Mathematik-Vorkurs für Informatiker Prädikatenlogik 1

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1 Christian Eisentraut & Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker Prädikatenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen: (a) Allquantor (b) Existenzquantor (c) Bindung (d) Skopus (e) Universum (f) Prädikat (g) Aussageform (h) Ersetzungsfunktion Aufgabe 2. (Aussageform vs. Prädikat) Was ist der Unterschied zwischen Aussageformen und Prädikaten? Versuchen Sie mithilfe eines s den Unterschied möglichst präzise zu beschreiben. Aufgabe 3. (Aussage vs. Aussageform (1)) Finden Sie eine mathematische-informatische und nicht mathematische-informatische Analogie, um den Unterschied zwischen Aussagen und Aussageformen zu verdeutlichen. Aufgabe 4. (Aussage vs. Aussageform (2)) Entscheiden Sie für die folgenden Sätze, ob es sich um Aussagen oder um Aussageformen handelt. Entscheiden Sie zusätzlich bei Aussageformen, was ein sinnvolles Universum ist. (a) x ist die Königin von England. Es handelt sich um eine Aussageform (mit Variable x) über der Menge aller Frauen bzw. Menschen. (b) 7 x + 4 y = 12 z In dieser Gleichung treten drei Unbekannte auf, damit handelt es sich um eine Aussageform. Da wir Gleichungen über Zahlen 1 Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer ( ist inklusive aller darin vorkommenden Texte und Bilder lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht-kommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Weitere Hinweise finden Sie unter http: //creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. 1

2 lösen, nehmen wir einfach die größte bekannte Zahlenmenge als Unviversum für jede Variable, also für alle drei R, das Universum bezeichnen wir dann mit R R R. (a) x ist durch 2 teilbar. (b) ist durch 2 teilbar. (c) x spielt in der Fußballbundesliga. (d) Januar ist ein Monat mit 31 Tagen. (e) n N : n + m = 2 (f) x ist ein Monat mit 31 Tagen. (g) x + 4 = y (h) x + 5 = 7 (i) Januar ist ein x mit 32 Tagen. (j) x + y = z (k) x N : x 0 Aufgabe 5. (Prädikatenlogik natürlichsprachlich (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 12/13)) Beschreiben Sie möglichst anschaulich Situationen, in denen die folgenden Aussagen gelten. Sei dazu P (x, y, z) := x isst y in z über dem Universum U = Menschen Gerichte Orte. Menschen bezeichnet die Menge aller Menschen, Gerichte die Menge aller Gerichte und Orte die Menge aller Orte. Im Folgenden quantifiziert die Variable x immer über der Menge aller Menschen, y über der Menge aller Gerichte und z über der Menge aller Orte. (a) x : y : z : P (x, y, z): In der ganzen Welt gibt es mindestens einen Menschen der an irgendeinem Ort irgendetwas isst. Das ist zum erfüllt, wenn Christian im Vorlesungssaal ein Schokocroissant isst oder wenn in Australien eine Familie beim Mittagessen sitzt. (b) y : x : z : P (x, y, z): Es gibt ein Gericht, dass jeder Mensch an allen Orten ist. Eine Welt, in der diese Aussage gilt, sieht zum so aus: Jeder Mensch isst in seinem ganzen Leben an jeder möglichen Stelle auf der Welt (sofern wir annehmen, es gibt nur auf der Erde Orte ) Reis. (a) x : y : z : P (x, y, z) (b) x : y : z : P (x, y, z) (c) z : x : y : P (x, y, z) (d) x : z : y : P (x, y, z) (e) y : z : x : P (x, y, z) 2

