lim t 0 s s s = lim G(s), (3.81) sofern die Grenzwerte der Übergangsfunktion existieren (d. h. insbesondere

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1 62 Dynamisches Verhalen von Überragungsgliedern lich, die Pol- bzw. Nullsellen durch reuze bzw. reise in der komplexen s-ebene zu bezeichnen. Da Pol- und Nullsellen konsane komplexe Were sind, is die Lage der sie bezeichnenden Symbole keine Funkion irgendeiner unabhängigen Variablen. Man erkenn (Tab. 3-3), dass die Überragungsfunkion des proporional wirkenden Gliedes nur aus dem nich durch Pol- und Nullsellen darsellbaren Überragungsfakor beseh und dass I-, D- und PT -Glieder durch eine einzige Pol- bzw. Nullselle charakerisier werden. Ferner is zu erkennen, dass die Muliplikaion von Überragungsfunkionen (erforderlich bei Reihenschalung) durch Überlagerung der zugehörigen Pol-Nullsellen-Bilder dargesell werden kann. Dies is möglich, weil die Null- bzw. Polsellen eines Fakors gleichzeiig Null- bzw. Polsellen des gesamen Produkes sind, solange nich einzelne Polsellen und Nullsellen gleiche Were haben und sich dadurch in der Gesamüberragungsfunkion kürzen lassen. 3.8 Grenzwersäze Ein für viele Zwecke sehr handliches Hilfsmiel sind die Grenzwersäze der Laplace-Transformaion. Mi den Aussagen über Anfangs- und Endwer der Funkion f() in Tabelle 3-2 erhäl man den Zusammenhang zwischen Grenzweren von Überragungsfunkion G(s) und Übergangsfunkion h() zu lim h() = lim sh(s) = lim sg(s) s s s = lim G(s), s lim h() = lim sh(s) = lim sg(s) s s s = lim G(s), (3.8) s sofern die Grenzwere der Übergangsfunkion exisieren (d. h. insbesondere endlich sind). Tab. 3-4 zeig Beispiele von zusammengehörenden Überragungs- und Übergangsfunkionen. ersen Beispiel, dem PT -Glied, exisieren alle Grenzwere. zweien Beispiel sind die Grenzwere für s und nich endlich. In der prakischen Anwendung auf regelungsechnische Probleme kann man fas immer annehmen, dass lim h() für exisier, wenn lim G(s) für s exisier. Die Exisenz von lim h() für is gesicher, wenn G(s) ein sabiles Überragungssysem (s. Abschni 5.5) beschreib. (Das I-Glied is in diesem Sinne nich sabil.)

2 2.3 Saisches Verhalen von Regelkreisen 25 X ohne Regler X or X mr X 2 P-Regler 3 Y Y P Y I I-Regler Reglerkennlinie Seigung R Y Z Bild 2-6: ennlinien von Regelsrecke und Regler Z S X Y y R x X W = Y Bild 2-7: Regelkreis mi nichlinearer Regelsrecke (hier: negaives Sellüberragungsverhalen der Regelsrecke) Für den P-Regler erhäl man aus der Gleichung für Abweichungsgrößen y = R x (2.3) durch Einsezen Y Y = R (X X ) (2.3)

3 2.3 Saisches Verhalen von Regelkreisen 27 len, dass Regelungen mi PReglern eine bleibende Regelabweichung aufweisen. Da beim Einsaz eines IReglers alle Beriebspunke auf der Waagerechen X = X liegen müssen, arbeien Regelungen mi IReglern ohne bleibende Regelabweichung, d. h. Sörungen werden durch ensprechend große Änderungen der Sellgröße vollsändig ausgeglichen. Der zu Z = gehörende Beriebspunk is daher der Schnipunk 3 der Linie X = X mi der ennlinie der Regelsrecke für Z =. Ein Vergleich des saischen Verhalens geregeler Anlagen mi P und IReglern fäll offensichlich zugunsen des Reglers mi inegrierendem Verhalen aus. Dennoch sind sehr viele Anlagen mi PReglern ausgerüse, weil neben den saischen auch die dynamischen Eigenschafen und die Geräekosen eine Rolle bei der Wahl des Reglers spielen. Pauschal kann man das Verhalen von P und IRegelungen durch die Aussage charakerisieren, dass P Regler auf Sörungen bzw. Regelabweichungen rasch reagieren, eine bleibende Regelabweichung aber nich vermeiden können, während IRegler keine bleibende Regelabweichung zulassen, aber nur langsam reagieren. Zur Charakerisierung der Wirksamkei einer P-Regelung bei Sörungen dien der Regelfakor R = X mr X or. (2.33) Er is bei sinnvollen Regelungen kleiner als eins. Sein Wer häng vom Überragungsfakor R des Reglers und den Eigenschafen der Regelsrecke ab. Bei nichlinearen Regelsrecken, wie der durch das ennlinienfeld Bild 2-6 beschriebenen, is der Regelfakor keine onsane, sondern von der zugrunde gelegen Sörgrößenänderung abhängig. Folgenden soll für eine durch das ennlinienfeld in Bild 2-8 beschriebene Regelsrecke das saische Verhalen des geschlossenen Regelkreises bei Einsaz eines PReglers mi unerschiedlichem Überragungsfakor berache werden. Beim Vergleich der ennlinienfelder in Bild 2-8 und Bild 2-6 fäll auf, dass die ennlinien der Regelsrecke in einem Fall posiive und im anderen Fall negaive Seigung besizen. Man erkenn (ggf. durch Einragen einer ensprechenden Reglerkennlinie), dass in Bild 2-8 nur Reglerkenn-

4 2.2 Linearisierung, Abweichungsgrößen 7 Folgenden wird mi Abweichungsgrößen y = Y Y, u = U U, z = Z Z, z 2 = Z 2 Z 2,... (2.3) gearbeie werden, wann immer dies zweckmäßig erschein. Zur Unerscheidung von den Absoluweren werden die Abweichungsgrößen, wie in Gl.(2.3), mi leinbuchsaben geschrieben. In einzelnen Fällen kann es zweckmäßig sein, die Abweichungsgrößen zusäzlich auf konsane Bezugswere, z. B. Maximalwere, Arbeispunkwere o. Ä. zu normieren. Normieren auf die Were im Arbeispunk ergib ỹ = Y Y Y = y Y, ũ = u U,.... (2.4) Die Möglichkei der Normierung wird dann genuz, wenn das Miführen von Dimensionen keine zusäzliche larhei oder Sicherhei vermiel. Meis wird jedoch auf ausdrückliche ennzeichnung normierer Größen verziche, weil dies aus dem Zusammenhang hervorgeh. Durch Linearisieren wird ein vorgegebener nichlinearer Ausdruck Y = f(u,z,z 2,...) (2.) in der Umgebung eines Arbeispunkes A mi Y = Y, U = U, Z = Z, Z 2 = Z 2,... (2.5) durch einen linearen Ausdruck y = u u + z + 2 z (2.6) mi den Abweichungsgrößen y,u,z,z 2,... und den onsanen u,, 2,... ersez. Man erhäl die oeffizienen des linearen Ausdruckes Gl.(2.6) durch eine Taylor-Reihenenwicklung der nichlinearen Funkion Gl.(2.). Prakisch muss man dazu die (pariellen) Ableiungen der Ausgangsgröße nach den Eingangsgrößen besimmen. So gewinn man aus [ ] [ ] [ ] Y Y Y y = u + z + z (2.7) U A Z A Z 2 A

5 2 Saisches Verhalen Z Y 2 3 ^ Z 4 Y U = U 5 Y z Y A Y u Y z A U U U Z Z Bild 2-4: Linearisierung eines ennlinienfeldes Seigung der Sekane durch die dem Arbeispunk benachbaren Punke Y(U,Z = 2) und Y(U,Z = 4) gering is. Bei geeigneer Wahl der Sekane erhäl man also nur kleine Fehler, wenn man auf die Tangene verziche. Dieser Schri lieg nahe, weil die Seigung der Sekane ohne zusäzliche Zeichenarbei aus dem ursprünglichen ennlinienfeld (Bild 2-4, links) besimmbar is nach z = [ ] Y Z A [ Yz Z ] U=U. (2.5) Bei dieser Vorgehensweise is darauf zu achen, dass die Sekanen durch Punke geleg werden, die in ewa symmerisch zum Arbeispunk liegen und nich allzu wei von ihm enfern sind. Da das Vorzeichen von der Richung wachsender Were des Parameers Z abhäng, is es wichig, die Differenzen so zu bilden, dass die zu einem Punk gehörenden Y und ZWere mi gleichem Vorzeichen eingesez werden. Welche Were dann mi posiivem und welche mi negaivem Vorzeichen versehen werden, is gleichgülig, d. h. z Y(U,Z = 4) Y(U,Z = 2) (Z = 4) (Z = 2) = Y(U,Z = 2) Y(U,Z = 4). (Z = 2) (Z = 4) (2.6)

6 8 Einführung linksdrehendes Momen m erzeug. Dieses Momen is eine Funkion des Ruderwinkels; wenn man annehmen darf, dass das Momen Änderungen des Ruderwinkels unverzüglich folg und diesem näherungsweise proporional is, kann man den Zusammenhang beider Größen wie in Bild -9 durch einen Block darsellen. Das Momen ereil dem Schiff eine Drehgeschwindigkei α. Wegen des Trägheismomenes des Schiffes änder sich diese Drehgeschwindigkei auch bei sprungförmiger Änderung des Momenes nich sprungförmig, sondern ewa so wie im mileren Block im Bild -9 wiedergegeben. Eine sprungförmige Änderung der Drehgeschwindigkei z. B. von null auf einen konsanen Wer ha einen Drehwinkel α zur Folge, der proporional der Zei beliebig große Were annehmen kann, wie im lezen Block im Bild -9 angedeue wird. m α β m. α α β Bild -9: Wirkungsplan einer ursseuerung Der Wirkungsplan is eine der wichigsen Darsellungsformen regelungsechnischer Aufgaben und Lösungen. Nur korreke und zuverlässige Wirkungspläne führen zu echnisch brauchbaren Lösungen. Beim Aufsellen kompliziererer Wirkungspläne is dringend zu empfehlen, im Gegensaz zur Verfahrensweise im Beispiel, engegen der Wirkungsrichung der Größen vorzugehen, d. h. ausgehend von einer Größe nach deren Ursachen zu fragen und diese Anworen feszuhalen. Dadurch kann man leicher sichersellen, dass alle auf eine Größe wirkenden Einflüsse erfass werden. Die Darsellungsform Wirkungsplan verkörper die grundsäzliche Berachungsweise und auch das wesenliche Ziel des Faches Regelungs-

7 38 Dynamisches Verhalen von Überragungsgliedern unveränderlichen Eigenschafen, mi einer Ausgangsgröße und mi einer oder mehreren Eingangsgrößen berache werden. Solche Glieder können durch lineare Differenialgleichungen mi konsanen oeffizienen beschrieben werden. Für lineare Differenialgleichungen ebenso wie für lineare Überragungssyseme gelen das Versärkungsprinzip und das Überlagerungsprinzip. Beide Prinzipien gehen davon aus, dass die Differenialgleichung oder das Überragungssysem einer Eingangsgröße u() eine Ausgangsgröße y() zuordne. Das Versärkungsprinzip besag, dass einer, mi einem beliebigen konsanen Fakor c muliplizieren Eingangsgröße c u() eine Ausgangsgröße c y() zugeordne wird. Das Überlagerungsprinzip behandel den Fall, dass die Eingangsgröße aus mehreren omponenen u() = u () + u 2 () +... beseh. Es besag, dass die zugehörige Ausgangsgröße in gleicher Weise, nämlich als y() = y () + y 2 () +..., gebilde werden kann. Dabei is y i () die Ausgangsgröße, die der Eingangsgröße u i () zugeordne is. Differenialgleichungen oder Überragungssyseme, für die beide Prinzipien gelen, heißen linear. 3.2 Aufsellen von Differenialgleichungen Die allgemeine Form der linearen Differenialgleichung mi konsanen oeffizienen für ein Glied mi der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y is a n y (n) a 2 ÿ + a ẏ + a y = b u + b u b m u (m). (3.) Reale, physikalisch-echnische Überragungsglieder werden durch Differenialgleichungen beschrieben, in denen die Ordnung n der höchsen vorkommenden Ableiung der Ausgangsgröße größer is als die Ordnung m der höchsen vorkommenden Ableiung der Eingangsgröße. Bei den allermeisen signalüberragenden Anordnungen müssen die Auswirkungen von Speichern für Maerie oder Energie berücksichig werden. Beim Aufsellen von Differenialgleichungen für komplexe Zusammenhänge empfiehl sich ein modulares Vorgehen, ewa. Speicher idenifizieren und durch geeignee Grundgleichungen beschreiben (dadurch Teilsyseme bilden),

8 48 Dynamisches Verhalen von Überragungsgliedern den können. Da sehr viele Aufgaben ohne allzu ief gehende ennnis der Theorie der Laplace-Transformaion mi Hilfe so genanner orrespondenzabellen gelös werden können, soll hier ein kurzer Abriss der Verfahrensweise gegeben werden. Für weiergehende Fragen sei auf die einschlägige Lieraur verwiesen. Der Zusammenhang zwischen Original- und Bildfunkion wird durch die Gleichungen F(s) = f() e s d = L {f()} (3.34) α+j F(s) e s ds für f() = 2πj αj für < = L {F(s)} (3.35) in umkehrbar eindeuiger Weise hergesell. Darin is s = σ + j eine komplexe Variable mi posiivem Realeil und α eine posiive onsane, die so groß zu wählen is, dass das Inegral in Gl.(3.35) konvergier. Die unere Inegraionsgrenze bedeue, dass eine bei = inf() möglicherweise aufreende Unseigkei in die Inegraion einbezogen wird. Abkürzend schreib man für die Verknüpfung von der Funkion F(s) im Bildbereich mi der Funkion f() im Zeibereich F(s) f() bzw. f() F(s). (3.36) Mi Gl.(3.34) erhäl man als Bildfunkion des Einheissprungs f() = () die Funkion F(s) = () e s d = [ s es ] = s ( ) = s (3.37), (3.38) sofern Re(s) = σ>. (3.39)

9 3.5 Laplace-Transformaion 5 F(s) f() für > (f () = für ) (s s p ) n (n )! n e s p n =, 2, 3,... s s 2 + st 2 s 2 + 2D s + 2 ( + st )( + st 2 ) s + st s ( + st )( + st 2 ) s 2 s 2 + 2D s + 2 s( + st) s( + st )( + st 2 ) δ() () T e /T δ() e /T D 2 ed sin( D D 2 e sinh( D 2 ) /T D 2 ) D < D 2 e D = T T e T T 2 (T T 2 ) (T 2 ed (cos D ( ) T T 2 ( e /T 2 T ) D > e /T e /T 2 T T 2 ( 2e /T T T 2 D D sin 2 D ) D D < = D 2 (Te /T T 2 e /T 2) T T T 2 T 2 2 s(s 2 + 2D s + 2 ) e D ( cos D + D sin D 2 D ) Tabelle 3-: orrespondenzafeln F(s) D = f() D < D 2

10 3.7 Überragungsfunkion Überragungsfunkion Abschni 3.5 is bereis deulich geworden, dass die Bildfunkion der Lösung einer Differenialgleichung mi der Bildfunkion der Eingangsgröße muliplikaiv verknüpf is. Insbesondere erhäl man im Fall verschwindender Anfangsbedingungen immer eine Lösung im Bildbereich von der Form Y(s) = G(s) U(s). (3.74) Darin sind Y(s) und U(s) die Bildfunkionen der ensprechenden Größen. G(s) is eine Funkion, die ausschließlich von der Differenialgleichung besimm wird. Sie wird als Überragungsfunkion bezeichne, weil sie beschreib, wie die Größe U(s) in die Größe Y(s) umgewandel wird, d. h. wie eine Größe vom Eingang des durch die Funkion beschriebenen Überragungsgliedes zum Ausgang überragen wird. Als sehr nüzlich erweis sich, dass die Gesamüberragungsfunkion einer beliebigen Zahl von Überragungsgliedern, die in Reihe angeordne sind, das Produk der Überragungsfunkion der einzelnen Glieder is. Da es i. Allg. viel einfacher is, komplexe Funkionen mieinander zu muliplizieren, als Differenialgleichungen zusammenzufassen, eröffne sich hier ein gu gangbarer Weg zu einer Beschreibung des dynamischen Verhalens einer Anordnung aus mieinander verbundenen Überragungsgliedern. Aus der Differenialgleichung a n y (n) a ẏ + a y = b u + b u b m u (m) (3.75) erhäl man durch Laplace-Transformaion beider Seien bei verschwindenden Anfangsbedingungen a n s n Y(s)+...+ a sy(s) + a Y(s) = b U(s)+ b su(s) b m s m U(s) (3.76) und daraus durch Zusammenfassen Y (s)(a n s n a s + a ) = U(s)(b + b s b m s m ). (3.77) Daraus läss sich die Überragungsfunkion als Quoien Y(s) U(s) = b ms m b s + b a n s n a s + a = Z(s) N(s) = G(s) (3.78)

