2 Trigonometrische Formeln

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2 Trigonometrische Formeln"

Transkript

1 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v /05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen im Fll spitzer Winkel vorgeführt. Für Winkel 0 <, β < π/ mit + β < π/ htten wir gezeigt, dss sin( + β = sin cos β + cos sin β, cos( + β = cos cos β sin sin β, tn( + β = tn + tn β 1 tn tn β gelten. Um diese Formeln uch uf den Fll stumpfer Winkel uszudehnen, ist es sinnvoll erst einml die Formeln für die Subtrktion spitzer Winkel zu behndeln. Wir beschränken uns dbei uf Sinus und osinus, die Formeln für den Tngens knn mn dnn rechnerisch herleiten. Seien lso zwei Winkel 0 < < β < π/ gegeben. Wir gehen ähnlich wie beim eweis der Additionsformeln vor und betrchten die folgende Figur: A M β D F E Wir beginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Rdius 1. In diesem trgen wir den Winkel β bei M b, und in ihm enthlten dnn uch den kleineren Winkel. Seien A und die Schnittpunkte dieser beiden Winkel mit dem Einheitskreis und fälle ds Lot von A uf M. ezeichnet den Lotfußpunkt, so 8-1

2 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 können wir Sinus und osinus von β im rechtwinkligen Dreieck MA ls sin(β = A und cos(β = M blesen. Fälle nun ds Lot von A uf die untere egrenzung des Viertelkreises und erhlte den Fußpunkt F. Von F us fälle dnn die Lote uf M mit Fußpunkt D und uf A mit Fußpunkt E. Wie beim eweis der Additionsformel ht ds Dreieck F EA bei A den Winkel. Nun ist F ED ein Prllelogrm, lso und sin(β = A = AE E = AE DF cos(β = M = MD + D = MD + F E = AF cos MF sin = sin β cos cos β sin = MF cos + AF sin = cos β cos + sin β sin. Dies sind schon die beiden Subtrktionsformeln, und dmit steht lles bereit uch den Fll stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich drn, dss wir Sinus und osinus durch die Formeln sin π := 1, cos π := 0, sin := sin(π und cos := cos(π für π/ < < π uf den Fll stumpfer Winkel usgedehnt htten. Weiter werden wir die Formeln für omplementärwinkel benötigen, lso die für 0 < φ < π/ gültigen Formeln sin φ = cos φ und cos φ = sin φ. Der erste noch zu behndelnde Fll der Additionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Sitution wird ds Additionstheorem für den Sinus zum Stz des Pythgors und ds des osinus ist klr. Seien nämlich 0 <, β < π/ spitze Winkel mit +β = π/. Dnn sind und β omplementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten sin cos β + cos sin β = sin sin β + cos cos β sowie cos cos β sin sin β = cos sin β sin cos β = sin + cos β = 1 = sin( + β = cos sin sin cos = 0 = cos( + β. 8-

3 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 Der letzte noch verbleibende Fll in dem und β spitze Winkel sind, ist die Sitution 0 <, β < π/ mit einem stumpfen + β, lso + β > π/. In diesem Fll hben wir die beiden omplementärwinkel 0 < π/, π/ β < π/ mit + β = π ( + β < π, und es folgen und sin( +β = sin(π ( +β = sin cos β +cos sin β = cos sin β + sin cos β cos( + β = cos(π ( + β = sin sin β cos cos β = cos cos β sin sin β. Dmit sind lle Fälle behndelt in denen, β beides spitze Winkel sind. Es verbeiben dnn die Möglichkeiten π/ oder β π/. D wir llerdings + β < π hben müssen, können nicht beide Alterntiven zugleich zutreffen, einer der beiden Winkel muss lso spitz sein. Durch eventuelles Vertuschen von und β können wir dnn 0 < < π/ nnehmen. Für β = π/ werden dnn und sin( + β = sin cos( + β = cos ( + π = sin ( π ( + π = sin = cos = sin cos π + cos sin π ( + π ( ( = cos π + π = cos = sin = cos cos π sin sin π. Dmit sind wir beim llerletzten Fll ngelngt, dss lso 0 < < π/ spitz ist und π/ < β < π stumpf ist. Weiter muss + β < π gelten. Diesen Fll führen wir uf Subtrktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < < π β < π/ und somit wird sin( + β = sin(π ( + β = sin((π β sowie = sin(π β cos cos(π β sin = sin β cos + cos β sin cos( + β = cos((π β = cos(π β cos sin(π β sin = cos β cos sin β sin. Auch die Subtrktionsformel läßt sich für 0 < < β < π entsprechend beweisen, d wir inzwischen gesehen ds diese eweise eher uchhltung sind, wollen wir hier druf verzichten dies im Detil vorzuführen. 8-3

