Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker"

Transkript

1 MATHEMATISCHES INSTITUT WS 006/07 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Schottenloher Dr. S. Tappe Version 5.. Lösungen zur. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker vom Aufgabe. ( + Punkte) a) Es sei q R \{}. Beweisen Sie durch vollständige Induktion n q k = qn+ für alle n N. b) Folgern Sie aus Teil a), daß die Reihe für alle q R mit q < konvergiert und bestimmen Sie Ihren Summenwert. n=0 (Diese Aufgabe sollte einen sicheren Einstieg in die Klausur erleichtern. Die Formulierung stellt klar, dass ausnahmsweise die Hinweise auf entsprechende Resultate der Vorlesung nicht ausreichen, sondern dass die Überlegung hier vollständig dargelegt werden soll.) a) Für n =0ist n qk = q 0 =und qn+ q = q q =, also ist die Induktionsvoraussetzung erfüllt. Der Induktionsschritt n n +: Nach Definition des Summenzeichens ist nach Induktionsvoraussetzung also also und das war zu zeigen. n+ q k = n+ q k = qn+ q n n q k + q n+, + q n+ = qn+ n+ q k = qn+ + qn+ () Variante : Durch Induktion () n qk = q n+ zeigen. Variante : Die letzte Formel direkt zeigen: () n qk = n ()qk = n qk+ n qk = q n+ + n qk+ n k= qk =q n+. Die Induktion ist in den erlaubten,

2 MIA. Klausur Manipulationen der Summen enthalten. b) Für q < konvergiert (q n ) gegen 0, also auch qn+ Produkte von konvergenten Folgen. Die Partialsummen q = q q qn nach dem Satz über s n = qn+ = qn+ nach dem Satz über die Addition von kon- der Reihe konvergieren daher gegen 0 vergenten Folgen. q = q Aufgabe. (++Punkte) a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für ein geeignetes n 0 N gilt n >n 3 für alle n n 0. b) Welches ist das kleinste n 0 N mit dieser Eigenschaft? c) Gibt es noch ein n N, n<n 0 mit n >n 3? (In dieser Aufgabe sollte ein Induktionsbeweis mit einfacher Struktur geführt werden. Die ausführlichen Fragen sollten darauf aufmerksam machen, dass nicht einfach drauflos gerechnet werden kann, sondern dass der Induktionsbeginn erst einmal bestimmt werden muss.) Es bleibt nichts übrig als die ersten Fälle durchzurechnen, es sei denn man erinnert sich an 0 = 04. Damit bekommt man wegen 0 3 = 000 einen guten Kandidaten für den Induktionsbeginn und sieht vielleicht sofort 9 < => 0 3 =0, => 3 =, 0 = 04 > 0 3 = 000. Hier stimmt also die geforderte Aussage. Im Folgenden stimmt sie nicht: =4 < 3 =8, 3 =8 < 3 3 =7, 4 =6 < 4 3 =64, 5 =3 < 5 3 = 5, 6 =64 < 6 3 = 6, 7 = 8 < 7 3 = 343, 8 = 56 < 8 3 = 5, 9 = 5 < 9 3 = 79.