11 3.9 Frequenzgang 63 Bez..... Uberragungsfunkion Ubergangsfunkion G(s) = + st h PT lim s lim s + st = = lim + st = = lim h () h () G(s) = I s h I lim s I s, lim h () nich exisen I lim s s = = lim h () Tabelle 3-4: Beispiele für Grenzwere 3.9 Frequenzgang 3.9. Allgemeines Aus der Überragungsfunkion G(s) kann man durch einen rech einfachen formalen Schri den Frequenzgang gewinnen. Man muss nur die komplexe Variable s = σ + j ersezen durch die imaginäre Variable j, z. B. indem man den Realeil σ der Variablen s gegen null gehen läss. Dadurch wird aus der vorher benuzen Beziehung Y(s) = G(s) U(s) (3.74) die für den Frequenzgang G(j) gülige Y(j) = G(j) U(j). (3.82)

12 3.9 Frequenzgang 7 und y charakerisier. Einsezen der Größen in die Gl.(3.9) des Tozeigliedes führ uner Beachung der unerschiedlichen Argumene zu y e j = u e j(t ) = u e j e jt. (3.) Daraus ergib sich die Gleichung für die Zeiger y = u e jt (3.2) und aus dieser Beziehung der gesuche Frequenzgang als Quoien der Zeiger von Aus- und Eingangsgröße, indem man die Gleichung ensprechend umsell. G(j) = y u = ejt (3.3) Der gewonnene Frequenzgang is eine ranszendene Funkion der reisfrequenz Messen von Frequenzgängen Gegensaz zur Überragungsfunkion is der Frequenzgang eines Überragungssysems messechnisch zu erfassen. Dazu wird in Analogie zu der Vorgehensweise in Abschni das ineressierende Sysem mi einer sinus-(oder cosinus-)förmigen Eingangsgröße erreg und die resulierende Ausgangsgröße nach Abklingen von Einschwingvorgängen mi der Eingangsgröße verglichen. Aus der in Abschni abgeleieen Lösung der linearen Differenialgleichung geh hervor, dass ein lineares Überragungssysem auf eine Erregung durch eine harmonische (d. h. sinus- oder cosinusförmige) Eingangsgröße u() = U cos( + ϕ u ), u = Ue jϕ u (3.4) mi einer harmonischen Ausgangsgröße y() = Y cos( + ϕ y ), y = Ye jϕ y (3.5) der gleichen Frequenz anwore. Ampliude und Phasenlage der Ausgangsgröße sind i. Allg. von denen der Eingangsgröße verschieden. Beide Größen können durch ihre Zeiger u bzw. y beschrieben werden.

13 72 Dynamisches Verhalen von Überragungsgliedern yu, T U Y ϕ u() y() Bild 3-: Harmonische Eingangs- und Ausgangsgröße Bild 3- zeig einen Ausschni aus einer graphischen Darsellung beider Größen. Da man eine komplexe Zahl wie den Frequenzgang durch Berag und Phasenwinkel darsellen kann G(j) = G(j) e jϕ (3.6) und der Frequenzgang definier is als G(j) = y u = Y U ej(ϕ y ϕ u ), erhäl man den Berag des Frequenzganges als Quoienen der Ampliuden G(j) = Y U (3.7) und den Phasenwinkel des Frequenzganges aus der Phasenverschiebung ϕ(j) = ϕ y ϕ u = ϕ T 36. (3.8) Dabei is zu beachen, dass ϕ der zeiliche Absand eines Nulldurchganges der Eingangsgröße vom ensprechenden gleichsinnigen Nulldurchgang der Ausgangsgröße is. Bei den meisen echnischen Sysemen folg die Ausgangsgröße der Eingangsgröße, sodass, wie auch

14 3.9 Frequenzgang 75 G(j 3 ) G(j ) Re G(j ) Bild 3-: Orskurve eines Frequenzganges für beliebige reelle Were der oeffizienen a, b, c, d reise in der komplexen Ebene beschreiben, deren Mielpunke auf der reellen Achse liegen. Durch diese Aussage und die Grenzwere des Frequenzganges für große bzw. kleine Were der Frequenz wird der Verlauf der Orskurve im vorliegenden Fall fesgeleg. Durch Erweiern mi dem onjugier-omplexen des Nenners des Frequenzganges des PT -Gliedes G(j) = + jt jt jt = jt + 2 T 2 (3.2) erhäl man einen Ausdruck mi reellem Nenner, der leich in einen Realund einen aginäreil zu zerlegen is. Diese können erforderlichenfalls für eine genügende Zahl von Frequenzweren ausgerechne werden. G(j) = + 2 T 2 j T + 2 T 2 (3.2) vorliegenden Fall erkenn man, dass der aginäreil des Frequenzganges für alle posiiven Frequenzen negaiv is. Man erkenn ferner (Tab. 3-5), dass die Orskurve des Frequenzganges in Richung wachsender -Were im Uhrzeigersinn durchlaufen wird; diese Eigenschaf is allen Orskurven von Frequenzgängen gemeinsam, die kausale signalüberragende Glieder beschreiben. Da das ausaliäsprinzip für alle

15 76 Dynamisches Verhalen von Überragungsgliedern echnisch-physikalisch realisierbaren Elemene gil, wird in der Regelungsechnik fas ausschließlich mi Frequenzgängen gearbeie, deren Orskurven im Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Die meisen echnisch ineressanen Frequenzgänge werden durch Orskurven dargesell, die nur durch punkweise Auswerung von Gleichungen für Real- und aginäreil analog zu Gl.(3.2) zu besimmen sind Bode-Diagramm Neben der Orskurvendarsellung wird eine nach H.W. Bode benanne logarihmische Darsellung von Frequenzgängen häufig benuz. sog. Bode-Diagramm werden Berag und Phasenwinkel des Frequenzganges als Funkionen der Frequenz dargesell. Dabei sind die Frequenzachsen und die Beragsachse logarihmisch geeil, der Phasenwinkel wird linear aufgeragen (Bild 3-2). Die Darsellung des Berags wird im Folgenden als Ampliudengang und die des Phasenwinkels als Phasengang bezeichne. lg G G G -, 2 lg ϕ a ϕ,5a -9 o,3a,3a -8 o 2 5 π Bild 3-2: Bode-Diagramm und logarihmische Teilung

16 8 Dynamisches Verhalen von Überragungsgliedern G G I = j G 2 = +jt E2 = T G G 2 G G= G. G 2 E 2 I ϕ o ϕ 2-9 o -8 o ϕ ϕ Bild 3-3: Muliplikaion von Frequenzgängen zu beachen, dass in der Darsellung des Ampliudenganges die Linie G = Bezugslinie is, sodass bei der graphischen Addiion Absände zu Punken oberhalb dieser Linie posiiv und solche zu Punken unerhalb dieser Bezugslinie negaiv zu weren sind. Für den Phasengang gil das Ensprechende für die Nulllinie. Weil die Muliplikaion von Frequenzgängen im Bode-Diagramm leich graphisch ausgeführ werden kann und weil für viele einfache Glieder die Frequenzgänge leich zu konsruieren sind, empfiehl es sich, komplizierere Frequenzgänge, so wei möglich, als Produke einfacher Frequenzgänge aufzufassen und die Muliplikaion graphisch durchzuführen. Diese Verfahrensweise wird dadurch noch erleicher, dass für die meisen regelungsechnischen Fragesellungen eine Darsellung des Ampliudenganges durch Geraden, die Asympoen, genügend genau is. Eine Asympoendarsellung des Phasenganges is dagegen nur in Sonderfällen ausreichend.

17 2 Lineare Regelkreisglieder Bez. P I D Differenialgleichung und Übergangsfunkion Überragungsfunkion und Pol- und Nullsellen- Diagramm Bode-Diagramm Ampliuden- und Phasengang Orskurve des Frequenzgangs h y = u G(s) = G(j) ϕ -9 o o y = I u d h I G(j) I G(s) = s I Re ϕ o -9 o I h. y = D u G(s) = D s Re G(j) ϕ 9 o D o Re Re Re

18 4. Allgemeines 3 PI T h n y (u ud ) G(s) T ( = + = + ) n Tn s Tn Re G(j) ϕ o -9 o Tn PD h y = (u + T v. u) Tv G(s) = ( + Tv s) Re G(j) ϕ 9 o o T v PID T y = (u+ h n Tn u d + T v u). G(s) = ( + T n s Tv Tn G(j) +Tvs) Tn Tv Tv Tn ϕ Tv Tn o 9 Re o -9 o Tabelle 4-2: Regelkreisglieder Re Re Re

19 < 4 Lineare Regelkreisglieder Bez. Differenialgleichung und Übergangsfunkion. Ty + y = u PT h T.. T T 2 y + ( T + T 2)y + y =. u h PT 2 (D ) PT 2 (D < ) Überragungsfunkion und Pol- und Nullsellen Diagramm G(s) = + Ts T Re G(s) = T T 2 s 2 + (T + T 2 ) s + T 2 T Re G(s) = 2 s D s + 2 Re Bode-Diagramm Ampliuden- und Phasengang G(j) ϕ = E T o o o G(j) T T 2 ϕ o -9 o -8 o G(j) ϕ o -9 o -8 o Orskurve des Frequenzgangs = E T Re Re Re... 2 y y y D + = u h arccos D

20 4. Allgemeines 7 y() =u(t ) G(s) = G(j e -st ) PT h T ϕ o o o. Ty()+y()= u( T ) G(s) = + T s e - st G(j ) PT T h T T ϕ o -9 o PA h G(s) s Ty. + y = (utu. ) = T + Ts T G(j) ϕ _ T T Re o -9 o -8 o Tabelle 4-4: Regelkreisglieder T T T 2π n T Re n =,,2,... Re Re

21 42 Reglereinsellung und Sabiliä von Regelkreisen x x w x m w x w T an Einschwingoleranz T ein x z z T ein T an x x max Einschwingoleranz x Bild 5-4: Sprunganworen bei Führung (oben) und Sörung (unen)

22 5.5 Algebraische Sabiliäskrierien 47 Ein anderer Saz von Empfehlungen basier auf Arbeien von Ziegler und Nichols (942) und geh davon aus, dass die ennnisse über die Regelsrecke durch einen Versuch beschaff werden. Der Regler wird dazu als P-Regler berieben (ggf. T n,t v ) und der Regelkreis geschlossen. Ausgehend von einem sabilen Berieb der Regelung wird der Überragungsfakor des Reglers R so wei vergrößer (bzw. der Proporionalbereich X P verringer), bis das Sysem aus Regler und Regelsrecke Dauerschwingungen ausführ (Sabiliäsrand). Von dem dabei erreichen Überragungsfakor R kri und der Periodendauer der sich ergebenden Schwingung T kri wird nach Tab. 5-2 auf empfehlenswere Reglereinsellungen geschlossen. Das Verfahren eigne sich gu für Regelungen mi unübersichlichen Mess- und Sellgeräekeen, weil deren Eigenschafen im Schwingversuch mi erfass werden. Man kann aber auch R kri und T kri aus einer Analyse des Frequenzganges ohne eigenlichen Beriebsversuch gewinnen. Auf den Regelkreis nach Bild 5-4 mi P-Regler angewand, erhäl man aus Bild 5-5 ein R kri = 8 und mi Tab. 5-2 die Empfehlung R = 4. Regler R T n T v P PI PID,5.,45.,6. R kri R kri R kri,85., T kri T kri -,2. T kri Tabelle 5-2: Einsellwere für Reglereinsellung nach einem Schwingversuch 5.5 Algebraische Sabiliäskrierien Da eine echnisch brauchbare Regelung außer funkionsüchig auch unbeding sabil sein muss, sind Sabiliäsunersuchungen schon sehr lange feser Besandeil der Regelungsechnik. Die Regelungsheorie definier unerschiedliche Aren der Sabiliä, von denen hier nur die sog. Überragungs-Sabiliä als Sabiliä schlechhin behandel werden soll. Diese Ar der Sabiliä wird auch in Anlehnung an anglo-amerikanische

23 48 Reglereinsellung und Sabiliä von Regelkreisen Bezeichnungen BIBO-Sabiliä (Bounded Inpu-Bounded Oupu) genann. Sie besag, dass ein sabiles Sysem auf jede beschränke Eingangsgröße mi einer beschränken Ausgangsgröße anworen muss. Die Regelungsheorie ha Hilfsmiel (Sabiliäskrierien) enwickel, mi denen aus der Beschreibung des dynamischen Verhalens eines Sysems auf dessen Sabiliä zu schließen is. Solche rierien weren die das Sysem beschreibenden Differenialgleichungen, Überragungsfunkionen, Frequenzgänge aus, ohne dass spezielle Zeifunkionen, ewa die der Regelgröße, ermiel werden müssen. Für alle linearen Syseme und dami auch für alle Regelkreise, die ausschließlich lineare Glieder enhalen, gil das Überlagerungsprinzip, und daraus folg für das Sabiliäsverhalen, dass die Sabiliä solcher Syseme eine Eigenschaf is, die nich von den Eingangsgrößen der Syseme abhäng. Dami genüg es, die Lösung der dem Sysem zugeordneen homogenen Differenialgleichung auf Sabiliä zu unersuchen. In Abschni 3.4 is gezeig worden, dass die Lösung einer linearen Differenialgleichung mi konsanen oeffizienen a n x (n) a ẋ + a x = x e (5.9) aus der Lösung der homogenen Differenialgleichung und einer parikulären Lösung beseh. Die Lösung der homogenen Differenialgleichung is dabei von der Form x h () = C e λ + C 2 e λ C n e λ n (5.2) mi λ i, (i =,...,n) als Nullsellen des charakerisischen Polynoms a n λ n a λ + a =. (5.2) Von den bisher beracheen Regelkreisgliedern führen lediglich die Tozeiglieder auf Regelkreise mi Differenialgleichungen, die nich in dieses Schema passen. Solche Regelkreise können daher nich mi den im Folgenden beschriebenen algebraischen rierien auf Sabiliä geprüf werden. Es wird gezeig werden, dass Sabiliäskrierien, die den Frequenzgang des aufgeschnienen Regelkreises ausweren, z. B. das Nyquis-rierium, auf diesen Fall anwendbar sind. Man kann (mi Hilfe des Falungsinegrals, vgl. ap. 3.) zeigen, dass die Lösung Gl.(5.2) der homogenen Differenialgleichung für

24 5.5 Algebraische Sabiliäskrierien 49 gegen null gehen muss, dami das zugehörige Sysem überragungssabil is. Wegen der besonderen Eigenschafen der Exponenialfunkionen bedeue dies, dass jeder der Summanden von x h () für große Were der Zei verschwinden muss, d. h. lim C ie λi =, i =,...,n (5.22) für Sabiliä des Sysems. Daraus folg die Forderung Re λ i <, i =,...,n. (5.23) Wird diese Forderung von einer einzigen reellen Nullselle des charakerisischen Polynoms verlez, indem diese Nullselle posiiv is, so enhäl die Lösung der Differenialgleichung einen mi der Zei monoon über alle Grenzen wachsenden Aneil, und das Sysem wird als monoon insabil bezeichne. Aus einem konjugier komplexen Nullsellenpaar mi posiivem Realeil uner den Nullsellen λ i folg ein oszillierender Aneil in der Lösung, dessen Frequenz konsan is, und dessen Ampliude monoon über alle Grenzen wächs; das Sysem is oszillaorisch insabil. Falls eine oder mehrere voneinander verschiedene Nullsellen einen verschwindenden Realeil aufweisen, so enhäl die Lösung Aneile, die weder auf- noch abklingen; wenn dann alle anderen Nullsellen negaive Realeile haben, so is das Sysem am Sabiliäsrand. onjugier komplexe Nullsellenpaare mi verschwindendem Realeil führen zu Dauerschwingungen in der Lösung. Bild 5-6 zeig Nullsellen des charakerisischen Polynoms in der komplexen Ebene und die zu den reellen Nullsellen und Paaren von konjugier komplexen Nullsellen gehörenden Aneile an der Lösung der homogenen Differenialgleichung. Syseme am Sabiliäsrand sind im Sinne der Definiion der (BIBO) Überragungssabiliä nich sabil, da durch mindesens eine geeignee begrenze Anregung ein unbegrenzer Ausgang erzeug werden kann. Aus den angeführen Überlegungen folg ein erses Sabiliäskrierium, nämlich ein Überragungssysem is dann sabil, wenn sämliche Nullsellen des zu seiner Differenialgleichung gehörenden charakerisischen Polynoms negaive Realeile aufweisen. Da die Pole der Überragungsfunkion und die Nullsellen des charake-

25 Algebraische Sabiliäskrierien 5 werden besimme Schemaa und die Grundrechenaren benuz. Bereis 877 wurde von Rouh und 895 von Hurwiz jeweils ein rierium zur Prüfung der Nullsellen von Polynomen angegeben, die noch heue zur Sabiliäsprüfung benuz werden. Mi beiden rierien werden die oeffizienen des charakerisischen Polynoms geprüf. Diese oeffizienen finde man bekannlich in der homogenen Differenialgleichung und im Nenner der Überragungsfunkion bzw. des Frequenzganges (sofern diese als Quoienen zweier Polynome ohne Doppelbrüche dargesell sind) des zu prüfenden Überragungssysems. Ausgehend von der homogenen Differenialgleichung des beracheen Sysems (hier des geschlossenen Regelkreises) a n x (n) a ẋ + a x = (5.24) is eine beiden rierien gemeinsame. Bedingung: Das Sysem is nur dann sabil, wenn alle oeffizienen a n...a vorhanden und posiiv sind. Falls alle oeffizienen negaiv sind, kann die Bedingung erfüll werden, indem die Differenialgleichung mi muliplizier wird. Für das rierium nach Hurwiz laue dann die 2. Bedingung: Das Sysem is nur dann sabil, wenn die Hurwizdeerminane und ihre Unerdeerminanen (nach dem Schema in Gl.(5.25) gebilde) sämlich größer als null sind. a n - a n a n-3 a n-2 a n-5 a n a n- a n =H (5.25) a 3 a a 4 a 2 a a 5 a 3 a

26 52 Reglereinsellung und Sabiliä von Regelkreisen Das Bildungsgesez für die Hurwizdeerminane Gl.(5.25) läss sich so beschreiben, dass auf der Haupdiagonalen die oeffizienen a n,...,a in ihrer naürlichen Reihenfolge sehen und die Spalen so aufgefüll werden, dass die oeffizienen mi von oben nach unen zunehmenden Indizes angeordne sind. Fehlende oeffizienen werden durch Nullen dargesell. Die Definiion der Unerdeerminanen ergib sich aus dem Schema. Für das rierium nach Rouh laue die 2. Bedingung: Das Sysem is nur dann sabil, wenn die Rouhschen Probefunkionen R i sämlich größer als null sind. Die Probefunkionen werden durch das Rechenschema Gl.(5.26) (oder ähnliche Schemaa) ermiel. Dazu werden in zwei Zeilen die oeffizienen der Differenialgleichung angeschrieben und dann aus jeweils zwei Zeilen eine Drie gebilde. Dieses Verfahren is so lange forzusezen, bis man zwei Zeilen mi jeweils nur einem Elemen erhäl. Die Elemene der ersen Spale dieses Schemas sind die Rouhschen Probefunkionen R n,...,r (Gl.(5.27)). a n a n2 a n4 a n a n3 a n5 a n2 a n a n3 a }{{ n } a n2 a n4 a n a n5 a }{{ n } a n4 a n6 a n a n7 a }{{ n } a n6 (5.26) a n3 a n a n2 a n4 a n5 a n a n2 a n6 R n = a n, R n = a n, R n2 = a n2,... (5.27) Neben der Aussage über Sabiliä kann man aus der Folge der Probefunkionen noch die Zahl der Nullsellen des charakerisischen Polynoms mi posiivem Realeil ermieln; sie is nämlich gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel in der Folge der Probefunkionen. Ein Vergleich beider rierien ergib, dass das rierium nach Hurwiz zwar eleganer wirk, wegen der zahlreichen Deerminanenausrech-

27 5.6 Sabiliäsprüfung und Reglereinsellung mi dem Frequenzgang des aufgeschnienen Regelkreises 6 Polsellen von N(s) sind idenisch mi den Polsellen (Unendlichkeissellen) von G (s). Regelkreise, deren G (s) Polsellen in der rechen s-halbebene aufweis, sind im aufgeschnienen Zusand insabil; solche Regelkreise kommen nich allzu häufig vor. Weil andererseis die Überragungsfunkion G meis die Überragungsfunkion einer Reihenschalung einfacher Glieder is, deren Pole und Nullsellen ensprechend den Ausführungen in Abschni 3.9 zu überlagern sind, kann man die Zahl p der Polsellen in der rechen s-halbebene in der Regel ohne großen Aufwand ermieln. m = n p (5.46) m n p Anzahl der Umdrehungen von C in der N( s)-ebene (engegen dem mahemaisch posiiven Sinn) Anzahl der Nullsellen von Ns ( ) im Inneren der urve C (reche s-halbebene) Anzahl der Polsellen von Ns ( ) im Inneren der urve C (reche s-halbebene) Anzahl der Umdrehungen von C um - ( Orskurve von G( j) für << + ) "aufgeschniener Regelkreis" Anzahl der Polsellen von Gz( s) in der rechen s-halb- ebene (s. Gl.(5.35)) [z.b.: Gz( s) sabil n = ] "geschlossener Regelkreis" Anzahl der Polsellen von G( s) in der rechen s-halb- ebene (s. Gl.(5.45)) [z.b.: G( s) sabil p = ] "aufgeschniener Regelkreis" Tabelle 5-3: Zusammenfassung der Überlegungen zum Nyquis- rierium Eine Zusammenfassung der bisher durchgeführen Überlegungen zeig Tab Die Vorgabe n = für Sabiliä des geschlossenen Regelkreises, d. h. m =p ergib eine erse Fassung des Nyquis-rieriums:

28 5.6 Sabiliäsprüfung und Reglereinsellung mi dem Frequenzgang des aufgeschnienen Regelkreises 7 A R - π α R Re d G - Bild 5-24: Ampliuden- und Phasenreserve Die Phasenreserve is der Winkel, den ein Zeiger zu dem Punk, bei dem die Orskurve einen reis mi dem Radius eins schneide, mi der negaiv-reellen Achse bilde α R = ϕ ( d ) ϕ ( π ) (5.65) mi d definier durch G (j d ) =. (5.66) Solle die Orskurve mehrmals die negaive reelle Achse schneiden, so is die kleinse Ampliudenreserve bzw. die kleinse Phasenreserve die enscheidende Größe. Für einen Regelkreis am Sabiliäsrand is A R =, α R =. (5.67) Für Regelkreise, die in erser Linie Sörungen unerdrücken sollen, d. h. für gues Sörverhalen, wird als Enwurfsregel, 5 <A R < 3, ; 2 <α R < 7 (5.68) empfohlen. Für Regelkreise, die in erser Linie die Regelgröße einer Führungsgröße folgen lassen sollen, d. h. für gues Führungsverhalen, laue die ensprechende Empfehlung 4 <A R < ; 4 <α R < 6. (5.69)

29 24 Lineare Abasregelungen Srukur dargesell werden. Auch wenn der Regler, wie in Bild 6-2 gezeig, durch einen Prozessrechner verwirklich wird, der über Eingabesammler (Messsellenumschaler) und Ausgabevereiler zeilich nacheinander mi einer größeren Zahl von (Teil-) Regelsrecken verbunden wird, so führ die Berachung nur eines Regelkreises auf die Srukur von Bild 7-. Sie soll für die folgenden Berachungen zugrunde geleg werden. z Regelsrecke x y H y k Regler e k e w Bild 7-: Einfache Abasregelung Die zeiliche Diskreisierung koninuierlicher Größen, im folgenden Abasung genann, kann man so deuen, dass der koninuierlichen Größe e() enweder eine Folge äquidisaner pulse e () oder eine Folge von Weren e k zugeordne wird (Bild 7-2). Die Flächen der pulse ensprechen dabei den zugehörigen Weren der koninuierlichen Größe. Ihr zeilicher Absand is das Abasinervall T. e () e*( ) e k Bild 7-2: Abaser Die zeidiskree Größe e () bzw. die Werefolge e k kann von zeidiskre arbeienden Überragungsgliedern weierverarbeie werden. Diese Überragungsglieder können als impulsüberragende Syseme behandel werden, die eine Eingangs-pulsfolge e () in eine Ausgangs-pulsfolge y () umformen oder als Syseme, die aus

