Tutorium Mathematik I, M Lösungen

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1 Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) ( 2 +1) ( 2 +3) (g) (h) (!) 2 + ()! (i) (!) 2 +(()!) 2 (3)! Lösug: Damit eie Reihe kovergiert, ist es otwedig, dass die Summade eie Nullfolge bilde. Um dies zu erkee, ist es hilfreich, damit vertraut zu sei, wie schell bestimmte Ausdrücke wachse. Hierfür gelte folgede Faustregel: Polyome wachse umso scheller, je größer die höchste Potez ist. -te Poteze vo Kostate wachse scheller als Polyome. Formell heißt dies: Teilt ma ei Polyom durch eie -te Potez, kovergiert dieser Quotiet gege Null. Die mit * markierte Aufgabe wurde vom Vortragede präsetiert, die restliche Aufgabe ware vo de Studierede zu bearbeite. 1

2 Fakultäte wachse scheller als -te Poteze vo Kostate. wächst scheller als! aber lagsamer als ()!. Ahad dieser Faustregel ka ma teilweise bereits erkee, ob eie Reihe kovergiere ka, beziehugsweise welche Größeordug eie mögliche Majorate oder Miorate habe sollte. Bei der Auswahl, welches Kriterium auf welche Reihe azuwede ist, ka ma i der folgede Weise vorgehe: 1. Bei alterierede Vorzeiche auf Leibiz-Kriterium utersuche. Bei der Reihe i Teil (a) ka ma zum Beispiel zeige, dass die Beträge eie mootoe Nullfolge bilde. Damit liefert das Leibiz-Kriterium die Kovergez der Reihe. 2. Bestehe die Summade ausschließlich aus -te Poteze, ist das Wurzelkriterium agebracht. I Teil (b) sid ur Poteze vorhade, ma betrachtet daher die -te Wurzel aus dem -te Summade. Durch Umforme zeigt ma, dass er gege 1 kovergiert, was kleier als 1 ist. Somit sagt us das e Wurzelkriterium, dass die Reihe kovergiert. 3. Trete i de Summade Fakultäte auf (icht ubedigt ausschließlich), sollte ma sich am Quotietekriterium versuche. Der Quotiet i Teil (c) kovergiert gege 10, was kleier 1 ist. Somit 27 ist die Reihe koverget.. Bestehe die Summade ausschließlich aus Polyome ud Wurzel, sollte ma das Majoratekriterium oder Mioratekriterium wähle. Hierzu ist es wichtig, zuächst eimal die Größeordug der Summade abzuschätze. I Teil (d) habe wir ei quadratisches Polyom im Zähler ud ei kubisches Polyom im Neer, der Quotiet wird sich daher i etwa wie 1 verhalte. Demetspreched ist die harmoische Reihe ei Kadidat für eie Miorate. Ma versucht daher, de Neer durch ei Vielfaches vo mal de Zähler ach obe abzuschätze. I diesem Fall ist icht schwer zu zeige, dass mal Zähler größer als der Neer 2 ist. Somit ist jeder Summad größer als 2 ud 2 eie divergete Miorate. I Teil (e) ist die größte Potez uter der Wurzel 3, die Größeordug wird also 1 betrage, was eie kovergete Reihe ergibt. Ma schätzt 3/2 2

3 hier also de Neer ach ute durch 3 ab ud erhält 1 kovergete Majorate. 3/2 als 5. Komme sowohl Polyome als auch -te Poteze vor, ka ma wie im vorherige Schritt das Majorate-/Mioratekriterium awede. Das Quotietekriterium ist auch möglich, meist jedoch die kompliziertere Variate. I Teil (f) sehe wir etwa, dass die Polyome im Zähler ud Neer beide quadratisch sid. Ihr Quotiet kovergiert gege de Quotiete ihrer Koeffiziete vor 2, also gege 2. Für großes ist ihr Quotiet also immer kleier als 3 ud wir köe die Summade durch 3 ach 3 obe abschätze. Somit habe wir i 3 eie kovergete Majorate 3 gefude. 6. Grudsätzlich gilt: Steht im Neer eie Summe ud wir wolle Kovergez beweise, schätze wir de Neer ach ute ab. Wolle wir Divergez zeige, wähle wir eie Abschätzug ach obe. I Teil (g) sehe wir, dass die Größeordug 3 beträgt ud die Reihe kovergiere sollte. Also wolle wir de Neer ach ute abschätze. Hierfür ehme wir de größere Term 3 ud wähle ih als utere Schrake. Daach gehe wir wie im folgede Schritt vor. 7. Falls die Summade selbst Summe vo Ausdrücke sid (zum Beispiel im Zähler eie Summe vo Poteze ud Fakultäte steht), köe wir versuche, die Reihe aufzusplitte ud die eizele Teile ach de obige Kriterie zu behadel. Kovergiere die eizele Reihe (wie i Teil (g) ud (h)), kovergiert auch die gesamte Reihe. Erhalte wir eie divergierte Reihe ud alle adere kovergiere (wie i Teil (i)), da divergiert die gesamte Reihe. Achtug: Erhalte wir zwei oder mehr divergete Reihe, war usere Aufteilug icht erfolgreich ud wir köe auf diese Art keie Aussage zur Kovergez treffe. Aufgabe 2. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) x (+( 2) ) (b) 2 ( 2 +) 3 ( 2 3) (c) 5 2 (+3)! i Ahägigkeit vo x 3

4 (d) ( 1)+1 si( 1 ) (e) (f) 7 + 2! (g)!+()! +1 (!) 2 (h) 2 +1 Lösug: (a) Hier bietet sich das Wurzelkriterium a. Als -te Wurzel erhalte wir, was für jedes x gege 0 kovergiert. Also ist die x +( 2) Reihe für alle x koverget. (b) Hier ka ma zum Beispiel das Majoratekriterium awede. Die -te Poteze sid der überwiegede Faktor im Summade, wir versuche daher, die etsprechede geometrische Reihe als Majorate zu verwede. Dafür müsse wir 2 + ach obe abschätze. Da dieser 2 3 Bruch gege 1 kovergiert, köe wir ih (für hireiched großes ) durch 2 abschätze ud erhalte 2 ( 2 3) als kovergete Majorate. (c) Hier verwede wir das Quotietekriterium ud sehe leicht, dass der Quotiet gege 0 kovergiert, also die Reihe koverget ist. (d) Aufgrud der wechselde Vorzeiche ist das Leibiz-Kriterium agebracht. Mit 1 geht auch si( 1 ) mooto gege 0, weshalb die Reihe kovergiert. (e) Ahad der höchste Poteze im Zähler ud Neer sehe wir, dass sich die Summade wie 1 verhalte. Es ist sogar leicht zu sehe, dass die Summade größer als 1 sid, weshalb 1 eie divergete Miorate ist. (f) Hier müsse wir, bevor wir eies der Kriterie awede, die Reihe i zwei Teile aufspalte. Für de erste Teil zeigt das Quotietekriterium leicht die Kovergez, für de zweite Teil folgt aber Divergez (der Quotiet ist hier +1, was diverget ist). Also ist die gesamte Reihe +1 diverget. (g) Auch hier müsse wir zuerst die Reihe aufspalte. Für de erste Teil folgt die Kovergez leicht, de 1 ist kleier als 1, weshalb die! geometrische Reihe eie Majorate ist. Für de zweite Teil bietet sich das Quotietekriterium a. Hierbei erhalte wir eie Quotiete,

5 der größer als 1 ist, weshalb dieser Teil (ud daher die gesamte Reihe) divergiert. (h) Die Größteordug der Summade ist, wir versuche daher, eie etsprechede Majorate zu zeige. 2 ka icht selbst als 2 Majorate diee, weil ihre Summade kleier als die der gegebee Reihe sid. Allerdigs ist kleier als, also köe wir die 2 +1 ( 1) 2 Reihe ach Verschiebe des Idexes als Majorate verwede. 2 Alterativ ka ma auch zeige, dass 3 2 eie Majorate ist. 5

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