Satz von Taylor Taylorreihen

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1 Satz von Taylor Taylorreihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

2 Tangente als Näherung Weil sich anschaulich die Tangente anschmiegt, ist die Tangentenfunktion p 1 (x) eine Näherung für f (x): f (x) p 1 (x) für x a.

3 sin x x für kleine x Beispielsweise ist für f (x) := sin x die Tangente an der Stelle a := 0 die Winkelhalbierende und man hat folglich p 1 (x) = x sin x x für kleine x. Besonders raffiniert sind diese Näherungsformeln nicht. Für die Cosinusfunktion erhält man beispielsweise mit der selben Argumentation cos x 1 für kleine x.

4 Fehlerbetrachtung Eine Näherungsformel ist auch wenig wert, wenn man nichts über den Fehler weiß. Wir leiten deshalb eine Abschätzung her. Dazu betrachten wir eine Stelle b, wobei wir a < b voraussetzen. Die Argumentation für a > b verläuft völlig analog. Wenn a b gilt, ist f (b) p 1 (b). Bezeichnen wir den Fehler ( Rest ), der dabei gemacht wird mit R 1 (b), dann haben wir ausführlicher also f (b) = p 1 (b) + R 1 (b), f (b) = f (a) + f (a)(b a) + R 1 (b).

5 Restgliedabschätzung Um etwas über R 1 (b) herauszubekommen, erweist sich folgender Ansatz als erfolgreich: wir führen eine neue Zahl k ein, die durch R 1 (b) = k (b a) 2 bestimmt ist und definieren dann eine neue Funktion g(x) durch g(x) := f (x) + f (x)(b x) + k(b x) 2. Es ist nicht schwierig, diese Funktion abzuleiten, man muss allerdings voraussetzen, dass die zweite Ableitung von f (x) existiert.

6 g (x) g (x) = f (x) f (x) + f (x)(b x) 2k(b x) = [ f (x) 2k ] (b x). Durch Einsetzen findet man, dass g(a) = g(b) (= f (b)) gilt. Nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung existiert deshalb eine Zahl c mit a < c < b und g (c) = g(b) b(a) b a = 0.

7 Ergebnis der Abschätzung Das Ergebnis ist also folgendes: Es gibt eine Zahl c zwischen a und b, für die gilt. R 1 (b) = 1 2 f (c)(b a) 2 Nun wissen wir etwas über R 1 (b), aber es erscheint schwierig, diese Information auszunutzen, denn man hat ja keine Information über die genaue Lage der Stelle c.

8 Oft genügt es jedoch, einfach den schlechtesten aller in Frage kommenden Werte zu nehmen: Kennt man eine Schranke M, so dass f (x) M für alle x zwischen a und b gilt, dann ist sicher R 1 (b) 1 2 M(b a)2. Dies kann man in einen Lehrsatz gießen.

9 Satz über die Approximation Satz: Wenn f (x) in einer Umgebung U von a existiert, dann gilt für jedes x U f (x) = f (a) + f (a)(x a) + R 1 (x), wobei R 1 (x) = 1 2 f (c)(x a) 2 für eine Zahl c zwischen a und x ist. Ist außerdem f (x) M für alle x U, dann gilt auch für alle x U. R 1 (x) 1 M(x a)2 2

10 Satz über die Approximation Satz: Wenn f (x) in einer Umgebung U von a existiert, dann gilt für jedes x U f (x) = f (a) + f (a)(x a) + R 1 (x), wobei R 1 (x) = 1 2 f (c)(x a) 2 für eine Zahl c zwischen a und x ist. Ist außerdem f (x) M für alle x U, dann gilt auch für alle x U. R 1 (x) 1 M(x a)2 2

11 Anwendungsbeispiel (1) Damit können wir nun im Einzelfall eine Abschätzung angeben, was wir am Beispiel der Näherung sin demonstrieren: In diesem Fall ist f (x) = sin x, a = 0, p 1 (x) = x. Wegen f (x) = sin x ist M := 1 eine Schranke, die die Bedingungen des Satzes erfüllt.

12 Anwendungsbeispiel (2) Man hat also R 1 (x) 1 2 x 2, was für x := 0.2 den Wert R 1 (0.2) 0.02 ergibt. Wir erhalten also sin 0.2 = 0.2 ± 0.02, d.h. sin 0.2 [0.18, 0.22]. Der wirkliche Wert ist

13 Anwendungsbeispiel (3) Man kann sich über dieses Beispiel ärgern, denn offenbar gibt es noch Verbesserungsbedarf. Einerseits ist die Näherung sin viel besser als uns die Abschätzung verspricht. Der wirkliche Fehler ist ja mehr als zehnmal kleiner als abgeschätzt. Man wünscht sich also eine wirkungsvollere Fehlerabschätzung. Andererseits zeigt das Beispiel der Cosinusfunktion dafür Grenzen auf. Mit der gleichen Methode erhalten wir die Abschätzung cos 0.2 = 1 ± 0.02, was der Wahrheit ziemlich nahe kommt: der wahre Wert ist cos 0.2 =

14 Von der linearen Approximation... Bei der linearen Approximation wird eine Funktion f (x) an einer Stelle a durch eine lineare Funktion p 1 (x) := a 0 + a 1 x angenähert. Das führt auf f (x) f (a) + f (a)(x a) für x a. Dies ergibt sich aus den Bedingungen f (a) = p 1 (a), f (a) = p 1(a).

15 über die quadratische Approximation... Versucht man allgemeiner, f (x) an der Stelle a durch ein quadratisches Polynom p 2 (x) := a 0 + a 1 x + a 2 x 2 anzunähern, dann fordert man naheliegenderweise f (a) = p 2 (a), f (a) = p 2(a), f (a) = p 2(a), was natürlich nur sinnvoll ist, wenn f (x) existiert. Daraus erhält man p 2 (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a)(x a) 2.

16 ... zum Taylorschen Satz Gegeben sei eine Funktion f (x), die in einer Umgebung der Stelle a n + 1-mal differenzierbar ist. Wir suchen ein Polynom p n (x) vom Grade n mit f (a) = p n (a), f (a) = p n(a), f (a) = p n(a),..., f (n) (a) = p n (n) (a). In Analogie zum Satz über die lineare Approximation erhält man folgendes wichtige Ergebnis:

17 Satz von Taylor Satz: Wenn f (n+1) (x) in einer Umgebung U von a existiert, dann gilt für jedes x U f (x) = f (a) + f (a)(x a) f (a)(x a) ! f (a)(x a) 3 wobei n! f (n) (a)(x a) n + R n (x), R n (x) = für ein c zwischen a und x gilt. 1 (n + 1)! f (n+1) (c)(x a) n+1

18 Zusatz Ist außerdem f (n+1) (x) M n+1 für alle x U, dann gilt auch für alle x U. R n (x) 1 (n + 1)! M n+1 x a n+1

19 Der Satz bedeutet... Als Näherung für die Funktion f (x) an der Stelle a erhält man für vorgegebenen Grad n das Polynom p n (x) = f (a)+f (a)(x a)+ 1 2 f (a)(x a) ! f (a)(x a) n! f (n) (a)(x a) n Der Näherungsfehler wird durch die Funktion R n (x) angegeben; diese kann man mit Hilfe der (n + 1)-ten Ableitung von f (x) abschätzen.

20 Satz von Taylor für a := 0 Wenn f (n+1) (x) in einer Umgebung U von 0 existiert, dann gilt für jedes x U dass f (x) = f (0) + f (0)x f (0)x ! f (0)x n! f (n) (0)x n + R n (x), wobei R n (x) = für ein c zwischen 0 und x gilt. 1 (n + 1)! f (n+1) (c)x n+1 Ist außerdem f (n+1) (x) M n+1 für alle x U, dann gilt auch für alle x U. R n (x) 1 (n + 1)! M n+1 x n+1

21 Anwendungsbeispiel Als erstes Anwendungsbeispiel untersuchen wir den Fall f (x) := cos x, a := 0, n := 2. Als Näherung erhält man cos x x 2 für x 0, im Falle x := 0.2 also cos

22 Fehleabschätzung für das Beispiel Den Fehler schätzen wir mit Hilfe von M 3 := 1 ab zu (gerundet) R 2 (0.2) 1 3! = Diese Näherung ist viel besser als die im vorigen Abschnitt gewonnene (zur Erinnerung: der wirkliche Wert ist cos 0.2 = ).

