2. Grundlagen der Differentialrechnung

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1 . Kovergez vo Folge ud Reihe. Grudlage der Differetialrechug. Kovergez vo Folge ud Reihe I diesem Abschitt betrachte wir uedliche Folge reeller Zahle ( ) =,, 3,..., d.s. geau geomme Fuktioe f: Õ, f() =. = / :, /4, /9, /6,... = :,,,... ist eie kostate Folge. = 5, + = ( + 5/ )/ für =,,3,... ergibt 5, 3, /3,... ud ist eie rekursiv defiierte Folge. = + ( )d ist eie arithmetische Folge. = q ist eie geometrische Folge. Wir gehe u der Frage ach, welche Eigeschafte Folge besitze köe. (i) Folge köe mooto sei. Die Folge ( ) sei rekursiv defiiert gemäß =, + = ( + 4)/ für =,,3,..., d.h. (*) =, =, 3 = 3, 4 = 3 /, 5 = 3 3/4,... Diese Folge ist offesichtlich streg mooto wachsed. Allgemei heißt eie Folge ( ) streg mooto wachsed, we < +, streg mooto falled, we > +, mooto wachsed, we +, mooto falled, we + für alle Õ. I jedem Fall ist die Folge mooto. (ii) Folge köe beschräkt sei. Für die Glieder obiger Folge (*) gilt stets 4, die Folge ist (ach ute ud ach obe) beschräkt. Eie Folge heißt beschräkt, we es Zahle a, b gibt, sodass a b für alle Õ. Dabei ist a eie utere, b eie obere Schrake. (Jede beschräkte Folge besitzt i sogar eie kleiste obere Schrake (Supremum) ud eie größte utere Schrake (Ifimum).)

2 . Kovergez vo Folge ud Reihe (iii) Folge köe eie oder mehrere Häufugswerte besitze. Die Glieder der Folge (*) häufe sich bei 4, d.h., i jeder Umgebug vo 4, etwa jedem Itervall ]4 ε, 4 + ε[ mit ε > liege uedlich viele Folgeglieder. Die Folge /, /3, /3, /4, 3/4, /5, 4/5,..., /m, (m )/m,... higege hat zwei Häufugswerte, ämlich ud. Eie Folge ( ) besitzt de Häufugswert c, falls i jeder ε-umgebug vo c uedlich viele Glieder der Folge liege, d.h., falls für jedes ε > gilt c < ε für uedlich viele Õ. Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstraß besitzt jede beschräkte reelle Zahlefolge midestes eie Häufugswert. (iv) Folge köe eie Grezwert besitze. Die Folge (*) hat bei 4 ihre eizige Häufugswert, welcher Grezwert (oder Limes) geat wird: I jeder ε-umgebug vo 4 liege fast alle (d.s. alle bis auf edlich viele) Folgeglieder. Ma schreibt lim = 4. Eie Folge ( ) kovergiert gege de Grezwert c, falls i jeder ε-umgebug vo c fast alle Glieder der Folge liege, d.h., falls es zu jedem ε > eie Ide N(ε) gibt, sodass gilt Aderfalls ist die Folge ( ) diverget. c < ε für alle N(ε). Zur Bestimmug vo Grezwerte vo Folge sid achstehede Sätze ützlich:. Jede kovergete Folge ist beschräkt.. Eie mootoe Folge ist geau da koverget, we sie beschräkt ist (Hauptsatz für mootoe Folge). 3. Für Summe, Differeze, Produkte ud Quotiete kovergeter Folge gilt: lim =, lim y lim y lim( = y = y lim( y ) = y (falls y ± y ) = ± y, y )

