Einführung in die Mathematik

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1 Helmut Koch Einführung in die Mathematik Hintergründe der Schulmathematik Zweite, korrigierte und erweiterte Auflage Springer

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Natürliche Zahlen Zählen Die Nachfolgerbeziehung Bezeichnungen für natürliche Zählen Mengen und Abbildungen von Mengen Axiome für die Nachfolgerbeziehung Definition und Beweis durch vollständige Induktion Grundregeln der Addition Kleinerbeziehung und Subtraktion Addition, Folgerungen aus den Grundregeln Definition der Multiplikation Die Grundregeln der Multiplikation und das Distributivgesetz Teilerbeziehung und Division Division mit Rest und euklidischer Algorithmus Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches Potenzen Das Summen- und Produktzeichen 38 2 Die 0 und die ganzen Zahlen Die römischen Zahlzeichen Die Einfuhrung der Der Zahlenstrahl und die geometrische Reihe Negative Zahlen Beweis der Rechengesetze der Adjlition und Multiplikation Die Kleinerbeziehung im Bereich der ganzen Zahlen Die Potenzen von ganzen Zahlen Variation über das Thema Beweis durch vollständige Induktion" Positionssysteme Die Grundrechenarten in einem Positionssystem Lineare Diophantische Gleichungen Der Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung 77

3 VIII Inhaltsverzeichnis 2.13 Folgerungen aus der eindeutigen Primzahlzerlegung Teilbarkeitsregeln Der kleine Fermatsche Satz Public Key Cryptology 86 3 Rationale Zahlen Definition der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare Definition von Addition und Multiplikation rationaler Zahlen Die Rechengesetze für rationale Zahlen Die Bruchrechnung Potenzen von rationalen Zahlen Die Kleinerbeziehung für rationale Zahlen Positionsbrüche Über die Perioden der Positionsdarstellungen rationaler Zahlen Die Summe der m-ten Potenzen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Fiindamentalfolgen Definition der reellen Zahlen Die Grundrechenoperationen mit reellen Zahlen Die Kleinerbeziehung für reelle Zahlen Unendliche Positionsbrüche Vollständigkeit Wurzeln Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzen mit reellen Exponenten Unendliche Summen Beschränkte Zahlmengen Euklidische Geometrie der Ebene Das Inzidenzaxiom und das Abstandsaxiom Strecken, Strahlen und konvexe Mengen Winkel und Dreiecke Winkelmessung Kongruenz Parallelen und Senkrechte Das Parallelenaxiom Ähnlichkeit von Dreiecken Rechtwinklige Dreiecke Kreise Koordinatensysteme Bewegungen 195

4 Inhaltsverzeichnis 6 Reelle Funktionen einer Veränderlichen Polynomfunktionen Stetige Funktionen Der Satz von Bolzano Die Umkehrabbildung Streng monotone Funktionen Die Definition des Differentialquotienten Differentiationsregeln Potenz, Exponentialfunktion und Logarithmus Der Mittelwertsatz Potenzreihenentwicklung Extremwerte einer Funktion Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe des Differentialquotienten Maß und Integral Teilmengen der euklidischen Ebene Dreiecke Polygone Meßbare Teilmengen der euklidischen Ebene Die Kreisscheibe Das bestimmte Integral Der Hauptsatz der Integralrechnung Weitere Regeln für den Umgang mit Integralen Die Kurvenlänge Die Bogenlänge des Kreises Das Cartesische Modell der euklidischen Geometrie Verifikation der Axiome 5.1 bis Kurvenlänge und Bewegungen Verifikation von Axiom Trigonometrie Die trigonometrischen Funktionen Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Dreiecksberechnungen Drehungen Die komplexen Zahlen Quadratische Gleichungen Die Definition der komplexen Zahlen Polarkoordinaten Komplex-konjugierte Zahlen Die Analysis der komplexen Zahlen 314 IX

5 X Inhaltsverzeichnis ; 9.6 Komplexe Funktionen Der sogenannte Hauptsatz der Algebra Polynome mit Koeffizienten in Zahlkörpern Rationale Funktionen mit Koeffizienten in Zahlkörpern Gleichungen dritten Grades mit komplexen Koeffizienten Gleichungen dritten Grades mit reellen Koeffizienten Potenzreihen Nicht-euklidische Geometrie Das Poincare'sche Modell der nicht-euklidischen Geometrie Der nicht-euklidische Abstand zweier Punkte Nicht-euklidische Bewegungen Das Trennungsaxiom Nicht-euklidische Winkelmessung Das Kongruenzaxiom Der n.-e. Satz des Pythagoras Lösungen der Aufgaben 355 Literaturverzeichnis 393 Index 395 Symbolverzeichnis 395 Sachwortregister 399 Namensregister 405

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