23 Noch besser (1) Weil die dritte Ableitung der Cosinusfunktion (also sin x) an der Stelle a := 0 verschwindet, erhalten wir für n := 3 das gleiche Näherungspolynom wie oben, nämlich p 3 (x) = x 2 und damit cos x = x 2 + R 3 (x),

24 (2) wobei (mit M 4 := 1) R 3 (x) 1 4! 1 x 4, was für x := 0.2 R 3 (x) 1 4! (0.2)4 = ergibt, eine wirklich gute Abschätzung. Nochmal das Ergebnis cos 0.2 = 0.98 ± und zum Vergleich den wirklichen Wert cos 0.2 =

25 Wiederholung: Potenzreihen Potenzreihen (in x) sind Reihen der Form a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +..., wobei x, a 0, a 1,... Zahlen sind. Eine solche Reihe kann konvergent oder divergent sein, je nach Wahl der a i und von x. Schon die Bezeichnungsweise legt nahe, dass wir eine Potenzreihe nicht nur für ein festes x betrachten, sondern verschiedene Werte von x einsetzen wollen, während die a i festgehalten werden.

26 Polynome unendlichen Grades Man schreibt eine Potenzreihe deshalb als eine Art unendliches Polynom, wie in folgendem Beispiel: x + x x x

27 Konvergenz Man kann dann fragen, für welche x die Reihe konvergiert, und findet folgendes Ergebnis: Satz Eine Potenzreihe konvergiert entweder a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n nur für x = 0 und divergiert für alle anderen Werte von x oder 2 für x < r und divergiert für alle x > r, für eine reelle Zahl r, oder 3 konvergiert für alle x.

28 Konvergenzradius Die Menge der x, für die die Reihe konvergiert, ist also in jedem Fall ein Intervall, das Konvergenzintervall der Reihe. Die halbe Länge dieses Intervalls nennt man den Konvergenzradius der Reihe. Eine Potenzreihe hat also den Konvergenzradius Null, den Konvergenzradius r R, oder unendlichen Konvergenzradius ( Konvergenzradius r = ).

29 Beispiel Die geometrische Reihe 1 + x + x 2 + x konvergiert für x < 1 und divergiert für x 1. Ihr Konvergenzradius ist also gleich 1, ihr Konvergenzintervall ist ( 1, +1).

30 Potenzreihen als Funktionen Es liegt nahe, Potenzreihen als Beschreibungen von Funktionen aufzufassen. f (x) := a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +... Der Definitionsbereich einer solchen Funktion ist das Konvergenzintervall, der Funktionswert an der Stelle x ist der jeweilige Grenzwert der Reihe.

31 Ableiten wie Polynome Satz Hat die Potenzreihe f (x) := a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +... den Konvergenzradius r > 0, dann gilt: 1 Die Funktion f (x) ist stetig auf dem Intervall ( r, r). 2 f (x) ist auf dem Intervall ( r, r) differenzierbar, und die Ableitung ist f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n 1 +. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist ebenfalls r.

32 Eindeutigkeit der Reihe Eine unmittelbare Folgerung aus diesem Satz ist, dass eine Funktion f (x) wenn überhaupt, dann nur durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann, denn man hat für ja nach dem Satz, dass f (x) := a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +... a n = 1 n! f (n) (0). Diese Darstellung der Koeffizienten erinnert uns sofort an den Satz von Taylor (für a := 0)!

33 Taylor-Reihen Es wird nun deutlich, was beim Taylorschen Satz geschieht: das Näherungspolynom p n (x) ist jeweils ein Anfangsstück der Potenzreihe! Die Potenzreihe für eine Funktion f (x) nennt man deshalb auch die Taylor-Reihe für f (x) (am Entwicklungspunkt a := 0).

34 Andere Entwicklungspunkte Man kann den Begriff der Potenzreihe verallgemeinern auf Reihen der Form f (x) := a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n Dann ist die Beziehung zum Taylorschen Satz besonders deutlich. Wir konzentrieren uns hier auf den Fall a := 0.

35 Beispiel Für f (x) := sin x haben wir f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = 1 und f (4) (x) = f (x). Die Folge (f (i) (0) i N 0 ) ist also eine endlose Wiederholung von 0, 1, 0, 1. Die Taylor-Reihe für sin x ist 0 + x + 0 x 3 3! x 5 5! + 0 x 7 7! +.

36 Konvergenz der Sinusreihe Was ist der Konvergenzradius dieser Reihe? Die Sinusfunktion ist für alle x R definiert, aber unser Zugang zur Taylorreihe war der, die Funktion in der Nähe von a := 0 zu approximieren. Wir können also eigentlich nicht erwarten, dass die Taylorreihe weit entfernt von a noch konvergiert.