3 . Kovergez vo Folge ud Reihe 3 = ( ) :,,,,... ist beschräkt ud besitzt zwei Häufugswerte. = / ist streg mooto falled, beschräkt ud daher koverget, lim =. = ist streg mooto wachsed, icht ach obe beschräkt ud daher auch icht koverget, jedoch bestimmt diverget mit lim =. = ( + )/(3 ) ist koverget mit dem Grezwert lim + + = lim = lim 3 3 = q, d.i. die geometrische Folge q, q, q 3,... erfüllt limq = für < q < für q = für q > = ( + /) hat de Grezwert e =, = hat de Grezwert. + = = Eie uedliche Reihe = = zu eier Folge ( ) ist folgedermaße erklärt: Bildet ma die Folge der Partialsumme s s s = = = ud eistiert der Grezwert lim s = s, so heißt die Reihe Σ koverget ud s ihre Summe, aderfalls ist die Reihe diverget. Beispiel: Für die uedliche geometrische Reihe + q + q +... gilt s = + q + q q = ( q )/( q) ud weiter lim s = /( q), falls q <, also = q = + q + q + = für q <. q Eie otwedige (aber keie hireichede) Bedigug für die Kovergez eier Reihe Σ ist lim =, de gilt für die Partialsummefolge lim s = s, so folgt lim = lim (s s ) = s s =. So ist z.b.

4 . Kovergez vo Folge ud Reihe 4 = =, = = ud tatsächlich lim / =. Adererseits ist die harmoische Reihe = = = 4 diverget ud deoch gilt lim / =, die Bedigug lim ist also icht ausreiched für die Kovergez der Reihe. Eie hireichede (aber keie otwedige) Bedigug für die Kovergez eier Reihe Σ ist ihre absolute Kovergez, d.h. die Kovergez vo Σ. So kovergiert z.b. mit der Reihe Σ / (siehe obe) automatisch auch die Reihe Adererseits ist die Reihe = ( ) = + ( ) = + = =. + = l 4 koverget (wie wir später sehe werde), obwohl die zugehörige Reihe der Absolutbeträge, ämlich die harmoische Reihe, divergiert. Aus der Kovergez eier Reihe folgt hier also icht dere absolute Kovergez. Ma spricht i diesem Fall vo bedigter Kovergez. Für uedliche Reihe ergibt sich damit folgede Eiteilug: uedliche Reihe kovergete Reihe divergete Reihe absolut kov. Reihe bedigt kov. Reihe Absolut kovergete Reihe köe wie edliche Summe beliebig umgeordet werde, ohe dass sich der Wert oder das Kovergezverhalte äder. Eie Umordug bedigt kovergeter Reihe ist jedoch icht zulässig. Zum Nachweis der absolute Kovergez (ud damit der Kovergez) eier Reihe Σ stehe folgede Kriterie zur Verfügug:. Gilt y für fast alle ud ist Σy koverget, da ist Σ absolut koverget (Majoratekriterium). +. Gilt q < für fast alle, da ist Σ absolut koverget (Quotietekriterium).

5 . Kovergez vo Folge ud Reihe 5 3. Ist Σ eie alterierede Reihe (d.i. eie Reihe, dere Glieder abwechseld positives ud egatives Vorzeiche besitze), sodass mooto gege kovergiert, da ist Σ koverget (Leibiz-Kriterium). Die Reihe e = + /! + /! +... ist ach dem Majoratekriterium koverget, de wege !! 3! 4! = + = 3 besitzt sie eie kovergete geometrische Reihe als Majorate. Die Epoetialreihe + /! + /! +... ist für alle koverget, de ach dem Quotietekriterium gilt + ( + )!! für jedes, falls geüged groß ist. Die Reihe = q < + + ± ist offesichtlich ach dem Leibiz-Kriterium koverget (ud besitzt de Wert l ). Beispiel aus der Fiazmathematik: Gegebe sei ei Kapital K, das jeweils am Ede eier Periode um eie gleichbleibede Betrag E erhöht. Da beträgt der Edwert K aller geleistete Zahluge ach Periode bei eiem Zissatz r pro Periode K = K ( + r) = K ( + r) = K ( + r) + E( + r) + E ( + ( + r) + + ( + r) ) ( + r) + E r + + E( + r) + E Bezieht ma sämtliche Zahluge auf de Begi des Zahlugszeitraumes, erhält ma daraus de Barwert B gemäß B K ( + r) ( + r) r( + r) = = K + E. I der Reterechug setzt ma K =, ud B ist da jeer Betrag, de ma jetzt aufbrige muss, um Periode hidurch eie Rete E zu erhalte. Für resultiert daraus der Barwert eier ewige Rete B = E/r, d.i. jeer Betrag, der heute otwedig ist, um i alle Zukuft eie Rete E zu bekomme.