3 MIA. Klausur 3 Behauptung: Für n 0 gilt n >n 3. Beweis durch Induktion. Der Beginn für n =0steht schon oben. Induktionsschritt (Variante A) n n +: (n +) 3 = n 3 +3n +3n +, und nach Induktionsvoraussetzung n 3 < n, also n < n n,n<n. Also wegen 000 < 0 < n für n 0: n ( (n +) 3 < n +3 n n +3n n + n 000 =n ) < n = n+, 000 für n 0, da <. Wenn man verständlicherweise nicht sofort sieht, dass man die Induktionsvoraussetzung mehrfach einsetzen kann, wird man z.b. wie folgt vorgehen: Induktionsschritt (Variante B) n n +: n+ = n + n >n 3 + n 3 nach Induktionsvoraussetzung. (n +) 3 = n 3 +3n +3n +. Es bleibt also zu zeigen: n 3 3n +3n + Variante B: Induktion nach n ab 0: 0 3 = 000 > als Induktionsbeginn. (n +) 3 = n 3 +3n +3n +> 3n +3n +3n +nach Induktionsvoraussetzung und 3(n + ) +3(n +)+=3n +9n +7. Wegen 3n +3n +> 9n +7sogar für alle n 3 folgt die Beh. (Gegebenenfalls wird die letzte Ungleichung auch noch durch Induktion bewiesen.) Variante B: Statt die Ungleichung mit einer zweiten Induktion zu beweisen, ist auch gut, folgendermaßen zu argumentieren: Für n 5 ist n 3 5n und n n + n 3n +, wie man durch Vergleich der Summanden sofort sieht, also n 3 5n =3n +n 3n +3n +. Damit ist 0 die kleinste der natürlichen n 0 mit der gesuchten Eigenschaft, und als Weiteres wird sie von n =0und n =erfüllt. Aufgabe 3. ( Punkte) Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. a) Für alle x, y Q mit x<ygibt es ein z Z, so daß x<z<y. b) Für alle x, y Z mit x<ygibt es ein z Q, so daß x<z<y. c) Für alle x, y Q mit x<ygibt es ein z R \ Q, so daß x<z<y. d) Für alle x Q und alle y R \ Q mit x<ygibt es ein z R \ Q, so daß x<z<y. (Hintergrund dieser Aufgabe ist die Aussage, dass Q in R dicht liegt und Verwandtes.) a) Die Aussage ist falsch, weil es z.b. zu 0, Q keine ganze Zahl n mit 0 <n< gibt. b) Die Aussage ist richtig, denn z := x+y = x + y x = y y x erfüllt x<z<yund z Z. c) Die Aussage ist richtig, denn z.b. für z := x + y x ist x<z<yund es gilt z / Q. Sonst wäre y x =z xin Q und dann auch =( y x y x ) im Widerspruch zu / Q.

4 MIA. Klausur 4 d) Die Aussage ist richtig. Zu y x>0findet man n N mit n <y x (Eudoxos / Archimedes). Also ist z := x + n <x+ n <yund natürlich x<z. Wie in c) ist z nicht in Q. Bemerkung: c) und d) folgen auch unmittelbar aus der Tatsache, dass R\Q dicht ist in R, eine Aussage, die wir allerdings in der Vorlesung nicht explizit bewiesen haben. Der Beweis geht wie die Überlegung zu c) oben. Aufgabe 4. ( Punkte) Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden Mengen nach oben/unten beschränkt ist bzw. ein Maximum/Minimum hat. a) M a = {n N : n =(k )n für geeignetes k N }. b) M b = {x Q : x > 0}. c) M c = {x R : x < 0}. d) M d = {x R : x +x +> 0}. (Der Umgang mit dem Begriff der Beschränktheit wird hier geprüft.) a) M a ist nach unten beschränkt und hat ein Minimum: erfüllt =( ), also M a und ist Minimum von M a, weil M a N gilt. ist n =(k )n. M a ist nicht nach oben beschränkt, denn n k := k ist in M a : n k =(k )n k und die Folge (k ) ist unbeschränkt. Wir haben auch gezeigt: M a := {k + k N}. b) M b =], [ ], [. Daher ist M b weder nach oben noch nach unten beschränkt. c) M c =]0, [ ist beschränkt mit sup M c =, aber / M c, und mit inf M c =0, aber 0 / M c. Also hat M c weder Minimum noch Maximum. d) M d = R\{ } ist weder nach oben noch nach unten beschränkt. Aufgabe 5. (3 + 3 Punkte) Die Folge (a n ) n N sei gegeben durch a 0 := 3 und a n := n +( ) n n, n N. a) Berechnen Sie lim sup n a n und lim inf n a n. b) Bestimmen Sie sup M und inf M für M = {a n : n N}. (Der Umgang mit lim sup und lim inf wird hier abgefagt, wie auch die Bestimmung von Minimum und Maximum.) a) a n = 4n +n = und a n + n = < für n N. n + a n+ = 4n+ (n+) = 4n+ n = 4+ n und a n n+ = 4n+ n < 0 für n N.

5 MIA. Klausur 5 Also lim sup n a n =und lim inf n a n = b) In a) wurde bereits a n < für n N gezeigt, also sup M = a 0 =3wegen a =. Die Teilfolge (a n+ ) n N ist monoton wachsend: a n+ = 4n+ n = 4 n < 4 a (n+)+. Wegen a =, a 3 = 6 = 6 ist daher Daher inf M = 6. n+ = Aufgabe 6. (4 Punkte) Für eine Folge (a n ) n N mit a n < 0, n N gelte lim n a n =0. Zeigen Sie, daß es zu jedem Index n N ein m 0 N mit a n <a m für alle m m 0 gibt. (Diese Aufgabe erfordert die präzise Anwendung der Definition der Konvergenz einer Folge.) Für jedes n gilt mit ε := a n > 0: Es gibt ein m 0 N, so dass für alle m m 0 gilt: a m <ε, weil die Folge nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Offenbar ist daher a m < a n, also a n <a m, was zu zeigen war. Aufgabe 7. ( + Punkte) a) Formulieren Sie für eine Folge (a n ) n N das Monotoniekriterium. b) Sei (b n ) n N eine Folge mit 0 <b n < für alle n N. Zeigen Sie, daß die Folge (a n ) n N mit n a n := b k, n N konvergiert. (Die Aufgabe b) kann evtl. schwierig aussehen, daher sollte durch a) ein Hinweis gegeben werden, wie man am besten vorgeht. Leider wurde nicht zu selten Kriterium als Definition verstanden.) a) Jede monotone Folge in R ist bereits konvergent, wenn sie beschränkt ist. Richtig ist auch: Jede monotone Folge aus R ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. b) Es genügt nach a) zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist, denn sie ist sicherlich durch 0 nach unten beschränkt. a n+ = b n+ a n <a n wegen 0 <b n+ <, also ist (a n ) monoton fallend. Aufgabe 8. ( + + Punkte) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte. a) a n = n +3n +5 n +4n +7 b) a n = n+ n n (n +)! n n! (n +) n+

6 MIA. Klausur 6 c) a n = n n n (n +)(n +3) (Hier konnte elementares Basiswissen (Permanenzeigenschaften bei konvergenten Folgen) eingesetzt werden mit sofortigem Erfolg! Abgesehen von Rechenfehlern.) a) b) c) a n = + 3 n + 5 n + 4 n + 7 n = a n = a n = nn (n +) n = ( + n )n e n n n+ n+3 n n = Aufgabe 9. (6 Punkte) Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz. a n = n k=n k, n N (Diese Folge ist entgegen des ersten Eindrucks keine Folge von Partialsummen und daher spielt Reihenkonvergenz hier keine Rolle, Der Unterschied sollte beachtet werden, dann ist man mit dem Monotoniekriterium wieder schnell durch!) Die Folge konvergiert, weil sie durch 0 nach unten beschränkt ist und weil sie monoton fallend ist: und a n+ = n k=n+ k + n + + n + = a n n + n + + n + n + n + + n + =( n + n )+( n + n ) < 0. Aufgabe 0. (6 Punkte) Sei s die Summe der konvergenten Reihe n= n. Zeigen Sie: n= (n ) = 3 4 s. (Die Absicht dieser Aufgabe ist, das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen bzw. Reihen anzuwenden.)