3 Aufgabe 6. (Prädikatenlogik natürlichsprachlich (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14)) Sei P (m, n, g, s) := m hält vor n Vorlesung über g in s über dem Universum U = Menschen Menschen Themen Orte definiert. Beachten Sie: Menschen bezeichnet hier die Menge aller Menschen, Orte die Menge aller Orte und Themen die Menge aller möglichen Vorlesungsthemen. Zum heißt P (Christian, Dieter Schlau, Prädikatenlogik, Saarbrücken), dass Christian eine Vorlesung vor Dieter Schlau zum Thema Prädikatenloigk hält. Dahingegen heißt P (Prof. Hermanns, Max Mustermann, Programmierung 1, Saarbrücken), dass Prof. Hermanns die Vorlesung Programmierung 1 vor Max Mustermann in Saarbrücken hält. (a) Geben Sie möglichst natürlichsprachliche Ausdrücke für die folgenden quantifizierten Aussagen an. Dabei seien die Variablen x, y über der Menge der Menschen, die Variable z über der Menge der Themen und v über der Menge der Orte gewählt. Zum wird y : x : y : z : P (x, y, z, v) würde heißen, dass es einen Menschen gibt, der bei allen Menschen zu allen Themen an allen Orten eine Vorlesung hört - sozusagen ein Superstudent, der alles Wissen dieser Welt überall bei allen Leuten lernen möchte. (i) x : y : z : v : P (x, y, z, v) (ii) x : y : z : v : P (x, y, z, v) (iii) y : x : z : v : P (x, y, z, v) (iv) y : x : z : v : P (y, x, z, v) (v) x : v : z : y : P (x, y, z, v) (vi) y : x : v : z : P (x, y, z, v) (b) Welche der folgenden Ausdrücke bezeichnen die selbe Aussage? Begründen Sie Ihre Antwort. Zum bezeichnen v : x : y : z : P (x, y, z, v), x : y : z : v : P (x, y, z, v), v : z : y : x : P (x, y, z, v) und z : y : x : v : P (x, y, z, v) alle die selbe Aussage, nämlich dass alle Menschen bei allen Menschen an allen Orten zu allen Themen Vorlesungen hören. (i) x : y : z : v : P (x, y, z, v) (ii) x, y : z, v : P (x, y, z, v) (iii) z, v : x, y : P (x, y, z, v) (iv) v, z : y, x : P (x, y, z, v) (v) v : x : y : z : P (x, y, z, v) 3

4 (vi) v : y : x : z : P (x, y, z, v) (vii) z : x : y : v : P (x, y, z, v) Aufgabe 7. (Prädikatenlogik natürlichlichsprachlich) Verbinden Sie jeweils den prädikatenlogischen Ausdruck links mit der Eigenschaft, die der prädikatenlogische Ausdruck beschreibt. Sei dazu im Folgenden P (x, y) := x teilt y. y Q : x Q : x y = 1 In Q gibt es für jedes Element ein multiplikatives Inverses. x N : y N : y > x Es gibt jede natürliche Zahl nur ein Mal. x N : y N : y x Alle Zahlen sind Vielfache voneinander.!x N : y N : x y Es gibt eine Zahl größer 0. x N : y N : P (x, y) N ist unendlich. y N : x N : x = y N hat eine kleinste Zahl. y N :!x N : x = y N hat genau eine größte Zahl. x N : Jede Zahl hat Vielfache. y N : x N : x + y > x Es gibt nur eine natürliche Zahl. x N : y N : P (x, y) Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht leer. Aufgabe 8. (Semantik der Prädikatenlogik) Finden Sie für jeden der prädikatenlogischen Ausdrücke mit freier Variable x eine Zahl, eine Funktion, eine Person oder einen Gegenstand, der diese Aussage erfüllt. Sei U die Menge aller Menschen. y U : y liebt x George Clooney, Natalie Portman,... (a) y N : x + y = y (b) y N : x y = y (c) y U : x hasst y (d) y R : x(y) = 0 (e) y U : y benutzt x beim Zähneputzen Aufgabe 9. (Sprache prädikatenlogisch) Schreiben Sie die folgenden Sätze als prädikatenlogischer Ausdrücke. 4

