Einführung in die Stochastik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Stochastik"

Transkript

1 Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse von Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeitsrechnung(-theorie : Modelle zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, charakteristische Kenngrößen, Grenzwertsätze,... Statistik : Vergleich von Modell und Realität (Daten, Anpassung von Modellparametern, Entscheidung zwischen verschiedenen Modellen,... Zufallsexperiment : Vorgang, bei dem ein nicht vorhersagbares Ergebnis aus einer Menge Ω möglicher Ergebnisse eintritt, z. B. - Münzwurf: Ergebnis Kopf K oder Zahl Z - Zahlenlotto 6 aus 49 : 6 verschiedene Zahlen aus {1,...,49} (ohne Zusatzzahl - Lebensdauer einer Festplatte: Zeit T 0 - Anzahl defekter Chips in einer Tagesproduktion vom Gesamtumfang N: zufällige Zahl 0, 1,...,N - Anzahl von Schadenfällen in einer KFZ-Versicherungsklasse innerhalb eines Jahres: zufällige Zahl 0, 1,... - Ziehen von n Kugeln aus Urne mit N = R + S Kugeln (R = # roter Kugeln, S = N R = # schwarzer Kugeln: Anzahl gezogener roter Kugeln, also 0, 1, 2,... oder 0, 1,..., min(n,r Wichtig für die mathematische Beschreibung: Ω = Menge der möglichen Ergebnisse ω des Zufallsexperiments (Ergebnisraum, Ereignisraum, Stichprobenraum, z.b. 1

2 - Münzwurf: Ω = {K,Z} oder Ω = {0, 1} - Zahlenlotto: Ω = {ω = (ω 1,...,ω 6 ω i {1,...,49},ω i ω j (i j} z.b. ω = (21, 12, 49, 28, 1, 43 oder Ω = { ω = { ω 1,..., ω 6 } ω {1,...,49}, ω = 6} z.b. ω = {21, 12, 49, 28, 1, 43} - Lebensdauer: Ω = {ω ω 0} = [0, - defekte Chips: Ω = {0, 1,...,N} - Schadenfälle: Ω = {0, 1,...} = N 0 - Urne: Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i? } Ziehen mit/ohne Zurücklegen Beschreibung mit/ohne Beachtung der Reihenfolge (vgl. Urnenmodelle Ereignis: Teilmenge A von Ω, also A P(Ω Falls Ergebnis ω in A liegt: A tritt ein, z.b. - Münzwurf: A = Zahl geworfen = {Z} - Zahlenlotto: A = 3. gezogene Zahl ist die 21 = {ω = (ω 1,...,ω 6 Ω ω 3 = 21}, aber: A { ω = { ω 1,..., ω 6 } 21 { ω 1,..., ω 6 }} B = (genau 5 Richtige = {{1, 12, 21, 28, 43, ω 6 }, {1, 12, 21, 28, 49, ω 6 },......,{12, 21, 28, 43, 49, ω 6 } ; ω 6 {1,...,49}} oder in Ω: B = {(ω 1,...,ω 6 1 ω i / {1, 12, 21, 28, 43, 49}} Wahrscheinlichkeit P(A eines Ereignisses A Ω: Maß für die Unsicherheit des Eintretens von A Normierung: 0 P(A 1, P(Ω = 1 - Münzwurf: Wahrscheinlichkeit (Wkt. für Zahl? } Ω = {Z, K} P(A = A A = {Z} Ω = 1 2 2

3 - Zahlenlotto: Wahrscheinlichkeit für (genau 5 Richtige in Ω: Ω = B = 6 43 ( P(B = = = in Ω : Ω = B = P(B = ( ( = 49! 6!43! = ( 49 6 ( 6 ( ( 49 = = Mathematische Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Angabe von Wahrscheinlichkeitsräumen (W-Räumen (Ω, A, P : Definition 1.1. a Ω ( heißt Ereignisraum. b Ein System A von Teilmengen von Ω, also A P(Ω, heißt σ-algebra (in Ω, falls (i Ω A (ii A A = A c A (iii A 1,A 2,... A = A i A c Sei Ω und A eine σ-algebra in Ω. Eine Abbildung P : A [0, 1] heißt W-Maß auf A, falls die Kolmogorov schen Axiome gelten, d.h. (i P(A 0 A A Nichtnegativität (ii P(Ω = 1 (iii P( A i = Normiertheit P(A i (A i,2,... A, A i A j = (i j σ Additivität Das Tripel (Ω, A, P heißt W-Raum. 3

4 Bemerkung 1.1. Falls Ω endlich oder abzählbar unendlich ist (kurz: abzählbar, so können W-Maße immer auf A = P(Ω definiert werden. Falls Ω überabzählbar ist, so müssen W-Maße i.a. auf kleineren σ-algebren definiert werden (vgl. Georgii (2009, Satz 1.5. Beispiel 1.1. Laplace-Experimente Ω endlich, etwa Ω = N ( N A = P(Ω P(A = A Ω = Anzahl günstiger Fälle Anzahl möglicher Fälle, insbesondere P({ω} = 1 ω Ω Ω (Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich Beispiel 1.2. Diskrete W-Räume Ω abzählbar, etwa Ω = {ω 1,ω 2,...} A = P(Ω, P =? Durch eine Festlegung P({ω i } := p i mit p i 0, p i = 1, wird eindeutig ein W-Maß P auf A definiert. Es gilt: P(A = p i. i:ω i A Z.B. Wiederholtes Würfeln : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim i-ten Wurf zum ersten Mal eine 6 auftritt? Ω = {1, 2,...} = N (Nr. des Wurfs mit erster 6 A = P(Ω P({i} = 5i 1 1 = ( 5 i 1 ( i 6 (i = 1, 2,... Laplace-Ansatz Allgemeiner: P({i} = q i 1 p (i = 1, 2,..., 0 < p,q < 1, p + q = 1 geometrische Wahrscheinlichkeiten 4

5 Beachte: p i := P({i} 0, p i = p q i 1 = p 1 q = p p = 1 Sprechweise: Sei (Ω, A, P diskreter W-Raum. Die Funktion ω p(ω := P({ω}, ω Ω, heißt (diskrete W-Dichte (von P. Bemerkung 1.2. Für Ω überabzählbar ist es i.a. nicht möglich, P punktweise, d.h. durch Angabe von P({ω}, festzulegen. Z.B. Zufallszahlen : Zufallsgenerator liefert willkürlich eine Zahl zwischen 0 und 1. Ω = (0, 1 = {ω 0 < ω < 1}, A =? P({ω} =? (nicht sinnvoll, allenfalls = 0 Ansatz: P((a,b = b a 1 = b a (a,b (0, 1 σ-algebra? I.A.: A = kleinste σ-algebra in (0, 1, die alle Intervalle (a,b enthält (= Borel-σ-Algebra in (0, 1 Allgemeiner: Beispiel 1.3. Ω = R 1 Durch eine Festlegung P((a,b := A = kleinste σ-algebra in R 1, die alle Intervalle enthält =: B 1 b a f(xdx, wobei f Riemann-integrierbar über beliebigen Intervallen [a,b] R 1, f 0 und f(xdx = 1, wird eindeutig ein W-Maß P auf A festgelegt. Interpretation: P((x, x + x f(x x (f stetig, x klein Z.B. f(x = { 1, 0 < x < 1 0, sonst Rechteck-Verteilung (Gleichverteilung über (0,1 5

6 Folgerungen aus den Kolmogorovschen Axiomen: Lemma 1.1. Sei (Ω, A, P ein W-Raum. Dann gilt : a P( = 0 ; n b P( A i = n P(A i für je endlich viele, paarweise disjunkte (p.d. A 1,...,A n A ; c P(A c = 1 P(A, A A ; d P(B\A = P(B P(A B, A,B A ; e Für A B, A,B A : P(B\A = P(B P(A, f 0 P(A 1, A A ; P(A P(B ; g P(A B = P(A + P(B P(A B, A,B A, n P(A 1... A n = P(A i P(A i A j +... (Siebformel von Poincaré-Sylvester ; 1 i<j n... + ( 1 n 1 P(A 1... A n, A i A h P( A i = lim P(A n, A 1 A 2... A, n P( A i = lim P(A n, A 1 A 2... A. n Obige Rechenregeln sind nützlich bei der konkreten Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten: Beispiel 1.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei am selben Kalendertag Geburtstag haben ( Geburtstagsproblem? O.E.: n 365, sonst Wahrscheinlichkeit = 1 Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,365}}, Ω = 365 n, A = P(Ω A = {ω Ω ω i = ω j i j} A c = {ω Ω ω i ω j i j}, A c = (365 n + 1 P(A = 1 P(A c (365 n + 1 = n Überraschend: Für n = 23 : P(A = > 1 2 Informatik: n Daten zufällig auf N Speicherplätze verteilt Wahrscheinlichkeit für Mehrfachbelegung = 1 N(N 1 (N n+1 N n Hashing 6

7 Beispiel 1.5. Es werden n Zahlen 1,...,n zufällig permutiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zahl an ihrem Platz bleibt? (Rencontre-Problem, z.b. Tanzpaare treffen sich wieder Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,n}, ω i ω j (i j}, Ω = n! A = P(Ω A i = i-te Komponente bleibt fix = {ω Ω ω i = i}, A i = (n 1! ( n Siebformel n P(A = P A i = ( 1 k 1 P(A i1... A ik k=1 1 i 1 <...<i k n n ( n (n k! n = ( 1 k 1 = ( 1 k 1 n! (n k! k n! k!(n k! n! k=1 k=1 n = 1 ( 1 k 1 k! 1 e (n k=0 Viele diskrete W-Räume lassen sich als (so genannte Urnenmodelle interpretieren. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten besteht dann im Wesentlichen in der Bestimmung der Mächtigkeit der interessierenden Ereignisse (Kombinatorik: Betrachtet wird hier das Ziehen von Kugeln aus einer Urne. (Das Verteilen von Kugeln auf Urnen (vgl. statistische Physik ist auffassbar als Ziehen der Urnennummern für die zu verteilenden Kugeln. Gegeben: Urne mit N Kugeln der Nummern 1,...,N. Es werden n Kugeln gezogen. Vier Möglichkeiten: mit mit ր ց ր ց Ziehen Zurücklegen Beachtung der Reihenfolge ց ր ց ր ohne ohne 1 Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: Ω 1 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}}, A 1 = P(Ω 1 P 1 ({ω} = 1 N n ω Ω 1 Ω 1 = N n ω heißt n-permutation mit Wiederholung oder geordnete Stichprobe (vom Umfang n mit Wiederholung 7

8 Z.B. n-facher Münzwurf (N = 2, n-faches Würfeln (N = 6, Spiel 77 (Ziehen einer 7-stelligen Zahl, N = 10,n = 7 2 Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: Ω 2 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω i ω j (i j} Ω 2 = N (N 1 (N n + 1 =: N (n, A 2 = P(Ω 2 P 2 ({ω} = 1 N (n ω Ω 2 ω heißt n-permutation ohne Wiederholung oder geordnete Stichprobe (vom Umfang n ohne Wiederholung Z.B. Zahlenlotto (n = 6, N = 49; Reihenfolge notiert, Qualitätskontrolle, Speicherplatzbelegung ohne Kollision, jeweils Reihenfolge notiert 3 Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: Ω 3 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω 1 <... < ω n } (äquivalent zu {ω = {ω 1,...,ω n } ω i {1,...,N}} Ω 3 = ( N n, A3 = P(Ω 3 P 3 ({ω} = ( 1 ω Ω N 3 n ω heißt n-kombination ohne Wiederholung oder ungeordnete Stichprobe (vom Umfang n ohne Wiederholung Z.B. wie in 2, aber ohne Notieren der Reihenfolge 4 Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: Ω 4 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω 1... ω n } Ω 4 = ( ( N+n 1 n = N+n 1 N 1 Beweis: Bei ω 1 ω 2... ω n sind n 1 = -Zeichen möglich = Ω 4 = = ( ( ( ( n 1 N n 1 N n 1 n 1 ( N + n 1 n ( n 1 n 1 ( N 1 Beachte: (1 + x n 1 (1 + x N = (1 + x N+n 1 Binomische Formel, Cauchy-Produkt und Koeffizientenvergleich liefern die Behauptung. 8

9 Alternativ: Die Abbildung ω = (ω 1,ω 2,...,ω n (ω 1,ω 2 + 1,...,ω n + n 1 := ω, ω Ω 4, ist injektiv mit Bildmenge Ω 3 = { ω = ( ω 1,..., ω n ω i {1,...,N + n 1}, ω 1 < ω 2 <... < ω n } Folglich: Ω 4 = Ω 3 = ( ( N+n 1 n = N+n 1 N 1. W-Modelle in der statistischen Physik: Beispiel 1.6. Es werden n Kugeln (Moleküle, Elementarteilchen auf N Zellen (Energiezustände verteilt. Wie viele mögliche Besetzungsmuster gibt es, wenn I die Kugeln unterscheidbar sind; II die Kugeln nicht unterscheidbar sind; a jede Zelle höchstens mit 1 Kugel belegt werden darf (Pauli-Verbot; b die Zellen mit mehreren Kugeln belegt werden dürfen? Lösungen: I a Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}, ω i ω j (i j} ω i : Zellen-Nr. für i-te Kugel Ω = N (n I b Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}} Ω = N n Werden diese N n Möglichkeiten als gleichwahrscheinlich postuliert (Laplace-Ansatz, so erhält man das Maxwell-Boltzmann-Modell (für Gasmoleküle II a Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ω j {0, 1}} ω j : Anzahl der Kugeln in Zelle Nr. j Ω = ( N n (n Plätze aus N auszuwählen Laplace-Ansatz liefert das Fermi-Dirac-Modell (für Elektronen, Neutronen, Protonen II b Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ω j {0, 1,...,n}, ω j : Anzahl der Kugeln in Zelle Nr. j Ω = ( N+n 1 N 1 ( = N+n 1 n 9 N ω j = n} j=1

10 Beweis: n Objekte werden durch N 1 Trennwände getrennt, d.h. man hat n + N 1 Plätze, auf die N 1 Trennwände zu verteilen sind, also ( n+n 1 N 1 Möglichkeiten. Aus den obigen Urnenmodellen lassen sich weitere W-Modelle ableiten: Beispiel 1.7. a N Kugeln in einer Urne, davon R rote (Nummern 1,...,R und S schwarze (Nummern R + 1,...,R + S = N. Es werden n Kugeln zufällig gezogen (mit Zurücklegen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A r = genau r rote Kugeln werden gezogen. Lösung: Benutze (Ω 1, A 1,P 1. Für r = 0, 1,...,n gilt: ( ( n n A r = R r S n r = R r (N R n r = r r P 1 (A r = A r Ω 1 = ( n r p r (1 p n r, wobei p := R N Setzt man p r := ( n r p r (1 p n r, r = 0, 1,...,n (p fest, so gilt p r 0, (p r r=0,...,n definiert ein W-Maß auf B := P({0, 1,...,n}. n p r = 1, d.h. r=0 Definition 1.2. Sei X = {0, 1,...,n}, B = P(X. Das durch P(B := ( n p r (1 p n r, B X, r r B definierte W-Maß auf B heißt Binomialverteilung mit Parametern n,p. Bezeichnung : B(n,p oder β n (p b In der obigen Situation (N = R + S Kugeln werde n-mal ohne Zurücklegen gezogen. Man bestimme entsprechend die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse à r = genau r rote Kugeln werden gezogen. 1. Lösung: Benutze (Ω 2, A 2,P 2. Man beachte zunächst, dass gilt: max(0,n S r min(n,r ( ( n n R! Ãr = R (r S (n r S! = r r (R r! (S n + r! P 2 (Ãr = Ãr ( R N R r( Ω 2 = n r ( N n 10 =

11 2. Lösung: Benutze (Ω 3, A 3,P 3. Für r w.o.: Ar = ( R r P 3 ( Ar = A 1 Ω 3 = ( N R = n r ( R N R r( n r ( N, max(0,n S r min(n,r n Definition 1.3. Sei X = {0, 1,...,n}, B = P(X. Das durch P(B := ( R N R r( n r ( N, B X, r B n definierte W-Maß auf B heißt hypergeometrische Verteilung mit Parametern n; N, R. Bezeichnung : H(n;N,R Beispiel 1.8. Urne: N 1 Kugeln der Farbe 1, N 2 Kugeln der Farbe 2,...,N k Kugeln der Farbe k ( 2, N N k =: N. Es werden n Kugeln gezogen (mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass n 1 Kugeln der Farbe 1,...,n k Kugeln der Farbe k gezogen werden (n n k = n? Lösung: Benutze (Ω 1, A 1, P 1, ω = (ω 1,...,ω n A n1,...,n k = {ω genau n 1 der ω i {1,...,N 1 }, genau n 2 der ω i {N 1 + 1,...,N 1 + N 2 },..., genau n k der ω i {N N k 1 + 1,...,N N k }} ( ( ( n n n1 n n1 n k 1 A n1,...,n k = n 1 n 2 n } {{ k } 1 = P 1 (A n1,...,n k = wobei n! n 1! n k! Nn N n k k p i = N i N n! n 1! n k! pn p n k k =: p n1,...,n k, k ( 0, p i = 1. N n 1 1 N n N n k k 11

12 Definition 1.4. Sei X = {(n 1,...,n k n i N 0, k n i = n} R k, B = P(X. Das durch P(B := p n1,...,n k, B X, (n 1,...,n k B definierte W-Maß heißt Multi-(Poly-nomialverteilung mit Parametern n;p 1,...,p k. Bezeichnung : M(n;p 1,...,p k Auch durch asymptotische Betrachtungen lassen sich aus Urnenmodellen weitere W- Modelle gewinnen: Beispiel 1.9. Seien p k = p k (n = ( n k p k (1 p n k, k = 0, 1,...,n, die Wahrscheinlichkeiten der B(n,p-Verteilung aus Beispiel 1.7. Falls p = p(n derart, dass np(n λ > 0 (n, so folgt: lim p k(n = λk n k! e λ =: p k (k = 0, 1,... Definition 1.5. Sei X = N 0 = {0, 1, 2,...}, B = P(X. Das durch P(B := k B λ k k! e λ, B X, definierte W-Maß heißt Poisson-Verteilung mit Parameter λ (> 0. Bezeichnung : P(λ, Poiss(λ, π λ,... Relative Häufigkeiten und Simulation: Wird ein Zufallsexperiment (Ω, A,P unter identischen Bedingungen n-mal unabhängig durchgeführt (s.u., so nähert sich die relative Häufigkeit H n (A eines Ereignisses A A, d.h. H n (A := 1 (Anzahl der Versuche, in denen A eintritt, n für n der Wahrscheinlichkeit P(A für das Eintreten von A (vgl. Grenzwertsätze. 12

13 Vorsicht: H n (A ist zufällig, d.h. hängt von ω 1,...,ω n ab, wobei ω i das Ergebnis im i-ten Versuch bezeichnet. Möglich ist H n (A = 0, aber P(A > 0. Die Erfahrungstatsache H n (A P(A (n groß wird benutzt, um mit Hilfe von Simulation stochastischer Vorgänge unbekannte (oder nur aufwendig zu berechnende Wahrscheinlichkeiten zu approximieren (Monte-Carlo-Verfahren. Beispiel Spieler besitzt 1.000e,benötigt aber 5.000e(um Schulden zu tilgen. Er spielt solange Roulette, bis er sein Kapital auf e erhöht (oder aber die 1.000everloren hat. Betrachte folgende drei Strategien: 1. Spieler setzt stets 100eauf Rot (Gewinnwkt. je Spiel: 18, Auszahlung: 200e Spieler setzt gesamtes Kapital (bzw. die Differenz zu 5.000eauf Rot (Gewinnwkt.: 18, Auszahlung: doppelter Einsatz Spieler setzt stets 100eauf 1 (Gewinnwkt.:, Auszahlung: 3.600e 37 Bei welcher Strategie ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das Kasino mit (mindestens 5.000e verlassen kann am größten? Simulation: Für jede der drei Strategien werden n = 1000 Spielverläufe simuliert, d.h. Computer erzeugt Zufallszahlen U 1,U 2,..., wobei U i R(0, 1-verteilt ist, also P(U i (a,b] = b a (a,b] (0, 1 Setze V i = 37 U i und W i = k, falls V i (k,k + 1] (k = 0, 1,...,36 Dann gilt P(W i = k = P(V i (k,k + 1] = P(U i ([ k, ] k = 1, 37 also beschreiben die W 1,W 2,... dasselbe Zufallsgeschehen wie ein wiederholtes Roulettespiel. Setze noch 0, W i = 0, X i = 1, W i {1,...,18}, 2, W i {19,...,36}, so gilt P(X i = 0 = 1 37, P(X i = 1 = = P(X i = 2. Identifiziere: 1 ˆ= Rot, 2 ˆ= Schwarz Folgende Tabelle gibt für n = 1000 Simulationsläufe (jeweils bis 5.000eoder 0eerreicht sind die relative Häufigkeit dafür an, dass der Spieler nach 200, 400, 600, 800, 1000 Spielen 13

14 bei Strategie 1, 2, 3 zu den gewünschten 5.000egelangt ist: Strategie # Spiele Die Simulationsergebnisse legen die Vermutung nahe, dass gilt: Strategie 2 Strategie 3 Strategie 1 14

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Fachschaft Mathematik Uni Dortmund Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis Stochastik I Wahrscheinlichkeitsrechnung Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Letzte Änderung: 8. November 00 Gesetzt

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II. Vorlesungsskript

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II. Vorlesungsskript WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II Wolfgang König TU Berlin und WIAS Berlin Vorlesungsskript SS 2005 und WS 2005/06 überarbeitet im WS 2008/09 kleine Korrekturen im März und Juli 2012 und im März 2013

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Statistik 1: Einführung

Statistik 1: Einführung Seite Stat- Statistik : Einführung Die mathematische Disziplin der Stochastik, die die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik umfaßt, beschäftigt sich mit der Beobachtung, Aufzeichnung

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Variationen Permutationen Kombinationen

Variationen Permutationen Kombinationen Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Vorlesungsnotizen Einführung in die Stochastik Hanspeter Schmidli Mathematisches Institut der Universität zu Köln INHALTSVERZEICHNIS iii Inhaltsverzeichnis 1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1 1.1.

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Bei dieser Vorlesungsmitschrift handelt es sich um kein offizielles Skript!

Bei dieser Vorlesungsmitschrift handelt es sich um kein offizielles Skript! Diskrete Stochastik für Informatiker WS003/04 Diskrete Stochastik für die Informatik Bei dieser Vorlesungsmitschrift handelt es sich um kein offizielles Skript! Bei Fragen, Anmerkungen oder Fehlern bitte

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung Fachseminar zur Stochastik Die Binomialverteilung 23.11.2015 Referenten: Carolin Labrzycki und Caroline Kemper Gliederung Einstieg Definition der Binomialverteilung Herleitung der Formel an einem Beispiel

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Statistik II - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Christine Müller Technische Universität Dortmund

Statistik II - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Christine Müller Technische Universität Dortmund Statistik II - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof Dr Christine Müller Technische Universität Dortmund Sommersemester 2014 1 Literatur Henze, N (1997 Stochastik für Einsteiger Vieweg, Braunschweig

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 SG15/25D NAME: Lösungen 1. In einer Packung sind Glühbirnen, davon sind zwei

Mehr

2 Grundbegriffe der Stochastik

2 Grundbegriffe der Stochastik 2.0 Grundbegriffe der Stochastik 76 2 Grundbegriffe der Stochastik In der beschreibenden Statistik (Kapitel 1) haben wir die zu analysierenden Daten als gegeben hingenommen und nicht genauer hinterfragt,

Mehr

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975) Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss

Mehr

Einführung in die Stochastik. Dr. Lothar Schüler

Einführung in die Stochastik. Dr. Lothar Schüler Einführung in die Stochastik für Studierende der Informatik im Bachelorstudiengang TU Braunschweig SS 2007 Dr. Lothar Schüler Institut für Mathematische Stochastik Technische Universität Braunschweig Pockelsstr.

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

Teil I Beschreibende Statistik 29

Teil I Beschreibende Statistik 29 Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik)

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) 1. Einleitung Deskriptive Statistik: Allgemeine und spezielle

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als:

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als: 9-9 Die befasst sich mit der Untersuchung, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Falles aufgrund bestimmter Voraussetzungen stattfindet. Bis anhin haben wir immer logisch gefolgert: 'Wenn diese Voraussetzung

Mehr

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer

Mehr

Einführung in die. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Einführung in die. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Institut für Mathematische Stochastik Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Kurzskript zur Vorlesung Wintersemester 2014/15 von Prof. Dr. Norbert Gaffke Inhaltsverzeichnis 1 Wahrscheinlichkeitsräume

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Einführung in die Computerlinguistik Statistische Grundlagen

Einführung in die Computerlinguistik Statistische Grundlagen Statistik 1 Sommer 2015 Einführung in die Computerlinguistik Statistische Grundlagen Laura Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2015 Statistik 2 Sommer 2015 Überblick 1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Mehr

Einführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte

Einführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte Einführung in die Statistik für Biologen Jörg Witte 1997 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Wahrscheinlichkeitstheorie 3 1.1 Grundbegriffe........................ 3 1.2 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.........

Mehr

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen) Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln.

Mehr

Rechnen mit einfachem Mengenkalkül

Rechnen mit einfachem Mengenkalkül edingte ahrscheinlichkeiten llgemeine Frage: Rechnen mit einfachem Mengenkalkül ie groß ist die ahrscheinlichkeit für ein Ereignis falls bereits ein Ereignis eingetreten ist (und der etrachter über diese

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1 1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Jan Kallsen und Claudia Klüppelberg Zentrum Mathematik Technische Universität München WS 2005/06 Inhaltsverzeichnis Vorwort Vorbemerkungen i

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen

Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen Marco A. Harrendorf Hauptseminar Methoden der experimentellen Teilchenphysik WS 2011/2012 Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) 25.11.2011

Mehr

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen?

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Innermathematisches Vernetzen von Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung Katharina Klembalski Humboldt-Universität Berlin 20.

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten I.1 Erweitertes Urnenmodell mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich ( N Kugeln, davon M 1 der Farbe F 1, M 2 der Farbe l ) F 2,..., M

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Universität Duisburg Essen Standort Duisburg Integrierter Diplomstudiengang Sozialwissenschaften Skript zum SMS I Tutorium Von Mark Lutter Stand: April

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Versuch: Zufälliges Ziehen aus der Population

Versuch: Zufälliges Ziehen aus der Population Wahrscheinlichkeit Ein Test diagnostiziert Kranke zu 99% richtig Gesunde zu 90% richtig 5% der Bevölkerung ist krank? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand krank ist, wenn der Test dies diagnostiziert?

Mehr

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Kursthemen 12. Sitzung Folie I - 12-1 Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Spezielle Verteilungen: Warteprozesse A) Die Geometrische Verteilung (Folien 2 bis 7) A) Die Geometrische Verteilung (Folien

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

Kapitel 3: Etwas Informationstheorie

Kapitel 3: Etwas Informationstheorie Stefan Lucks 3: Informationstheorie 28 orlesung Kryptographie (SS06) Kapitel 3: Etwas Informationstheorie Komplexitätstheoretische Sicherheit: Der schnellste Algorithmus, K zu knacken erfordert mindestens

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

mathphys-online Zahlenlotto 6 aus 49 Quelle: Akademiebericht 470 Dillingen

mathphys-online Zahlenlotto 6 aus 49 Quelle: Akademiebericht 470 Dillingen Zahlenlotto aus Quelle: Aademiebericht 470 Dillingen Spielregeln Beim Spiel Sechs aus Neunundvierzig werden jeden Mittwoch und Samstag sechs Gewinnzahlen gezogen. Dazu befinden sich nummerierte Kugeln

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Sommersemester 2000 Prof. Mathar

Einführung in die Stochastik für Informatiker Sommersemester 2000 Prof. Mathar Einführung in die Stochastik für Informatiker Sommersemester 2000 Prof. Mathar getext von René Wörzberger rene@woerzberger.de Bilder Thorsten Uthke Review Diego Biurrun diego@pool.informatik.rwth-aachen.de

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 0.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander

Mehr

Elementare statistische Methoden

Elementare statistische Methoden Elementare statistische Methoden Vorlesung Computerlinguistische Techniken Alexander Koller 28. November 2014 CL-Techniken: Ziele Ziel 1: Wie kann man die Struktur sprachlicher Ausdrücke berechnen? Ziel

Mehr

Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulation Modellierung und Simulation Monte-Carlo-Simulation Universität Hamburg Johannes Schlundt 7. Januar 2013 Monte-Carlo-Simulation Johannes S. 1/31 Inhalt Motivation Geschichtliche Entwicklung Monte-Carlo-Simulation

Mehr

Modellierungskonzepte 2

Modellierungskonzepte 2 Modellierungskonzepte 2 Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin WS 2008/09 1 / 50 1 Pfadregeln 2 Begriff Umbewertung von Chancen Bayessche Formel 3 Verwechslungsgefahr Implizite Lotterien 2 / 50 mehrstufige

Mehr

Grundkursabitur 2011 Stochastik Aufgabe III

Grundkursabitur 2011 Stochastik Aufgabe III Grundkursabitur 011 Stochastik Aufgabe III An einem Musikwettbewerb, der aus einer Messehalle bundesweit live im Fernsehen übertragenwird, nehmen zwölf Nachwuchsbands aus ganz Deutschland teil. Genau zwei

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in

Mehr

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Beispiel 2 ([1], Ex ) Sei jxj = m, jy j = n. Wieviele Funktionen f : X! Y

Beispiel 2 ([1], Ex ) Sei jxj = m, jy j = n. Wieviele Funktionen f : X! Y Kombinatorik Nach [1], Chap.4 (Counting Methods and the Pigeonhole Principle). Multiplikationsprinzip Beispiel 1 Wieviele Wörter der Länge 4 kann man aus den Buchstaben A,B,C,D,E bilden,... 1. wenn Wiederholungen

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Stichwortverzeichnis. 3-of-a-Kind (Poker) 112, 114 4-of-a-Kind (Poker) 112, 114 50-50-Irrtum 348

Stichwortverzeichnis. 3-of-a-Kind (Poker) 112, 114 4-of-a-Kind (Poker) 112, 114 50-50-Irrtum 348 3-of-a-Kind (Poker) 112, 114 4-of-a-Kind (Poker) 112, 114 50-50-Irrtum 348 50-50-Situation 36 α-stufe 249 λ 259, 264, 323 σ 190 A Abzählbar unendlich (Mengentyp) 40 Abzählproblem 106 Abzählregel 95 Additionsregel

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II Inhaltsverzeichnis 1 bedingte Wahrscheinlichkeiten 2 2 unabhängige Ereignisse 5 3 mehrstufige Zufallsversuche 7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 28.02.2010 Theorie und

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Lukas Meier Teilweise basierend auf Vorlesungsunterlagen von Marloes Maathuis, Hansruedi Künsch, Peter Bühlmann und Markus Kalisch. Fehler und Anregungen

Mehr