Sinus- + Cosinus-Funktion und komplexe Wurzel

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1 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS Polarkoordiate Sius- + Cosius-Fuktio ud komplexe Wurzel 6.1 Im folgede seik 1 1 := {z C z = 1} der Kreis i C mit Radius 1 ud Mittelpukt 0. Wir defiiere π R als die halbe Läge des Kreisrigs K 1. Ist ϕ R, so sei z(ϕ) K 1 wie folgt defiiert: 1. Fall: Ist ϕ 0, so ist z(ϕ) der Pukt auf K 1 de wir erreiche, we wir die Strecke der Läge ϕ im etgegegesetzte Uhrzeigersi vo 1 ausgehed auf dem Kreisrig K 1 zurücklege! (positive Richtug) 2. Fall: Ist ϕ < 0, so ist z(ϕ) der Pukt auf K 1 de wir erreiche, we wir die Strecke ϕ im Uhrzeigersi vo 1 ausgehed auf dem Kreisrig K 1 zurücklege! (egative Richtug) Merke: Die im mathematische Si positive Drehrichtug ist etgege dem Uhrzeigersi! Defiitio 6.2 (VB) Sei ϕ R ud sei z(ϕ) K 1 wie obe. So defiiere wir cos(ϕ) := Re(z(ϕ)), si(ϕ) := Im(z(ϕ)). cos, si : R [ 1, 1] heiße Cosius- ud Siusfuktio. Bemerkug 6.3 (1) Wege Re(z(ϕ)), Im(z(ϕ)) z(ϕ) = 1 gilt cos(ϕ), si(ϕ) [ 1, 1] ϕ R. (2) Da die Läge vo K 1 = 2π (ach Def. vo π gilt z(ϕ + 2π) = z(ϕ), ud da auch cos(ϕ + 2π) = cos(ϕ), si(ϕ + 2π) = si(ϕ) ϕ R Ma sagt auch: Die Abbildug ϕ z(ϕ), cos(ϕ), si(ϕ) sid 2π-periodisch! Aufgrud der Darstellug im Kreis folge die folgede Tatsache: Satz 6.4 (VB) Die Fuktio cos, si : R [ 1, 1] besitze die folgede Eigeschafte: (a) cos 2 (ϕ) + si 2 (ϕ) = 1 ( cos 2 (ϕ) := (cos (ϕ)) 2 etc ) (b) cos(0) = 1, cos ( ( π 2) = 0, cos(π) = 1, cos 3 π) = 0, 2 si(0) = 0, si ( ( π 2) = 1, si(π) = 0, si 3 π) = getext: Julia Wolters

2 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff (c) Es gilt: cos (ϕ + π) = cos(ϕ), si(ϕ+π) = si(ϕ), cos( ϕ) = cos(ϕ), si( ϕ) = si(ϕ) ϕ R. (d) cos : [0, π] [ 1, 1], si : [ π 2, π 2] ud die Abb. [0, 2π) K1 ; ϕ z(ϕ) sid bijektiv. Beweis: Alle Aussage ka ma sich leicht am Eiheitskreis klar mache. Aussage (d) ist zumidest aschaulich klar. Ei rigoroser Beweis hierfür ka später achgeholt werde! Der Beweis vo (a) folgt aus 1 = z(ϕ) 2 = cos(ϕ) + i si(ϕ) 2 = cos 2 (ϕ) + si 2 (ϕ). Bemerkug 6.5 I der Schule wurde Cosius ud Sius eies Wikels mit Hilfe eies rechtwiklige Dreicks defiiert: Ist da ϕ der Wikel im Bogemaß, so gilt cos(ϕ) = Akatete Hypotheuse = x c si(ϕ) = Gegekatete Hypotheuse = y c Diese Defiitio macht ur Si, we ϕ < π 2 ( 90 ), aber da stimmt sie mit userer Defiitio überei: Nach dem Strahlesatz gilt da: x c = cos(ϕ) = cos(ϕ) 1 y c = si(ϕ) = si(ϕ) 1 Auf der Adere Seite folgt hieraus sofort: Ist z = x+iy, so gilt c = z ud x = z cos(ϕ), y = z si(ϕ). Dies gilt auch allgemei: Satz 6.6 (Polarkoordiate, VB) Sei z C mit z 0. Da exisitert geau ei ϕ [0, 2π) mit z = z (cos(ϕ) + i si(ϕ)) Beweis: Wege z z = 1 gilt z K z 1. Da die Abbildug [0, 2π) K 1, φ z(φ) bijektiv ist, existiert geau ei ϕ [0, 2π) mit z = cos(ϕ)+i si(ϕ), also z = z (cos(ϕ) + i si(ϕ)). z getext: Julia Wolters 41

3 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS Bezeichug: Das Paar ( z, ϕ) (0, ) [0, 2π) heißt Polarkoordiate vo z. Der folgede wichtige Satz wird erst viel später bewiese. Wir wolle ih aber scho hier beutze: Satz 6.7 (Additiostheorem) Für alle ϕ, ψ R gilt: a) cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) si(ϕ) si(ψ) b) si(ϕ + ψ) 6.8 (Folgerug, VB) Sid z, w C mit z, w 0. Sid da ϕ, ψ R mit z = z (cos(ϕ) + i si(ϕ)), w = w (cos(ψ) + i si(ψ)), so gilt: z w = z w (cos(ϕ + ψ) + i si(ϕ + ψ)) Fazit: Beim Produkt komplexer Zahle Multipliziere sich die Beträge, ud die Wikel werde addiert. Beweis: z w = z w (cos(ϕ) + i si(ψ)) = z w (cos(ϕ) cos(ψ) si(ϕ) si(ψ) + i (si(ϕ) cos(ψ) + cos(ϕ) si(ψ))) 6.7 = z w (cos(ϕ + ψ) + i si(ϕ + ψ)) Diese geometrische Beschreibug der Multiplikatio i C macht es us sehr leicht komplexe Wurzel zu ziehe: Satz 6.9 (Die -te Eiheitswurzel, VB) Sei N. 1. Es gibt geau paarweise verschiedee Lösuge w 0, w 1,...,w 1 C der Gleichug w = 1, ämlich w k = cos (ϕ k ) + i si (ϕ k ), ϕ k = k2π, k = 0, 1,..., 1 ( Die Zahle w k C heißte die -te Eiheitswurzel.) 42 getext: Julia Wolters

4 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2. Ist 0 a C beliebig, so existiere geau paarweise verschiedee Lösuge z 0, z 1,..., z 1 C der Gleichug z = a. Ist a = a (cos(ϕ) + i si(ϕ)), so gilt z j = z 0 w k mit w k wie i (1) ud z 0 = ( ( ( ))) ϕ + k2π ϕ + k2π a cos + i si für k = 0, 1,..., 1. Skizze: -te Eiheitswurzel (am Beispiel Dies sid geau die Teilugspukte, we ma vo 1 ausgehed, de Kreis ist gleich Stücke teilt = 6) Skizze: -te Wurzel( a( a (am Beispiel π ( π = 6, a = 2i = 2 cos + si ) 2) 2)) Trage zuächst 1 des Wikels ϕ = π ab. Teile de Kreis vo ϕ = π started i 5 glei che Teile. Schlage Kreis mit Radius 6 a = 6 2. Die Zahl z0,...,z j sid die Schittpukte dieses Kreies mit dem Strahle duch dir Kreisteilugspukte. Beweis des Satzes: Zuächst sid die w k = z (ϕ k ) mit ϕ k = k2π, k = 0, 1,..., 1 geau die Teilugspukte für die Aufteilug der Kreisliie i gleichgroße Teile (ausgehed vo 1). Also sid die w k parrweise verschiede! getext: Julia Wolters 43

5 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS Es gilt: w k = ( ( ) ( )) k2π k2π cos + i si 6.7 = cos(k2π) + i si(k2π) = z(k2π) = z(0) = 1 Da ϕ z(ϕ) 2π periodisch. Es bleibt zu zeige: Ist w C bel. Lösug für w = 1, so gilt w = w k für ei k = 0, 1,..., 1 Dazu stelle wir fest: (1) Ist ψ R, so: z(ψ) = 1 l Z mit ψ = k2π (2) Für l Z ex. m Z ud k {0, 1,..., 1} mit l = m +k (Divisio mit Rest) Ist u w C beliebig mit w = 1, so gilt zuächst z = 1, de w = w = 1. Da ex. ach 6.6 ei ϕ [0, 2π) mit w = z(ϕ). Wege 1 = w = (z(ϕ) = z( ϕ) folgt ϕ = l2π für ei l N 0 (da ϕ 0), also ϕ = l2π für ei l N 0. Nach (2) gilt l = m + k mit m N 0, k {0, 1,..., 1}. Da: ( ) ( ) ( ) (k + m)2π k2π k2π w = z(ϕ) = z = z + 2mπ = z = w k, da ϕ z(ϕ) zπ- periodisch. Für de Beweis vo (2) sei u ϕ R mit a = a (cos(ϕ) + i si(ϕ)) = a z(ϕ). Da gilt für z 0 = a ( cos ( ( ϕ ) + i si ϕ )) = a z ( ( ( ϕ ) mit 6.8: z 0 = a z ϕ ) ) = ( ) ( ( a z ϕ )) = a z(ϕ) = a. Also ist z 0 Lösug der Gleichug z = 1. Für z k = z 0 w k, w k wie i (1) folgt da zk = (z 0w k ) = z0 w0 = a 1 = 1, also sid auch alle z k, k = 0, 1,..., 1 Lösuge. Diese sid paarweise verschiede, de z k = z j z 0 w k = z z 0 w 1 0 j w k = w j, ud da die w k sicherlich paarweise versch. für k = 0, 1,..., 1. Sei u z C beliebig mit z = a. Da folgt ( ) z = z z 0 z0 = a a = 1 also z z 0 = w k für ei k ud da z = z 0 w k. 44 getext: Julia Wolters

6 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff Für dem Fall = 2 köe wir auch adere Formalie für die zweite Wurzel agebe: Satz 6.10 Sei 0 a C mit a = α + iβ für α, β R. Da sid die Lösuge z 0, z 1 der Gleichug z 2 = a gegebe durch: 1. Fall: β > 0 ( ) a + α a α z 0, z 1 = ± + i Fall: β < 0 3. Fall: β = 0, α > 0 4. Fall: β = 0, α < 0 ( ) a + α a α z 0, z 1 = ± i 2 2 z 0, z 1 = ± α z 0, z 1 = ±i α < Beweis: Eisetzte ud ausreche (Übugsaufgabe) Als Folgerug erhalte wir eie allgemeie Formel für die Lösug quadratischer Gleichuge i C Satz 6.11 Sid a, b C, so besitzt die quadr. Gleichug z 2 + az + b = 0 die Lösuge: z 0 = a 2 + v 0, z 1 = a 2 + v 1 wobei v 0, v 1 die Lösuge der Gleichug v 2 = a2 4 v 0 = w 1 = 0) Beweis: Quadratische Ergäzug: b sid ( ist a2 4 b = 0, so gilt z 2 + az + b = 0 z 2 + az + a2 4 = a2 4 b ( z + a ) 2 a 2 = 2 4 b z + a 2 = v 0, v 1 getext: Julia Wolters 45