5 Alle Menschen sind Männer. Sei M die Menge aller Menschen: x M : x ist Mann (a) Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es eine weitere reelle Zahl. (b) Jede gerade natürliche Zahl ist größer oder gleich 0. (c) x + 4 = 2 ist in den natürlichen Zahlen nicht lösbar. Aufgabe 10. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14)) Gegeben seien die folgenden Prädikate: I(x) := x studiert Informatik. P (x) := x belegt die Vorlesung Programmierung 1. E(x) := x ist im ersten Semester. M(x) := x belegt eine Mathematikvorlesung. Sei das Universum U die Menge aller Menschen. Stellen Sie die folgenden Aussagen prädikatenlogisch dar: (a) Alle Informatikstudenten im ersten Semester hören die Vorlesung Programmierung 1. (b) Nicht jeder Student, der Programmierung 1 belegt, studiert auch Informatik. (c) Es gibt Informatikstudenten, die auch eine Mathematikvorlesung belegt haben. (d) Ein Informatikstudent in einem späteren Semester hört genau dann die Vorlesung Programmierung 1, wenn er auch eine Mathematikvorlesung belegt hat. (e) Nicht alle Erstesemester belegen eine Mathematikvorlesung. Aufgabe 11. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14)) Definieren Sie Prädikate, um dann die folgenden Aussagen als prädikatenlogische Ausdrücke darzustellen. Definieren Sie ein dazu passendes Universum. Verwenden Sie keine Mengen, sondern nur Prädikate, um Eigenschaften ausdrücken. Z.B. sollen Sie nicht sagen, x Menge aller Studenten mit Nebenfach Mathematik wenn Sie sagen wollen, dass der Student x Nebenfach Mathematik hat. Definieren Sie stattdessen ein Prädikat P (y) := y hat Nebenfach Mathematik und nehmen Sie P (x) um die Eigenschaft Nebenfach Mathematik für den Studenten x auszudrücken. (a) Alle Studenten haben Mathematik als Nebenfach. (b) Mindestens ein Student hat Mathematik als Nebenfach. (c) Hat ein Student Nebenfach Mathematik, so hat er nicht Physik als Nebenfach. (d) Es gibt keinen Studenten, der Mathematik und Physik als Nebenfach hat. 5

6 Aufgabe 12. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14)) Benutzen Sie höchstens zwei Prädikate, um die folgenden Aussagen prädikatenlogisch zu formulieren. Sei im Folgenden U die Menge aller kleinen Kinder. Verwenden Sie auch hier keine Mengen, um Eigenschaften der Aufgabenstellung auszudrücken. (a) Alle Jungen spielen gerne mit Autos. (b) Wenn es ein Mädchen gibt, das gerne mit Autos spielt, dann spielt kein Junge gern mit Autos. (c) Alle Mädchen spielen genau dann gerne mit Autos, wenn mindestens ein Junge nicht gerne mit Autos spielt. Aufgabe 13. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14)) Sei U die Menge aller Studenten. Stellen Sie die folgenden Aufgaben wieder als prädikatenlogische Ausdrücke dar. Verwenden Sie keine Mengen um Eigenschaften darzustellen. (a) Alle Informatikstudenten kennen mindestens eine Person, die nicht Informatik studiert. (b) Alle Nicht-Informatik-Studenten kennen genau dann mindestens einen Informatikstudenten, wenn sie auch einen Nicht-Informatik-Student kennen. (c) Kennt ein Informatikstudent einen nicht-informatiker-studenten, so ist dies hinreichend dafür dass er alle Informatik-Studenten kennt. (d) Einen anderen Informatikstudenten zu kennen ist für einen Informatikstudenten notwendig, um die Klausuren gut zu bestehen. Aufgabe 14. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14)) Schreiben Sie die folgenden Aussagen als prädikatenlogische Ausdrücke auf. Es ist möglich alle Aussagen mit der Hilfe von nur zwei Prädikaten darzustellen: (a) Alle Menschen haben eine Mutter. (b) Alle Menschen haben eine Großmutter. (c) Alle Jungen haben eine Mutter und einen Vater. (d) Es gibt ein Mädchen, das mindestens ein Geschwisterteil hat. (e) Ein Junge hat genau dann eine Schwester, wenn eine seiner Großmütter genau ein Kind hatte. Aufgabe 15. (Mathematik prädikatenlogisch) Aus der Schule kennen Sie den folgenden Satz: Wenn A, B und C arithmetische Ausdrücke sind und A = B, dann gilt auch A + C = B + C und A C = B C. Übersetzen Sie den Satz in einen prädikatenlogischen Ausdruck. 6

