Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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1 Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 Prüfung 2 semesterbegleitende Zwischenprüfungen: Termine: am und , Beginn jeweils 8.00 Uhr (!) im Hörsaal der VL Bearbeitungszeit jeweils 30 Minuten, 2-3 Aufgaben Inhalte ca. 1/3 des Semesterstoffes Erreichbar: Maximal 6 Punkte, zur Anrechnung an die Leistung der Endklausur Anmeldung (erforderlich) und Organisation: siehe Homepage Klausur am Semesterende: Bearbeitungszeit: 60 Minuten Erreichbare Punktzahl: 120 Inhalte: Alle in VL behandelten Themen Hilfsmittel für alle 3 Prüfungen Schreibzeug, Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann, ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke), Gesamtnote des Kurses Wird errechnet aus Summe der Punkte aus den Zwischenklausuren und der Endklausur Zum Bestehen notwendig: 40 Punkte

3 Mathematik 2: Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration 7 Folgen und Reihen Eigenschaften und Beispiele Konvergenz und Grenzwert Reihen

4 Folgen und Reihen Mathematik 2 Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen? Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.b. von Aktienkursen, Absatzmengen) Grundlage der Finanzmathematik (z.b. Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung) wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wesentliche Lernziele: 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen 10. Differenzieren Differenzieren Integration Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen 115

5 Definition und Eigenschaften Mathematik 2 Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N 0 R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1),... oder a 0, a 1,... Schreibweise für Folge: (a n) n N0 oder (a n) Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist Leonardo von Pisa (ca ) 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: a n = 1 n+1 rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a 0 = 0; a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n > 1 (Fibonacci-Folge) 10. Differenzieren Differenzieren Integration Spezielle Folgen Arithmetische Folge: (a n) : a n+1 a n = d n N 0 mit d R a Geometrische Folge: (a n) : n+1 = q n N a n 0 mit q R 116

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9 Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel Mathematik 2 Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn 1. Feld : a 0 = 1 Korn 2. Feld : a 1 = 2 Körner 3. Feld : a 2 = 4 Körner 4. Feld : a 3 = 8 Körner 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen 10. Differenzieren Differenzieren Integration. n. Feld : a n 1 = 2 a n 2 Körner 117

10 Konvergenz und Grenzwert Mathematik 2 Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert? Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern? Definition: a R heißt Grenzwert oder Limes von (a n ) ɛ > 0 n(ɛ) mit a n a < ɛ n > n(ɛ) Schreibweise für Grenzwert: lim a n = a n Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen 10. Differenzieren Differenzieren Integration 118

11 Beispiel zur Definition des Grenzwerts Mathematik 2 Gegeben: a n = n n+1 Vermutung: lim a n = a = 1 n Beweis: Wenn a = 1, dann folgt a n a = n n+1 1 < ɛ n n 1 n+1 = 1 n+1 < ɛ 1 ɛ < n ɛ 1 < n 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen 10. Differenzieren Differenzieren Integration Also: Für jedes ɛ findet man ein n(ɛ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ɛ = 0,01 n > 1 ɛ 1 = 1 0,01 1 = =

12 Rechenregeln für Grenzwerte Mathematik 2 Gegeben: lim (a n) = a und lim (b n) = b n n kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen 10. Differenzieren Differenzieren 2 (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n) a c (a n > 0, a > 0, c R) (c an ) c a (c > 0) 12. Integration 120

13

14 Definition der Reihe Mathematik 2 Gegeben: (a n) unendliche Folge in R Dann heißt (s n) mit Beispiel: eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme s n = a 0 + a a n = Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen n a i n N 0 i=0 (a n) geometrische Folge (s n) geometrische Reihe n a n+1 s n = a i ; mit = q a i=0 n Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n 7. Folgen und Reihen 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 8. Finanzmathematik 9. Reelle Funktionen 10. Differenzieren Differenzieren Integration s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 121

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