4 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5. Verdoppelungs- und Hlbierungsformeln Als Verdoppelungsformeln bezeichnet mn die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verdoppelten Winkel, lso fürsin(, cos( und tn(, und die Hlbierungsformeln sind dnn entsprechend die Formeln für die hlbierten Winkel. Mn knn ll diese Formeln ntürlich durch Spezilisieren der Additionstheoreme uf β = erhlten, lso etw sin( = sin( + = sin cos, cos( = cos( + = cos sin = cos 1 = 1 sin, tn( = tn( + = tn 1 tn. Auch diese Formeln lssen sich geometrisch durch etrchtung einer geeigneten Figur gewinnen. Wir betrchten einen Hlbkreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt M und bezeichnen den unteren Durchmesser dieses Hlbkreises ls A. Dnn ist M der Mittelpunkt von A und es ist A =. Weiter sie ein Winkel 0 < < π/ gegeben und trge diesen im Hlbkreis bei A b. ezeichnet den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Hlbkreis, so ht ds Dreieck A nch dem Stz von Thles 1.Stz 1 bei einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dnn in den Stndrdbezeichnungen gegeben ls = = sin, b = A = cos und c = A =. b β A M P Ziehen wir jetzt die Verbindungsstrecke M, so entsteht ein weiteres Dreieck M. Der Winkel von M bei M ist der Mittelpunktswinkel der Seknte unseres Hlbkreis und unser gegebener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Seknte bei 8-4

5 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 A, der Winkel von M bei M ist nch dem Perepheriewinkelstz 1.Stz.( lso gleich. Fällen wir lso ds Lot von uf A und bezeichnen den Fußpunkt mit P, so sind sin( = P und cos( = MP d die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP ein Rdius unseres Hlbkreises ist und dmit die Länge M = 1 ht. Dem rechtwinkligen Dreieck AP entnehmen wir P sin = = sin(, lso sin( = sin cos b cos und wir hben eine geometrische egründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Ebenflls im Dreieck MP sehen wir cos = AP = 1 + MP = 1 + cos( b b cos, lso cos( = cos 1 und dies ist eine der beiden Verdoppelungsformeln des osinus. Auch die ndere Vrinte dieser Formel können wir n unserer Figur sehen. Dzu bechten wir zunächst ds ds Dreieck M bei M gleichschenklig ist, lso sind die Winkel in diesem Dreieck nch Aufgbe (9. bei und gleich, etw β, und wir erhlten π = +β = (+β, lso β = π/. Im rechtwinkligen Dreieck P liegt dmit bei der Winkel π/ β = n, und es ergibt sich P P sin = = sin, lso uch cos( = MP = 1 P = 1 sin. Wir können n unserer Figur weiter uch zwei Gleichungen für den Tngens von sehen. Im rechtwinkligen Dreieck AP erhlten wir tn = P AP und ebenso liefert ds rechtwinklige Dreieck P tn = = P 1 + MP = sin( 1 + cos(, P P = 1 MP P = 1 cos(. sin( Setzen wir in diese beiden Formeln noch θ = ein, so ergibt sich die Hlbierungsformel des Tngens in ihren beiden Vrinten tn θ = sin θ 1 + cos θ = 1 cos θ. sin θ Mit derselben Substitution ergeben sich us cos( = cos 1 = 1 sin dnn uch die Hlbierungsformeln für Sinus und osinus, us und cos θ = cos θ 1 folgt cos θ = 1 + cos θ cos θ = 1 sin θ ergibt sin θ 1 cos θ =. 8-5