7 Aufgabe 16. (Mathematik prädikatenlogisch) Schreiben Sie die folgenden Sätze als prädikatenlogische Ausdrücke auf. (a) Wenn n eine natürliche Zahl ist und n ungerade, dann ist n gerade. (b) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade. (c) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. (d) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational. (e) Das Produkt zweier rationalen Zahlen ist rational. (f) Seien A,B Mengen. Wenn A B = A, dann ist B A. (g) Seien A, B und C endliche Mengen. Dann ist die Kardinalität von A B C gerade die Summe der Kardinalitäten der Mengen verringert um die Kardinalitäten aller möglichen Schnitte der Mengen. Aufgabe 17. (Mathematik natürlichsprachlich) Schreiben Sie die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke in mathematische Sätze und Definitionen (natürlichsprachlich) um. Wenn möglich sollen Ihre Sätze ähnlich wie in Aufgabe?? formuliert sein. (a) A, B : A \ B = A B A = (b) A, B : A B = A B A (c) A, B : A B B A (d) z Z : (( k Z : 3 z + 2 = 2 k) ( k : Z : z + 5 = 2 k + 1)) ( k Z : z 2 = 2 k) Aufgabe 18. (Gebunden vs. Ungebunden) Erklären Sie den Unterschied zwischen gebundenem und ungebundenem Auftreten, sowie definierendem und benutzendem Auftreten. Aufgabe 19. (Gebunden vs. Ungebunden) Geben Sie jeweils die ungebunden Variablen der folgenden Ausdrücke an. Sei im Folgenden U eine beliebige Menge und P, Q, R beliebe Prädikate. Zeichnen Sie zur Hilfe den Syntaxbaum der Ausdrücke. Wir wählen als ( x U : P (x, y) y U : P (x, y)) ( z U : Q(x, z)). Der zugehörige Syntaxbaum sieht wie folgt aus: 7

8 x z Q(x, z) P (x, y) y P (x, y) Nun schauen wir uns für alle in den Prädikaten auftretenden Variablen an, ob wir auf dem Weg nach oben, d.h. wenn wir den Kanten umbekehrt folgen, auf ein einen Quantor treffen, der genau diese Variable bindet, oder eben nicht. Ein, für das markierte x im Baum führt die erste Kante nach oben zwar zu einem Quantor, dieser bindet aber y. Die nächste Kante führt vom -Quantor zu einem und vom kommen wir wieder zu einem Quantor, der dieses mal x bindet. Damit ist x gebunden. Ein weiteres : Wir betrachten das markierte y im Baum. Die erste Kante nach oben führt zu einem, von dort kommen wir zu einem -Quantor, der aber x und nicht y bindet. Von diesem Quantor gelangen wir dann zur Wurzel, die mit beschriftet ist. Nun können wir nicht mehr weiter nach oben gehen um einen Quantor zu finden, der y bindet, also ist y ungebunden. (a) x U : P (x, y) y U : Q(x, y) (b) ( x U : y U : P (x, y)) Q(x, y) (c) x U : y U : z U : P (x) P (y) P (z) (d) ( x U : y U : z U : P (x) P (y)) P (z) (e) x U : y U : z U : P (x, y, z) Q(z) R(y) Aufgabe 20. (Skopus) Markieren Sie jeweils zu welchem definierendem Auftreten ein benutztendes Auftreten gehört. Sei U eine beliebige Menge und P, Q und R beliebige Prädikate. Zeichnen Sie zur Lösung der Aufgabe den entsprechenden Syntaxbaum des Ausdrucks. ( x U : y U : P (x, y) Q(x, y)) x U : R(x) Die Lösung lautet: ( x 1 U : y 1 U : P (x 1, y 1 ) Q(x 1, y 1 )) x 2 U : R(x 2 ) 8

9 x y x R(x) P (x, y) Q(x, y) Betrachten wir einmal die Bindung für das markierte x im Baum. Wir laufen nun wie in Aufgabe?? wieder im Baum nach oben, bis entweder nicht mehr weiterlaufen können (dann ist die Variable ungebunden) oder bis wir zum ersten Quantor kommen, der genau diese Variable bindet. Genau dieses bindende Auftreten gehöhrt nämlich zu dem benutzenden Auftreten, welches wir betrachten. Für x laufen wir also zu, von zu einem Quantor, der aber y und nicht x bindet, und von dort schließlich zu dem Quantor, der x bindet. Da wir vorher keinen anderen Quantor gefunden haben, der x bindet, gehört das benutztende Auftreten von x im Prädikat P zu diesem Quantor. (a) x U : ( x U : y U : z U : P (x) Q(y, z)) R(x) (b) (x, y, z) U U U : ( (x, y) U U : ( x U : P (x, z)) Q(x, y)) R(x, y, z) (c) (x, y, z) U U U : R(x, y, z) x U : y U : z U : P (x, y, z) (d) x U : P (x) x U : P (x, x) Aufgabe 21. (Bindungen) Kombinieren Sie die Arbeitsaufträge von?? und?? wie folgt: Denken Sie sich mindestens drei prädikatenlogische Ausdrücke aus. Tauschen Sie diese mit mindestens einem Ihrer Kommilitonen aus und verfahren Sie mit den neuen Ausdrücken so wie in den oben genannten Aufgaben. Aufgabe 22. (Ersetzungsoperator) Wenden Sie den Ersetzungsoperator an. Das Universum sei dabei die Menge der natürlichen Zahlen und P, Q und R beliebige Prädikate. Gegeben sei der Ausdruck (( x y : P (x, y)) x : P (x, y))[x := 5]. Hier hat der Ersetzungoperator keinen Effekt, da x nicht ungebunden vorkommt, dahingegen liefert (( x y : P (x, y)) x : P (x, y))[y := 5] den Ausdruck ( x y : P (x, y)) x : P (x, 5), da y im rechten Teilausdruck ungebunden vorkommt. Formal müssen [x := 5] auf, dann auf die beiden Operanden und schließlich auf jeden einzelnen Teilausdruck anwenden. Notieren Sie im Folgenden diese Schritte explizit. 9

