Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion"

Transkript

1 Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten neue Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Aber von was für Wahrheiten kann man auf seiner Reise durch die Mathematik eigentlich ausgehen? Solche grundlegenden Wahrheiten, von denen aus man dann neue Aussagen finden will, nennt man Axiome. Durch geeignete Wahl eines Axiomsystems und präzise Definitonen erhält man das Fundament, auf das man seine Reise aufbauen kann. Üblicherweise wird dieses durch die sogenannten Mengen gebildet. In diesem Vortrag wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, was eine Menge (im naiven Sinn) eigentlich ist und was für Möglichkeiten wir haben, aus schon vorhandenen Mengen neue zu basteln. Außerdem betrachten wir das konkrete Beispiel der Menge der natürlichen Zahlen und untersuchen eine Besonderheit dieser Menge, die uns das Prinzip der vollständigen Induktion liefert. Mengen Definition 1 (Cantor). Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Eine Menge ist nicht angeordnet. Bemerkung. Man spricht hier auch von naiver Mengenlehre. Es gibt aber auch einen strikten axiomatischen Zugang zur Mengenlehre. Üblicherweise wählt man heute das sogenannte ZF(C)- Axiomsystem, um über dieses Mengen widerspruchsfrei zu definieren. Für diesen Vortrag geben wir uns jedoch mit der naiven Definition zufrieden. Notation (Schreibweisen für Mengen). Sei M eine Menge. Man kann M als Aufzählung von Elementen notieren. Diese kann unendlich oder endlich sein: M = {x 1, x, x 3,... } oder M = {x 1, x 7, x 10 }. 1

2 Man kann M über eine charakterisierende Eigenschaft definieren: M = {x x erfüllt Eigenschaft E}. Ist m ein Element von M, d.h. tritt m in einer Aufzählung wie oben auf oder erfüllt die charakterisierende Eigenschaft, so schreiben wir m M. Ist m kein Element von M, so schreiben wir m M. Beispiel. M = {x N 3 < x < 7} = {4,, 6} Nach Cantor gilt auch M = {6,, 4, 4}, das versteckt sich hinter den Begriffen wohlunterschieden und nicht angeordnet. Bemerkung. Man kann Mengen eine sogenannte Kardinalität zuordnen. Auch diese hat eine formale Definition, in diesem Vortrag werden wir uns aber darauf beschränken, zu sagen, dass sie die Frage beantwortet: Wie viele Elemente enthält die Menge? Notation: #M oder M. Definition 3. Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält, d.h. eine Menge mit Kardinalität 0. Wir nennen sie die leere Menge und bezeichnen sie mit. Definition 4. Seien M und N Mengen. Es ist N eine Teilmenge von M, in Zeichen N M, falls n N : n M. Eine äquivalente Notation ist N M. Man kann auch schreiben M N bzw. M N und nennt M dann Obermenge von N. N ist eine echte Teilmenge von M (N M), falls n N : n M m M : m N. M und N heißen gleich, in Zeichen M = N, falls N M M N. Satz. Seine L, N, M Mengen mit L N und N M. Dann gilt L M. Beweis. Sei x L beliebig. Wegen L N gilt x N und wegen N M folgt x M. An dieser Stelle wollen wir aus zwei Mengen neue Mengen konstruieren. Dies funktioniert im Wesentlichen analog dazu, wie wir in den Vorträgen zu Logik neue Aussagen aus schon bekannten Aussagen konstruiert haben, und tatsächlich finden sich diese Operationen nun hier wieder. Definition 6. Sei M eine Menge und A, B M zwei Teilmengen. Wir definieren den Schnitt von A und B durch A B = {x M x A x B} und die Vereinigung von A und B durch A B = {x M x A x B}.

3 Das kartesische Produkt von A und B ist A B = {(a, b) a A, b B}. Zuletzt definieren wir das Komplement von A in M durch M \ A = {x M x A} Beispiel. Seien M = {1,, 3,..., 10}, A = {1,, 3, 4} und B = {1, 4, 7}. Dann sind A B = {1, 4} A B = {1,, 3, 4, 7} A B = {(1, 1), (1, 4), (1, 7), (, 1), (, 4), (, 7), (3, 1), (3, 4), (3, 7), (4, 1), (4, 4), (4, 7)} M \ A = {, 6, 7, 8, 9, 10} Zuletzt wollen wir noch eine weitere wichtige Menge aus einer gegebenen Menge M definieren. Definition 7. Die Potenzmenge von M ist die Menge aller Teilmengen von M: P(M) = {N N M}. Satz 8. Es gilt stets P(M) und M P(M). Satz 9. Sei M eine endliche Menge, d.h. M = n <. Dann gilt P(M) > M. Beweis. Schreibe M = {x 1, x,..., x n }. Dann gilt für alle i = 1,,... n: {x i } P(M). Es ist aber auch P(M), also P(M) n + 1 > n = M. 3 Die natürlichen Zahlen Definition 10. Eine Menge wird Menge der natürlichen Zahlen genannt und mit N bezeichnet, wenn sie die Peano-Axiome erfüllt: (P1) 1 N (P) n N n N, wobei wir n den Nachfolger von n nennen (P3) n N n 1 3

4 (P4) m, n N und m = n, so m = n (P) Ist M eine Menge, sodass 1 M und n N: (n M n M), so gilt M = N Es sind nun folgende Fragen zu klären, um das Axiomsystem zu untersuchen: 1. Existiert ein Objekt mit den geforderten Eigenschaften?. Ist das Objekt durch die vorliegenden Axiome eindeutig bestimmt? Wir geben hier nur die Idee für die Beantwortung der ersten Frage, da die meisten Leser noch nicht genügend wissen haben, um die mathematische Begründung beider Fragestellungen nachvollziehen zu können. Definition 11. Wir setzen usw. Dann ist N = {1,, 3,... }. 1 P( ) = { }, P(P( )) = {, { }}, 3 P (P(P( ))) = P ({, { }}) = {, { }, {{ }}, {, { }}} Wir können auf N eine Addition und Multiplikation definieren. Seien dazu n, m N. Definition 1. Setze n+1 n und n+m (n+m) ; und analog n 1 n und n m (n m)+n. Beispiel. Satz 13. Es ist N =. n + 3 = n + = (n + ) = (n + 1 ) = ((n + 1) ) = ((n ) ) n 3 = n = (n ) + n = (n 1 ) + n = ((n 1) + n) + n = n + n + n Beweis. Beweis durch Widerspruch. Angenommen N = m <. Dann existiert ein n 0 N, sodass n 0 maximal in N ist. Nach Konstruktion 11 ist dann auch P(n 0 ) N, aber nach Satz 9 gilt P(n 0 ) > n 0, im Widerspruch zur Maximalität von n 0. 4 Vollständige Induktion Aus den Peano-Axiomen kann man ein Beweisprinzip ableiten, welches sich vollständige Induktion nennt. Die Voraussetzung hierfür ist, dass wir eine Aussage für alle n N zeigen wollen. Man geht nach folgender Anleitung vor: 1. Induktionsanfang: Zeige die Aussage für n = 1.. Induktionsvoraussetzung: Gelte die Aussage für ein n N. 4

5 3. Induktionsschritt: Folgere aus der Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage auch für n + 1 gilt. Wieso gilt dann die Aussage für alle n N? Angenommen wir haben eine Aussage A, die für 1 N wahr ist, und es gelte: Wenn A für n wahr ist, so ist A auch für n + 1 wahr. Setzen wir dann M = {n N A ist wahr für n}, so gilt nach (P), dass M = N. Satz 14. Für alle n N gilt: k = 1 n (n + 1). Beweis. Induktionsanfang: Sei n = 1. Dann ist 1 k = 1 = 1 1 (1 + 1). Induktionsvoraussetzung: Es gelte n k = 1 n (n + 1) für ein n N. Induktionsschritt: Wir müssen nun zeigen, dass Es gilt: k = 1 (n + 1)(n + ). k = k + (n + 1) IV = 1 ( ) 1 n (n + 1) + (n + 1) = (n + 1) n + 1 = 1 (n + 1)(n + ). Satz 1. Es gilt für alle n N: (k 1) = n Beweis. Induktionsanfang: Sei n = 1. Dann gilt 1 (k 1) = 1 1 = 1 = 1. Induktionsvoraussetzung: Es gelte n (k 1) = n für ein n N. Induktionsschritt: Wir müssen zeigen, dass (k 1) = (n + 1).

6 Es gilt aber: (k 1) = (k 1) + (n + 1) 1 IV = n + n + 1 = (n + 1) Man kann die vollständige Induktion auch mit mehreren Vorgängern durchführen. Wir betrachten dazu die Fibonacci-Folge, die definiert ist durch f 1 1, f 1, f n f n 1 + f n. Seien Satz 16. Für alle n N gilt ϕ 1 + und ψ 1. f n = ϕn ψ n Beweis. Induktionsanfang: Sei n = 1. Dann gilt: Für n = gilt ϕ 1 ψ 1 = = 1 = f 1. ϕ ψ = = = 1 = f. Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für n 1 und n. Induktionsschluss: Wir müssen nun zeigen, dass f n = f n 1 + f n. f n 1 + f n IV = ϕ n 1 ψ n 1 + ϕn ψ n = 1 ( ϕ n 1 + ϕn ψ n 1 ψ n ) = 1 ( ϕ n (ϕ + 1) ψ n (ψ + 1) ) = 1 (ϕ n ψ n ) = f n. Wir haben im vorletzten Schritt verwendet, dass ϕ + 1 = ϕ und ψ + 1 = ψ. Dies kann jeder selbst nachrechnen. 6

Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14

Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14 Mengenlehre Mengenlehre Vorkurs Informatik WS 2013/14 30. September 2013 Mengen Mengen Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Denition 1 (Die Peanoschen Axiome). Es gibt eine Menge N und eine sogenannte Nachfolgefunktion S mit folgenden Eigenschaften.

Denition 1 (Die Peanoschen Axiome). Es gibt eine Menge N und eine sogenannte Nachfolgefunktion S mit folgenden Eigenschaften. In dieser Ausarbeitung handelt es sich es um die Menge der natürlichen Zahlen und deren Eigenschaften. In der Analysis werden häug zunächst die reellen Zahlen als vollständig geordneter Körper betrachtet

Mehr

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12

Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12 Mengenlehre Mengenlehre Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/12 10. Oktober 2011 Mengen Mengen Den Begriff Menge hat Cantor wie folgt beschrieben: Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen

Mehr

Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung, dass diese Titelfolie nicht entfernt wird.

Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung, dass diese Titelfolie nicht entfernt wird. Thomas Studer Relationale Datenbanken: Von den theoretischen Grundlagen zu Anwendungen mit PostgreSQL Springer, 2016 ISBN 978-3-662-46570-7 Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung,

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen

Mehr

Kapitel 1. Grundlegendes

Kapitel 1. Grundlegendes Kapitel 1 Grundlegendes Abschnitt 1.4 Vollständige Induktion Charakterisierung der natürlichen Zahlen Die Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen läßt sich wie folgt charakterisieren: 1. 0

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist

Mehr

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen . Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!

Mehr

Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule

Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule Berufsfeldbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Lisa Laudan Prof. Dr. Jürg Kramer Wintersemester 2014/2015 Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule 1.1

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 4: Wörter (und vollständige Induktion) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/29 Überblick Wörter Wörter Das leere Wort Mehr zu

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen

Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen Verständnisfragen 1. Was ist Mathematik? Mathematik ist eine Wissenschaft, die selbstgeschaffene, abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster hin untersucht.

Mehr

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 16. Oktober 2014 1 Einleitung Literatur Paul.R. Halmos, Naive Set Theory Ralf Schindler, Logische Grundlagen der Mathematik Peter J. Cameron,

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

Analysis I. Vorlesung 1. Mengen

Analysis I. Vorlesung 1. Mengen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 013/014 Analysis I Vorlesung 1 Mengen Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie. David Hilbert (186-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre 28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik

Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden

Mehr

b liegt zwischen a und c.

b liegt zwischen a und c. 2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =

Mehr

2. Symmetrische Gruppen

2. Symmetrische Gruppen 14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen

Mehr

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007 Vorlesung 2 Universität Münster 6. September 2007 Organisatorisches Meine Koordinaten: Sprechstunden: Di 13:30-14:30 Do 9:00-10:00 tbauer@uni-muenster.de Zimmer 504, Einsteinstr. 62 (Hochhaus) für alle

Mehr

Vorkurs Beweisführung

Vorkurs Beweisführung Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

Peano-Axiome und Peano-Strukturen

Peano-Axiome und Peano-Strukturen Peano-Axiome und Peano-Strukturen Filippo Leonardi 27. März 2012 1 Peano-Arithmetik Der Folgende Abschnitt beruht auf Abschnitt 3.3 in [Rau08] und benützt dieselbe Notation. In diesem Abschnitt arbeiten

