2 Ein logik-orientiertes Datenmodell

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1 2 Ein logik-orientiertes Datenmodell In Datenbanken sind viele, gleichartig strukturierte Fakten (Aussagen) gespeichert, z.b. Anton ist ein Elternteil von Maria. Anton ist ein Elternteil von Hugo. Wilhelmine ist eine weibliche Person. Fritz ist eine männliche Person. Patientin Maria wurde von Ärztin Gerda behandelt mittels Laboruntersuchung. Aus Gründen der Effizienz möchte man die gleichen Teile der Fakten nur einmal abspeichern. Wir zerlegen also unsere Fakten in ein Prädikat " ist Elternteil von " und entsprechend viele Daten (Anton, Maria), (Anton, Hugo), bzw. "Patient wurde von Arzt behandelt mittels " und (Maria, Gerda, Laboruntersuchung). Formal steht für (verschiedene) Variablen und die Daten sind jeweils solche Belegungen für diese Variablen, die das Prädikat zu einer wahren Aussage ergänzen. Insbesondere für Anfragen an die Datenbank ist es nützlich, wenn man verschiedene "atomare Formeln" verknüpfen kann. Datenbanken beziehen sich auf eine Anwendung der realen Welt. In der mathematischen Logik sind formale Grundbegriffe entwickelt worden, die als Ausgangspunkt einer formalen Syntax und einer formalen Semantik dienen können. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

2 2.1 Grundbegriffe aus der Prädikatenlogik Sprache: Prädikatenlogik 1.Stufe (first-order predicate calculus) mit Gleichheit Die Wörter dieser Sprache werden Formeln genannt und als "wohlgeformt" (well-formed formula, wff) bezeichnet. Die Semantik wird mit Hilfe der sog. Gültigkeit von Formeln definiert Syntax der Prädikatenlogik Für eine Logiksprache muss man wie für jede formale Sprache die Syntax und die Semantik genau definieren. Zunächst legen wir fest, welche Zeichen wir für Funktionen, für Variablen bzw. für Prädikate verwenden wollen. Für jedes Funktions- und Prädikatenzeichen legen wir gleichzeitig fest, wieviele Argumente zu diesen Zeichen gehören sollen. Die Syntax der Prädikatenlogik ist im wesentlichen durch die Basis oder Signatur Σ=(F,V,P) gegeben, wobei die Mengen F, V und P paarweise disjunkt sind und außerdem keine eines der Zeichen für Junktoren (,, ), Quantoren (, ) bzw. runde Klammern enthält: F (abzählbar unendliche) Menge der Funktionszeichen (function symbol), F = n IN F (n) ; Zeichen aus F (n) werden n-stellig verwendet. nullstellige Funktionszeichen aus F (0) : Konstantenzeichen (constant symbol) und bezeichnen sie auch mit C. Konstantenzeichen bezeichnen bestimmte einzelne einfache Entities; Funktionszeichen werden zur Bildung von Termen benutzt und bezeichnen (zusammengesetzte) Entities. Beispiel: Als Konstantenzeichen verwenden wir z.b. folgende Zeichen: wilhelmine, fritz, anton,,, labor F (0). Funktionszeichen (und damit auch Konstantenzeichen) schreiben wir in Beispielen mit Kleinbuchstaben. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

3 V (abzählbar unendliche) Menge der Individuenvariablen (variable). Individuenvariablen bezeichnen unbestimmte ("beliebige") Entities und werden zur Bildung von Termen benutzt. Beispiel: Als Individuenvariablen verwenden wir z.b. folgende Zeichen: Name, Geschlecht, Eltern, Patient, Arzt V. Wir benutzen für Variablen gerne "sprechende" Namen, die auf diese Art neben der Position des Arguments informell auch die Bedeutung des Arguments und ggf. einen Wertebereich und eine Rolle festlegen. Individuenvariable schreiben wir in Beispielen mit großem Anfangsbuchstaben. T ist die Menge der Terme (term) und wird induktiv aus Funktionszeichen und Individuenvariablen gebildet: i) Jede Individuenvariable und jedes Konstantenzeichen ist ein Term. ii) Ist f (n) ein n-stelliges Funktionszeichen und sind t 1,,t n Terme, so ist auch f (n) (t 1,,t n ) ein Term. Grundterme (ground term) sind Terme ohne Individuenvariablen. Terme bezeichnen Entities. Ein Grundterm benennt ein bestimmtes, einzelnes Entity. Ein Term mit Individuenvariablen bezeichnet ein zunächst noch unbestimmtes ("beliebiges") Entity. Die innere Struktur eines zusammengesetzten Entities kann durch den syntaktischen Aufbau des Terms ausgedrückt werden. Terme der Form f(t 1,,t n ) kann man auch verwenden, um eine Eigenschaft einer durch die Teilterme t 1,,t n bezeichneten Gegebenheit zu beschreiben: dieser Gegebenheit wird dann diese Eigenschaft funktional zugeordnet. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

4 P (abzählbar unendliche) Menge der Prädikatenzeichen (predicate symbol), P = n IN P (n) ; Zeichen aus P (n) werden n-stellig verwendet. Das zweistellige Gleichheitszeichen sei stets in P: = P (2). Das Gleichheitszeichen wird als ausgezeichnetes Prädikatenzeichen behandelt; es drückt stets die Identität zwischen den bezeichneten Entities aus. Prädikatenzeichen bezeichnen mögliche Beziehungen zwischen Entities und mögliche Eigenschaften (Attribute) von Entities oder Beziehungen. Prädikatenzeichen verschieden von = nennen wir auch Relationensymbole und bezeichnen sie mit R. Beispiel: Als Prädikatenzeichen verwenden wir z.b. folgende Zeichen: NAME P (1) ; =, PERSON, ELT, MUT, VAT P (2) ; BEH P (3). Prädikatenzeichen (Relationensymbole) schreiben wir in Beispielen mit Großbuchstaben. Formeln (1.Stufe) (formula) werden induktiv aus Prädikatenzeichen und Termen mit Hilfe von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren für Individuen gebildet: i) Ist P (n) ein n-stelliges Prädikatenzeichen und sind t 1,,t n Terme, so ist P (n) (t 1,,t n ) eine Formel. ii) Sind Φ und Ψ Formeln und X eine Individuenvariable, so sind auch (Φ Ψ), (Φ Ψ), ( Φ), ( X)Φ, ( X)Φ Formeln. Atomare Formeln (atom) sind Formeln ohne Junktoren und Quantoren. Beispiel: Atomare Formeln sind z.b.: NAME(wilhelmine), NAME(Name); =(fritz,fritz), PERSON(anton, ); BEH(anton, Arzt, labor). Formeln sind außerdem z.b.: PERSON(anton, ) BEH(anton, Arzt, labor); ( Arzt) BEH(anton, Arzt, labor). Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

5 Freies (free) und gebundenes (bound) Vorkommen (occurrence) von Variablen: Eine Variable kann frei oder (durch einen Quantor) gebunden in einer Formel vorkommen. Diese Begriffe werden durch Induktion über den Aufbau von Formeln festgelegt: i') Jedes Vorkommen einer Individuenvariablen in einer atomaren Formel ist frei. ii') Ist X ein freies Vorkommen einer Individuenvariablen in Φ oder in Ψ, so ist X ein freies Vorkommen in (Φ Ψ), (Φ Ψ), ( Φ) und sofern Y X, auch in ( Y)Φ, ( Y)Φ, { gebundenes Vorkommen in ( X)Φ, ( X)Φ. Beispiel: Die Variable Arzt kommt in der ersten Formel frei, in der zweiten Formel gebunden vor: PERSON(anton, ) BEH(anton, Arzt, labor); ( Arzt) BEH(anton, Arzt, labor). Formeln teilen wir dann ein in Aussagen (sentence) oder Grundformeln: Formeln ohne freies Vorkommen von Variablen, und Aussageformen: Formeln, die frei vorkommende Individuenvariablen enthalten. Formeln beschreiben Aussagen bzw. Aussageformen über Entities und ihre Beziehungen und Eigenschaften. Aussagen behandeln bestimmte Entities, bei Aussageformen bleiben die Entities zunächst noch unbestimmt. Aussagen verwenden wir hauptsächlich für aufzählend dargestelltes Wissen und für Bedingungen; für aufzählend dargestelltes Wissen atomare Grundformeln (das sind atomare Formeln ohne Individuenvariablen). Aussageformen werden wir insbesondere für Regeln und Bedingungen benutzen. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

6 Manchmal beschreibt man Informationssysteme mit Hilfe von zwei Syntax- Erweiterungen: Zum einen führt man eine Klassenbildung der Konstanten in Sorten (Typen) ein und vereinbart entsprechende Einschränkungen für Argumente und Ergebnisse (relationale und objekt-orientierte Datenmodelle). Zum anderen erlaubt man auch Prädikatenvariablen und entsprechende Quantoren (Logik 2.Stufe). Prädikatenvariablen werden wir wegen ihrer begrifflichen und damit verbundenen algorithmischen Komplexität gar nicht behandeln Deklarative Semantik der Prädikatenlogik Den durch die Syntax festgelegten Wörtern muss man nun Bedeutungen zuordnen. Diese Bedeutungen hängen im wesentlichen davon ab, wie die Funktionszeichen und die Prädikatenzeichen interpretiert werden und wie die Individuenvariablen belegt werden. Darüberhinaus kann man untersuchen, in wieweit Bedeutungen unabhängig von einer bestimmten Struktur sind. Die Semantik der Prädikatenlogik wird durch die folgenden Begriffe gegeben: Eine Struktur ist ein Paar M=(d,δ) mit: Das Universum (universe of discourse) d ist eine nichtleere (Werte-)Menge; Die Interpretation (interpretation) δ ist eine Zuordnung von Funktionszeichen zu Funktionen auf d, δ(f (n) ): i=1 n d d, bzw. von Prädikatenzeichen zu Relationen auf d, δ(p (n) ) i=1 n d, wobei δ(=) = {(x,x) x d}. Durch eine Interpretation wird festgelegt, welche Elemente eines Universums durch die Konstantenzeichen, Funktionen über dem Universum durch die (echten) Funktionszeichen Relationen über dem Universum durch die Prädikatenzeichen benannt werden. Das Gleichheitszeichen benennt stets die Identitätsrelation. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

7 Beispiel: Möchte man Arithmetik betreiben, so wird man in der Syntax etwa das Konstantenzeichen null, das einstellige Funktionszeichen s und die zweistelligen Funktionszeichen + und *, sowie die zweistelligen Prädikatenzeichen und vorsehen. Als Struktur M=(d,δ) betrachtet man dann für d die natürlichen Zahlen IN, δ bildet null auf die Zahl 0 ab, s auf die Nachfolgerfunktion, + auf die Additionsfunktion, * auf die Multiplikationsfunktion, auf die Kleiner-Gleich-Relation und auf die Teilbarkeitsrelation. Der Grundterm s(null)+s(s(null)) hat dann die Bedeutung 3. Eine Variablenbelegung (variable assignment) β: V d zur Struktur M=(d,δ) legt die Werte für die Variablen fest. Eine Variablenbelegung β induziert eine (ebenfalls durch β notierte) Termbelegung durch folgende kanonische Erweiterung, die durch Induktion über den Aufbau von Termen gemäß folgender Vorschrift definiert wird: i) Für eine Individuenvariable X ist β(x) durch die Variablenbelegung bereits festgelegt. Für ein Konstantenzeichen f (0) wird β(f (0) ) durch die Interpretation δ bestimmt: β(f (0) ) := δ(f (0) ). ii) Für einen Term vom Aufbau f (n) (t 1,,t n ) wird β(f (n) (t 1,,t n )) durch die Interpretation δ und die durch Induktionsannahme als bereits bekannt angesehenen Werte β(t i ) bestimmt: β(f (n) (t 1,,t n )) := δ(f (n) )(β(t 1 ),,β(t n )). Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

8 Sind eine Struktur und eine Variablenbelegung (und damit eine Termbelegung) gegeben, so ist für jede Formel ihre Gültigkeit bzgl. dieser Gegebenheiten festgelegt. Genauer wird die Gültigkeit durch Induktion über den Aufbau von Formeln gemäß folgender Vorschrift definiert. Eine Formel Φ ist in einer Struktur M=(d,δ) gültig unter der Variablenbelegung β, = M,β Φ: i) = M,β P (n) (t 1,,t n ) :gdw (β(t 1 ),,β(t n )) δ(p (n) ) ii) = M,β (Φ Ψ) :gdw = M,β Φ und = M,β Ψ = M,β (Φ Ψ) :gdw = M,β Φ oder = M,β Ψ = M,β ( Φ) :gdw nicht = M,β Φ = M,β ( X) Φ :gdw für alle β' mit 1 β = X β' gilt = M,β' Φ = M,β ( X) Φ :gdw es gibt β' mit β = X β' mit = M,β' Φ Um die Gültigkeit einer Formel Φ in einer Struktur M=(d,δ) unter einer Variablenbelegung β: V d nachzuweisen, reicht es offenbar, die (endlich vielen) Funktionswerte von β für die in Φ frei vorkommenden Variablen zu kennen. Eine Struktur M=(d,δ) ist Modell (model) einer Formel Φ (Formel Φ ist gültig (satisfy) in M), = M Φ, :gdw für alle Variablenbelegungen β gilt: = M,β Φ. Modellklasse einer Formel(-menge) Φ: Mod(Φ) := {M Φ ist gültig in M}. 1 Hierbei bedeutet die Schreibweise β = X β', daß die Variablenbelegungen β und β' gleich sind bis auf (möglicherweise) ihren Wert für die Variable X. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

9 Eine Formel Φ heißt allgemein gültig (valid) (Tautologie) :gdw jede Struktur M ist Modell von Φ. Eine Formel Φ heißt erfüllbar (satisfiable) :gdw es gibt eine Struktur M, die Modell von Φ ist. Eine Formel Φ heißt unerfüllbar (unsatisfiable) :gdw es gibt keine Struktur M, die Modell von Φ ist. Eine Formel(-menge) Φ impliziert logisch (logically implies) eine Formel(- menge) Ψ, geschrieben: Φ = Ψ, :gdw Mod(Φ) Mod(Ψ), d.h. jedes Modell von Φ ist auch Modell von Ψ. Die Begriffe der Allgemeingültigkeit, der Erfüllbarkeit, der Unerfüllbarkeit und der logischen Implikation sind hier deklarativ definiert worden, wobei nicht ohne weiteres zu erkennen ist, ob und ggf. wie sie operationalisiert und damit algorithmisch behandelt werden können. Tatsächlich führen sie aus dem Bereich des (algorithmisch) Entscheidbaren hinaus (sog. Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik), verbleiben aber mit der Ausnahme der Erfüllbarkeit im Bereich des (algorithmisch) Aufzählbaren (sog. Vollständigkeit der Prädikatenlogik). Um die "Vollständigkeit" nachzuweisen, sind sog. Ableitungsregeln (inference rules) entwickelt worden, mit deren Hilfe man ausgehend von Axiomen auf algorithmische Weise formale Beweise dafür erzeugen kann, dass Φ = Ψ gilt (oder dass eine Formel Φ allgemein gültig oder unerfüllbar ist). Zum Beispiel sind die Schnittregel [(A B P) (P C D) (A C B D)] und die Substitutionsregel [H Hσ, σ Substitution] zusammen oder die Resolutionsregel [(A B P) (Q C D) (A Cπ B Dπ)σ, π Umbenennung, σ mgu] allein "vollständig". Für Informationssysteme betrachtet man oft nur einen echten Ausschnitt der Prädikatenlogik. Dabei versucht man, die Prädikatenlogik derart geeignet einzuschränken, dass die obigen Begriffe, speziell die logische Implikation, effizient algorithmisch behandelt werden können. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

10 Die Einschränkungen betreffen zum einen die Menge der Formeln, zum anderen die Menge der Strukturen. Bei den Formeln macht man einerseits oft Einschränkungen bzgl. der Funktionszeichen und bzgl. der Verwendung von Junktoren und Quantoren. An Strukturen betrachtet man oft nur injektive Strukturen oder spezieller: Herbrand-Strukturen. Eine Struktur M=(d,δ) heißt injektive Struktur, wenn δ auf der Menge der Grundterme injektiv ist, also ein Wert des Universums nur durch einen einzigen Grundterm bezeichnet werden kann, d.h. es gibt keine Synonyme. Beispiel: In der Arithmetik haben die Terme 3+2, 4+1 und 5 die gleiche Bedeutung; die zugehörige Struktur ist also nicht injektiv. Wichtige injektive Strukturen, die einen engen Zusammenhang zwischen Syntax und Semantik ausdrücken, sind die Herbrand-Strukturen. Als Semantik eines Terms wird hier nur der Aufbau des Terms angesehen, ein Term wird nicht (wie üblich) ausgewertet. Bei einer Herbrand-Struktur M=(d,δ) ist das Universum und die Interpretation der Funktionszeichen festgelegt, die Interpretation der Prädikatenzeichen ist beliebig: Das Herbrand-Universum d ist die Menge aller Grundterme zu Σ. Die Interpretation der Funktionszeichen ist folgendermaßen: Dem n-stelligen Funktionszeichen f (n) und den n Grundtermen t 1,,t n wird der Grundterm f (n) (t 1,,t n ) als Funktionwert der Interpretation δ zugeordnet. In Herbrandstrukturen hat also jeder Grundterm sich selbst als Wert: δ(f (n) (t 1,,t n ))=f (n) (t 1,,t n ). Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

11 Betrachten wir eine Basis ohne echte Funktionszeichen (F enthält also nur Konstantenzeichen), so haben wir nur Konstantenzeichen als Grundterme: Die Definition der Herbrand-Struktur vereinfacht sich zur Definition für kanonische Strukturen: Definition [kanonische Struktur]: Eine injektive Struktur M=(d,δ) heißt kanonisch, wenn d=c und δ(c) := c für alle c C gilt. In kanonischen Strukturen ist das Universum, die Interpretation der Konstanten und die Interpretation des Prädikatenzeichens = bereits festgelegt; Wahlmöglichkeit besteht nur noch bzgl. der Interpretation der Relationensymbole. Zwischen Mengen von atomaren Grundformeln K (ohne Prädikatenzeichen =) und kanonischen Strukturen M=(C,δ) besteht eine eineindeutige Zuordnung vermöge folgender Definitionen: bzw. M(K) := (C, δ) mit (c 1,, c n ) δ(r) :gdw R(c 1,, c n ) K für R R K(C, δ) := {R(c 1,, c n ) (c 1,, c n ) δ(r) und R R}. Wir können also kanonisch von der syntaktischen Ebene zur semantischen Ebene (K wird M(K) zugeordnet) und umgekehrt von der semantischen Ebene zur syntaktischen Ebene (M=(C,δ) wird K(C,δ) zugeordnet) übergehen. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

12 2.1.3 Beispiel Oft ist es einfacher, Sachverhalte an einem kleineren Beispiel zu veranschaulichen. Für diesen Zweck benutzen wir hier einen stark vereinfachten Ausschnitt unseres Arztpraxisbeispiels: Elternschaft Eltern Kind PERSON Name Geschlecht ISA Art ARZT Behandlung PATIENT Die Situation in unserem vereinfachten Arztpraxisbeispiel können wir durch folgende Prädikatenzeichen ausdrücken: Ein Prädikatenzeichen PERSON mit der Bedeutung, dass es eine Person gibt, die einen bestimmten Namen und ein bestimmtes Geschlecht hat (Entityklasse Person mit Eigenschaften Name und Geschlecht); ein Prädikatenzeichen ELT drückt den Zusammenhang aus, dass zwei (durch ihren Namen identifizierte) Personen in der Eltern-Kind-Beziehung stehen (Beziehung Elternschaft mit den Rollen Eltern und Kind); Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

13 ein Prädikatenzeichen BEH drückt den Zusammenhang aus, dass ein Arzt einen Patienten auf eine bestimmte Art behandelt hat (Entityklasse ARZT, PATIENT, Beziehung Behandlung mit Eigenschaft Art). Weitere Zusammenhänge (z.b. die IS-A-Beziehung zwischen ARZT und PERSON) berücksichtigen wir zunächst nicht. Allerdings können aus den oben genannten Prädikaten weitere Prädikate wie MUT(TER), VAT(ER) abgeleitet werden. Funktionszeichen (und damit auch Konstantenzeichen) schreiben wir in Beispielen mit Kleinbuchstaben. Folgende Zeichen verwenden wir u.a. als Konstantenzeichen: wilhelmine, fritz, anton,,, labor F (0). Individuenvariable schreiben wir in Beispielen mit großem Anfangsbuchstaben. Folgende Zeichen verwenden wir u.a. als Individuenvariablen: Name, Geschlecht, Eltern, Patient, Arzt V. Prädikatenzeichen (Relationensymbole) schreiben wir in Beispielen mit Großbuchstaben. Folgende Zeichen verwenden wir u.a. als Prädikatenzeichen: NAME P (1) ; =, PERSON, ELT, MUT, VAT P (2) ; BEH P (3). Die Stellen der Prädikatenzeichen beschreiben wir vorzugsweise mit "sprechend" benannten Individuenvariablen, die auf diese Art neben der Position des Arguments informell auch die Bedeutung des Arguments und ggf. einen Wertebereich und eine Rolle festlegen, z.b. PERSON(Name, Geschlecht) ELT(Eltern, Name) BEH(Patient, Arzt, Art) Atomare Formeln dann z.b.: NAME(wilhelmine), NAME(Name); =(fritz,fritz), PERSON(anton, ); BEH(anton, Arzt, labor). Formeln sind dann außerdem z.b.: PERSON(anton, ) BEH(anton, Arzt, labor); ( Arzt) BEH(anton, Arzt, labor). Die Variable Arzt kommt in der ersten Formel frei, in der zweiten Formel gebunden vor: PERSON(anton, ) BEH(anton, Arzt, labor); ( Arzt) BEH(anton, Arzt, labor). Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

14 Wir benutzen hier folgende Interpretationen für die Prädikatenzeichen: δ(person) := {(wilhelmine, ), (fritz, ), (anton, ), (theresia, ), (maria, ), (hugo, ), (alfons, ), (josef, ), (gerda, )} δ(elt) := {(anton, maria), (anton, hugo), (theresia, alfons), (wilhelmine, anton), (fritz, anton), (wilhelmine, theresia), (fritz, theresia), (josef, gerda)} Die Interpretation δ(elt) kann man sich graphisch wie folgt veranschaulichen: wilhelmine fritz josef anton theresia gerda maria hugo alfons δ(beh) := {(maria, gerda, labor), (maria, gerda, hausbesuch), (maria, gerda, röntgen), (anton, josef, untersuchung), (anton, josef, labor), (anton, josef, beratung), (fritz, josef, beratung), (theresia, josef, röntgen)} Die Formel PERSON(Name, Geschlecht) wird in einer Struktur mit der obigen Interpretation z.b. gültig unter der Variablenbelegung β mit β(name)=wilhelmine, β(geschlecht)=. Sie wird nicht gültig unter der Variablenbelegung β' mit β'(name)=fritz, β'(geschlecht)=. Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

15 Eine Termbelegung des Terms s(null)+s(s(x)) wird bestimmt durch die Interpretation des Konstantenzeichens null, δ(null)=0, durch die Interpretation des Funktionszeichens s, δ(s) = succ: IN IN, und die Variablenbelegung für die Variable X, z.b. β(x)=7. Da (maria, ) δ(person), ist (maria, X) gültig unter der Variablenbelegung β mit β(x)=. Dafür schreiben wir: = M,β PERSON(maria, X) PERSON(maria, ) ist gültig (für alle Variablenbelegungen β): = M PERSON(maria, ) Wir sagen auch: Die Struktur M=(d,δ) ist Modell von PERSON(maria, ) Datenbanken können zu einem großen Teil einfach als aufzählend abgespeicherte Interpretationen für Prädikatenzeichen angesehen werden. Da es im Datenbankbereich üblich ist, dass verschiedene Konstanten(-zeichen) stets verschiedene Dinge der realen Welt bezeichnen, betrachten wir nur injektive Strukturen. Änderungen der Datenbank ändern dann die Interpretation der Prädikatenzeichen (und damit die Gültigkeit von Formeln). Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

16 Die Zuordnung von Argumenten (genauer von aktuellen Parametern zu formalen Parametern) bei Termen und Prädikatenzeichen kann man nach ihrem Namen (Namensparameter) vornehmen, indem man die Parameterpositionen mit sog. Attributen benennt. Legt man eine Reihenfolge auf den formalen Parametern fest, so kann man die Reihenfolge der aktuellen Parameter statt über Namen auch kürzer über die Position (Positionsparameter) ausdrücken. Für das zweistellige Prädikatenzeichen ELT(Elter, Kind) mit den Variablen Elter und Kind als formale Parameter beschreibt dann ELT(Kind:frieda, Elter:egon) die Zuordnung Elter:=egon, Kind:=frieda. Die gleiche Zuordnung kann man auch mit ELT(egon, frieda) ausdrücken. In Herbrand-Strukturen kann man die Interpretation von Prädikatenzeichen beschreiben, indem man jedes Element der Relation mit dem Relationensymbol markiert und dann die Elemente von allen Relationen in einer Menge zusammenfasst (syntaktische oder logische Schreibweise) oder die zugeordneten Relationen getrennt aufführt (semantische oder relationale Schreibweise). Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

17 Zusammen mit der zuvor beschriebenen Möglichkeit, Parameter unbenannt oder benannt zu verwenden, gibt es dann die folgenden vier Beschreibungsarten: Seien R und S zwei Relationensymbole mit δ(r)={(a,b), (c,b), (a,a)} und δ(s)={(e)}. 1. Die unbenannte, syntaktische Schreibweise ist: f={r(a,b), R(c,b), R(a,a), S(e)} 2. Die unbenannte, semantische Schreibweise (relationale Tupelschreibweise) ist: r={(a,b), (c,b), (a,a)}, s={(e)} 3. Die (durch Attribute) benannte, syntaktische Schreibweise ist: f={r(a:a, B:b), R(A:c, B:b), R(A:a, B:a), S(A:e)} 4. Die benannte, semantische Schreibweise (relationale Funktionsschreibweise) 2 ist: r={f 1, f 2, f 3 } mit Funktionen: f 1 (A)=a, f 1 (B)=b; f 2 (A)=c; f 2 (B)=b; f 3 (A)=a, f 3 (B)=a; s={g 1 } mit Funktion: g 1 (A)=e. 2 Manchmal schreibt man diese Funktionen auch als Relation: f 1 ={(A, a), (B, b)}, f 2 ={(A, c), (B, b)}, f 3 ={(A, a), (B, a)}; g 1 ={(A,e)}, Brüggemann, Vorlesungsnotizen zu Datenbanksysteme IIb, Uni Hannover, Sommersemester

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