7 MIA. Klausur 7 Die n-te Partialsumme der Reihe k= (k ) sei s n und s n := n k= k. Dann gilt s n = = s n + 4 s n. Also folgt aus dem Satz über Summen von konvergenten Reihen: s n + n k= (k) s n = s n 4 s n s + 4 s = 3 4 s. Aufgabe. (4 + 4 Punkte) Es seien K ein angeordneter Körper, e K und die Folge (x n ) n N rekursiv durch x 0 := e und x n+ := x n + K,n N definiert. Hierbei bezeichnet K das Einselement des Körpers K. a) Entscheiden und begründen Sie, ob die Menge M := {x n : n N} stets unbeschränkt ist. b) Beweisen Sie, daß M zusammen mit dem Anfangselement e und der Nachfolgerfunktion S : M M, definiert durch S(x n ):=x n+ für n N, ein System natürlicher Zahlen bildet. (Hier geht es um die Basiskonzepte wie System natürlicher Zahlen und archimedische Anordnung. Im wesentlichen ist diese Aufgabe ein Abfragen dieser Konzepte.) a) Sei erst einmal e =0. Dann ist M = N K und M ist nach unten beschränkt. Nach Satz ist N K genau dann unbeschränkt, wenn K archimedisch angeordnet ist. (Ist K archimedisch angeordnet, so wird jedes Element x K durch n N K übertroffen. D.h. N K ist unbeschränkt. Ist K nicht archimedisch angeordnet, so gibt es b K, das durch kein n N K übertroffen wird, d.h. N K ist durch b nach oben beschränkt.) Für allgemeines e K ist ψ : K K,x x + e, eine Abbildung mit ψ(n K )=M und der Eigenschaft: x<y ψ(x) <ψ(y). Also ist M genau dann beschränkt. wenn N K beschränkt. Die vollständige Behandlung von a) lautet also: M ist genau dann unbeschränkt, wenn K archimedisch angeordnet ist. b) Wir wissen aus der Vorlesung: N K ist ein System natürlicher Zahlen. Daher folgt die Behauptung unter Verwendung von ψ, denn ψ : N K M,x x + e ist eine Bijektion, mit ψ(0) = e = x 0,ψ(n +)=S(x n ). Diese letzte Eigenschaft folgt aus x n = n + e = ψ(n), und das ist klar. (Ausführlich durch Induktion : x 0 =0+e = e und x n+ = x n +=(n + e) += (n +)+e = ψ(n +)). Ein anderer Weg, die Aufgabe zu lösen, ist das direkte Nachprüfen der Axiome: P.: S : M M ist injektiv: S(x n )=S(x k ) bedeutet n = k, weil S(x n )=x n+. P.: e/ S(M) bedeutet e S(x n )=x n+ für alle n N. Die Anordnung besagt aber bereits e<x n+. Ganz ausführlich durch Induktion: e<e+=x = x 0+ und aus e<x n+,x n+ < x n+ +=x n+ ergibt sich e<x n+. P.3: Sei B M mit e B und S(B) B. Dann B = M, d.h. x n B für alle n N. Das sieht man durch Induktion: e = x 0 B nach Voraussetzung. Ist x n B so ist x n+ = S(x n ) S(B) B, also x n+ B.

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 0/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge

Mehr

Lösungen 4.Übungsblatt

Lösungen 4.Übungsblatt Karlsruher Institut für Technology (KIT) WS 2011/2012 Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Lösungen 4.Übungsblatt Aufgabe 13 (K) Bestimmen Sie sämtliche Häufungswerte

Mehr

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A) Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur

Mehr

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis

Mehr

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik

Mehr

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0 Serie 4. Aufgabe 336 Punkte) Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen durch a n : 0 n, n N b n : n n, n N Bestimmen Sie die Grenzwerte a bzw. b der Folgen a n ) n N bzw. b n ) n N. Geben Sie jeweils zu gegebenem

Mehr

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung ) Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl

Mehr

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:

Mehr

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff 47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.

Mehr

Mathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen

Mathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen Mathematik für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler Musterprüfung mit Lösungen. Sei T N. (a Unter welchen beiden Voraussetzungen an T garantiert das Induktionsaxiom (nach

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)

Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C) Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

Folgen und endliche Summen

Folgen und endliche Summen Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen

Mehr

Kapitel 5 KONVERGENZ

Kapitel 5 KONVERGENZ Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz

Mehr

Thema 3 Folgen, Grenzwerte

Thema 3 Folgen, Grenzwerte Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N

Mehr

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied.

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied. 5 5. Reihen Im Folgenden sei X K n oder ein beliebiger K-Vektorraum mit Norm. 5.. Definition. Es sei (x k ) Folge in X. DieFolge n s n x k n,,... der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen

Mehr

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z

Mehr

Nachklausur Analysis 1

Nachklausur Analysis 1 Nachklausur Analysis 1 Die Nachklausur Analysis 1 für Mathematiker, Wirtschaftsmathematiker und Lehrämtler findet als 90-minütige Klausur statt. Für Mathematiker und Wirtschaftsmathematiker ist es eine

Mehr

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt

Mehr

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten: Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)

Mehr

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen. 1 Der Körper der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen. 1 Der Körper der reellen Zahlen Vortrag zum Proseminar zur Analysis, 24.10.2012 Adrian Hauffe-Waschbüsch In diesem Vortrag werden die reellen Zahlen aus rationalen Cauchy-Folgen konstruiert. Dies dient zur Vorbereitung der späteren Vorträge,

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5 3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber

Mehr

b liegt zwischen a und c.

b liegt zwischen a und c. 2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

Kapitel 4 Folgen und Reihen

Kapitel 4 Folgen und Reihen Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt 4.1 4.1 Konvergenzkriterien für für Folgen 4.2 4.2 Reihen 4.3 4.3 Achilles und und die die Schildkröte Seite 2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl.

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige

Mehr

Das Newton Verfahren.

Das Newton Verfahren. Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren

Mehr

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1. Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

Kapitel 5 Reihen 196

Kapitel 5 Reihen 196 Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten

Mehr

Klausur zur Analysis I WS 01/02

Klausur zur Analysis I WS 01/02 Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) =

Mehr

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008 Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder

Mehr

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen

Mehr

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration. Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )

Mehr

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2013/14 Inhalt Übungserklärung* Beweis durch Vollständige Induktion 2

Mehr

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v 1.23 2013/12/02 12:07:25 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.1 Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung haben wir die Rechenregeln für Folgengrenzwerte hergeleitet. Dies sind

Mehr

Folgen und Reihen Folgen

Folgen und Reihen Folgen Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort

Mehr

MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel I. Natürliche Zahlen

MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel I. Natürliche Zahlen Version 12.12. Oktober 2006 MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07 Kurzfassung Martin Schottenloher Kapitel I. Natürliche Zahlen 1 Vollständige Induktion (1.1) Beweisprinzip der vollständigen

Mehr

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade. $Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also

Mehr

Brückenkurs Rechentechniken

Brückenkurs Rechentechniken Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige

Mehr

Die alternierende harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Reihe. Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = 2 + 3 4 + konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = 06934 für den Grenzwert

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien

Mehr

Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen

Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen 7. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen

Mehr

1 Folgen und Stetigkeit

1 Folgen und Stetigkeit 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt

Mehr

9 Metrische und normierte Räume

9 Metrische und normierte Räume 9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik

Mehr

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014. Arbeitsblatt 7. Übungsaufgaben. Aufgabe 7.1. Zeige, dass das Quadrieren

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014. Arbeitsblatt 7. Übungsaufgaben. Aufgabe 7.1. Zeige, dass das Quadrieren Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Arbeitsblatt 7 Übungsaufgaben Aufgabe 7.1. Zeige, dass das Quadrieren R 0 R 0, x x 2, eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die

Mehr

Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38

Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder

Mehr

Übungen Analysis I WS 03/04

Übungen Analysis I WS 03/04 Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +. Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder

Mehr

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit 10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge

Mehr

Kapitel 4. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b

Kapitel 4. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b Kapitel 4. Folgen 4.1. Körper der reellen Zahlen Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: Q = { a b : a, b Z, b 0}. Die natürliche Ordnung auf Q ist eine totale Ordnung. Überdies gilt folgendes

Mehr

Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Natürliche, ganze und rationale Zahlen Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!)

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

= Ermitteln Sie die Anzahl n der Summanden. 7 BE 3. Die Quadratpflanze

= Ermitteln Sie die Anzahl n der Summanden. 7 BE 3. Die Quadratpflanze ml 8.odt 22.0.07 Klausur /I Thema: Zahlenfolgen und Reihen. Schreiben sie die Summen unter Verwendung des Summenzeichens. a) + 2 + 3 + 4 +... + 00 b) + 2 + 4 + 8 +... + 2 n A Name: c) 2 2 3 3 99... 5 BE

Mehr

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014 Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen

Mehr

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen

Mehr

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht ANALYSIS I FÜR TPH WS 206/7 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Untersuchung von Reihen mittels Konvergenzkriterien Aufgabe 2: Konvergenz und Berechnung von Reihen I Aufgabe 3: ( )

Mehr

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr