Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

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1 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 5. Trigonometrie 5.. Trigonometrische Terme am Einheitskreis 5... Das olarkoordinatensstem Man kann die Lage eines unktes im -dimensionalen Raum folgendermaßen beschreiben:. Man legt eine beliebige Halbgerade mit dem Anfangspunkt O (Ursprung) als so genannte Nullrichtung fest.. Man bestimmt die Entfernung des unktes vom Ursprung: r LE. 3. Man bestimmt das Maß des Winkels zwischen der Nullrichtung und der Halbgeraden [O: mit [ ; 36 [. 9 (5 ) 5 r LE Null richtung Durch r und ist die Lage von eindeutig bestimmt. Man bezeichnet r und als olarkoordinaten des unktes und schreibt: (r ) mit r RI und = + < < Durch den unkt ist der Ortsvektor O festgelegt. Dieser ist Repräsentant eines Vektors v. Deshalb können (r ) auch als olarkoordinaten des Vektors v verstanden werden Sinus und Kosinus Ein Kreis um den Ursprung O ( ) mit dem Radius r = LE heißt Einheitskreis. unkte auf dem Einheitskreis haben die olarkoordinaten ( ). Jedem Winkelmaß lässt sich eindeutig ein unkt des Einheitskreises mit den kartesischen Koordinaten und zuordnen. Für diese Koordinaten ist auch folgende Ausdrucksweise üblich: bezeichnet man mit. bezeichnet man mit cos. LE ( ) cos Definitionsmenge: DI = [ ; 36 ] Wertemenge: \W = [ ; ] Tangens Wir bilden Δ OQ durch zentrische Streckung mit dem Zentrum O ( ) so ab, dass das Bild von unkt auf der Kreistangente t liegt. Die -Koordinate des unktes ist dem Winkelmaß eindeutig zugeordnet. Man bezeichnet sie auch als Tangens : Schreibweise: tan Sprechweise: Tangens phi Den Winkelmaßen = 9 und = 7 lassen sich keine Tangenswerte zuordnen. Als Tangenswert kann jede reelle Zahl auftreten. Also gilt: Definitionsmenge: DI = [ ; 36 ] \ {9 ; 7 } Wertemenge: \W = I R O = tan cos Q Q t

2 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Termen Die Supplementbeziehung Zwei Winkel, deren Maße und * sich zu 8 ergänzen, heißen Supplementwinkel (supplere lat.: ergänzen). Für sie gilt: * = * ( * *) 8. ( p p ) Für die zugehörigen trigonometrischen Terme ergeben sich hieraus nach den Gesetzen der Achsenspiegelung folgende Beziehungen. * = * = * = cos * = cos * = * * * = cos * = cos p = Allgemein gilt: sin (8 ) = cos (8 ) = cos Die Komplementbeziehung Zwei Winkel, deren Maße und * sich zu 9 ergänzen, heißen Komplementwinkel (complere lat.: voll machen). Für sie gilt: * = 9 Nach den Gesetzen der Achsenspiegelung gilt: * = cos * = * = * = cos Allgemein gilt: sin (9 ) = cos cos (9 ) = * cos * * (* *) * ( ) cos Trigonometrische Grundformel Im rechtwinkligen Dreieck OH gilt nach thagoras: () + (cos ) = Dafür schreibt man kurz: sin + cos = Durch diese Beziehung sind die trigonometrischen Terme und cos miteinander verknüpft. Sie lässt sich in ähnlicher Weise für die übrigen Quadranten nachweisen. Sie gilt also für [ ; 36 ]. Stets kann ein Wert aus dem anderen berechnet werden, ohne den Winkel selbst zu bestimmen. Dabei ist die Definitionsmenge von zu beachten. cos H Allgemein gilt. sin + cos = [ ; 36 ] = ± cos cos = ± sin Beziehung zwischen, cos und tan Der Steigungsfaktor m der Geraden g mit = m lässt sich auf zwei Weisen darstellen: m = bzw. m = cos Also gilt: tan = sin cos tan 9 ; 7 = m tan cos

3 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Trigonometrische Werte negativer Winkelmaße Man spricht von einem negativen Winkelmaß, wenn man den Winkel zwischen der positiven -Achse und dem Einheitsvektor im Uhrzeigersinn misst. Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Termen für positive und negative Winkelmaße lassen sich aus entsprechenden Zeichnungen entnehmen. Es gilt: Allgemein gilt: sin ( ) = cos ( ) = cos tan ( ) = tan (cos ) R (cos ( ) sin ( )) Quadrantenregeln für Vorzeichen Mit Hilfe des Einheitsvektors lassen sich die Vorzeichen stets anschaulich ableiten.. Quadrant. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant + + cos + + tan + + ( tan ) R ( tan ( )) eriodizität der Sinusfunktion Ein Ortsvektor im Einheitskreis, der mit der positiven -Achse einen Winkel mit dem Maß einschließt, bestimmt einen Sinuswert sin. Dreht man den Ortsvektor um π, so erhält man denselben Sinuswert: sin ( + π) = sin. Der Sinuswert bleibt auch dann gleich, wenn man den Ortsvektor um ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von π (im oder gegen den Uhrzeigersinn) dreht: sin ( + kπ) = sin k Z. Die Sinusfunktion ist also periodisch mit der eriodenlänge π. Dadurch kann die Definitionsmenge der Sinusfunktion erweitert werden. Für können nun beliebige reelle Zahlen gewählt werden. = sin eriodenlänge für = sin eriodizität der Kosinusfunktion Für die Kosinusfunktion gelten die Überlegungen zur Sinusfunktion in entsprechender Weise: cos ( + kπ) = cos k Z Auch die Kosinusfunktion ist periodisch mit der eriodenlänge 36. = cos eriodenlänge für =cos

4 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit eriodizität der Tangensfunktion Für die Tangensfunktion gelten die Überlegungen zur Sinusfunktion in entsprechender Weise. Auch die Tangensfunktion ist periodisch, jedoch mit der eriodenlänge π. tan ( + kπ) = tan k Z = tan e π π 4π 6π 5... Bestimmung von Winkelmaßen 5... Bestimmung mit Hilfe des Einheitskreises Aus einem vorgegebenen Sinus- oder Kosinuswert wird das zugehörige Winkelmaß [ ; 36 ] bestimmt. Bestimmung von aus = d Bestimmung von aus cos = d Zeichnen die arallele zur Zeichnen die arallele zur -Achse mit = d. -Achse mit = d. d O d Für d > gibt es keine Schnittpunkte und somit keine Lösung: L = Für d = gibt es einen Berührpunkt und somit eine Lösung: L = {} Für d < gibt es zwei Schnittpunkte und somit zwei Lösungen: L = { ; } Im dritten Fall schneidet die arallele den Einheitskreis in und. Die Ortsvektoren O und O bestimmen die gesuchten Winkelmaße Bestimmung mit Hilfe des Funktionsgraphen Wir zeichnen die arallele zur -Achse mit = d. Für die Anzahl der Lösungen gilt die gleiche Fallunterscheidung wie oben. Im Fall d < schneidet die arallele den Funktionsgraphen in zwei unkten und. Die zugehörigen Abszissenwerte markieren das gesuchte Winkelmaß.,75 = sin Für die Anzahl der Lösungen gilt die gleiche Fallunterscheidung wie oben Bestimmung mit Hilfe des Taschenrechners Man bestimmt zuerst das Winkelmaß * mit dem Taschenrechner. Es wird ein positives oder negatives Winkelmaß angezeigt. Gibt es keine Lösung, so erscheint error. Die gültigen Winkelmaße findet man unter Beachtung des Vorzeichens des Termwertes durch Smmetriebetrachtungen. Die am Taschenrechner angezeigten Werte werden sinnvoll gerundet.

5 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 5... Übungsblatt: Trigonometrische Terme am Einheitskreis Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe nebenstehender Zeichnung die genauen Werte von cos 3 und sin 3. Q 3 S Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe nebenstehender Zeichnung die genauen Werte von cos 6 und sin 6. Aufgabe 3 3 Berechnen Sie cos β, ohne β zu bestimmen. a) sin β = : 3β [ ; 8 ] b) sin β = β [7 ; 36 ] 6 S Q c) sin β = β [9 ; 7 ] d) sin β =,6 β [ ; 36 ] Aufgabe 4 4 Tabellarisieren Sie für [ ; 8 ] mit Δ =, zeichnen Sie den Graphen und geben Sie wenn möglich für =,6 die zugehörigen Winkelwerte an. Verwenden Sie zur Lösung möglichst ein Geometrieprogramm. a) = sin b) = cos c) = tan d) =,5 cos e) = + cos f) = g) =,5 h) = 3 + cos i) = sin ( 9 ) k) = cos ( + 6 ) 5. Eine Schar von gleichschenkligen Trapezen ABC n D n ist durch die feile AD n sowie durch die Smmetrieachse s der Trapeze mit der Gleichung = festgelegt. 4 + AD n = A ( ) 4 cos 5. Berechnen Sie die Koordinaten der feile AD für = 95 und AD für = 3 und zeichnen Sie die zugehörigen Trapeze ABCD und ABC D. 5. Unter den Trapezen ABCnD n gibt es ein Rechteck ABC o Do. Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß. 5.3 Stellen Sie die Koordinaten der Eckpunkte in Abhängigkeit von dar. Zeigen Sie durch Rechnung, dass =,5( ) + 4 die Gleichung des Trägergraphen t der unkte ist und zeichnen Sie t. C n [Teilergebnis: C n ( 4 + 4cos )] 5.4 Zeigen Sie, dass sich die Flächeninhalte A() der Trapeze ABC n D n in Abhängigkeit von wie folgt darstellen lassen: A() = [8sin ( sin ) + 8] FE C n

6 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Lösungen Zu Aufgabe OQ ist gleichseitig: sin 3 = Q = cos 3 = OS = 3 Zu Aufgabe OQ ist gleichseitig: sin 6 = S ' = 3 Zu Aufgabe 3 cos 6 = OS = 3 a) sin β + cos β = ( 3 ) + cos β = cos β = cos β = cos β = b) sin β + cos β = ( ) + cos β = cos β = cos β = cos β = 3 4 c) sin β + cos β = ( ) + cos β = cos β = cos β = cos β = Zu Aufgabe 4 a),6 = sin = ±, 6 =, 6 * = 5,8 = 39, = 3,8 =, 6 * = 5,8 3 = 5,8 4 = 9, Aufgaben b) bis k) analog. Zu Aufgabe 5,96, 6 5. AD = AD = 3,73, = = AD n' = = BC n 4cos 4 sin + ACn = AB BCn = 4 cos t: =,5 ( ) A() = ( AB + CnDn ) h n = (4 8 ) 4 cos = [8 ( sin ) + 8] FE

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