Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

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1 Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden

2 Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man auch a n oder ähnlich, die Folge wird dann als (a n n N) notiert, und das wird abgekürzt mit (a n ). Die a i nennt man die Folgenglieder.

3 Beispiele f (n) := a n := n 2,, 4, 9, 6,... f (n) := a n := n, {, 2, 3, 4,... n ist ungerade f (n) := a n :=, 0,, 0, n ist gerade. Die Definitionen gelten jeweils für alle n N. Natürlich kann man die Definition von Folge so erweitern, dass auch erlaubt ist, usw. a 0, a, a 2,...

4 Rekursiv definierte Folgen Statt der expliziten Definition kann man Folgen auch durch rekursive Bildungsgesetze angeben. Dazu zwei Beispiele: Durch f 0 := f :=, f n+2 := f n+ + f n für n 0 wird die berühmte Folge,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89,... der Fibonacci-Zahlen erklärt.

5 Rekursiv definierte Folgen 2 Für jede natürliche Zahl m erhält man eine Folge durch a 0 := m und { a n /2 falls a n gerade a n+ := 3a n + sonst. Für a 0 := 7 ergibt sich die Folge 7, 52, 26, 3, 40, 20, 0, 5, 6, 8, 4, 2,, 4, 2,, 4, 2,,... Es ist bis heute unbekannt, ob diese Folgen für jeden Anfangswert die Zahl enthalten ( Collatz Problem ).

6 Monoton Man nennt eine Folge (a n ) monoton wachsend, wenn für alle n N a n a n+ gilt. Gilt für kein n N das Gleichheitszeichen, dann nennen wir die Folge streng monoton wachsend. Entsprechend wird definiert, wann eine Folge (streng) monoton fallend ist.

7 Beispiele Die Folge 0.9, 0.99, 0.999,... ist streng monoton wachsend. Die Folge a n := n ist streng monoton fallend. Die Folge a n := q n ist streng monoton fallend, falls 0 < q <, denn es gilt q n+ = q q n < q n. Die Folge a n := n q ist monoton für alle q >. Es ist = n+ q = q a n n q a n+ n+ q n = q n(n+).

8 Beschränkt Eine Folge (a n ) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl B gibt mit a n B für alle n N. Entsprechend wird definiert, wann eine Folge nach unten beschränkt ist. Diese Sprechweisen sind Spezialfälle der bereits eingeführten Sprechweisen für geordnete Mengen. Ist eine Folge reeller Zahlen nach oben beschränkt, dann hat sie auch eine kleinste obere Schranke, ihr Supremum. Dual nennt man die größte untere Schranke (falls es eine solche gibt) das Infimum.

9 Fast alle Fast alle bedeutet in der Mathematik: alle, bis auf endlich viele. Man sagt also, dass fast alle Glieder einer Folge (a n ) eine bestimmte Eigenschaft haben, wenn nur endlich viele Folgenglieder diese Eigenschaft nicht haben. Gleichbedeutend dazu ist, dass ab einem genügend großen Index N alle Folgenglieder a n, n > N diese Eigenschaft haben.

10 Konvergenz Wir nennen eine Zahlenfolge (a n ) konvergent mit dem Grenzwert a, wenn sich für jeden Abstand ɛ > 0 fast alle Folgenglieder um weniger als ɛ von a unterscheiden. Man sagt dann, dass die Folge gegen a konvergiert und schreibt dafür a n = a. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, ist eine Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, ist divergent.

11 Monoton, beschränkt, konvergent Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede monotone beschränkte Folge ist konvergent. Sind (a n ), (b n ) konvergente Folgen mit a n := a = b n, und ist (c n ) eine Folge mit der Eigenschaft, dass für jedes n N a n < c n < b n oder b n < c n < a n gilt, dann ist auch (c n ) konvergent mit dem selben Grenzwert a.

12 Man schreibt a n =, falls für jede natürliche Zahl N gilt, dass fast alle Folgenglieder größer als N sind. Man beachte, dass eine Folge mit a n = divergiert. Folgen mit werden analog definiert. a n =

13 Limes Sätze Sind (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b, dann sind Summe, Differenz, Produkt und (sofern n b n 0, b 0) Quotient dieser Folgen ebenfalls konvergent: (a n + b n ) = a n + b n (a n b n ) = a n b n (a n b n ) = a n b n ( a n ) = a n b n b n (c a n) = c a n.

14 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

15 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

16 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

17 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

18 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

19 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

20 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

21 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

22 Beispiele Konvergent. n 2 2 3n 4n 2 = 2 n 2 3 n 4 = 2 n 2 3 n 4 = 4 2 5n 2 + 2n 3 5 n n 2 = + 2 n 3 + 0n n + 0 n 2 = Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht.

23 Beispiel: a n+ := q a n + c Wir untersuchen die Folge a n+ := q a n + c für einen Anfangswert a 0 und finden a = q a 0 + c a 2 = q 2 a 0 + q c + c a 3 = q 3 a 0 + q 2 c + q c + c. a n+ = q n+ a 0 + c ( + q + q q n ) = q n+ a 0 + c qn+ q

24 Konvergenz von a n+ := q a n + c Die Folge a n+ := q a n + c konvergiert für q < gegen den Grenzwert c q.

25 Sauerteigbrot Zur Teigbereitung für das Brotbacken verwenden Amateure statt des Sauerteiges gern einen Levain. Darunter versteht man Brotteig, der von einem früheren Backen übrig geblieben ist. Um Wirkung zu entfalten, sollte Teig etwa 20% mindestens zwei Tage alten Levain enthalten. Unser Amateur bereitet täglich einen Teig von 500g, fügt diesem die Hälfte seines Levain Vorrates zu, vermischt, nimmt 3 vom Teig ab und ergänzt damit den Levain. Benutzt er genügend viel alten Levain?

26 Antworten () Es bezeichne L n die Levainmenge am n-ten Tag. Man hat L n+ = 2 L n + 3 (500g + 2 L n), also L n+ = 2 3 L n g. Also: L n+ = q L n + c mit q = 2 3 und c = 3 500g. Die Levainmenge geht also langfristig gegen 500g.

27 Antworten () Es bezeichne L n die Levainmenge am n-ten Tag. Man hat L n+ = 2 L n + 3 (500g + 2 L n), also L n+ = 2 3 L n g. Also: L n+ = q L n + c mit q = 2 3 und c = 3 500g. Die Levainmenge geht also langfristig gegen 500g.

28 Antworten (2) Der Anteil am Levain, der älter als ein Tag ist, geht gegen 2 3. Begründung: Die Hälfte des Levains verbleibt jeweils im Vorrat. Von der anderen Hälfte kehrt ein Drittel in den Vorrat zurück. Da die Vorratmenge konvergiert (gegen 500g), enthält der Levain etwa 2 3 alten Teig. Aus dem Levain-Vorrat von etwa 500g werden jeweils die Hälfte zum Teig gegeben. 2 3 davon, also ca. 67g, sind alter Levain. In 750g Teig sind also ca. 67g alter Levain, das sind ca. 22%.

29 Antworten (2) Der Anteil am Levain, der älter als ein Tag ist, geht gegen 2 3. Begründung: Die Hälfte des Levains verbleibt jeweils im Vorrat. Von der anderen Hälfte kehrt ein Drittel in den Vorrat zurück. Da die Vorratmenge konvergiert (gegen 500g), enthält der Levain etwa 2 3 alten Teig. Aus dem Levain-Vorrat von etwa 500g werden jeweils die Hälfte zum Teig gegeben. 2 3 davon, also ca. 67g, sind alter Levain. In 750g Teig sind also ca. 67g alter Levain, das sind ca. 22%.

30 Reihen Als unendliche Reihe über der Folge (a n ) bezeichnet man den Ausdruck a n = a + a 2 + a n= Die Reihe steht für die Folge (s n ) der Partialsummen s := a s 2 := a + a 2 s 3 := a + a 2 + a s n := a + a 2 + a a n

31 Wert einer Reihe Die Reihe n= a n konvergiert oder divergiert je nachdem, ob die Folge der Partialsummen konvergiert oder divergiert. Der Wert oder die Summe einer konvergenten Reihe ist der Grenzwert ihrer Partialsummenfolge. Der Summationsindex n durchläuft die natürlichen Zahlen. Das kann man natürlich wieder verallgemeinern; wir lassen ohne weiteres auch Reihen der Form oder ähnlich zu. n=0 a n

32 Beispiel Die Reihe n=0 hat als n-te Partialsumme 2 n = s n = ( 2 )2 + ( 2 ) ( 2 )n, also s n = 2 2 n. Deshalb konvergiert die Reihe. Ihre Summe ist 2.

33 Geometrische Reihe Die Reihen c q n = c + cq + cq 2 + cq n=0 (mit c 0) werden die geometrische Reihen genannt. Die Reihe im vorigen Beispiel ist eine geometrische Reihe mit c = und q = 2. Als n-te Partialsumme erhält man für q ( ) q n+ s n = c. q

34 Konvergenz der geometrischen Reihe Die geometrische Reihe c q n = c + cq + cq 2 + cq n=0 konvergiert zur Summe falls q <. c q, Sie divergiert für q.

35 Ein Divergenzkriterium Eine Reihe a n kann nur dann konvergieren, wenn die Folge (a n ) eine Nullfolge ist. Also: Wenn a n nicht existiert oder existiert, aber ungleich Null ist, dann divergiert die Reihe a n. n=

36 Beispiel zur Divergenz Die Reihe divergiert, denn n= n n + = a n n = n + = + n = 0.

37 Hinreichend, nicht notwendig! Die Reihe n= n = divergiert, obwohl die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist. Das Divergenzkriterium ist also hinreichend, aber nicht notwendig für Divergenz.

38 Die harmonische Reihe Die harmonische Reihe divergiert. n= Allgemeiner gilt: Die Reihe n= n = n k = + 2 k + 3 k + 4 k +... divergiert für k und konvergiert für alle k >.

39 Eine alternierende Reihe Die Reihe ( ) n+ n= n = konvergiert, denn ( ) n+ n= n = = ( 2 ) + ( 3 4 ) + ( 5 6 ) +... = = n= (2n )2n

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