Duden Schülerhilfen. Flächen und ihre Berechnung 1 Dreiecke und Vierecke. Dudenverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich

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1 Duden Schülerhilfen Flächen und ihre Berechnung 1 Dreiecke und Vierecke von Hans Borucki mit Illustrationen von Detlef Surrey 4., aktualisierte Auflage 5. bis 8. Klasse Dudenverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich

2 Inhaltsverzeichnis 1. Kapitel Flächeneinheiten (5. und 6. Schuljahr) Festlegung der Flächeneinheiten Umrechnungsbeziehungen zwischen den einzelnen Maßeinheiten Die Kommaschreibweise bei Flächenmaßen Test zum 1. Kapitel Kapitel Rechteck und Quadrat (5. und 6. Schuljahr) Einführung Das Rechteck Das Quadrat Flächen, die sich in Quadrate und Rechtecke zerlegen lassen Test zum 2. Kapitel Kapitel Dreiecke (7. und 8. Schuljahr) Einführung Das rechtwinklige Dreieck Das allgemeine Dreieck Test zum 3. Kapitel Kapitel Vierecke (7. und 8. Schuljahr) Einführung Das Parallelogramm Die Raute Das Drachenviereck Das Trapez Test zum 4. Kapitel

3 Inhaltsverzeichnis 5. Kapitel Lösungen Zu den Aufgaben des 1. Kapitels Zu den Aufgaben des 2. Kapitels Zu den Aufgaben des 3. Kapitels Zu den Aufgaben des 4. Kapitels

4 Kapitel 2 Rechteck und Quadrat (5. und 6. Schuljahr) 2.1 Einführung Wenn man etwas messen will, braucht man zuallererst einmal eine Maßeinheit. So lautete der Satz, mit dem das 1. Kapitel begann. Und wir haben uns daraufhin ausführlich mit den Maßeinheiten für die Flächenmessung befasst. Mit den Maßeinheiten allein ist es aber noch nicht getan. Zum Messen braucht man auch noch ein Messgerät. Als Messgerät für die Zeitmessung dient die Uhr. Als Messgerät für die Temperaturmessung dient das Thermometer. Als Messgerät für die Längenmessung dient das Lineal. Wenn wir die Länge einer Strecke messen wollen, legen wir ein Lineal an und lesen ab, wievielmal die Einheitsstrecke von 1 cm in der zu messenden Strecke enthalten ist. Ist das beispielsweise 7-mal der Fall, dann sagen wir: Die Strecke ist 7 cm lang. Falls die Sache nicht aufgeht, können wir zur kleineren Nachbareinheit Millimeter übergehen und ablesen, wievielmal die Einheitsstrecke von 1 mm in der zu messenden Strecke enthalten ist. Ist das beispielsweise 56-mal der Fall, dann hat die Strecke eine Länge von 56 mm. 25

5 2 Rechteck und Quadrat Was aber könnte als Messgerät für die Flächenmessung dienen? Nichts einfacher als das! Statt eines Lineals verwenden wir eine Art von Flächenlineal, und das ist nichts anderes als transparentes Millimeterpapier. Wenn man den Inhalt einer Fläche messen will, legt man transparentes Millimeterpapier über diese Fläche und zählt aus, wie viele Einheitsquadrate von 1 cm Seitenlänge im Inneren der Fläche zu liegen kommen. Die Anzahl dieser Quadrate ist gleich dem in Quadratzentimeter gemessenen Flächeninhalt. Falls die Sache nicht aufgeht und einige der Quadrate teilweise über die Flächenbegrenzung hinausragen, kann man auch zur kleineren Nachbareinheit Quadratmillimeter übergehen, indem man auszählt, wie viele Einheitsquadrate von 1 mm Seitenlänge im Inneren der Fläche zu liegen kommen. Leider aber hat dieses Messverfahren einen gewaltigen Nachteil. Ebenso wie man mit einem Lineal nur die Länge von geraden Linien messen kann, kann man mit unserem Flächenlineal nur quadratische oder rechteckige Flächen ausmessen. So lässt es sich beispielsweise bei Dreiecken, Sechsecken oder Kreisen überhaupt nicht vermeiden, dass einige der Zentimeter- oder Millimeterquadrate des darüber gelegten Millimeterpapiers teilweise über die Flächenbegrenzung hinausragen. Und selbst wenn man zu immer kleineren Quadraten übergehen würde, stets würde man beim Abzählen 26

6 Das Rechteck 2 auf einige stoßen, von denen ein Teil innerhalb und der andere Teil außerhalb der zu messenden Fläche liegt. In diesem Kapitel wollen wir uns aber auf rechteckige und quadratische Flächen beschränken, bei denen das geschilderte Messverfahren grundsätzlich funktioniert. Trotzdem wollen wir aber nach einem einfacheren Verfahren suchen, mit dem man schneller zum Ziel gelangt. 2.2 Das Rechteck Festlegung: Das Rechteck ist ein Viereck, bei dem die benachbarten Seiten senkrecht aufeinander stehen. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. 27

7 2 Rechteck und Quadrat Gelegentlich bezeichnet man die längere Seite des Rechtecks als seine Länge und die kürzere Seite als seine Breite. Diese Unterscheidung dient lediglich der Anschauung. Rein mathematisch betrachtet, ist sie vollkommen überflüssig. Statt von Länge und Breite des Rechtecks sollte man besser von den beiden Seiten des Rechtecks sprechen. Wenn wir wissen wollen, wie viele Quadratzentimeter die Fläche eines Rechtecks misst, dann müssen wir nachprüfen, wie viele Einheitsquadrate von 1 cm Seitenlänge in das Rechteck hineinpassen. Wir könnten dazu das eben beschriebene Flächenlineal verwenden. Aber wer hat schon immer transparentes Millimeterpapier bei sich? Dagegen findet sich ein normales Lineal wohl in jedem Federmäppchen. Versuchen wir also, bei unserer Flächenmessung mit dem normalen Lineal auszukommen. Wir messen damit die Längen der beiden Rechteckseiten aus. Und wenn beispielsweise die eine Seite 6 cm lang ist und die andere 4 cm, dann passen in das Rechteck genau 6 4 = 24 Einheitsquadrate von 1 cm Seitenlänge hinein. 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 4cm 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 2 1cm 6cm 1cm Das Rechteck hat somit einen Flächeninhalt von 24 cm 2. Allgemein gilt: Den Flächeninhalt A eines Rechtecks erhält man, wenn man die Seitenlängen a und b miteinander multipliziert: A = a b. 28

8 Das Rechteck 2 Die Seitenlängen a und b müssen dieselbe Längeneinheit haben! Tun sie das nicht, dann muss man sie vor Anwendung der Formel A = a b zunächst auf dieselbe Längeneinheit bringen. Welche Flächeneinheit das Ergebnis hat, hängt von der Wahl der Längeneinheiten für die Seitenlängen ab. Seitenlängen in mm Flächeninhalt in mm 2 Seitenlängen in cm Flächeninhalt in cm 2 Seitenlängen in dm Flächeninhalt in dm 2 Seitenlängen in m Flächeninhalt in m 2 Seitenlängen in km Flächeninhalt in km 2 Um den Flächeninhalt in Ar herauszubekommen, müsste man die Seitenlängen in der Längeneinheit Dekameter (= 10 m) einsetzen. Um die Flächeneinheit in Hektar herauszubekommen, müsste man die Seitenlängen in der Längeneinheit Hektometer (= 100 m) einsetzen. Beide Längeneinheiten sind jedoch weitgehend unüblich! Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks, dessen Seiten 24 cm und 35 cm lang sind. A=24cm 35cm = (24 35) cm 2 = 840 cm 2. Die eine Seite eines Rechtecks ist 14 m lang, die andere 956 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks? A = 14 m 956 cm = 1400 cm 956 cm = ( ) cm 2 = cm 2 = dm 2 = 1 a 33 m 2 84 dm 2. Einheiten angleichen! 29