Einführung in die höhere Mathematik 2

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1 Herbert Dallmann und Karl-Heinz Elster Einführung in die höhere Mathematik 2 Lehrbuch für Naturwissenschaftler und Ingenieure ab 1. Semester Mit 153 Bildern Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig /Wiesbaden

2 Inhalt I. Grundbegriffe der Analysis und Topologie 1. Älengentheoretische Hilfsmittel Elemente und Mengen Operationen auf Mengen Mengenprodukte Mengenfolgen und Mengenfamilien Mengensysteme Übungsaufgaben Relationen und Abbildungen Relationen Operationen auf Relationen Abbildungen...; Äquivalenzrelationen Ordnungsrelationen Boolesche Algebra Schaltalgebra Übungsaufgaben Topologische Bäume Begriff des topologischen Raumes " Basen. Hausdorff-Räume Stetige Abbildungen Konvergenz Produkttopologien,... j Kompaktheit Lineare topologische Räume Lineare Räume Lineare topologische Räume Übungsaufgaben Metrische Bäume Begriff des metrischen'raumes Konvergenz und Stetigkeit Kompaktheit und Separabilität Übungsaufgaben 89

3 Inhalt 6. Normierte Bäume Begriff des normierten Raumes Banachräume Hilberträume Übungsaufgaben Die Bäume R n und K" Der Raum B n Konvexe Mengen im B n Der Raum K n Übungsaufgaben 117 II. Lineare Algebra 7. Vektorräume Grundbegriffe Basis eines Vektorraumes Unterräume. Lineare Mannigfaltigkeiten Faktorräume Übungsautgaben Lineare Abbildungen Lineare Funktionale Lineare Abbildungen von Vektorräumen in Vektorräume Lineare Funktionen l: R n -» B m ' Lineare Operatoren Übungsaufgaben Matrizen Begriff der Matrix Rechenoperationen Spezielle Matrizen." Quadratische Matrizen Orthogonale Matrizen Zerlegung einer Matrix in Teilmatrizen (Partitionierung) Lineare Abbildungen und Matrizen., Rang einer Matrix Inverse einer Matrix Lineare Vierpole Zur Anwendung der Matrizenrechnung in der Betriebswirtschaft Übungsaufgaben Lineare Gleichungen Homogene und inhomogene Systeme Lösungsstruktur von Gleichungssystemen Gaußscher Algorithmus Übungsaufgaben '. 191

4 Inhalt Determinanten Begriff der Determinante Eigenschaften von Determinanten Entwicklungssätze Rang einer Matrix Cramersche Regel Zur Berechnung der inversen Matrix Übungsaufgaben Das Eigenwertproblem Eigenwerte und Eigenvektoren Ähnliche Matrizen Das Eigenwertproblem für hermitesche und symmetrische Matrizen Diagonalisierung symmetrischer Matrizen Das Eigenwertproblem für reelle, nichtsymmetrische Matrizen Übungsaufgaben Quadratische Formen Bilinearformen und quadratische Formen Definite quadratische Formen Geometrische Deutung der quadratischen Formen Die Gramsche Determinante Übungsaufgaben 240 [. Funktionen von mehreren Veränderlichen 14. Der Funktionsbegriff, Vorbetrachtungen Funktionen/: B n -> B Funktionen/: B -» B n Funktionen/: B n -> B m Räumliche Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten." Kugelkoordinaten Übungsaufgaben Grenzwert und Stetigkeit L Grenzwert einer Funktion Iterierte Grenzwerte Stetigkeit einer Funktion : Halbstetigkeit einer Funktion Übungsaufgaben Konvexe Funktionen ~ Eigenschaften konvexer Funktionen Stetigkeit konvexer Funktionen Übungsaufgaben :

5 10 Inhalt IV. Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen 17. Differenzierbare Funktionen Begriff der partiellen Ableitung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Begriff der differenzierbaren Funktion Übungsaufgaben Differenzierbare Funktionen (Fortsetzung) Das Rechnen mit differenzierbaren Funktionen Anwendung des vollständigen Differentials Zur geometrischen Deutung des vollständigen Differentials Anwendung des vollständigen Differentials in der Fehlerrechnung Anwendung von Differentialen in der Thermodynamik Richtungsableitung Mehrfach differenzierbare Funktionen Differentiale höherer Ordnung Differenzierbarkeit konvexer Funktionen Zur Differentiation einer Determinante Übungsaufgaben ; Mittelwertsatz und Taylorsche Formel Mittelwertsatz Taylorsche Formel Übungsaufgaben ' Implizite Funktionen Implizit definierte reellwertige Funktionen Implizit definierte vektorwertige Funktionen Implizite Differentiation implizit definierter Funktionen Inverse Abbildungen " Funktionale Abhängigkeit Übungsaufgaben, " Extremwertaufgaben Extremwertaufgaben ohne Restriktionen Extremwertaufgaben mit Restriktionen Übungsaufgaben Differentialoperatoren der Vektoranalysis Skalarfelder und Vektorfelder Der Gradient eines Skalarfeldes Die Divergenz eines Vektorfeldes Die Rotation eines Vektorfeldes Wiederholte Anwendung des Operators V Krummlinige Koordinaten Übungsaufgaben 399

6 Inhalt 11 T. Integralrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen 23. Parameterintegrale Begriff des Parameterintegrals Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Parameterintegralen Integration von Parameterintegralen Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz einer Funktion Gleichmäßige Konvergenz von Integralen Eigenschaften gleichmäßig konvergenter uneigentlicher Parameterintegrale Die Eulersche Gammafunktion Übungsaufgaben Kurvenintegrale Parameterdarstellung von Raumkurven Kurvenintegrale erster Art Kurvenintegrale zweiter Art Unabhängigkeit des Kurvenintegrals zweiter Art vom Weg Ermittlung des Potentials u(x) eines Potentialfeldes v(x) Kurvenintegrale in der Thermodynamik Vektorielle Kurvenintegrale Zusammenhang zwischen Kurvenintegralen erster und zweiter Art Übungsaufgaben Ebene Bereichsintegrale ; Meßbare Punktmengen Begriff und Eigenschaften des ebenen Bereichsintegrals Zurückführung ebener Bereichsintegrale auf Doppelintegrale Einige weitere Anwendungen ebener Bereichsintegrale Transformation ebener Bereichsintegrale Uneigentliche ebene Bereichsintegrale Zusammenhang zwischen ebenen Bereichsintegralen und Kurvenintegralen (Satz von GAUSS) Übungsaufgaben Eäumliche Bereichsintegrale Begriff und Eigenschaften des räumlichen Bereichsintegrals Zurückführung räumlicher Bereichsintegrale auf Dreifachintegrale Anwendungen räumlicher Bereichsintegrale 485 _26.4. Transformation räumlicher Bereichsintegrale Uneigentliche räumliche Bereichsintegrale Übungsaufgaben : OberfJächenintcgrale " Parameterdarstellung von Flächen im Raum Orientierbare Flächen. Oberfläehenelement Oberflächenintegrale erster Art Oberflächenintegrale zweiter Art Übungsaufgaben 524

7 12 ' Inhalt 28. Integralsätze der Vektoranalysis Der Gaußsche Integralsatz Der Stokessche Integralsatz Die Greenschen Integralsätze Übungsaufgaben 541 Lösungen 545 Literatur 571 Namenverzeichnis 573 Sachverzeichnis 574

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