Mehr

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 4 Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 Prof. Dr. Peter Koepke, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 7 Aufgabe 29 (8 Punkte). Für eine Menge M ist die Potenzmenge von M definiert als P(M) := {X X M},

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Große Mengen und Ultrafilter. 1 Große Mengen

Große Mengen und Ultrafilter. 1 Große Mengen Vortrag zum Seminar zur Analysis, 31.10.2012 Marcel Marnitz In diesem Vortrag wird das Konzept mathematischer Filter eingeführt. Sie werden in späteren Vorträgen zur Konstruktion der hyperreellen Zahlen

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Grundlagen. Kapitel Mengen

Grundlagen. Kapitel Mengen Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte

Mehr

Mengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge

Mengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge Mengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge Def. Seien A, B Mengen. Wir sagen, dass A höchstens gleichmächtig zu B ist, falls es eine injektive Abbildung f : A B gibt. Schreibweise: A B. Wir sagen,

Mehr

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen

Mehr

Kapitel 1.1. Aussagenlogik: Syntax. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1

Kapitel 1.1. Aussagenlogik: Syntax. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1 Kapitel 1.1 Aussagenlogik: Syntax Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1 Übersicht 1.1.1 Die Sprache der Aussagenlogik 1.1.2 Explizite vs. implizite Definitionen 1.1.3

Mehr

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik Wolter/Dahn: Analysis Individuell 3 Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik In diesem Abschnitt werden einige Grundbegriffe der Mengenlehre und grundlegende 1/0/0 Prinzipien der mathematischen

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2013/14 Inhalt Übungserklärung* Beweis durch Vollständige Induktion 2

Mehr

4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper

4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper 40 Andreas Gathmann 4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

7 Äquivalenzrelationen

7 Äquivalenzrelationen 71 7 Äquivalenzrelationen 7.1 Äquivalenzrelationen und Klassen Definition Eine Relation R auf einer Menge oder einem allgemeineren Objektbereich heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch

Mehr

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

2.1 Definitionen Sätze und Beweise Erklärungen zu den Definitionen... 15

2.1 Definitionen Sätze und Beweise Erklärungen zu den Definitionen... 15 Mengen Übersicht.1 Definitionen................................................. 11. Sätze und Beweise............................................ 14.3 Erklärungen zu den Definitionen...............................

Mehr

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten.

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. 2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. Die Theorie der schwarzen Steinchen haben wir jetzt halbwegs vertanden. Statt mit schwarzen Steinen wie die Griechen, wollen wir jetzt mit schwarzen

Mehr

Mathematik III. Vorlesung 61. Abzählbare Mengen

Mathematik III. Vorlesung 61. Abzählbare Mengen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 61 Abzählbare Mengen Wir erinnern daran, dass zwei Mengen M und N gleichmächtig heißen, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Kapitel 1.5 und 1.6. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik

Kapitel 1.5 und 1.6. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Kapitel 1.5 und 1.6 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 1 /

Mehr

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 12. November 2014 Darstellung natürlicher Zahlen durch Mengen 1. Wie können wir natürliche Zahlen durch Mengen darstellen? Idee 0 = und

Mehr

Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems

Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems 1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Wir wollen erklären, wie man natürliche Zahlen addiert und multipliziert und dabei nur den Begriff das Zählens verwenden.

Mehr

1 Mengen. 1.1 Definition

1 Mengen. 1.1 Definition 1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene

Mehr

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass

Mehr

Axiomatische Mengenlehre

Axiomatische Mengenlehre Axiomatische Mengenlehre Die Wahl von Axiomen für ein Gebiet ist nicht völlig beliebig. Zumeist steht im Hintergrund die Absicht, damit gewisse Theoreme beweisen zu können. Darüber hinaus sollte die Anzahl

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien: Noethersche Induktion 23.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesung 1. Grundlegende

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung

Mehr

Vollständigkeit der reellen Zahlen

Vollständigkeit der reellen Zahlen Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorlesung zur Didaktik der Analysis Oliver Passon Vollständigkeit von R 1 take home message I Wollte man mit Zahlen nur rechnen, könnte man mit den rationalen Zahlen

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 2. Beweistechniken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 18. Februar 2015 Beweis Beweis Ein Beweis leitet die Korrektheit einer mathematischen Aussage aus einer Menge von

Mehr

Vorkurs: Grundlagen für das Mathematikstudium. Caroline Uhler

Vorkurs: Grundlagen für das Mathematikstudium. Caroline Uhler Vorkurs: Grundlagen für das Mathematikstudium Caroline Uhler Inhaltsverzeichnis 1 Logische Grundbegriffe 3 2 Elementare Mengenlehre 5 3 Relationen und Abbildungen 8 3.1 Produkte......................................