37 Restglied Konvergenz haben wir offenbar genau dort, wo der Fehler gegen Null geht, also an den Stellen x, an denen lim R n(x) = 0 n gilt. Alle Ableitungen f (n) (x) der Sinusfunktion sind beschränkt und erfüllen f (n) (x) 1 für alle x R. Deshalb können wir im Satz von Taylor alle M n gleich 1 setzen und erhalten R n (x) x n+1 (n + 1)!.

38 Überall konvergent! Folglich gilt für jedes x R lim R x n+1 n(x) = lim n n (n + 1)! = 0. Die Taylor-Reihe für sin x konvergiert also für alle x R, der Konvergenzradius ist unendlich.

39 Taylorreihe für cos x Für alle x gilt also sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +. Mit Hilfe des Satzes über die Ableitung erhalten wir daraus sogleich eine ebenfalls überall konvergente Potenzreihe für den Cosinus: cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! +.

40 Exponentialfunktion Wir haben für f (x) := e x : f (x) := e x f (0) = 1 f (x) := e x f (0) = 1 f (x) := e x f (0) = 1 f (x) := e x f (0) = 1.. f (n) (x) := e x f (n) (0) = 1..

41 Koeffizienten Wegen erhalten wir a n = 1 n! f (n) (0) a n = 1 n!. Wenn es also eine Taylorreihe für die Exponentialfunktion gibt, dann lautet sie 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! +...

42 Quotientenkritrium anwenden! r bezeichne den Konvergenzradius der Potenzreihe n=0 a n(x a) n. Dann gilt: Falls lim n a n+1 a n = 0, dann ist r =. Mit a n = xn n! und a n+1 = xn+1 (n+1)! ergibt sich lim a n+1 n a n = lim x n+1 n (n + 1)! n! x n = lim n x n + 1 = 0. Die Potenzreihe der Exponentialfunktion konvergiert überall!

43 Vergleich der Reihen Wir haben gefunden: sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 7! + 6! + e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! +...

44 Kombinationen von sin und cos (1) sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 7! + 6! + cos x + sin x = 1 + x x 2 2! x 3 3! + x 4 4! + x 5 5!...

45 Kombinationen von sin und cos (2) sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 7! + 6! + cos x sin x = 1 x x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! x 5 5!...

46 Komplexe Argumente Man kann in eine Potenzreihe auch komplexe Zahlen als Argumente einsetzen. Die Konvergenzüberlegungen verallgemeinern sich. Wir gehen darauf hier nicht weiter ein.

47 Komplexe Exponentialfunktion e ix = 1 + ix + (ix)2 2! + (ix)3 3! + (ix)4 4! + (ix)5 5! +... = 1 + ix + i 2 x 2 2! + i 3 x 3 3! + i 4 x 4 4! + i 5 x 5 5! +... = 1 + ix + x 2 2! = 1 x 2 2! + x 4 + ix 3 3! + x 4 4! + ix 5 5! +... (x 4!... + i x 3 3! + x 5 5! +... )

48 Erneuter Vergleich der Reihen sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 e ix = 1 x 2 2! + x 4 7! + 6! + (x 4!... + i x 3 3! + x 5 5!... ) Daraus folgt: e ix = cos x + i sin x

49 Erneuter Vergleich der Reihen sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 e ix = 1 x 2 2! + x 4 7! + 6! + (x 4!... + i x 3 3! + x 5 5!... ) Daraus folgt: e ix = cos x + i sin x

50 Eulersche Formel Die schönste Formel der Welt: e iπ + 1 = 0.

51 Eulersche Formel Die schönste Formel der Welt: e iπ + 1 = 0.

52 Exponentialreihe e x = ν=0 x ν ν!. Für x := 3 erhält man z.b. e 3 = ! ! ! ! ! ! ! ! +... =

53 Variationen der Exponentialreihe Man hat Für a > 0 gilt e x = a x = ν=0 x ν ν!. (x ln a) ν ν=0 wegen a = e ln a und folglich a x = (e ln a ) x = e x ln a. ν!

54 e x wächst schneller Wegen gilt e x x n = ν=0 x ν x n ν! = 1 x n + 1 1!x n !x n n! + x (n + 1)! +... x > ( für x > 0) (n + 1)! e x für x. x n Die Exponentialfunktion wächst also schneller als jedes Polynom.

55 Taylorreihe für den Logarithmus ( 1) ν+1 ln(1 + x) = x ν für x ( 1, 1] ν ν=1 Gleichbedeutend: ln(1 x) = ν=1 x ν ν für x [ 1, 1).

56 Auf dem Rand Aus ( 1) ν+1 ln(1 + x) = x ν für x ( 1, 1] ν ν=1 erhält man für x = 1 ( 1) ν+1 ln(1 + 1) =, ν ν=1 also ln 2 =

57 f (x) := (1 + x) α Erster Fall: α eine nicht negative ganze Zahl. Dann gilt der binomische Satz (1 + x) α = α n=0 ( ) α x n für alle x R. n Man ( darf die Summe ruhig bis laufen lassen, denn für n > α ist α ) n = 0.

58 f (x) := (1 + x) α Zweiter Fall: α / N \ {0} Dann gilt die Taylor-Formel (1 + x) α = n=0 ( ) α x n für alle x ( 1, 1). n Dabei ist ( α 0) := 1 und ( ) α α (α 1) (α n + 1) = n n! für n N.

59 Approximation (n 1) ten Grades Satz: Die Potenzreihe f (x) = a ν x ν ν=0 habe den Konvergenzradius R > 0. Es sein n eine feste natürliche Zahl und a n 0. Dann gilt für x 0: n 1 f (x) a ν x ν a n x n. ν=0

60 vor dem Beweis Vorbemerkung: Wie will man eigentlich beweisen, dass etwas ungefähr gleich ist? Das ist doch eine schwammige Formulierung! Antwort: Man kann der Formulierung ihre Schwammigkeit nehmen und ungefähr gleich exakt definieren. Das geht z.b. so: Definition: Zwei Funktionen g(x) und h(x) heißen in der Nähe von x 0 ungefähr gleich, wenn g(x) lim x x 0 h(x) = 1 gilt. Wir schreiben dann g(x) h(x) für x x 0.

61 Beweis des Satzes (1) Wir kürzen ab: Zu zeigen ist dann n 1 g(x) := f (x) a ν x ν. ν=0 g(x) a n x n für x 0, also g(x) lim x 0 a n x n = 1.

62 Beweis des Satzes (2) Also los! g(x) = = n 1 a ν x ν a ν x ν ν=0 a ν x ν ν=n = a n x n + ν=0 a ν x ν ν=n+1 = a n x n + x n+1 a ν x ν (n+1) ν=n+1

63 Beweis des Satzes (3) Aus erhalten wir g(x) = a n x n + x n+1 g(x) a n x n = 1 + x a n ν=n+1 ν=n+1 a ν x ν (n+1) a ν x ν (n+1) Die Potenzreihe ν=n+1 a νx ν (n+1) konvergiert ebenfalls mit Konvergenzradius R (denn sie unterscheidet sich von der ursprünglichen nur um endlich viele Terme).

64 Beweis des Satzes (4) Deshalb gibt es eine Konstante M mit a ν x ν (n+1) < M für x < R 2 ν=n+1 und aus wird g(x) a n x n = 1 + x a n ν=n+1 a ν x ν (n+1) g(x) x 1 M 0 für x 0. a n x n a n Quod erat demonstrandum.

65 Etwas aus der Physik Ein Körper der Masse m 0 wird auf die Geschwindigkeit v gebracht. Die Newtonsche kinetische Energie des Körpers ist dann E kin = m 0v 2 2. Mit zunehmender Geschwindigkeit ändert sich die Masse des Körpers nach der Formel m = m 0. 1 v 2 c 2 Die erhöhte kinetische Energie führt zur Masseerhöhung.

66 Massenzuwachs m = m 0 1 v 2 c 2 = m 0 ( 1 v 2 c 2 ) 1 2 = m 0 (1 + x) α mit x = v 2 = m 0 ν=0 = m 0 ν=0 ( 1 2 ν ( 1 2 ν ) ( v 2 c 2 ) ν ) ( 1) ν v 2ν c 2ν c 2 und α = 1 2

67 Lineare Approximation m = m 0 ν=0 ( 1 2 ν ) ( 1) ν v 2ν c 2ν ( 1 m 0 (1 2 )) v 2 1 c 2 für v 0 = m 0 (1 1 v 2 2 c 2 ) = m 0 m 0v c 2

68 Ergebnis Daher und das ergibt m := m m 0 m 0v c 2 m c 2 E kin für v 0.