6 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5.3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir uns einige der exkt berechenbren Werte von Sinus, osinus und Tngens nschuen und uns für diese uch jeweils eine geometrische Herleitung überlegen. D die Werte für = π/ direkt vorgegeben sind, beginnen wir mit 60. Wir betrchten ein gleichseitiges Dreieck A mit Seitenlänge = b = c > 0. Nch Aufgbe (9. sind dnn uch lle Winkel in A gleich, lso = β = γ lso hben wir 3 = π und somit ist = π/3. Ebenflls nch Aufgbe (9. stimmen in A die Seitenhlbierende und die Höhe h uf A überein, und der Stz des h Pythgors 1.Stz 1 im rechtwinkligen Dreieck A liefert ( + h =, lso h = 3. Nun können wir Sinus, osinus und Tngens in A blesen und erhlten A sin π 3 cos π 3 tn π 3 = h = 1 3, = 1 = 1, = h 1 = 3. Nun kommen wir zu einem Winkel von 45. Genuso wie sich die Werte des Winkels π/3 durch etrchtung eines gleichseitigen Dreiecks ergben, müssen wir diesml ein gleichseitiges Viereck untersuchen. Gegeben sei ein Qudrt AD der Seitenlänge > 0. Dnn ziehen wir die Digonle A und betrchten D ds rechtwinklige Dreieck A. D dieses Dreieck bei gleichschenklig ist, sind die beiden Winkel bei A und nch Aufgbe (9. gleich, etw. Es folgt = π/, b lso ist = π/4. Mit dem Stz Pythgors 1.Stz 1 folgt für die Länge der Digonle A im Qudrt uch A =, lso A =. Dmit können wir unsere gesuchten trigonometrischen Werte in A blesen und es ergeben sich sin π 4 = = 1 = 1, A cos π 4 = = 1, tn π 4 = =

7 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 Winkel von 36, lso π/5, sind etws komplizierter, dher stellen wir diese erst einml zurück und schuen uns 30 n. Genuso wie π/3 mit einem gleochseitigen Dreieck zu tun htte und π/4 entsprechend mit einem Qudrt, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck betrchten. Ntürlich könnten wir uch einfch die Hlbierzngsformeln des vorigen Abschnitts uf den schon erledigten Winkel π/3 nwenden, wir wollen uns hier ber eine direkte geometrische Herleitung nschuen. Wir strten mit einem gleichseitigen Seckseck der Kntenlänge > 0. Zeichne den Umkreis des Sechsecks mit Mittelpunkt M und Rdius R > 0. Die 360 bei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt und somit ht unser eingezeichnetes Dreieck M A bei M den Winkel = π/6 = π/3. Nch Aufgbe (7 ist die Summe der Innenwinkel des Sechsecks gleich 4π, und d sie lle gleich sind hben wir den eingezeichneten Winkel β = 4π/6 = π/3. Weiter ist ds Dreieck MA kongruent zu MA, und insbesondere sind die Winkel dieser Dreiecke bei A gleich, d.h. M A ist die Winkelhlbierende des Innenwinkels unseres Sechsecks bei A. Insbesondere ht ds Dreieck MA bei A den Winkel β/ = = π/3, d.h. lle Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Dmit ist M A ein gleichseitiges Dreieck und insbesondere ist R =, d.h. Umkreisrdius und Kntenlänge sind gleich. In diesem gleichseitigen Dreieck bilden wir nun die Höhe durch und wie schon früher gesehen ist diese gleich h = ( 3/. D weiter die Höhe uch gleich der Winkelhlbierenden von MA bei ist, erhlten wir ein bei P rechtwinkliges Dreieck MP mit Winkel γ = / = π/6 bei. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem Dreieck b, so ergeben sich M R β γ h P A sin π 6 cos π 6 tn π 6 = / = 1, = h = 1 3, = / h = 1 3. Dmit können wir schließlich zum Winkel π/5 = 36 kommen. Erwrtungsgemäß hängt dieser eng mit dem gleichseitigen Fünfeck zusmmen. Wir werden die Werte cos(π/5 und sin(π/5 zunächst einml lgebrisch herleiten und sie dnn nschließend noch einml geometrisch herleiten. Für die lgebrische Herleitung ist es hilfreich sich die Ebene ls die komplexen Zhlen zu denken. Dnn bilden die fünften Einheitswurzeln ein in den Einheitskreis eingeschriebenes gleichseitiges Fünfeck, konkret können wir ω := e πi 5 = cos π 5 + i sin π 5 8-7