6 . Kovergez vo Folge ud Reihe 6 So etspricht beispielsweise eiem Eimalerlag (Barwert) B 5 = 5.,- bei eiem jährliche Zissatz vo r = 4% eie 5-jährige jährliche Rete i folgeder Höhe: 5 ( + r),4 = E = E = 5. E = 44.97, r( + r),4,4 B. 5 Bei gleichem Barwert gilt für eie ewige Rete E = B r =.,-.. Stetige Fuktioe Betrachte wir eie Fuktio f: D, y = f(), wähle ei ud frage: Gege welche Wert strebt f(), we gege geht? Wir schreibe für diese Grezwert falls er eistiert lim f (). Beispiel: Ausgagspukt sei die i achsteheder Abbildug dargestellte Fuktio f: \{}, f() = si. si Aus dem Fuktiosgraphe ersehe wir lim =, d.h., der Fuktioswert f() kommt beliebig ahe, we geüged ahe bei liegt. Für jede Folge ( ) mit ud lim = si folgt lim f( ) =. Geauso ist lim =. Allgemei besitzt eie Fuktio f a der Stelle de Grezwert c, we für jede Folge ( ) mit gilt lim = lim f ( ) = c, oder aders ausgedrückt we es zu jedem ε > eie Zahl δ = δ(ε) > gibt, sodass gilt < δ f () c < ε für alle D,. Beide Grezwertdefiitioe sid gleichwertig ud wir schreibe i jedem Fall Aalog köe die Grezwerte lim f () = c, lim f () = oder rechtsseitige) Grezwerte erklärt werde. lim f () = c. oder auch eiseitige (d.s. liks-

7 . Stetige Fuktioe 7 () lim f () = c, () lim f () c, (3) lim f () = =, (4) lim f () eistiert icht Zur Berechug vo lim f() stehe folgede Möglichkeite zur Verfügug:. Ausützug der Defiitio des Grezwerts. Awedug vo Recheregel zur Bestimmug des Grezwerts vo Summe ud Produkt vo Fuktioe (etspreched de Grezwertregel für Folge) 3. Umformug des f() darstellede Ausdrucks 4. Etwicklug vo f() i eie Reihe 5. Regel vo de l Hospital (siehe später) 3 + lim(3 + ) 4 lim = = = + lim( + ) lim = lim = = si lim = lim ( ) = lim( ) = 3! 5! 3! 5! lim = = = + 9e lim( + 9e ) + Naturvorgäge äder sich im allgemeie icht sprughaft. Diese Vorstellug führt zum Kozept der Stetigkeit: Eie Fuktio f: D heißt a der Stelle D stetig, we lim f () = f ( ), d.h., we es zu jedem ε > eie Zahl δ = δ(ε) > gibt, sodass gilt < δ f () f ( ) < ε für alle D. Ferer heißt f stetig i D, we f i jedem Pukt vo D stetig ist. Eie stetige Fuktio f ädert also ihre Fuktioswert f() ur weig, we sich das Argumet weig ädert. Aschaulich sid stetige Fuktioe solche, dere Schaubild gezeichet werde ka, ohe de Zeichestift abzusetze. Beispiele für stetige Fuktioe