Mehr

13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma

13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma 13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma Handout zur Funktionalanalysis I von H. Glöckner, 25.11.2008 Wichtige Teile der modernen Mathematik beruhen auf dem sogenannten Auswahlaxiom der Mengenlehre. Dieses

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch! Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen

Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Inhalt 1.1 1.1 Vollständige Induktion z.b. z.b. 1+ 1+ 2 + 3 +...... + n = n(n+1)/2 1.2 1.2 Die Die Peano-Axiome Ein Ein Axiomensystem für für die die natürlichen

Mehr

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch % 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!

Mehr

Kardinalzahlen. Bemerkung. Eine unendliche Kardinalzahl α muss eine Limesordinalzahl sein. (Beweis zur Übung)

Kardinalzahlen. Bemerkung. Eine unendliche Kardinalzahl α muss eine Limesordinalzahl sein. (Beweis zur Übung) Kardinalzahlen Kardinalzahlen sollen die Größe von Mengen messen, daher suchen wir eine Aussage der Form, dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet werden kann. Um eine brauchbare Theorie

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

(P3 ) Ist M D mit d M und S(M) M, dann gilt M = D.

(P3 ) Ist M D mit d M und S(M) M, dann gilt M = D. Kapitel 2 Die natürlichen Zahlen 2.1 Peano-Systeme Definition 2.1. Ein Tripel (D, S, d) mit den Eigenschaften (P1) d D, (P2) S : D D, (P3) S(n) d für alle n D, (P4) S ist injektiv, (P5) Ist M D mit d M

Mehr

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2 Mengen, Relationen, Funktionen Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

Mehr

Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität).

Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). Analysis 1, Woche 2 Reelle Zahlen 2.1 Anordnung Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). 2. Für jeden a, b K mit a b und b a gilt a = b (Antisymmetrie).

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 12 Wir haben bisher nur von Axiomensystemen im Sinne einer beliebigen Ausdrucksmenge Γ L S gesprochen, die im Allgemeinen

Mehr

Relationen und Partitionen

Relationen und Partitionen Relationen und Partitionen Ein Vortrag im Rahmen des mathematischen Vorkurses der Fachschaft MathPhys von Fabian Grünig Fragen, Anmerkungen und Korrekturen an fabian@mathphys.fsk.uni-heidelberg.de Inhaltsverzeichnis

Mehr

Logik I. Symbole, Terme, Formeln

Logik I. Symbole, Terme, Formeln Logik I Symbole, Terme, Formeln Wie jede geschriebene Sprache basiert die Prädikatenlogik erster Stufe auf einem Alphabet, welches aus den folgenden Symbolen besteht: (a) Variabeln wie zum Beispiel v 0,v

Mehr

Mengen mit unendlich vielen Elementen - sind die immer gleich groß?

Mengen mit unendlich vielen Elementen - sind die immer gleich groß? Mengen mit unendlich vielen Elementen - sind die immer gleich groß? Peter Lesky (Universität Stuttgart) Vortrag am ESG Kornwestheim 9. Oktober 2008 1 Mengen vergleichen 2 Mengen vergleichen N = {1,2,3,4,...}

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

3 Mengen und Abbildungen

3 Mengen und Abbildungen $Id: mengen.tex,v 1.2 2008/11/07 08:11:14 hk Exp hk $ 3 Mengen und Abbildungen 3.1 Mengen Eine Menge fasst eine Gesamtheit mathematischer Objekte zu einem neuen Objekt zusammen. Die klassische informelle

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Mengenlehre. Aufgaben mit Lösungen

Mengenlehre. Aufgaben mit Lösungen Mengenlehre Aufgaben mit Lösungen Inhaltsverzeichnis 1 Hilfsmittel 1 1. Zahlenmengen........................................ 1 2. Symbole........................................... 1 3. Intervalle: Schreibweise...................................

Mehr

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr