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1 Allgemein am besten im System mit assenmittelpunkt (centre of mass frame) oder Schwerpunktsystem (=m 1 +m ) r = r 1 - r =m 1 +m Position vom Schwerpunkt: r r 1 +m r v =m 1 v 1 +m v = p 1 + p ist die Geschwindigkeit des assenmittelpunkts im Laborsystem, Abgeschlossenes System, d. h. F äuß = 0 d v dt = 0 ist konstant vor und nach dem Stoß. Elastische Stöße im Schwerpunktsystem: a) kinetische Energie elastisch: W kin = W kin vor nach dem Stoß 80

2 W kin = m 1v 1 + m v im Laborsystem Jetzt: Bewegung zerlegt in Bewegung des Schwerpunktes und die Relativbewegung der assen bezüglich des Schwerpunktes. r = r 1 - r v = v 1 - v r 1 = r + m r r r 1 +m r r = r - m 1r W kin = 1 m ( 1 v + m v ) + 1 m ( v m 1 = 1 (m +m )v m 1 m = 1 v + 1 m 1 m v m 1 +m W kin = 1 v + 1 µv v ) v + 1 m 1 m v µ m m 1 +m ist reduzierte asse kinetische Energie von Schwerpunkt und kinetische Energie im Schwerpunktsystem 81

3 Abgeschlossenes System (keine äußere Kraft): v = const. W* kin ist kinetische Energie im Schwerpunktsystem b) Impuls im Schwerpunktsystem r * 1 = r 1 - r r * = r - r p * 1 v * 1 v 1 - m 1 v v + m 1m v - m 1 v 8

4 m v p * 1 = µ v p * = µ v p 1 * = p * kin. Energie: W * kin = 1 µv = p* µ (p 1 * = p * = p * ) nach dem Stoß: Impuls = q 1 * = q * für elastischen Stoß: W * kin ' = q* µ = W * kin p * = q * q * ist der Impuls vor dem Stoß ist der Impuls nach dem Stoß ist Streuwinkel im Schwerpunktsystem Unbekannte:, anstatt 4 83

5 Beispiel: In einem Kernreaktor wird ein eutron (n) emittiert. oderator enthält Deuterium (d). n hat die v=1x10 4 ms -1. Elastischer Stoß mit dem ruhendem d. m n =1.7x10 7 kg, m d =3.4x10 7 kg. 1. Wie groß ist die Geschwindigkeit vom Schwerpunkt im Laborsystem? v v 1 +m v v = 1.7x107 x1x ( )x10 7 = 1 3 x104 ms 1. Wie groß ist die Geschwindigkeit von n vor dem Stoß im Schwerpunktsystem? v 1 * = v 1 v = (1 1 3 )x104 = 3 x104 ms Wie groß ist die Geschwindigkeit von d vor dem Stoß im Schwerpunktsystem? v * = v v = (0 1 3 )x104 = x104 ms 1 4. Verhältnis von W kin im Laborsystem mit W * kin im Schwerpunktsystem? W kin = m v 1 1,W * kin = m (v * 1 1) + m (v * ) W kin = * W kin =

6 Zusammenfassung: p 1 v 1 v =0 ' q 1 v 1 p 1 = q 1 + q ' q v r r 1 +m r (=m 1 +m ) r = r 1 - r Impuls im Schwerpunktsystem (centre of mass frame = C): p * 1 = µ v p * = -µ v v = v 1 - v p * 1 + p * = 0 µ m m 1 +m Kinetische Energie im Schwerpunktsystem (C): W kinlab = 1 v + 1 µv W * kin C = 1 µv Falls keine äußere Kraft wirkt: v = const. W kinlab ' = W kinlab W * kin ' = W * kin 85

7 W * kin ' = q* µ,w * kin = p* µ p * = q * ist Streuwinkel im C (Schwerpunktsystem) I.8 Drehimpuls, Drehmoment, Drehimpulssatz I.8.1 Drehimpuls eines assenpunktes Def. Drehimpuls: L = r x p L heißt Drehimpuls. L = r x p = r p sin( r, p ) L = 0, wenn p = 0, r = 0 oder r p Dimension: Länge x Impuls Einheit: kg m s -1 ist senkrecht zur Ebene mit, 86

8 Beispiele für Bewegungen mit Drehimpuls: Kreisbewegung L = r x p, r p L Z = r p = r m v Beachte: Angabe des Drehimpulses hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Für Zentralkräfte: Der Drehimpuls bleibt erhalten, wenn die Kraft auf dem assenpunkt eine Zentralkraft ist. d. h. F r L = r x p dl dt = r x d p dt + d r dt x p = r x F +m v x v = 0 F r So L = const. 87

9 Beispiel: Planetenbahn F G r L = const. Allgemeiner Fall: d L dt = r x F = T Drehimpulssatz heißt Drehmoment (Torque) Dimension: Weg x Kraft Einheit: m verschwindet bei Zentralkräften, wo Versuch: Versuch: F r I.8. Drehimpuls eines Systems von assenpunkten Verallgemeinerung der Formel L = r x p 88

10 Setze: L = L i = v i = v + u i = r + r i ' x p i = x m i v i Damit: L = ( r + r ')xm i ( v + u i ) i Beachte: = r p + ' p i ' Bahndrehimpuls des assenmittelpunktes abhängig von Bezugssystem Drehimpuls in Bezug auf assenmittelpunkt, Spin ist eine innere Eigenschaft des Systems unabhängig vom Bezugssystem. 89

11 Beispiel: Erde um Sonne Erde durch Eigenrotation der Versuch: Drehstuhl + Kreisel I.9 Kinematik starrer Körper Def. starrer Körper: keine Relativbewegung der assenpunkte gegeneinander I.9.1 Bewegung eines starren Körpers Zwei Bewegungsarten: 1. assenmittelpunkt ändert Lage im Raum. Körper ändert seine Richtung 1. ist eine Translationsbewegung. ist eine Rotationsbewegung. 90

12 Versuch: Änderung der Richtung bedeutet Rotation um eine Achse. Achse kann sich im Laufe der Zeit ändern. Versuch: Buch, Würfel Beachte: ω 1 +ω ω +ω 1 ω bezeichnet Drehachse oben gezeigt: v = rω Richtung von : senkrecht zu ω und d. h. v = ω x r Beachte: T Umlaufzeit heißt Frequenz Die Größe heißt Winkelbeschleunigung. Dimension: 1 / Zeit Einheit: s - 91

13 I.9. Kinetische Energie eines starren Körpers, Trägheitsmoment 1 oben: W kin = m v i i Hier: v i = ω W rot = 1 Δm i ω =: 1 Jω J = Δm i heißt Trägheitsmoment. Dimension: asse x Länge Einheit: kg m Für kontinuierliche assenverteilung: Trägheitsmoment: J = r dm it variabler Dichteverteilung: Beachte: hat Ähnlichkeit mit W kin = 9

14 Beispiel: Zylinder Beachte: Angabe der Drehachse ist wichtig. Folie: Verschiebung der Drehachse (Satz von Steiner): J ' =? In Kapitel I.6.5 wurde gezeigt, dass falls Rotationsachse durch (assenmittelpunkt) Schwerpunkt 93

15 Schwerpunkt = 1 v + 1 m i u' i W kin, W kin,u kinetische Energie des Schwerpunktes relativ zum kinetische Energie der assen relativ zum Schwerpunkt (durch Translation, Rotation, Vibration) Jetzt: Rotationsachse durch mit = 1 (z + J )ω = 1 J 'ω d. h. J ' = J +z Versuch: Hohlzylinder und Vollzylinder auf schiefer Ebene Hohlzylinder etall Vollzylinder aus Holz 94

16 Anwendung des Energiesatzes: Abrollbedingung: Vollzylinder: Hohlzylinder: daher v Vollzylinder > v Hohlzylinder Vollzylindest schneller als der Hohlzylinder! Quantitative essung an einer rollenden Kugel: Versuch: abrollende Kugel Folie, Video 95

17 I.9.3 Drehimpuls eines starren Körpers von oben: = r v + m i ' u i Drehimpuls Spin (im assenmittelpunkt) Rotierender starrer Körpen Ruhe, Drehachse durch assenmittelpunkt, d. h. v = 0, betrachte nur den Spin Q L i = Δm i ' u i ' u i = ' ω L i = Δm i ' ω L i = Δm i ' ω L = L i = Δm i ' ω = J ω 96

18 Rechnung nur richtig, wenn starrer Körper um Symmetrieachse rotiert. z. B.:, J = 1 R Kugel: Allgemein: an findet bei beliebig geformten, starren Körpern immer 3 Achsen, die durch den assenmittelpunkt gehen und senkrecht aufeinander stehen: 97

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