30 7.2 Lineare zeidiskree Überragungssyseme 243 de Teilsysem durch einen äquivalenen Frequenzgang oder eine Überragungsfunkion beschreiben. anderen Fall muss man Haleglied, Regelsrecke und Abaser durch eine zeidiskree Überragungsfunkion oder eine Differenzengleichung beschreiben und die koninuierliche Führungs- und Sörgröße durch zeidiskree Größen ersezen. Ohne auf Einzelheien einzugehen kann man sagen, dass die Darsellung des Gesamsysems als koninuierliches Sysem dann zweckmäßig sein wird, wenn das Abasinervall T so klein is in Relaion zur Dynamik des Sysems, dass der Abasvorgang das Gesamverhalen nich wesenlich beeinfluss. In solchen Fällen kann es genügen, Abaser und Haleglied durch ein Glied mi einer Tozei T/2 zu ersezen, das dann der Regelsrecke zugerechne wird, einen für diese Regelsrecke geeigneen koninuierlichen Regler zu spezifizieren und diesem dann einen zeidiskreen Regelalgorihmus zuzuordnen. Einzelheien werden im folgenden Abschni 7.2 behandel. Wenn das Abasinervall in Relaion zur Dynamik des Sysems nich mehr vernachlässigbar klein is, wird man i. Allg. zweckmäßigerweise eine Beschreibung des Gesamsysems als zeidiskrees Sysem ansreben. Dazu benöig man die zeidiskree Darsellung des Teilsysems besehend aus Haleglied, Regelsrecke und Abaser und ha diese mi der Darsellung des zeidiskreen Reglers zu verbinden. Dazu nowendige Verfahren werden in Abschni 7.4 ff behandel. 7.2 Lineare zeidiskree Überragungssyseme Der Regler in Bild 7- is ein lineares, zeidiskrees Überragungsglied. Allgemein wandeln solche Überragungsglieder eine Folge von Eingangsweren u k oder Eingangsimpulsen u () in eine Folge von Ausgangsweren y k oder Ausgangsimpulsen y () um. In Analogie zur Beschreibung linearer koninuierlicher Überragungssyseme durch lineare Differenialgleichungen können zeidiskree Überragungssyserme durch Differenzengleichungen beschrieben werden. Solche Differenzengleichungen für Werefolgen sind von der Form a y k + a y k a n y kn = b u k + b u k b m u km (7.2)

31 25 Lineare Abasregelungen Theorems kürzer sein muss als die Hälfe der kürzesen Periodendauer in der abzuasenden Funkion T< T min 2. (7.34) u rekonsruieres Signal Originalsignal,2,8, Abaswere Bild 7-8: Verfälschung durch Unerabasung Bild 7-8 zeig in besonders drasischer Weise die Folgen einer Verlezung des Shannon-Theorems. Ein sinusförmiges Originalsignal mi einer Frequenz von 6 Hz wird mi einer Frequenz von 5 Hz abgease, obgleich die Abasfrequenz größer als 2 Hz sein müsse. Die Folge dieser so genannen Unerabasung is, dass bei umsichiger Rekonsrukion des abgeaseen Signals aus den Abasweren ein sinusförmiges Signal mi einer Frequenz von Hz - der Differenz zwischen Abasfrequenz und Frequenz des Originalsignals - enseh, ein Ergebnis, das mi dem Original so gu wie nichs verbinde. Das Beispiel zeig auch, dass man durch Unerabasung nich nur höherfrequene Signalaneile verlier (den Verlus kann man manchmal durchaus in auf nehmen) sondern auch Verfälschungen des Signals im - meis ineressierenden - Bereich niedriger Frequenzen erhäl, die man im Allgemeinen nich durch irgendwelche Nacharbeien an den Abasweren beheben kann.

32 7.3 Quasikoninuierliche Abasregelungen 253 z Regelsrecke x y, T/2 R e w Bild 7-2: Ersazregelkreis für koninuierliche Regler eingeführen Verfahren angewand werden können. Die Aufgabe geh dadurch über in die, für den Ersazregelkreis nach Bild 7-2 einen koninuierlich wirkenden Regler zu spezifizieren, und diesen dann durch einen geeigneen zeidiskre wirkenden Algorihmus zu verwirklichen. Der Nacheil der zeidiskreen Arbeisweise des Regelalgorihmus wird of dadurch aufgewogen, dass verschiedene Schwierigkeien vermieden werden, die die analoge pneumaische oder elekronische Technik enhäl und dadurch, dass z. B. keine Einschränkungen im Bereich der realisierbaren Parameerwere besehen, wie das bei PID-Reglern mi einem Versärker und ensprechender Beschalung der Fall is. Mi der in Abschni 7.2 eingeführen Näherung für die Differeniaion kann rech einfach die Differenzengleichung gewonnen werden, die einem zeikoninuierlichen PID-Regler ensprich. Aus der Differenialgleichung y = R u + T n udτ + T v u (7.35) erhäl man durch Ableien nach der Zei ( ẏ = R u + ) u + T v ü T n. (7.36)

33 288 Vermasche Regelkreise gende Darsellung nur als Orienierungshilfe aufgefass werden kann. Anschließend wird in diesem apiel auf einige Besonderheien der Mehrgrößen-Regelung eingegangen. 8.2 Vorregelung Vorregelungen haben die Aufgabe, Sörungen des zu regelnden Prozesses so wei wie möglich zu verringern, indem Einflussgrößen, deren Änderungen sörend wirken, durch zusäzliche, meis sehr einfach aufgebaue Regelungen konsan oder nahezu konsan gehalen werden. Bild 8-2 zeig den Wirkungsplan eines Regelkreises mi Vorregelung, die aus der Regelsrecke S v und dem Regler R v beseh. Die Vorregelung soll die Sörgröße z verringern, sodass nur noch die vermindere Sörgröße z auf den Haupregelkreis einwirk. Es leuche ein, dass die durch die Vorregelung zu vermindernden Sörgrößen messbar und beeinflussbar sein müssen. z S v z y S x R v R w Bild 8-2: Vorregelung Als Beispiel möge die Vorregelung des Gasdruckes an gasbeheizen Öfen dienen. In Bild 8-2 ensprich die Sörgröße z den Druckschwankungen im Versorgungsnez, die durch einen Druckregler S v, R v verminder werden, sodass ihr Einfluss auf die Ofenemperaur x gering bleib. Weil die Temperaur noch durch andere Einflüsse veränder werden kann, die sich einer Vorregelung enziehen, kann man auf den Haupregler R nich verzichen. Als Vorregler wird of ein einfacher Druckregler ohne Hilfsenergie eingesez, wie er in Abschni 6.2 beschrieben is. Eine Vorregelung verbesser nich nur das Sörverhalen von Regelungen bezüglich der durch die Vorregelung erfassen Sörgrößen, in vielen Fällen räg sie auch dazu bei, dass der nowendige Sellbereich, der vom

34 8.3 Sörgrößenaufschalung 289 Haupregler beeinflussen Sellgröße (y in Bild 8-2), verringer werden kann, was of die Wirschaflichkei des gesamen Prozesses verbesser. 8.3 Sörgrößenaufschalung Durch die Sörgrößenaufschalung werden aus der Änderung von Grössen, die den zu regelnden Prozess sören, zweckmäßige Änderungen der Sellgröße des Haupregelkreises abgeleie. Die Sellgröße kann im Idealfall die Wirkung der Sörung genau kompensieren, sodass die Regelgröße durch diese Sörung nich beeinfluss wird. Wie Bild 8-3 zeig, wird die Sörgröße z gemessen und durch das Aufschalgerä A der vom Regler erzeugen Sellgröße überlager. Man erkenn, dass für G A = (8.) die resulierende Sellgrößenänderung die Sörgröße z vollsändig kompensieren würde. z y S x A R w Bild 8-3: Sörgrößenaufschalung Bei Regelungen mi analogen Einzelgeräen wird häufig die im folgenden Bild 8-4 dargeselle Srukur benuz, bei der die Sörgröße auf die Regelabweichung aufgeschale wird. Die Wirkung beider Aufschalungen is gleich, wenn in Bild 8-4 zur vollsändigen ompensaion G A G R = (8.2) gesez wird und dami G A = G R (8.3)

35 8.4 Hilfssellgröße 29 gen is die Veränderung der Vorlaufemperaur in Zenralheizungsanlagen als Funkion von Änderungen der Außenemperaur. Bei Raumemperaurregelungen is die Außenemperaur eine der wichigsen Sörgrößen. Wenn durch geeignee Seuerung der Temperaur des Heizungsvorlaufs die Wirkung von Außenemperaurschwankungen auf die Raumemperaur ganz oder eilweise ausgeglichen wird, so kann der Raumemperaurregler i. Allg. einfacher und dami billiger sein und seine Aufgabe dennoch besser erfüllen als ein Regler in einem einfachen Regelkreis. 8.4 Hilfssellgröße Wenn der zu regelnde Prozess im Wirkungsplan als Reihenschalung mehrerer Verzögerungsglieder darsellbar is (Bild 8-5), so kann es sinnvoll sein, eine zusäzliche Sellgröße, die Hilfssellgröße y h, zu verwenden. Wichigse Voraussezung dafür is, dass eine solche Sellgröße überhaup in die Regelsrecke eingeführ werden kann. z y y h x R h R w Bild 8-5: Aufschalung einer Hilfssellgröße Die Hilfssellgröße und der sie erzeugende Regler R h bilden mi einem Teil der Regelsrecke einen Unerregelkreis. Dieser kann i. Allg. wesenlich günsigere dynamische Eigenschafen haben als der Haupregelkreis, weil die zugehörige Teilregelsrecke von niedrigerer Ordnung is als die zum Haupregelkreis gehörende Regelsrecke und der Hilfsregler R h daher ensprechend schneller arbeien kann. Weil der Unerregelkreis die gleiche Führungsgröße und die gleiche Regelgröße wie der Haupregelkreis verarbeie und dies uner güns-

36 294 Vermasche Regelkreise 8-7b dargeselle Lösung mi dem Hilfsregler R h benuz. Wenn G R G R = G Rh h gil, so sind beide Lösungen gleichwerig. (8.4) a) z 2 b) z 2 z x z x y x h y x h R h R h R w R w Bild 8-7: Aufschalung einer Hilfsregelgröße Falls die Verbesserung der Dynamik des Haupregelkreises, die durch die Hilfsregelgröße enseh, zur Vergrößerung des Überragungsfakors des Haupreglers ausgenuz wird, is wie im Fall der Hilfssellgröße zu beachen, dass bei Ausfall des Hilfsregelkreises die Sabiliä des Gesamsysems gefährde sein kann. Wird diese Möglichkei nich genuz, so verminder der Hilfsregler nur die Auswirkungen der von ihm erfassen Sörungen (z, z 2 in Bild 8-7). x w Überhizer x h R h R Einsprizkühler Einsprizwasser Bild 8-8: Dampfemperaurregelung mi Temperaur vor Überhizer als Hilfsregelgröße Als Beispiel soll die schon einmal erwähne Dampfemperaurregelung

37 8.6 askadenregelung 295 erneu herangezogen werden. Ensprechend Bild 8-8 wird i. Allg. nich nur die Temperaur des den Überhizer verlassenden Dampfes gemessen, sondern auch die Temperaur des Dampfes zwischen Einsprizkühler und Überhizer. Diese Messgröße x h wird zur Beeinflussung des Einsprizwassersromes mi benuz. 8.6 askadenregelung Wenn die Voraussezungen für den Einsaz einer Hilfsregelgröße vorliegen, so kann man Haup- und Hilfsregler auch so anordnen, dass der Haupregler R die Führungsgröße des Hilfsreglers R h erzeug (Bild 8-9). Dadurch enseh ein unerlagerer Regelkreis, in dem alle auf den vorderen Teil der Regelsrecke einwirkenden Sörungen (z, z 2 in Bild 8-9) durch den Hilfsregler ausgeglichen werden. z 2 z 3 z x y x h R h R w Bild 8-9: askadenregelung askadenregelungen sind eine sehr häufig benuze Form vermascher Regelkreise. Sie werden of nich nur zur Verbesserung des dynamischen Verhalens der Regelung benuz, sondern auch um Nichlineariäen in einem Teil der Regelsrecke durch den Hilfsregler auszugleichen. Uner ungünsigen Umsänden können zu räge Hilfsregler die Dynamik der Gesamanlage verschlechern; wenn durch den Hilfsregler wesenliche Sörungen wirksam gedämpf werden, kann das dennoch sinnvoll sein. Beispiele für askadenregelungen sind Regelungen in der elekrischen und hydraulischen Anriebsechnik, die of aus mehreren ineinander geschachelen Regelkreisen aufgebau werden, um ein Gesamsysem mi guen dynamischen Eigenschafen zu gewinnen (Bild 8-); ferner un-

38 8.7 Vorseuerung und Führungsgrößenfiler 297 und man erkenn, dass für G A = G S (8.6) das Folgesysem mi Vorseuerung keine dynamischen Fehler aufweis, weil seine Überragungsfunkion G = is. G A y A w G R y G S x Bild 8-: Folgeregelung mi Vorseuerung In der Mehrzahl der Fälle haben die Regelsrecken in solchen Folgeregelungen inegrierendes Verhalen mi Verzögerung (IT - bzw. IT n - Verhalen). Daher muss das Aufschalgerä i. Allg. mehrfach differenzieren und eine Sellgröße erzeugen, die aus einer gewicheen Summe von Ableiungen der Führungsgröße nach der Zei beseh. Wegen geräeechnischer Schwierigkeien und weil höherfrequene Signalaneile durch die Differeniaion sark angehoben werden, muss man sich meis auf sehr wenige Ableiungen beschränken und auf eine vollsändige ompensaion dynamischer Fehler verzichen. Bei Folgeregelungen, die im Voraus bekanne Führungsgrößenverläufe verarbeien, wie z. B. opiereinrichungen oder Vorschubeinrichungen an numerisch geseueren Werkzeugmaschinen, kann man häufig die zur Vorseuerung nowendigen Ableiungen des Führungsgrößenverlaufs analyisch oder auf anderem Wege im Voraus besimmen. Das kann dazu führen, dass der Folgeregelung außer dem Verlauf der Führungsgröße selbs noch die Verläufe ihrer Ableiungen nach der Zei vorgegeben werden können. Das Aufschalgerä ha in diesem Fall nur eine der Regelsrecke ensprechende Gewichung der vorgegebenen Ableiungen durchzuführen. Als Beispiel möge ein numerisch geseuerer Vorschubanrieb (Bild 8-2)

39 35 9 Zusandsraum 9. Allgemeines Der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße von Regelkreisgliedern kann außer durch einzelne Differenialgleichungen meis höherer Ordnung auch durch Syseme von Differenialgleichungen erser Ordnung beschrieben werden. Die Variablen, die zusäzlich zu den Eingangs- und Ausgangsgrößen in solchen Differenialgleichungssysemen aufreen, müssen besimmen Bedingungen genügen und werden dann üblicherweise als Zusandsvariable mi dem Buchsaben x bezeichne. Das Sysem von Differenialgleichungen wird dann so aufgebau, dass die n Ableiungen ẋ i der Zusandsgrößen x i als Funkionen dieser Zusandsgrößen und der p Eingangsgrößen u i ausgedrück werden ẋ = f (x,...,x n,u,...,u p,). ẋ n = f n (x,...,x n,u,...,u p,). (9.) Die q Ausgangsgrößen y i werden als Funkionen der Zusands- und der Eingangsgrößen dargesell y = g (x,...,x n,u,...,u p,). y q = g q (x,...,x n,u,...,u p,). (9.2) Abkürzend werden die Eingangs-, Ausgangs- und Zusandsgrößen zu Vekoren zusammengefass, und man erhäl ẋ = f (x, u,) y = g(x, u,). (9.3) Falle linearer, zeiinvarianer Syseme vereinfachen sich die Gln.(9.3) zu ẋ = A x + B u y = C x + D u (9.4)

40 9.3 Lösung der Zusandsraumgleichungen 37 in geeigneer Weise definier wird. Der skalare Ausdruck e a kann durch eine unendliche Reihe e a (a ) k = k! k= = + a! + (a )2 2! +... (9.46) dargesell werden. Daraus kann man die weierhin benuze Definiion e A (A ) k = k! k= = I +! A + 2 2! A (9.47) ableien. Man erkenn, dass aus der (n n)-marix A die (n n)-marix e A enseh, weil Gl.(9.47) eine Summe von (n n)-marizen darsell. Man kann zeigen, dass die Reihe Gl.(9.47) konvergier und dass d d ea = A e A = e A A. (9.48) Mi diesen Feslegungen laue die der Gl.(9.44) ensprechende Lösung der Zusandsgleichung (9.45) x() = e A x() + e A(τ) Bu(τ)dτ. (9.49) Fall verschwindender Eingangsgröße u = wird x() = e A x() = Φ()x() (9.5) mi der sog. Transiionsmarix Φ() = e A, (9.5) die ensprechend Gl.(9.47) zu besimmen is. Die allgemeine Lösung für die Ausgangsgröße y läss sich mi y = C x + D u (9.52)

41 38 Zusandsraum aus Gl.(9.49) gewinnen zu y() = C e A x() + C e A(τ) B u(τ)dτ + D u(). (9.53) Mi Umformungen, die nich im Einzelnen erläuer werden sollen, kann daraus y() = C e A x() + G( τ) u(τ)dτ (9.54) hergeleie werden mi G() als der sog. Gewichsmarix des Überragungssysems. Als nüzliches Miel zur Lösung von Differenialgleichungen hae sich die Laplace-Transformaion erwiesen. Sie wird so angewand, dass die in der Differenialgleichung aufreenden Zeifunkionen durch ihre Abbilder im Bildbereich der Laplace-Transformaion ersez und die Verknüpfungen zwischen den Zeifunkionen in die ensprechenden zwischen Bildfunkionen überführ werden. Gewichiger Voreil dieser Verfahrensweise is, dass die Operaionen Inegraion und Differeniaion in einfache algebraische Operaionen übergehen. Da die Laplace-Transformaion auf Syseme von Differenialgleichungen in gleicher Weise wie auf einzelne Differenialgleichungen anwendbar is, kann man auch Zusandsgleichungen mi diesem Hilfsmiel behandeln, wenn man dabei die Regeln der Marizenrechnung beache. Die Zusandsgleichungen im Bildbereich der Laplace-Transformaion lauen s X(s) x() = A X(s) + B U(s) Y(s) = C X(s) + D U(s). (9.55) In Gl.(9.55) sind die Vekoren der Bildfunkionen von Zusands-, Eingangs- und Ausgangsgrößen mi Großbuchsaben X(s), U(s), Y(s) bezeichne worden, obgleich sie keine Marizen sind. x() is der Vekor der Anfangsbedingungen der Zusandsgleichung. Die oeffizienenmarizen A, B, C, D werden durch die Transformaion ebenso wenig veränder wie die oeffizienen einer einfachen Differenialgleichung.

42 32 Zusandsraum Elemen, der Gewichsfunkion g(), und die sog. Überragungsmarix G(s) nur aus einem Elemen, der Überragungsfunkion G(s). hier zu berachenden Fall mehrerer Eingangs- und Ausgangsgrößen beseh die Gewichsmarix G() aus einer ensprechenden Anzahl von Gewichsfunkionen, die Eingangs- und Ausgangsgrößen mieinander verknüpfen; in ensprechender Weise sind die Elemene der Überragungsmarix G(s) Überragungsfunkionen, die Bildfunkionen von Eingangs- und Ausgangsgrößen mieinander verbinden. 9.4 Seuerbarkei und Beobachbarkei Aus den allgemeinen Lösungen der Zusandsraumgleichungen (9.49) und (9.54) lassen sich einige wichige Aussagen über das beschriebene Sysem ableien. Zu diesen Eigenschafen zählen die Seuerbarkei und die Beobachbarkei des Sysems, Begriffe, die 96 von alman eingeführ worden sind. Ein Sysem ẋ = A x + B u y = C x + D u (9.6) heiß seuerbar, wenn sein Zusand x durch eine geeignee Eingangsgröße, den Seuervekor u(), in endlicher Zei aus jedem beliebigen Anfangszusand x( ) in den Endzusand überführ werden kann. Ensprechend heiß das Sysem nach Gl.(9.6) beobachbar, wenn man bei bekanner Eingangsgröße u() aus der Messung von y() über ein endliches Zeiinervall den Anfangszusand x( ) eindeuig besimmen kann. Für beobachbare Syseme kann man sog. Zusandsbeobacher konsruieren, die aus den Seuer- und den Ausgangsgrößen Schäzwere der Zusandsgrößen bilden. Man kann zeigen, dass ein Sysem mi einer einzigen Eingangsgröße u und einer einzigen Ausgangsgröße y seuerbar is, wenn die Vekoren b, A b, A 2 b,..., A n b (9.62) linear unabhängig sind. Daher is die (n,n)-seuerbarkeismarix [ ] Q S = b, A b, A 2 b,..., A n b (9.63)

43 9.5 Sabiliä und Regelung im Zusandsraum 32 genau dann regulär, wenn das Sysem seuerbar is. Das heiß Seuerbarkei is genau dann gegeben, wenn de Q S. (9.64) Ein Sysem mi einer einzigen Eingangsgröße u, n Zusandsgrößen und einer einzigen Ausgangsgröße y is genau dann beobachbar, wenn die Vekoren c T, c T A, c T A 2,..., c T A n (9.65) linear unabhängig sind. Beobachbarkei is also genau dann gegeben, wenn die (n,n)-beobachbarkeismarix Q B = regulär is. c T c T A. c T A n (9.66) Für Syseme mi mehreren Eingangs- und mehreren Ausgangsgrößen gelen ensprechend erweiere Bedingungen. 9.5 Sabiliä und Regelung im Zusandsraum 9.5. Sabiliä und Zusandsrückführung Die Pole der Überragungsfunkion, das sind die Nullsellen ihres Nenners, besimmen bekannlich die dynamischen Eigenschafen des Sysems, insbesondere seine Sabiliä und seine Dämpfungseigenschafen. Diese Aussage auf die Gl.(9.6) überragen ergib, dass die Wurzeln der Gleichung de(s I A) = (9.67) für das Verhalen des Sysems wesenlich sind. Die Deerminane in Gl.(9.67) is ein Polynom n-en Grades in s und ensprich dem charakerisischen Polynom. Die Wurzeln der Deerminanen Gl.(9.67) werden

44 9.5 Sabiliä und Regelung im Zusandsraum 323 Das Sysem wird durch die Gleichungen ẋ = A x + B u u = x (9.7) beschrieben, die zusammengefass ẋ = (A B ) x (9.7) ergeben. Gl.(9.7) beschreib ein Sysem ohne Eingangsgrößen mi der Sysemmarix A = A B. (9.72) Polvorgabe Eine Möglichkei des Reglerenwurfs beseh nun darin, die Eigenwere der Marix A vorzugeben und dami aus den bekannen Marizen A und B die Regler- bzw. Rückführmarix zu besimmen. Als Beispiel soll für ein Überragungssysem mi einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße eine Zusandsrückführung nach dem erwähnen Verfahren der Polvorgabe besimm werden. Bild 9-6 zeig den Wirkungsplan des Sysems mi Rückführung. w S u s u b x x c T y u r A k T Bild 9-6: Eingrößensysem mi Zusandsrückführung Das Überragungssysem möge in Regelungsnormalform ensprechend Gl.(9.23) beschrieben sein. Die Zusandsgrößen der Regelungsnormalform lassen sich hierfür in der in apiel 9.2 beschriebenen Weise durch

45 38 Nichlineare Syseme eindeuig mehrdeuig y y y seig u u u Begrenzung y Ansprechschwelle (Toe Zone) y Hyserese y unseig u u u Zweipunk-Glied Dreipunk-Glied Dreipunk-Glied mi Hyserese Bild 2-: ennlinienypen 2..2 Folgeregelungen mi nichlinearen Überragungsgliedern Bei Enwurf und Analyse von Folgeregelungen sind of die Auswirkungen von Nichlineariäen im Überragungsverhalen zu berücksichigen. Zu den häufigsen Nichlineariäen in einfachen Folgesysemen zählen die Begrenzung der Sellgeschwindigkei und die Ansprechschwelle (oe Zone). Beide können durch ein ennlinienglied im Wirkungsplan in Bild 2-2 berücksichig werden. Einigen Aufschluss über die Wirkung solcher nichlinearer Glieder vermieln bereis elemenare Berachungen zum Verhalen der Folgeregelungen im Zeibereich bei einfachen Eingangsgrößen. w e y x I Bild 2-2: Folgesysem mi nichlinearem Überragungsglied