10 (a) (( x : y : z : P (x, y, z) R(x)) Q(x, y, z))[x := 5] (b) (((R(x) P (x, y)) y : R(y))[y := 5])[x := 5] (c) (( w : x : y : P (w, x, y))[z := 3])[w := 3] (d) ((( x : P (x)) P (x))[x := 3])[x := 2] Aufgabe 23. (Negation prädikatenlogischer Ausdrücke) Negieren Sie die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke. Seien dazu P, Q und R beliebige Prädikate. 2 x : y : P (x) Q(y) Begründen Sie jeden Ihrer Schritte: ( x : y : P (x) Q(y)) Negation- x : ( y : P (x) Q(y)) Negation- x : y : (P (x) Q(y)) De Morgan x : y : P (x) Q(y) (a) x : y : P (x, y) z : Q(z) (b) x : y : z : P (x) Q(y, z) x : R(x) (c) x : y : P (x) P (y) (d) x : P (x) y : P (y) (e) x : y : z : P (x, y) Q(y, z) x : y : R(x, y) Aufgabe 24. (Wichtige Implikationen) (a) ( x U : A(x)) ( x U : A(x)) (b) ( x U : A(x) B(x)) ( x U : A(x)) ( x U : B(x)) (c) ( x U : A(x)) ( x U : B(x)) x U : A(x) B(x) (d) ( x U : A(x) B(x)) ( x U : A(x)) ( x U : B(x)) (e) ( x U : y U : P (x, y)) y U : x U : P (x, y) Die obenstehenden Implikationen sind alle wahr, ihre Umkehrungen jedoch nicht (d.h. wenn sie Prämisse und Konklusion austauschen). Geben Sie passende Gegenbeispiele an. Für A(x) := x = 2 über dem Universum N gilt: Es gibt eine Zahl, die 2, so dass A(x) wahr wird, aber die Aussage gilt nicht für alle n N, denn z.b. ist 3 2. Damit ist die Prämisse der Implikation wahr, die Konklusion jedoch falsch und die Implikation wird falsch. 2 Um die Schreibweise zu verkürzen, wird im Folgenden angenommen, dass alle auftretenden Variablen Elemente des Universums sind und daher der Teil U, wenn U das Universum ist, weggelassen. 10

11 Aufgabe 25. ( Es gibt genau eins!) Definieren Sie! (es existiert genau ein) als einen prädikatenlogischen Ausdruck. Aufgabe 26. ( Es gibt genau zwei ) Definieren Sie einen Operator mit der Semantik Es existieren genau zwei x im Universum, sodass... als einen prädikatenlogischen Ausdruck. Aufgabe 27. (Maximale Elemente von Beziehungen ausdrücken) Drücken Sie die Aussageform x ist König von mit prädikatenlogischen Formeln und dem Prädikat P (x, y) := x ist Untertan von y aus. Aufgabe 28. (Endliche Mengen) Betrachten Sie im Folgenden nur endliche Mengen. Wie können Sie dann für beliebige Mengen M und Prädikate P die Aussage x M : P (x) bzw. x M : P (x) nur mit aussagenlogischen Operatoren, also ohne Verwendung von Quantoren, darstellen? Können Sie mit Ihrer Darstellung die Negationgesetze prädikatenlogischer Ausdrücke intuitiv begründen? Funktioniert Ihre Konstruktion auch für unendliche Mengen M? Aufgabe 29. (Wichtige Äquivalenzen) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe?? und den Gesetzen der Aussagenlogik durch Umformungen die folgenden beiden Äquivalenzen auf endlichen Universen U. (a) x U : (A(x) B(x)) ( x U : A(x)) x U : B(x)) (b) x U : (A(x) B(x)) ( x U : A(x)) ( x U : B(x)) Aufgabe 30. (Prädikatenlogische Gesetze) Sei φ ein geschlossener prädikatenlogischer Ausdruck. Überlegen Sie sich logische Äquivalenzen in Verbindung mit und, sowie wie und. Erinnern Sie sich dabei auch an Aufgabe??. Sei P ein beliebiges Prädikat und U das Universum. Dann gilt: x U : P (x) φ ( x U : P (x)) φ Aufgabe 31. (Verträglichkeit von Konjunktion/Disjunktion mit All-/Existenzquantor) Betrachen Sie die Äquivalenzen aus Aufgabe??. Wenn sie durch und umgekehrt ersetzen, gelten die Äquivalenzen dann immer noch? Belegen Sie Ihre Behauptung. 11

12 Aufgabe 32. (Logik verallgemeinern) Können Sie sich noch weitere Operatoren vorstellen, die eine Logik brauchen könnte? Versuchen Sie eine der Prädikatenlogik ähnliche Logik mit mehr Werten als w und f zu definieren. 12

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