8 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 setzen und unser Fünfeck ht dnn die Ecken 1, ω, ω, ω 3, ω 4. Dbei ist d ω 5 = 1 ist. Wir setzen jetzt Dnn ist + β = 1 und 1 + ω + ω + ω 3 + ω 4 = 1 ω5 1 ω = 0 := ω + ω 4 und β := ω + ω 3. β = ω 3 (1 + ω 3 (1 + ω = ω 3 (1 + ω + ω 3 + ω 4 = ω 5 = 1, lso ist für jedes z uch (z (z β = z ( + βz + β = z + z 1, d.h. und β sind die beiden Nullstellen des rechts stehenden Polynoms. Andererseits können wir diese Nullstellen uch mit der pq-formel zu z = 1 ± = 1 ± 5 berechnen. Um zu sehen welche Whl des Vorzeichens und welche β entspricht, bechte = ω + ω 4 = ω + 1 ω = ω + ω = Re(ω = cos π 5 > 0, β = ω + ω 3 = ω + 1 ω = ω + ω = Re(ω = cos 4π 5 < 0, und dmit müssen sein. Dies ergibt schließlich = 5 1 und β = cos π 5 = = und cos 4π 5 = β =. 4 Dmit sind wir schon beinhe m Ziel und in der nächsten Sitzung werden wir dnn uch cos(π/5 berechnen. 8-8

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln $Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 $Id: trig.tex,v 1.14 016/05/06 1:6:14 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die dditionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der dditionstheoreme

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen

Mehr

3 Trigonometrische Formeln

3 Trigonometrische Formeln Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 $Id: trig.tex,v 1. 018/06/1 14:08:44 hk Exp $ 3 Trigonometrische Formeln 3. Verdoppelungs- und Hlierungsformeln Als Verdoppelungsformeln ezeichnet mn die Formeln

Mehr

3 Trigonometrische Formeln

3 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 07 Montg 6.6 $Id: trig.tex,v.8 07/06/3 6:0:00 hk Exp $ $Id: convex.tex,v.40 07/06/3 6::43 hk Exp $ 3 Trigonometrische Formeln 3. Verdoppelungs- und Hlbierungsformeln m Ende der

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2018 Donnerstag 7.6. $Id: dreieck.tex,v /06/07 14:52:59 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2018 Donnerstag 7.6. $Id: dreieck.tex,v /06/07 14:52:59 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.45 2018/06/07 14:52:59 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.2 Ähnliche Dreiecke Wir htten zwei Dreiecke kongruent gennnt wenn sie sich durch eine ewegung der Ebene ineinnder überführen lssen und

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieur Innen WS 207/208 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2016/2017 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: b h

Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2016/2017 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: b h Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 22.6

Mathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 22.6 $Id: dreieck.tex,v 1.38 017/06/19 16:13:49 hk Exp $ $Id: trig.tex,v 1.17 017/06/ 1:46:01 hk Exp $ Dreiecke.4 Einige Sätze üer Kreise m Ende der letzten Sitzung hatten wir den Umkreisradius R eines Dreiecks

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck

Mehr

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα. Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete

Mehr

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Jens Wirth, Freiberg wirth@mth.tu-freiberg.de 1 Definition y Es sei P ein Punkt uf dem Einheitskreis, 10P = φ. Dnn besitzt 1 P P die Koordinten (cos(φ), sin(φ)).

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v /04/29 15:15:28 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v /04/29 15:15:28 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.11 2013/04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v 1.2 2013/04/29 15:15:28 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.6 Einige Sätze über Kreise m Ende der letzten Sitzung hatten wir den Feuerbachkreis

Mehr

Einige Formeln zum Goldenen Schnitt

Einige Formeln zum Goldenen Schnitt Einige Formeln zum Goldenen Schnitt Eine Strecke wird im Verhältnis geteilt, wenn ds Verhältnis der Gesmtstrecke m+m zur längeren Teilstrecke M gleich dem Verhältnis der längeren Teilstrecke M zur kürzeren

Mehr

Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers

Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers www.mthegmi.de September 2011 Eine interessnte Eigenschft unseres Schreibppiers ichel Schmitz Zusmmenfssung ällt mn von einer Ecke eines I 4 lttes ds Lot uf die igonle durch die benchbrten Eckpunkte, so

Mehr

Lösungen von Hyperplot

Lösungen von Hyperplot ufgbensmmlung Weitere Lösungen zu Geometrieufgben der Mthemtik-Olympide Zentrles Komitee für die Olympiden Junger Mthemtiker Lösungen von Hyperplot zusmmengestellt von Steffen Polster https://mthemtiklph.de

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

Zu Aufgabe 1: Widerlegen Sie die folgenden falschen Behauptungen durch Angabe eines möglichst einfachen Gegenbeispiels:

Zu Aufgabe 1: Widerlegen Sie die folgenden falschen Behauptungen durch Angabe eines möglichst einfachen Gegenbeispiels: Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Übungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 1 Musterlösung zu Bltt 1 vom 5. Juli

Mehr

Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck

Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck -. ein Aufgbe us der pnischen Tempelgeometrie 3. August 006 Gegeben sei ds gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge. Auf der öhenlinie h c = CD befinden sich die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k.

Mehr

Ich kann den SdP anwenden, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen.

Ich kann den SdP anwenden, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.5.018 Themen: Stz des Pythgors, Qudrtische Gleichungen Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn den Stz des Pythgors (SdP) in Worten formulieren.

Mehr

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN:

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Hinweise zu den nregungen zum Nchdenken und für eigene Untersuchungen zu 8.: zu 8.: Wenn die Dreiteilung des weißen Rechtecks durch

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/12 15:01:14 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/12 15:01:14 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 $Id: dreiek.tex,v 1.33 2017/06/12 15:01:14 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreieksberehnung mit Seiten und Winkeln Wir beshäftigen uns gerde mit den Konstruktionsufgben für

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016

Mehr

$Id: integral.tex,v /04/28 13:32:32 hk Exp hk $

$Id: integral.tex,v /04/28 13:32:32 hk Exp hk $ Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 $Id: integrl.tex,v 1.4 009/04/8 13:3:3 hk Exp hk $ Integrlrechnung.3 Die Integrtionsregeln Mit den bisherigen Beispielen hben wir die meisten Integrle behndelt,

Mehr

und mit dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Satz 9 folgt (f (x)g(x) + f(x)g (x)) dx := f(b) f(a) a

und mit dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Satz 9 folgt (f (x)g(x) + f(x)g (x)) dx := f(b) f(a) a $Id: integrl.te,v.59 08/04/7 :5:0 hk Ep $ Integrlrechnung. Die Integrtionsregeln Wir hben nun schon einige Integrle berechnet und insbesondere die Stmmfunktionen der verschiedenen Grundfunktionen bestimmt.

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/09 11:21:33 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/11 13:45:45 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/09 11:21:33 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/11 13:45:45 hk Exp $ $Id: integrl.te,v.62 28/5/9 :2:33 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v.22 28/5/ 3:45:45 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.4 Integrtion rtionler Funktionen In der letzten Sitzung hben wir die Integrtion rtionler Funktionen

Mehr

1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom:

1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom: Tutorium Ynnick Schrör Lösung zur Bonusklusur vom WS 1/13 Ynnick.Schroer@rub.de 1. Februr 016 ID 03/455 1 Folgen ) Folgende Folge ist gegeben: n+1 7 n 1 n 1, 0 1, 1 0 (1) Chrkteristisches Polynom: q 7q

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $ $Id: integrl.te,v.3 24/5/5 5:3:49 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v. 24/5/6 3:37:4 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.5 Ergänzungen Wir sind jetzt m Ende des Kpitels über ds Riemn-Integrl im eigentlichen Sinne ngelngt,

Mehr

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen

Mehr

Strophoiden DEMO. Text Nr Stand 17. April 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

Strophoiden DEMO. Text Nr Stand 17. April 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Strophoiden Tet Nr. 5415 Stnd 17. April 016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de 5415 Strophoiden Vorwort Strophoiden sind wenig beknnte Kurven. Sie werden über eine

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Modulare Ringe mit 8, 7, 6, 4, 3 Ecken

Modulare Ringe mit 8, 7, 6, 4, 3 Ecken www.mthegmi.de September 2015, Updte August 2017 Modulre Ringe mit 8, 7, 6, 4, 3 Ecken Michel Schmitz In [1], S. 92, wird ein chteckiger Sternenkrnz (Abb. 1) vorgestellt, der us cht gleichrtigen Modulen

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - Brückenkurs Mthemtik 016 Winkelbeziehugen

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/29 12:45:52 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/29 12:45:52 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.26 2016/04/29 12:45:52 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir beschäftigen uns weiterhin mit den speziellen Punkten eines Dreiecks und haben in der letzten

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 13. Übung

Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 13. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Ptrizio Neff Christin Thiel 07.07.04 Lösungsvorschlg zu den Präsenzufgben der 3. Übung Präsenzufgbe : Wir hben die Determinnte bisher ls Kriterium zur Invertierbrkeit

Mehr

Mathematik K1, 2017 Lösungen Vorbereitung KA 1

Mathematik K1, 2017 Lösungen Vorbereitung KA 1 Mthemtik K, 07 Lösungen Vorbereitung KA Pflichtteil (etw 0..0 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2 D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 7 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie.. Sei f(x) : () f() . x (c) f( ) . Die Funktion g : t t + ist, dss ds Integrl b dt. Welche der folgenden Aussgen

Mehr

Mathematik Name: Vorbereitung KA2 K1 Punkte:

Mathematik Name: Vorbereitung KA2 K1 Punkte: Pflichtteil (etw 40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet werden dürfen.) Aufgbe : [4P] Leiten Sie

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Stereometrie: Übersicht

Stereometrie: Übersicht Stereometrie: Übersicht Stereometrie ist die Lehre der dreidimensionlen Körper. Wir werden uns nun mit einigen von ihnen beschäftigen.. Prismen Ein Prism besteht us einer Grund und Deckfläche die gleich

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen 2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30

Mehr

Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss

Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss Einser-Flächen HEINZ KLAUS STRICK Online-Ergänzung MNU 66/7 (15.10.01) Seiten 1 5, ISSN 005-5866, Verlg Klus Seeberger, Neuss 1 HEINZ KLAUS STRICK Einser-Flächen Die bgebildeten Figuren hben eines gemeinsm:

Mehr

Mathematik Rechenfertigkeiten

Mathematik Rechenfertigkeiten 2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist.

7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist. 7-1 Elementre Zhlentheorie 7 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz 70 Erinnerung Sei eine ungerde Primzhl, sei Z In 114 wurde ds Legendre-Symbol eingeführt: 1 ist udrtischer Rest modulo, 1 flls gilt ist udrtischer

Mehr

Bitte denken Sie daran, erklärenden Text zu schreiben.

Bitte denken Sie daran, erklärenden Text zu schreiben. Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Bitte denken Sie drn, erklärenden Tet zu schreiben. Pflichtteil (etw 0..40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die

Mehr

Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2011

Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2011 Bericht zur Mthemtischen Zulssungsprüfung im Mi Heinz-Willi Goelden, Wolfgng Luf, Mrtin Pohl Am 4. Mi fnd die Mthemtische Zulssungsprüfung sttt. Die Prüfung bestnd us einer 9-minütigen Klusur, in der 5

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 $Id: uneigentlich.te,v.9 27/5/7 :9:4 hk Ep $ $Id: norm.te,v.39 27/5/7 :22:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle In der letzten Sitzung hben wir begonnen uns mit

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9 D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Übung Analysis in einer Variable für LAK, SS 2010

Übung Analysis in einer Variable für LAK, SS 2010 Übung Anlysis in einer Vrible für LAK, SS Christoph B ) Es sei I R ein offenes Intervll, ξ I und f,...,f n : I R seien lle in ξ differenzierbr. Beweisen Sie: Dnn ist uch f f n : I R in ξ differenzierbr

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

8.4 Integrationsmethoden

8.4 Integrationsmethoden 8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung

Mehr

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)dz := Re [f(γ(t)) γ(t)] dt + i

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)dz := Re [f(γ(t)) γ(t)] dt + i Funktionentheorie Komplexe Kurvenintegrle Themen des Tutoriums m 24.6.25: Jede komplexe Funktion f : D C knn mn drstellen ls f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), wobei u und v reellwertige Funktionen uf R 2

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier

Mehr

Die Versiera der Agnesi

Die Versiera der Agnesi Vermischte Aufgben: Anlysis und Geometrie S.. 1 Die Versier der Agnesi Am 16. Mi 014 zeigte Google ls Erinnerung n den 96. Geburtstg der itlienischen Mthemtikerin Mri Getn Agnesi ein sogennntes Doodle.

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich

Mehr

b) Dasselbe System, die Unbekannten sind diesmal durchnummeriert:

b) Dasselbe System, die Unbekannten sind diesmal durchnummeriert: 1 Linere Gleichungssysteme 1. Begriffe Bspl.: ) 2 x - 3 y + z = 1 3 x - 2 z = 0 Dies ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbeknnten ( Vriblen ) und 2 Gleichungen. Die Zhlen vor den Unbeknnten heißen Koeffizienten.

Mehr

(a) Konstruiere ein Dreieck ABC mit a = 9 cm, b = 6, 5 cm und c = 8 cm. Beschreibe die Konstruktion.

(a) Konstruiere ein Dreieck ABC mit a = 9 cm, b = 6, 5 cm und c = 8 cm. Beschreibe die Konstruktion. Hinweis: Einige ufgben sind us der SMRT-ufgbensmmlung (leicht im Internet zu nden) entnommen, dort nden sich uch Lösungen. Einige sind uch us älteren Schulufgben, Exen, ähnlichem entnommen. Für ndere Übungsufgben

Mehr

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9 Regiomontnus - Gymnsium Hßfurt - Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 9 Wissen und Können Zhlenmengen N Z Q R ntürliche gnze rtionle reelle Aufgen, Beispiele, Erläuterungen N, Z, Q, R Wurzeln (Qudrtwurzel)

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Elementarmathematik II

Elementarmathematik II Goethe-Universität Frankfurt Institut für Mathematik Elementarmathematik II Sommersemester 08 Prof. Dr. Jakob Sti Martin Lüdtke Übungsblatt 9 5. Juni 08 ufgabe 33. (4 Punkte) Zeigen Sie anhand des Einheitskreises,

Mehr

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).

Mehr

(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!

(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)! 0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt

Mehr

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Grundwissen 7. Jhrgngsstufe 1. Symmetrie ) chsenspiegelung : Symmetriechse Mittelsenkrechte Winkelhlbierende Konstruktion Spiegelpunkt, Spiegelchse Mittelsenkrechte: Winkelhlbierende: Lot: Eigenschften

Mehr

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe

Mehr

2.4 Elementare Substitution

2.4 Elementare Substitution .4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe

Mehr

Tag der Mathematik 2016

Tag der Mathematik 2016 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $ Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun

Mehr

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik Dr. I. Lehmnn: Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Corneli Schulz 16.12.2008 Stzgruppe des Pythgors

Mehr

Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten.

Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten. Kpitel 5: ffine bbildungen Prllelprojektion einer Ebene in eine ndere Ebene: Motivtion für die bbildungsvorschrift von chsenffinitäten. E 1 Figuren us E 1. werden uf Figuren us E 2 bgebildet. E 2 Eigenschften?

Mehr

3 Hyperbolische Geometrie

3 Hyperbolische Geometrie Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die

Mehr

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

6. Quadratische Gleichungen

6. Quadratische Gleichungen 6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

$Id: potential.tex,v /12/14 15:55:24 hk Exp $ F (s) ds mit p, q U zu schreiben. Damit

$Id: potential.tex,v /12/14 15:55:24 hk Exp $ F (s) ds mit p, q U zu schreiben. Damit Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. $Id: otentil.te,v. 9// :: hk E $ Potentilfelder. Wegunbhängige Integrierbrkeit Definition.: Seien U R n offen und F : U R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn heißt

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag MAHEMAISCHES INSIU DER UNIVERSIÄ MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 206 Bltt 2 06.07.206 utorium zur Vorlesung Differentil und Integrlrechnung II Berbeitungsvorschlg 45. ) Für die beiden Rechtecke R = [ 3, 3]

Mehr

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Studiengng Diplom-Berufspädgogik Unterrichtsfch Mthemtik Proseminr über Multimedile Linere Algebr und Anlytische Geometrie Ausrbeitung einer Sttsexmensufgbe us der Lineren Algebr Aufgbe 5 usgerbeitet von:

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

4. Der Cauchysche Integralsatz

4. Der Cauchysche Integralsatz 22 Andres Gthmnn 4. Der Cuchysche Integrlstz Es seien D C offen und f : D C eine stetige Funktion. Ht f in D eine Stmmfunktion, so hben wir im letzten Kpitel gesehen, dss Kurvenintegrle über f in D nur

Mehr

Stammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral

Stammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr