2 Differentialrechnung und Anwendungen

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1 Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug vo Etremwerte, lokale Approimatio vo Fuktioe durch Polyome, Berechug vo Nullstelle ud Grezwerte zähle ebeso zu de Aweduge der Differetialrechug wie die Beschreibug vo Wachstumsprozesse, chemischer Reaktioe oder wirtschaftlicher Abläufe i Wisseschaft ud Techik. Taylorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete y y = f ( ( a eie Kurve y = f( im Pukt (,y liefert eie grobe Näherug für die Fuktio f(, ämlich f( f( + f ( (. Eie bessere Näherug erreicht ma durch Approimatio vo f( mittels Polyome höhere Grades, etwa f( a + a ( + a (, usw. Ist eie Fuktio f( durch eie uedliche Reihe 3 f( = a + a ( + a ( + a ( + = a ( 3 darstellbar ma spricht vo eier Potezreihe mit Etwicklugspukt da gilt ud allgemei f( = a + a ( + a ( + a 3 ( f( = a = f ( = a + a ( + 3a 3 (... f ( = a f ( = a + 6a 3 (... f ( = a f ( = 6a f ( = 6a 3 f ( ( =!a bzw. a = f ( ( /!. Durch Eisetze vo a i obige Reihedarstellug vo f( folgt somit ( f''( f'''( 3 f ( f( = f( + f'( ( + ( + ( + = (.! 3!! = Das ist die Taylorreihe vo f( im Etwicklugspukt. Sie ermöglicht die Berechug der Fuktioswerte vo f uter ausschließlicher Verwedug vo Grudrecheoperatioe. Isbesodere erhält ma für = die Reihe Beispiel: f''( f'''( 3 f( = f( + f'( + + +! 3! Wir bestimme die Tayloretwicklug der Fuktio f( = e im Etwicklugspukt =. Dazu bereche wir

2 Differetialrechug ud Aweduge f ( = f ( =... = e f( = f ( = f ( =... =. Die Taylorreihe für e lautet somit e 3 = = für alle.! 3!! = Die Taylorreihe eier Fuktio muss icht immer kovergiere. Bricht ma die uedliche Reihe ach dem -te Glied ab, erhält ma zur Näherug eie edliche Darstellug, die so geate Taylorsche Formel mit Restglied ( f ( f( = f( + f'( ( + + ( + R.! Das Restglied R gibt dabei de Abbruchfehler a. I. Allg. ist R umso kleier, je größer ist bzw. je äher bei liegt. Ist f: I ( + -mal differezierbar,, I, da ist das Restglied i der Taylorsche Formel gegebe durch R ( + f ( ξ = ( +! ( mit eiem ubekate Wert ξ, welcher zwische ud liegt. Beispiel: Wir betrachte die Fuktio f( = + im Etwicklugspukt =. Mit f( = ud Abbruch der Taylorreihe ach dem kostate Glied erhalte wir das kostate Taylorpolyom t ( =. Bereche wir f ( = /( + ud f ( = /, ergibt sich damit die lieare Approimatio t ( = + /. Mit f ( = (/4( + 3/, f ( = /4 schließlich fide wir die quadratische Approimatio vo f( durch das Taylorpolyom t ( = + / /8. +

3 Differetialrechug ud Aweduge Bricht ma die Taylorreihe gleich ach dem kostate Glied ab, so erhält ma aus der Taylorsche Formel f( = f( + R = f( + f (ξ( mit ξ zwische ud. Schreibe wir a für ud b astelle vo, so folgt der Mittelwertsatz der Differetialrechug: Ist die Fuktio f auf dem Itervall [a,b] differezierbar, da gibt es midestes eie Stelle ξ mit a < ξ < b, sodass f (b f (a f ( ξ =. b a Der Mittelwertsatz, ei für Theorie ud Aweduge gleichermaße wichtiger Satz der Differetialrechug, ist i achsteheder Abbildug veraschaulicht. Er besagt, dass es im Itervall [a,b] stets eie Zwischestelle ξ gibt, so dass die Tagete a f im Pukt ξ parallel zur Sekate über [a,b] ist (siehe Abbildug. y y = f( f(a f(b a ξ b Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug I diesem Abschitt betrachte wir Fuktioe f: D, welche je ach Bedarf zumidest ei- oder zweimal differezierbar sei möge, ud utersuche de Verlauf des zugehörige Fuktiosgraphe. Zu eier Kurvediskussio zähle u.a. die Feststellug des Defiitiosbereichs D, ggf. Periodizität oder Symmetrie, Bestimmug vo Grezwerte, Nullstelle, Etrema, Mootoie, Wedepukte ud Koveität. (i Mootoie Das Vorzeiche vo f gibt das Mootoieverhalte vo f a. Geauer gesagt gilt: Satz: Die Fuktio f: D ist auf eiem Teilitervall I D streg mooto wachsed, we f ( >, streg mooto falled, we f ( <, mooto wachsed, we f (,

4 Differetialrechug ud Aweduge 3 mooto falled, we f ( für alle I gilt. Beweis: Um de Nachweis für de Fall streg mooto wachsed zu erbrige, wähle wir zwei Argumete, I mit < ud erhalte mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differetialrechug f( f( = f (ξ( > f( > f(, da laut Voraussetzug f (ξ > ud >. Somit ist f streg mooto wachsed, wie behauptet. Gaz aalog verläuft der Nachweis i de verbleibede drei Fälle. Beispiel: Für die Fuktio f( = 6 ist f ( = 6 = ( 3. Folglich ist f streg mooto falled für 3 <, d.h. für alle < 3 ud streg mooto wachsed für > 3. (ii Etremwerte rel.ma. = abs.ma. y = f( rel.ma. rel. Mi. abs.mi. a b Wir uterscheide relative ud absolute Etremwerte: Eie Fuktio f: D besitzt a der Stelle D ei relatives Maimum, we f( f( i eier Umgebug vo gilt. Ist dagege f( f( für alle D, so besitzt f a der Stelle ei absolutes Maimum. Aalog sid relative ud absolute Miima erklärt. Relative Etrema köe mit Hilfe der Differetialrechug wie folgt bestimmt werde: Notwedige Bedigug: Besitzt f ei relatives Etremum i, so ist f ( =. Hireichede Bedigug: Gilt f ( = ud zugleich f ( < (bzw. f ( >, so hat f ei relatives Maimum (bzw. relatives Miimum a der Stelle. Beispiele: Für die obe betrachtete Fuktio f( = Bedigug für ei relatives Etremum: f ( = 6 = = 3. 6 erhalte wir als otwedige

5 Differetialrechug ud Aweduge 4 Die hireichede Bedigug führt auf f ( = >, also liegt a der Stelle = 3 ei relatives Miimum vor. Da die Fuktio f eie Parabel beschreibt, liegt hier zugleich auch das absolute Miimum vo f. Gegebe sei die Fuktio f( = e. Wir bereche f ( = ( + e ud f ( = ( e. Aus f ( = ergebe sich die mögliche relative Etremstelle = ud =. Wege f ( = > liegt bei = ei relatives Miimum, wege f ( = e < bei = ei relatives Maimum vo f vor. Das relative Miimum ist zugleich absolutes Miimum, de f( = ud f( > für. Ei absolutes Maimum eistiert dagege auf icht, de lim f ( = Bemerkuge:. Die Bedigug f ( = ist otwedig, aber icht hireiched für ei relatives Etremum a der Stelle. So gilt z.b. für die Fuktio f( = 3, dass f ( =, obwohl bei = kei relatives Etremum vorliegt. Ebeso ist die Bedigug f ( =, f ( < hireiched, aber icht otwedig für ei relatives Maimum a der Stelle, wie etwa das Beispiel f( = 4 mit = zeigt. Die obe agegebee Bediguge sid klarerweise ur zur Bestimmug relativer Etrema vo differezierbare Fuktioe geeiget, wie das Beispiel f( = verdeutlicht. Absolute Etrema eier Fuktio f köe relative Etrema sei, oder aber sie liege am Rad des Defiitiosbereichs vo f. So fidet ma die absolute Etremwerte eier Fuktio f auf eiem Itervall I = [a,b] uter de relative Etremwerte im Iere des Itervalls oder uter de Fuktioswerte i de Radpukte = a bzw. = b. Beispiel: Ei Moopolist bietet auf eiem Markt ei Produkt a, desse Nachfrage durch die Preis-Absatz-Fuktio p( = 89/( + (p Preis, achgefragte Mege gegebe sei, währed die Herstellugskoste durch die Kostefuktio K( = bestimmt seie. Es ist der Gewi des Moopoliste zu maimiere. Wir bestimme zuächst de Umsatz, d.i. das Produkt vo abgesetzter Mege ud Preis, gemäß U( = p( = 89/( +. Werde davo die Koste abgezoge, erhalte wir daraus de Gewi ud usere Optimierugsaufgabe lautet Wir bereche G( = U( K( = 89/( + = ma! 89( ( = = = ( + ( + G ud erhalte die quadratische Gleichug ( + = 89 mit de Lösuge = 5 ud = 9. Wege < kommt diese Lösug jedoch icht i Betracht. Wir bereche och 6936 G ( = 3 ( + <

6 Differetialrechug ud Aweduge 5 ud erkee daraus, dass i = 5 ei relatives Gewimaimum vorliegt. Ei Vergleich des Gewis G(5 = 5 mit de Radwerte G( = ud lim G( = zeigt, dass a der Stelle = 5 das relative ud zugleich absolute Gewimaimum des Moopoliste liegt. (iii Wedepukte ud Koveität Das Vorzeiche vo f ermöglicht die Bestimmug des Krümmugsverhaltes bzw. der Koveität vo f. Satz: Die Fuktio f: D ist auf eiem Teilitervall I D kove, we f mooto wachsed bzw. f (, kokav, we f mooto falled bzw. f ( für alle I gilt. Ferer besitzt f a der Stelle eie Wedepukt, we f ( = ud f (. Wedepukt mit Wedetagete y = f( Kurve uterhalb der Tagete: Rechtskrümmug, kokav Kurve oberhalb der Tagete: Likskrümmug, kove kokav kove Beispiel (Kurvediskussio: Wir wähle wiederum f( = e ud bereche f ( = ( + e, f ( = ( e ud f ( = ( e. Nullstelle: Die eizige Nullstelle liegt bei (,, de f( = =. Grezwerte: Es ist, wie ma überlegt, lim f ( = ud lim f ( =. Etrema: Aus f ( = ergebe sich die mögliche relative Etremstelle = ud =. Tatsächlich liegt bei (, ei relatives ud zugleich absolutes Miimum, bei (, 4e (,.54 ei relatives Maimum, ud ei absolutes Maimum eistiert icht (s.o.. Mootoie: Aus f ( = ( + e folgt f ( > ud damit f streg mooto wachsed für < bzw. für >, währed f ( < ud damit f streg mooto falled für < < gilt.

7 Differetialrechug ud Aweduge 6 Wedepukte: Wir setze f ( =, d.h = ud erhalte die mögliche Wedestelle 3,4 = ±. Wege f ( 3,4 = pukte a diese beide Stelle. ± ± e besitzt f wirklich zwei Wede- Koveität: Das Vorzeiche vo f ( = ( 3 ( 4 e gibt Aufschluss über die Koveität vo f. Für 4 ist f ( ud damit f kove, für 4 3 ist f ( ud f kokav, ud im Fall 3 ist wieder f ( ud f kove. Weitere Aweduge (i Das Newto-Verfahre Das Iteratiosverfahre vo Newto diet zur Bestimmug der Nullstelle eier differezierbare Fuktio f ud liefert ausgehed vo eiem Startwert eie Folge vo Näherugswerte,,,..., welche i der Regel gege eie Nullstele * vo f kovergiert. y y = f ( Dabei ist die Nullstelle der Tagete i a f, also y = f( + f ( ( = = f( /f (.

8 Differetialrechug ud Aweduge 7 Geauso fidet ma als Nullstelle der Tagete i, usw. (siehe Abbildug. Allgemei gilt = f (, f ( + =,,,... Bemerkuge: Offesichtlich muss für jede Näherugswert die Voraussetzug f ( erfüllt sei. Die Kovergez des Verfahres ist jedefalls gesichert, we der Startwert ahe geug bei eier Nullstelle * vo f liegt. Verschiedee Startwerte köe uterschiedliche Nullstelle liefer. Das Newto-Verfahre kovergiert i.a. sehr schell (ma spricht vo quadratischer Kovergez für eifache Nullstelle. Beispiele: Gesucht sid die Nullstelle vo f( = e. Wir bereche f ( = e ud erhalte damit die Iteratio Setzt ma =, so folgt + e = e = + /99 =., =., usw. Somit lautet eie Nullstelle * =.. Zum Startwert = higege erhält ma die Iteratiosfolge = 9.4, = 8.4,..., welche gege die zweite Nullstelle * = 6.47 vo f kovergiert. Zur Berechug der Wurzel a (für a + wähle wir die Fuktio f( = a ud gewie damit die Iteratiosformel a a + = = ( +. Das ist die Formel zum sogeate Babyloische Wurzelziehe, ei Verfahre, welches für jede beliebige positive Startwert gege a kovergiert. Für a = beispielsweise fidet ma damit wie folgt: Wir begie etwa mit = ud bereche iterativ + = (/( + /. Da erhalte wir die Folge =, =.5, =.466, 3 =.44, 4 =.44,...,. die sehr schell gege = kovergiert. (ii Ubestimmte Forme Auf die Frage, wir groß etwa der Ausdruck / sei, gibt es viele Atworte. So gilt z.b.

9 Differetialrechug ud Aweduge 8 si lim = = si 3 lim = = 3 lim lim = = = = Der Ausdruck / ist eie so geate ubestimmte Form, welche im Rahme vo Grezwertberechuge auftritt ud dere Wert icht vo vorherei agegebe werde ka. Weitere ubestimmte Forme sid /,,,, ud. Zur Berechug ubestimmter Forme ka folgeder Satz ützlich sei: Regel vo de l Hospital: Sid die Fuktioe f ud g a der Stelle (liksseitig oder rechtsseitig differezierbar, gilt ferer lim f ( = = lim g( ud eistiert lim, so folgt f ( g ( f ( f ( lim = lim. g( g ( Eie aaloge Aussage gilt, falls lim f ( = = lim g(. Beispiele: si cos lim = = lim = cos lim = = lim si = lim cos =! lim = = lim =... = lim =, d.h., die Epoetialfuktio e e e e wächst scheller als jede Potez vo. l / lim l = ( = lim = lim = lim( = / /

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