahrscheinlichkeitstheorie 3 1.1 Grundbegriffe........................ 3 1.2 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.........

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

Computersimulation des Qualitätstests

Computersimulation des Qualitätstests .1 Computersimulation des Qualitätstests In diesem Kapitel erreichen wir ein erstes entscheidendes Ziel: Wir ermitteln näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten und für die Fehler 1. und. Art und zwar ohne

Mehr

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

11 Unabhängige Ereignisse

11 Unabhängige Ereignisse 11 Unabhängige Ereignisse In engem Zusammenhang mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit steht der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen. Wir klären zuerst, was man unter unabhängigen Ereignissen

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Jan Kallsen und Claudia Klüppelberg Zentrum Mathematik Technische Universität München WS 2005/06 Inhaltsverzeichnis Vorwort Vorbemerkungen i

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen

Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen Marco A. Harrendorf Hauptseminar Methoden der experimentellen Teilchenphysik WS 2011/2012 Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) 25.11.2011

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Einführung in die Computerlinguistik Statistische Grundlagen

Einführung in die Computerlinguistik Statistische Grundlagen Statistik 1 Sommer 2015 Einführung in die Computerlinguistik Statistische Grundlagen Laura Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2015 Statistik 2 Sommer 2015 Überblick 1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen) Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln.

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Kombinatorik --

Vorkurs Mathematik für Informatiker Kombinatorik -- Vorkurs Mathematik für Informatiker -- 10 Kombinatorik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer 30.09.2014 1 Urnenmodell In der Kombinatorik interessiert man sich dafür, wie viele Möglichkeiten es für die Ergebnisse

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Sommersemester 2000 Prof. Mathar

Einführung in die Stochastik für Informatiker Sommersemester 2000 Prof. Mathar Einführung in die Stochastik für Informatiker Sommersemester 2000 Prof. Mathar getext von René Wörzberger rene@woerzberger.de Bilder Thorsten Uthke Review Diego Biurrun diego@pool.informatik.rwth-aachen.de

Mehr

Permutation und Kombination

Permutation und Kombination Permutation und Kombination Aufgaben Aufgabe 1 Wie viele verschiedene Wörter lassen sich durch Umstellen der Buchstaben aus den Wörtern a. Mississippi, b. Larissa, c. Stuttgart, d. Abrakadabra, e. Thorsten,

Mehr

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Mehr