Arithmetik in der Grundschule Di Uhr Audimax. Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind

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1 Sommersemester 2015 Arithmetik in der Grundschule Di Uhr Audimax V V Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Zahlenraum bis Zahlsysteme (Kl. 2) V Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 2) V Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2) V Kleines Einmaleins (Kl. 2) V Zahlenraum bis 1 Million (Kl. 3, 4); Stellenwertsysteme V Schriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 3) V Schriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 4) V Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 3) V Zusammenfassung Klausur Uhr, Audimax und HS 1 1

2 V 10 Schriftliches Addieren und Subtrahieren 1 Begriff 2 Diskussionen und Ziele 3 Die schriftliche Addition 4 Die schriftliche Subtraktion Quellen: Radatz/Schipper u. a.: Handbuch alt und Kl. 3 Handbuch neu; Padberg: Arithmetik;Wittmann/Müller: Handbuch II 2

3 1 Begriff Während beim halbschriftlichen Rechnen (gestütztes Kopfrechnen) die mehrstelligen Rechenzahlen immer als Ganzes überblickt und beim Rechnen (geschickt) zerlegt werden müssen (unter Berücksichtigung von Zahlbeziehungen und Gesetzmäßigkeiten), ist das schriftliche Rechnen ein Rechnen mit den Ziffern an den einzelnen Stellen ( Ziffernrechnen ). 3

4 halbschriftlich = schriftlich = wichtige Voraussetzungen: Kopfrechnen (Grundaufgaben) Einsichten in unser Stellenwertsystem (u.a. Bündelungsprinzip) 4

5 2 Diskussionen und Ziele 5

6 Diskussion von Vor- und Nachteilen schriftlicher Verfahren fördern und festigen die Einsicht in den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems vereinfachen das Rechnen mit großen Zahlen Durch die klare Abfolge der Einzelschritte wird eine hohe Rechensicherheit vermittelt. vermitteln Erfolgserlebnisse geben Einblicke in algorithmische Verfahren verführen dazu, sie ständig anzuwenden, auch, wenn andere Rechenmethoden leichter zum Ziel führen verführen zu kognitiver Passivität Sie können rein mechanisch ohne Einsicht in die Zusammenhänge durchgeführt werden. Quelle: Padberg/Benz

7 Nils, Kl. 3 Ich freu mich so, dass ich 1.-Schuljahr-Aufgaben rechnen darf. 7

8 Die schriftlichen Verfahren zu den 4 Grundrechenoperationen werden in der Regel in den Klassenstufen 3 und 4 eingeführt. Das schriftliche Verfahren der Division ist ein sehr komplexes Verfahren. Es wird deshalb nur auf einer recht elementaren Niveaustufe betrachtet. Bei der schriftlichen Subtraktion ist die gegenwärtige Tendenz, das Abziehverfahren zu nutzen. Kinder mit Rechenstörungen sollten möglichst frühzeitig in den schriftlichen Verfahren unterwiesen werden. 8

9 Rahmenplan Rheinland-Pfalz, gültig ab Schriftliche Verfahren verstehen Kompetenzerwartung am Ende der Klasse 4 Rahmenplan, S. 28 9

10 Auszug aus dem Teilrahmenplan Mathematik Rheinland Pfalz, gültig ab (S. 45 ff.) Anhang (s. 47/48): - Abziehen mit Entbündeln - Ergänzen mit Auffüllen - Ergänzen mit Erweitern 10

11 Kernlehrplan Saarland (2009) Rechenergebnisse überprüfen (Rheinland- Pfalz und Saarland) 11

12 3 Schriftliche Addition 12

13 seit KMK 1958 Form und Sprechweise vorgegeben international nur geringfügige Unterschiede, z. B. in Italien: 357+ gerechnet: 876= 7+6= KMK (Kultusministerkonferenz) 13

14 Der Grundgedanke eines effektiven Additionsverfahrens ist ganz einfach: Getrennte Addition in den einzelnen Stellen ergibt die Stellen des Ergebnisses. 6 6 H 13 Z 18 E wird nach dem Bündeln zur Ziffernfolge 748 vgl. Baireuther

15 3.1 Erarbeitung des Verfahrens 15

16 Wie haben Rechenmeister addiert? =? 1. Zahlen legen. 2. Plättchen zusammenschieben. 3. Je zehn Plättchen wechseln. Quelle: Geering, Atlas Mathematik =

17 Beim schriftlichen Addieren nutzen wir das Kommutativ-, das Assoziativ- und das Distributivgesetz: = ( ) + ( ) = (6+7) + (40+30) + ( ) = (6+7) 1 + (4+3) 10 + (3+4)

18 Schreib- und Sprechweise 3 plus 6 gleich 9 5 plus 7 gleich 12; schreibe 2, übertrage 1 5 plus 3 gleich 8 Probe: Die andere Rechenrichtung zum nochmaligen Addieren wählen. Der Sprechrhythmus unterstützt das Verinnerlichen des Verfahrens. 18

19 Flexibilisierung Rechenrichtung verändern: mal von unten nach oben, mal von oben nach unten Rechenrichtung innerhalb einer Aufgabe ändern (vorwiegend für sichere Rechner) 19

20 3.2 Übungsidee 20

21 Palindrome Palindrome sind Wörter, Sätze oder Ziffernfolgen, die von vorne und von hinten gelesen das Gleiche ergeben. OTTO ANNASUSANNA EIN ESEL LESE NIE BEI LIESE SEI LIEB 21

22 Auf folgende Weise erhält man mit der Zeit meistens ein Zahlenpalindrom (Drehwurm): Nimm eine Zahl: 76 Addiere dazu die Umkehrzahl: Addiere zum Resultat 143 wieder die Umkehrzahl: Bei diesem Beispiel gelingt ein Drehwurm schon nach 2 Schritten, manchmal dauert es viel länger. Untersuche die Zahlen 43, 54, 55,

23 4 Die schriftliche Subtraktion 23

24 Die Differenz zweier Zahlen können wir berechnen durch Abziehen (Wegnehmen) Minussprechweise, Ergänzen (Hinzufügen) - Plussprechweise Quelle: Padberg, 2011, S

25 Vorteile der beiden Subtraktionsverfahren Abziehen Natürliche Sinngebung der Subtraktion Sprech- und Schreibweise stimmen überein lebensnahe Sachaufgaben beruhen meistens auf dem Wegnehmen international gebräuchlicher; Abziehen u.a. in: USA, Kanada, Niederlande, Großbritannien, Italien, Spanien, Portugal, Türkei, Japan, China, Finnland, Schweden, Indonesien, Israel,... rechenschwache Kinder können sich dieses Verfahren besser einprägen Ergänzen Es werden nur Plusaufgaben benötigt. Die Subtraktion mehrerer Subtrahenden ist leichter zu handhaben. Die Situation Nullen im Minuenden ist leichter zu handhaben. 25

26 Hintergrund Trotz der Vorteile des Abziehens beim schriftlichen Subtrahieren hat sich die Kultusministerkonferenz (KMK) in den 1950er Jahren und erneut in den 1970er Jahren auf das Ergänzen (kombiniert mit zwei Übertragstechniken) verständigt. Erst in jüngster Zeit hat die KMK aufgrund der lebhaften Diskussion diesen Beschluss aufgehoben und das Verfahren der schriftlichen Subtraktion freigegeben. Als Folge hiervon tauchen in den Schulbüchern meistens beide Verfahren auf. In den Richtlinien und Lehrplänen der Bundesländer werden mitunter beide Verfahren gefordert oder die Entscheidung für ein Verfahren den Lehrenden, bzw. sogar den Schülern (!) überlassen. 26

27 4.1 Die Subtraktionsverfahren Sie unterscheiden sich nach der Rechenrichtung: Ergänzen oder Abziehen Sie unterscheiden sich nach der Art, wie mit dem Übertrag umgegangen wird: Entbündeln (Wechseln, Borgen) Erweitern (gleichsinniges Verändern des Minuenden und Subtrahenden) Auffüllen (Auffüllen des Subtrahenden zum Minuenden) 27

28 Abziehverfahren 28

29 (1) Abziehen mit Entbündeln Einerstelle: 1-6 geht nicht. Ich entbündle einen Zehner und wechsle ihn in 10 Einer um. Ich habe noch 3 Zehner. Ich erhalte 11 E. 11 E 6 E sind 5 E. Zehnerstelle: 3 Z 2 Z = 1 Z. Hunderterstelle: 2 H 1 H = 1 H. Sonderfall: Nullen im Minuenden -5-7 kann ich nicht rechnen. -Einen Zehner kann ich nicht entbündeln, da ich 0 Zehner habe. -Also entbündle ich einen Hunderter in 10 Zehner und davon einen Zehner in 10 Einer. Ich habe noch 9 Zehner. -Ich erhalte 15 Einer 29

30 In den Lehrmaterialien werden unterschiedliche Schreibweisen zur Verwendung der Hilfszahlen verwendet. Während der Übungsphasen sollten Kurzformen entwickelt werden. 30

31 Wie kannst du schriftlich subtrahieren? 1. Wo nötig, vor der Subtraktion aus höheren Stellen wechseln. 2. Spaltenweise subtrahieren. Atlas Mathe 3 31

32 Berechne die Differenzen. Atlas Mathe 3 32

33 (2) Abziehen mit Erweitern Einerstelle: 4-9 geht nicht. Ich erweitere im Minuenden um 10 und im Subtrahenden an der nächsten Stelle um 1. (So wird die Konstanz der Differenz gewahrt.) = 5 Zehnerstelle: 2-8 geht nicht. Ich erweitere deshalb im Minuenden um 10 (um rechnen zu können) und im Subtrahenden der nächsten Stelle um 1 (um die Konstanz der Differenz zu wahren) = 4 Hunderterstelle: 8 5 = 3. Schreibweise: 33

34 Ergänzungsverfahren 34

35 (1) Ergänzen mit Auffüllen (s. Rahmenplan, S. 47) Wahl des Beispiels? Die Auffülltechnik füllt den Subtrahenden stellenweise so weit auf, dass er dem Minuenden gleichkommt. (Wenn nötig wird auch die nächste Stelle im Subtrahenden verändert.) Entspricht dem Herangehen an der Kasse. (Das Geld wird ergänzend herausgegeben, wobei man alle Stellen im Blick hat.) Quelle: Baireuther 35

36 (2) Ergänzen mit Erweitern Einerstelle: 9 bis 4 geht nicht. Ich erweitere im Minuenden um 10 und im Subtrahenden an der nächsten Stelle um 1. (So wird die Konstanz der Differenz gewahrt.) = 14 Zehnerstelle: 8 bis 2 geht nicht. Ich erweitere deshalb im Minuenden um 10 (um rechnen zu können) und im Subtrahenden der nächsten Stelle um 1 (um die Konstanz der Differenz zu wahren) = 12 Hunderterstelle: = 8. 36

37 (3) Ergänzen mit Entbündeln Einerstelle: 6 bis zur 1 geht nicht. Ich entbündle einen Zehner und wechsle ihn in 10 Einer um. Ich habe noch 3 Zehner. Ich erhalte 11 E. 6 E + 5 E = 11 E. Zehnerstelle: 2 Z + 1 Z = 3 Z. Hunderterstelle: 1 H + 1 H = 2 H. 37

38 4. 2 Erarbeitung der Verfahren Atlas Mathematik 3 Weg über die Vorerfahrungen Ausschnitte aus Welt der Zahl, Kl. 3 Nussknacker, Kl. 3 38

39 Weg über die Vorerfahrungen Wir haben schriftlich addiert. Wer kann sich denken, wie man schriftlich subtrahiert? Aufgaben vorgeben oder bilden lassen und Schüler probieren lassen. Überschlagt, kann das stimmen, was ihr gerechnet habt? Rechnet eure Beispiele vor. 39

40 Wie haben die Rechenmeister subtrahiert? =? = Die erste Zahl legen. 2. Wo nötig, Plättchen aus den höheren Spalten wechseln. 3. Plättchen der zweiten Zahl nach unten schieben. (Was oben liegen bleibt, ist das Ergebnis.) Quelle: Geering, Atlas Mathematik 40

41 In die Lehrbücher geschaut Beispiele aus Nussknacker und Welt der Zahl 41

42 Abziehen mit Entbündeln Nussknacker 3, S

43 Ergänzen mit Erweitern Welt der Zahl, S. 105 Dieses Buch zeigt bei Einführung der schriftlichen Subtraktion nur das Ergänzen. Das Abziehen wird als Alternative auf den letzten Seiten des Buches (S. 132) angeboten. 43

44 Fazit 44