8 . Stetige Fuktioe 8 sid alle elemetare Fuktioe (auf de jeweilige Defiitiosbereiche). Summe, Produkte, Zusammesetzuge usw. vo stetige Fuktioe sid wieder stetig. Beispiele für Ustetigkeitsstelle sid etwa Sprugstelle vo Fuktioe. Stetige Fuktioe besitze achfolgede Eigeschafte:. Ist f: I = [a,b] stetig ud ist f(a) <, f(b) >, da eistiert midestes eie Nullstelle mit f( ) = (Nullstellesatz).. Ist f: I = [a,b] stetig, so immt f auf dem Itervall I eie kleiste Wert m = mi{f() I}, eie größte Wert M = ma{f() I} ud alle Werte i [m,m] midestes eimal a (Zwischewertsatz)..3 Differezierbarkeit vo Fuktioe Beispiel: Die Geschwidigkeit eies bewegte Körpers ka mittels seier Weg-Zeit- Fuktio s = s(t) folgedermaße beschriebe werde: Gibt ma ei Zeititervall [t,t ] vor, so beschreibt der Quotiet zurückgelegter Weg i [t, t] s(t) s(t v = = Läge des Zeititervalls[t, t ] t t ) s = t die mittlere Geschwidigkeit des Körpers i [t,t ]. Für t t erhält ma daraus v s(t) s(t ) s = lim = lim, t t t t t t d.i. die Mometageschwidigkeit zum Zeitpukt t. f( ) y Tagete P Sekate f( ) P y y = f() Sei u f: D, y = f(), eie beliebige reellwertige Fuktio. Das Äderugsverhalte vo f i eiem Itervall [, ] wird beschriebe durch die absolute Äderug des Fuktioswerts y = f( ) f( ) bzw. durch die relative Äderug des Fuktioswerts f () f ( ) y =.

9 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 9 Der zuletzt ageschriebee Ausdruck heißt Differezequotiet vo f im Itervall [, ] ud etspricht geometrisch dem Astieg der Sekate P P (siehe Abbildug). Die relative Äderug des Fuktioswerts a der Stelle erhält ma daraus durch Grezübergag f () f ( ) y lim = lim. Dieser Grezwert falls er überhaupt eistiert heißt Differetialquotiet oder Ableitug vo f a der Stelle ud etspricht geometrisch dem Astieg der Tagete i P. Uter der Ableitug (dem Differetialquotiete) eier Fuktio f: D im Pukt D versteht ma de Grezwert f '( ) f () f ( = lim. Eistiert dieser Grezwert, heißt f i differezierbar. Eistiert der Grezwert a alle Stelle D, so heißt f i D differezierbar ud die Fuktio f () die Ableitug vo f. df d Schreibweise: f ( ), y ( ), ( ), f ( ) d d Iterpretatioe des Differetialquotiete:, i der Geometrie: Tageteastieg f ( ) = ta(α). Die Gleichug der Tagete a die Kurve y = f() i (,y ) lautet da y y = f ( ) ( ). i der Physik: Geschwidigkeit ds/dt (Wegäderug pro Zeiteiheit), Stromstärke dq/dt (Ladugsäderug pro Zeiteiheit), Iduktiosspaug dφ/dt (zeitliche Äderug des magetische Flusses) i der Wirtschaft: K () Grezkoste (Zuwachs der Koste pro Megeeiheit i Abhägigkeit vo der produzierte Mege, Koste der letzte Eiheit ) dy d = Ist f() = c eie kostate Fuktio, da gilt für ihre Ableitug Für f() = + ist f '( f () f ( ) f '( ) = lim = lim ) = für alle. + ( + ) ( ) ) = lim = lim = lim ( + ) = 4 für alle, d.h. f () = 4. Für die Betragsfuktio f() = a der Stelle = gilt f () = =, = < f () f () > = =, < d.h., f () eistiert icht ud f() ist a der Stelle icht differezierbar (aber stetig).

10 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 3 Umgekehrt gilt jedoch: Jede i differezierbare Fuktio ist i auch stetig, de aus folgt durch Grezübergag f () f ( ) f () = f ( ) + ( ) lim f () = f ( ) + f '( ) = f ( ), d.h., f ist stetig i. Ableituge eiiger Grudfuktioe: f() f () Bemerkuge c Õ oder >, e e l() / > a a l(a) a > si() cos() cos() si() ta() /cos π/ + kπ (k Ÿ) arcta() /(+ ) Zur Berechug der Ableitug stehe weiters folgede Regel zur Verfügug:. (cf) = c f. (u + v) = u + v 3. (u v) = u v + uv (Produktregel) 4. (u/v) = (u v uv )/v (Quotieteregel) 5. F() = f(u()) F () = f (u) u (), kurz df/d = df/du du/d (Ketteregel) 6. y = f() streg mooto (f ) (y) = /f (), kurz d/dy = /(dy/d) (Ableitug der Umkehrfuktio) f() = l() f () = / f() = ( + )e f () = e + ( + )e = ( + )e f() = ta() = si()/cos() f () = (cos + si )/(cos ) = /cos = + ta f() = + f () = ()/( + ) = / + y = f() = arcta, d.h. = tay f () = dy/d = /(d/dy) = /( + ta y) = /( + )

11 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 3 Gesucht ist die Gleichug der Tagete a die Parabel y = im Pukt (,y ). Wo scheidet die Tagete die -Achse? Aus y = folgt y ( ) =, ud die Gleichug der Tagete i (,y = ) ist demach gegebe durch y = ( ) bzw. y =. Diese Tagete scheidet bei = / die -Achse (woraus sich eie eifache Tagetekostruktio für die Parabeltagete ergibt, siehe Abbildug). Nebe der erste Ableitug eier Fuktio f köe auch höhere Ableituge gebildet werde. Ist f: I eie differezierbare Fuktio, so eistiert (d/d)f() = f () für alle I, die erste Ableitug vo f. Ist die Fuktio f : I wieder differezierbar, so eistiert auch (d/d)f () = f () für alle I, die zweite Ableitug vo f. Wir schreibe d d y f (), y (), f () oder. d d Aalog sid die weitere Ableituge f (), f (4) (),..., allgemei die -te Ableitug f () () erklärt. f() = + f () = 4, f () = 4, f () = f (4) () =... = f() = si() f () = cos(), f () = si(), f () = cos(), f (4) () = si(), usw. f() = l() f () = /, f () = /, f () = / 3, f (4) () = 6/ 4, usw., allgemei ist f () () = ( ) ( )!/ (Beweis durch vollstädige Iduktio) Beim freie Fall ist die Weg-Zeit-Fuktio gegebe durch s(t) = (g/)t, die Geschwidigkeit durch v(t) = ds/dt = gt ud die Beschleuigug durch b(t) = d s/dt = g. Abschließed betrachte wir komplewertige Fuktioe eier reelle Variable ud dere Ableituge. Die Fuktio z:, z(t) = (t) + j y(t) ist eie komplewertige Fuktio der reelle Variable t ud beschreibt i.allg. eie Kurve (i Parameterdarstellug) i der Gaußsche Zahleebee.

12 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 3 z(t) = r(cos(t) + j si(t)) = r e jt, t < π Kreis im Ursprug mit Radius r z(t) = cos(mt) + j si(t), t < π, m, Õ Lissajou-Figur (siehe Abbildug) Grezwerte ud Ableituge für komplewertige Fuktioe sid jeweils für Real- ud Imagiärteil wie bei reellwertige Fuktioe erklärt: lim z(t) = lim (t) + jlim y(t) t t t t t t bzw. dz/dt = d/dt + j dy/dt, wobei dz/dt als Tagetevektor a die Kurve z(t) gedeutet werde ka. Ist z(t) die Bahkurve eier Bewegug, die mit der Zeit t durchlaufe wird, so gibt dz/dt die Mometageschwidigkeit bei dieser Bewegug a. Beispiel: Für de Eiheitskreis z(t) = e jt = cos(t) + j si(t) beispielsweise lautet die Ableitug bzw. der Tagetevektor dz/dt = si(t) + j cos(t).