Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
|
|
- Emma Kuntz
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 5. Trigonometrie 5.. Trigonometrische Terme am Einheitskreis 5... Das olarkoordinatensstem Man kann die Lage eines unktes im -dimensionalen Raum folgendermaßen beschreiben:. Man legt eine beliebige Halbgerade mit dem Anfangspunkt O (Ursprung) als so genannte Nullrichtung fest.. Man bestimmt die Entfernung des unktes vom Ursprung: r LE. 3. Man bestimmt das Maß des Winkels zwischen der Nullrichtung und der Halbgeraden [O: mit [ ; 36 [. 9 (5 ) 5 r LE Null richtung Durch r und ist die Lage von eindeutig bestimmt. Man bezeichnet r und als olarkoordinaten des unktes und schreibt: (r ) mit r RI und = + < < Durch den unkt ist der Ortsvektor O festgelegt. Dieser ist Repräsentant eines Vektors v. Deshalb können (r ) auch als olarkoordinaten des Vektors v verstanden werden Sinus und Kosinus Ein Kreis um den Ursprung O ( ) mit dem Radius r = LE heißt Einheitskreis. unkte auf dem Einheitskreis haben die olarkoordinaten ( ). Jedem Winkelmaß lässt sich eindeutig ein unkt des Einheitskreises mit den kartesischen Koordinaten und zuordnen. Für diese Koordinaten ist auch folgende Ausdrucksweise üblich: bezeichnet man mit. bezeichnet man mit cos. LE ( ) cos Definitionsmenge: DI = [ ; 36 ] Wertemenge: \W = [ ; ] Tangens Wir bilden Δ OQ durch zentrische Streckung mit dem Zentrum O ( ) so ab, dass das Bild von unkt auf der Kreistangente t liegt. Die -Koordinate des unktes ist dem Winkelmaß eindeutig zugeordnet. Man bezeichnet sie auch als Tangens : Schreibweise: tan Sprechweise: Tangens phi Den Winkelmaßen = 9 und = 7 lassen sich keine Tangenswerte zuordnen. Als Tangenswert kann jede reelle Zahl auftreten. Also gilt: Definitionsmenge: DI = [ ; 36 ] \ {9 ; 7 } Wertemenge: \W = I R O = tan cos Q Q t
2 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Termen Die Supplementbeziehung Zwei Winkel, deren Maße und * sich zu 8 ergänzen, heißen Supplementwinkel (supplere lat.: ergänzen). Für sie gilt: * = * ( * *) 8. ( p p ) Für die zugehörigen trigonometrischen Terme ergeben sich hieraus nach den Gesetzen der Achsenspiegelung folgende Beziehungen. * = * = * = cos * = cos * = * * * = cos * = cos p = Allgemein gilt: sin (8 ) = cos (8 ) = cos Die Komplementbeziehung Zwei Winkel, deren Maße und * sich zu 9 ergänzen, heißen Komplementwinkel (complere lat.: voll machen). Für sie gilt: * = 9 Nach den Gesetzen der Achsenspiegelung gilt: * = cos * = * = * = cos Allgemein gilt: sin (9 ) = cos cos (9 ) = * cos * * (* *) * ( ) cos Trigonometrische Grundformel Im rechtwinkligen Dreieck OH gilt nach thagoras: () + (cos ) = Dafür schreibt man kurz: sin + cos = Durch diese Beziehung sind die trigonometrischen Terme und cos miteinander verknüpft. Sie lässt sich in ähnlicher Weise für die übrigen Quadranten nachweisen. Sie gilt also für [ ; 36 ]. Stets kann ein Wert aus dem anderen berechnet werden, ohne den Winkel selbst zu bestimmen. Dabei ist die Definitionsmenge von zu beachten. cos H Allgemein gilt. sin + cos = [ ; 36 ] = ± cos cos = ± sin Beziehung zwischen, cos und tan Der Steigungsfaktor m der Geraden g mit = m lässt sich auf zwei Weisen darstellen: m = bzw. m = cos Also gilt: tan = sin cos tan 9 ; 7 = m tan cos
3 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Trigonometrische Werte negativer Winkelmaße Man spricht von einem negativen Winkelmaß, wenn man den Winkel zwischen der positiven -Achse und dem Einheitsvektor im Uhrzeigersinn misst. Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Termen für positive und negative Winkelmaße lassen sich aus entsprechenden Zeichnungen entnehmen. Es gilt: Allgemein gilt: sin ( ) = cos ( ) = cos tan ( ) = tan (cos ) R (cos ( ) sin ( )) Quadrantenregeln für Vorzeichen Mit Hilfe des Einheitsvektors lassen sich die Vorzeichen stets anschaulich ableiten.. Quadrant. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant + + cos + + tan + + ( tan ) R ( tan ( )) eriodizität der Sinusfunktion Ein Ortsvektor im Einheitskreis, der mit der positiven -Achse einen Winkel mit dem Maß einschließt, bestimmt einen Sinuswert sin. Dreht man den Ortsvektor um π, so erhält man denselben Sinuswert: sin ( + π) = sin. Der Sinuswert bleibt auch dann gleich, wenn man den Ortsvektor um ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von π (im oder gegen den Uhrzeigersinn) dreht: sin ( + kπ) = sin k Z. Die Sinusfunktion ist also periodisch mit der eriodenlänge π. Dadurch kann die Definitionsmenge der Sinusfunktion erweitert werden. Für können nun beliebige reelle Zahlen gewählt werden. = sin eriodenlänge für = sin eriodizität der Kosinusfunktion Für die Kosinusfunktion gelten die Überlegungen zur Sinusfunktion in entsprechender Weise: cos ( + kπ) = cos k Z Auch die Kosinusfunktion ist periodisch mit der eriodenlänge 36. = cos eriodenlänge für =cos
4 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit eriodizität der Tangensfunktion Für die Tangensfunktion gelten die Überlegungen zur Sinusfunktion in entsprechender Weise. Auch die Tangensfunktion ist periodisch, jedoch mit der eriodenlänge π. tan ( + kπ) = tan k Z = tan e π π 4π 6π 5... Bestimmung von Winkelmaßen 5... Bestimmung mit Hilfe des Einheitskreises Aus einem vorgegebenen Sinus- oder Kosinuswert wird das zugehörige Winkelmaß [ ; 36 ] bestimmt. Bestimmung von aus = d Bestimmung von aus cos = d Zeichnen die arallele zur Zeichnen die arallele zur -Achse mit = d. -Achse mit = d. d O d Für d > gibt es keine Schnittpunkte und somit keine Lösung: L = Für d = gibt es einen Berührpunkt und somit eine Lösung: L = {} Für d < gibt es zwei Schnittpunkte und somit zwei Lösungen: L = { ; } Im dritten Fall schneidet die arallele den Einheitskreis in und. Die Ortsvektoren O und O bestimmen die gesuchten Winkelmaße Bestimmung mit Hilfe des Funktionsgraphen Wir zeichnen die arallele zur -Achse mit = d. Für die Anzahl der Lösungen gilt die gleiche Fallunterscheidung wie oben. Im Fall d < schneidet die arallele den Funktionsgraphen in zwei unkten und. Die zugehörigen Abszissenwerte markieren das gesuchte Winkelmaß.,75 = sin Für die Anzahl der Lösungen gilt die gleiche Fallunterscheidung wie oben Bestimmung mit Hilfe des Taschenrechners Man bestimmt zuerst das Winkelmaß * mit dem Taschenrechner. Es wird ein positives oder negatives Winkelmaß angezeigt. Gibt es keine Lösung, so erscheint error. Die gültigen Winkelmaße findet man unter Beachtung des Vorzeichens des Termwertes durch Smmetriebetrachtungen. Die am Taschenrechner angezeigten Werte werden sinnvoll gerundet.
5 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 5... Übungsblatt: Trigonometrische Terme am Einheitskreis Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe nebenstehender Zeichnung die genauen Werte von cos 3 und sin 3. Q 3 S Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe nebenstehender Zeichnung die genauen Werte von cos 6 und sin 6. Aufgabe 3 3 Berechnen Sie cos β, ohne β zu bestimmen. a) sin β = : 3β [ ; 8 ] b) sin β = β [7 ; 36 ] 6 S Q c) sin β = β [9 ; 7 ] d) sin β =,6 β [ ; 36 ] Aufgabe 4 4 Tabellarisieren Sie für [ ; 8 ] mit Δ =, zeichnen Sie den Graphen und geben Sie wenn möglich für =,6 die zugehörigen Winkelwerte an. Verwenden Sie zur Lösung möglichst ein Geometrieprogramm. a) = sin b) = cos c) = tan d) =,5 cos e) = + cos f) = g) =,5 h) = 3 + cos i) = sin ( 9 ) k) = cos ( + 6 ) 5. Eine Schar von gleichschenkligen Trapezen ABC n D n ist durch die feile AD n sowie durch die Smmetrieachse s der Trapeze mit der Gleichung = festgelegt. 4 + AD n = A ( ) 4 cos 5. Berechnen Sie die Koordinaten der feile AD für = 95 und AD für = 3 und zeichnen Sie die zugehörigen Trapeze ABCD und ABC D. 5. Unter den Trapezen ABCnD n gibt es ein Rechteck ABC o Do. Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß. 5.3 Stellen Sie die Koordinaten der Eckpunkte in Abhängigkeit von dar. Zeigen Sie durch Rechnung, dass =,5( ) + 4 die Gleichung des Trägergraphen t der unkte ist und zeichnen Sie t. C n [Teilergebnis: C n ( 4 + 4cos )] 5.4 Zeigen Sie, dass sich die Flächeninhalte A() der Trapeze ABC n D n in Abhängigkeit von wie folgt darstellen lassen: A() = [8sin ( sin ) + 8] FE C n
6 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Lösungen Zu Aufgabe OQ ist gleichseitig: sin 3 = Q = cos 3 = OS = 3 Zu Aufgabe OQ ist gleichseitig: sin 6 = S ' = 3 Zu Aufgabe 3 cos 6 = OS = 3 a) sin β + cos β = ( 3 ) + cos β = cos β = cos β = cos β = b) sin β + cos β = ( ) + cos β = cos β = cos β = cos β = 3 4 c) sin β + cos β = ( ) + cos β = cos β = cos β = cos β = Zu Aufgabe 4 a),6 = sin = ±, 6 =, 6 * = 5,8 = 39, = 3,8 =, 6 * = 5,8 3 = 5,8 4 = 9, Aufgaben b) bis k) analog. Zu Aufgabe 5,96, 6 5. AD = AD = 3,73, = = AD n' = = BC n 4cos 4 sin + ACn = AB BCn = 4 cos t: =,5 ( ) A() = ( AB + CnDn ) h n = (4 8 ) 4 cos = [8 ( sin ) + 8] FE
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
MehrVektoren, Skalarprodukt, Ortslinien
.0 Gegeben sind die Punkte A(0/-4), C(0/4), sowie die Pfeile mit α [ 90 ; 90 ]. 4cosα AB = 4sinα+ 4. Zeichne die drei Punkte B, B und B 3 mit α { 30;0;30 } in ein KOS.. Zeige: 4cosα CB =. 4sinα 4.3 Zeige,
Mehr1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel
1 Trigonometrie 2 1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel In einem Kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und Radius r ist der zunächst spitze Winkel α gezeichnet. α legt auf dem Kreis
MehrMathematik I Pflichtteil - Nachtermin Aufgabe P 1. Klasse: Platzziffer: Punkte:
Prüfungsdauer: Abschlussprüfung 2006 150 Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik I Pflichtteil - Nachtermin Aufgabe P 1 Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: P 1.0 Gegeben sind der
Mehr1. Mathematikschulaufgabe
1.0 Gegeben ist die Funktion f: y = 1 ( ) 1 x + in G= x. 1.1 Tabellarisiere f für x = [ -1; 7 ] mit x = 1 sowie für x =,5 und x =,5. 1. Zeichne den Graphen von f. Für die Zeichnung: 1 LE = 1 cm - 1 x 8-1
MehrAufgaben. Aufgabe A1. Prüfungsdauer: 150 Minuten
Prüfungsdauer: 150 Minuten Aufgaben Aufgabe A1 A 1.0 In einer Medikamentenstudie wird in drei zeitgleich beginnenden Laborversuchen die Vermehrung von Krankheitserregern untersucht. Bei allen Versuchen
MehrKOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4
MehrBerechnungen am rechtwinkligen Dreieck Der Einheitskreis. VI Trigonometrie. Propädeutikum Holger Wuschke. 21. September 2018
Propädeutikum 018 1. September 018 Denition Trigonometrie Die Trigonometrie beschäftigt sich mit dem Messen (µɛτ ρoν) von dreiseitigen (τ ρίγωνo) Objekten. Zunächst gilt in Dreiecken: A = 1 g h Abbildung:
Mehr1 Einleitung. 2 Sinus. Trigonometrie
1 Einleitung Die Trigonometrie (trigonon - griechisch für Dreieck) und die trigonometrischen Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Beschreibung der Natur. In der Physik werden trigonometrische
MehrDr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Wertemenge: \W =IR
WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Funktionen.. Die quadratische Funktion... Die quadratische Grundfunktion Wir betrachten die Gleichung = als Funktionsgleichung und bezeichnen die
MehrAbschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern
Prüfungsdauer: 150 Minuten Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Mathematik I Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: Aufgabe A 1 Nachtermin A 1.0 Lebensmittelchemiker untersuchten das
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12 TRIGONOMETRISCHE GRUNDBEZIEHUNGEN
ARBEITSBLATT TRIGONOMETRISCHE GRUNDBEZIEHUNGEN Ein paar wichtige Grundbeziehungen zwischen den Winkelfunktionen sollten Sie unbedingt auswendig wissen: Als Erstes zeichnen wir uns noch einmal einen beliebigen
MehrHTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Trigonometrie INHALTSVERZEICHNIS 1. WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKELIGEN DREIECK... 3. BOGENMASS... 3 3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL... 4 3.1. Einheitskreis (r =
MehrI. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE
I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen
MehrTrigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).
Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,
MehrGrundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1 Kreis und Kugel 1.1 Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U = π r=π d Flächeninhalt A=π r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge b= α π r 360 Flächeninhalt
Mehr4. Mathematikschulaufgabe
Achtung! Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden. 1 1.0 Gegeben ist die Funktion f 1 mit y = x + bx + c (b, c ). Der Graph zu f 3 1 ist die Parabel p 1, die durch die Punkte A(-/-4) und
Mehr3. Mathematikschulaufgabe
1. Bestimme m so, dass die quadratische Gleichung nur 1 Lösung hat: 4x² - mx + 5m = 0 2.0 Von einer zentrischen Streckung sind A (-3/3), A (2/-2), B (-5/-1), B (2,5/-1) und C(-5/3) bekannt. 2.1 Konstruiere
MehrAbbildungen im Koordinatensystem
Klasse 0 I. Drehe die Gerade g mit y = x um O(0/0) mit α = 5. Bestimme die Gleichung der Bildgeraden g. Berechne das Maß des Winkels zwischen g und g.. Die Gerade g mit y = x + 5 soll um O(0/0) so gedreht
MehrAufgabe A1. Prüfungsdauer: 150 Minuten
Prüfungsdauer: 150 Minuten Aufgabe A1 A 1.0 Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit der Hypotenuse [AC]. Punkte P n liegen auf der Kathete [AB] und legen zusammen mit den Punkten B und C Dreiecke
Mehr9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen
9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen. Unter dem Bogenmass eines Winkels versteht man die Länge des Winkelbogens von auf dem Kreis mit Radius (Einheitskreis).
MehrM Kreissektoren und Bogenmaß. Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Kreissektors mit Mittelpunktswinkel? Was versteht man unter dem Bogenmaß?
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? die Länge des Kreisbogens für einen Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektors
MehrTrigonometrie. Mag. DI Rainer Sickinger HTL. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1 Verschiedene Winkel DEFINITION v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 2 / 1 Verschiedene Winkel Vermessungsaufgaben
MehrVerlauf Material LEK Glossar Lösungen. Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus. Florian Borges, Traunstein VORANSICHT
Reihe 9 S Verlauf Material Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus Florian Borges, Traunstein y 5 6 R ϕ( t ) 7 0 Die Sinusfunktion entsteht durch Projektion eines rotierenden Zeigers auf die y-achse.
MehrTrigonometrie - die Grundlagen in einem Tag
Trigonometrie - die Grundlagen in einem Tag Fachtage Dezember 2012 an der Kantonsschule Zürich Nord Klasse W3n R. Balestra Name: Vorname: 6. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Zielsetzung & Ablauf 1 2
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = 2 = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist
MehrExperimente mit trigonometrischen Funktionen
Mathematik und ihre Didaktik Uni Bayreuth Sinus Sachsen-Anhalt Experimente mit trigonometrischen Funktionen Eine Sammlung von interaktiven Arbeitsblättern zur vertieften Betrachtung der Funktionen sin
MehrTrigonometrie. Mag. DI Rainer Sickinger HTL. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1 Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen
MehrTrigonometrie. Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 31. Januar 2013 Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen:
MehrLineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen
Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius r gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α: Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors b = α α 2rπ A = 360 360 πr2 Das Bogenmaß
MehrBogenmaß, Trigonometrie und Vektoren
20 1 Einführung Bogenmaß: Bogenmaß, Trigonometrie und Vektoren Winkel können in Grad ( ) oder im Bogenmaß (Einheit: 1 Radiant, Abkürzung 1 rad) angegeben werden. Dabei gilt 2 rad 360. Die Einheit 1 rad
Mehr1. Unterteilung von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige
Trigonometrie am allgemeinen Dreieck Wir können auch die Seiten und Winkel von allgemeinen Dreiecken mit Hilfe der Trigonometrie berechnen. Die einfachste Variante besteht darin, ein beliebiges Dreieck
Mehr2. Mathematikschulaufgabe
. Mathematikschulaufgabe.0 Die Punkte A(-/-5) und B(6/) sind Eckpunkte von Dreiecken ABC n. Die Punkte C n liegen auf der Parabel p mit der Gleichung y = 0,5x +.. Zeichne die Parabel p sowie das Dreieck
MehrDifferentialrechung Ableitungen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
Differentialrechung Ableitungen er Sinus-, Kosinus- un Tangensfunktion Aufgabe a Gegeben ist ie Funktion f( mit IR. Gesucht ist ie Ableitungsfunktion. Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktion graphisch mithilfe
MehrTrigonometrische Kurven / Funktionen
Trigonometrische Kurven / Funktionen Teil Eigenschaften der Funktionen sin, cos und tan Verschiebung und Streckung von Sinuskurven Kurvendiskussion ohne Verwendung der Differenzialrechnung Geeignet ab
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus
Gymnasium Neutraubling Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Mehr3.2. Polarkoordinaten
3.2. Polarkoordinaten Die geometrische Bedeutung der komplexen Multiplikation versteht man besser durch die Einführung von Polarkoordinaten. Der Betrag einer komplexen Zahl z x + i y ist r: z x 2 + y 2.
Mehr4.8. Prüfungsaufgaben zu trigonometrischen Funktionen
.8. Prüfungsaufgaben zu trigonometrischen Funktionen Aufgabe : Schaubilder der trigonomtrischen Funktionen (8) a) Zeichne den Graphen der Sinusfunktion im Bereich π und gib fünf verschiedene Funktionswerte
Mehr4. Mathematikschulaufgabe
1. Wie weit kann man vom Chordach auf dem Mont-Saint-Michel (120 m) auf das Meer hinausschauen? (Erdradius 6370 km) 2. Konstruiere ein Quadrat, das den doppelten Flächeninhalt hat wie das Quadrat mit der
MehrMusteraufgaben zu den Mathematikmodulen Ein Selbsttest
Musteraufgaben zu den Mathematikmodulen Ein Selbsttest I. Grundlagen der Mathematik I Terme und Gleichungen, elementare Funktionen (bis zu 5 h) Grundsätzliches zum Vereinfachen von Termen und Lösen von
MehrInformationen für Lehrpersonen und Lernende GLF-Prüfung Mathematik TALS Juli 2017 (inkl. Nachtermin)
Informationen für Lehrpersonen und Lernende GLF-Prüfung Mathematik TALS Juli 017 (inkl. Nachtermin) Für die Note 6 müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Der Notenschlüssel wird nach der Prüfung festgelegt.
MehrAufgaben zum Basiswissen 10. Klasse
Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken 1. Aufgabe: In einem Kreis mit Radius r sei α ein Mittelpunktswinkel mit zugehörigem Kreisbogen der Länge b und Kreissektor
Mehr3. Mathematikschulaufgabe
Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A(-I1) und B(6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne
Mehr3. Mathematikschulaufgabe
Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
MehrTrigonometrie - Zusammenfassende Übungen Raumgeometrie Vorbereitung auf die Abschlussprüfung
1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a cm ist Grundfläche eines Würfels mit der Deckfläche EFGH, wobei E über A, F über B usw. liegen. Zur Grundfläche ABCD parallele Ebenen schneiden die Würfelkanten
MehrTrigonometrie. 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter
Trigonometrie 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. August 2008 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 46 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrMittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2
Seite http://www.realschulrep.de/ Seite 2 Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2 Aufgabe B2. Der Punkt A 2 2 ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten A B n C n D n. Die Eckpunkte B n 3 liegen auf
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des
MehrKoordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.
Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten
MehrGrundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Rainer Hauser September 013 1 Einleitung 1.1 Der Begriff Funktion Eine Funktion ordnet jedem Element m 1 einer Menge M 1 ein Element m einer Menge M zu. Man schreibt dafür f:
MehrMathematik I Nachtermin Aufgabe P 1. Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: O 1
Prüfungsdauer: Abschlussprüfung 007 150 Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik I Nachtermin Aufgabe P 1 Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: P 1.0 Gegeben ist die Funktion f 1 mit
Mehrmathphys-online TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x)
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 4 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 4 5 Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x) x-achse Trigonometrische Funktionen Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Winkelfunktionen
MehrVolumen und Oberflächeninhalt der Kugel 10_01
Volumen und Oberflächeninhalt der Kugel 10_01 Alle Punkte (des dreidimensionalen Raums), die von einem Punkt M die gleiche Entfernung r besitzen, liegen auf einer Kugel mit Mittelpunkt M und Radiuslänge
MehrBogenmaß und trigonometrische Funktionen
Bogenmaß und trigonometrische Funktionen Was ist ein "Winkel"? Wir suchen eine tragfähige Definition. N Der "Winkel (zwischen von einem Punkt ausgehenden Halbgeraden)" beschreibt deren relative Lage zueinander
MehrProjektionskurve Abiturprüfung LK Bayern 2003
Projektionskurve Abiturprüfung LK Bayern 03 In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 ist die Ebene H: x 1 + x 2 + x 3 8 = 0 sowie die Schar von Geraden ( a 2 ) ( ) 3a g a : x = 0 a 2 + λ 3a 8, λ
Mehr1. Mathematikschulaufgabe
1.0 Gegeben: R = {(x/y) / y = 4 - Ix+1I } Π x Π 1.1 Stelle eine Wertetabelle im Bereich x [-5; 3] Ψ auf, x=1. 1. Zeichne R in ein Koordinatensystem, 1 LE 1cm.0 Lege ein kart. Koordinatensystem (1 LE 1cm)
MehrDidaktik der Geometrie
Didaktik der Geometrie 7.1 Didaktik der Geometrie Didaktik der Geometrie 7.2 Inhalte Didaktik der Geometrie 1 Ziele und Inhalte 2 Begriffsbildung 3 Konstruieren 4 Argumentieren und Beweisen 5 Problemlösen
MehrRechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
MehrRegiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10
RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Wissen und Können. Berechnungen am Kreis Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu
MehrDie Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher Umlaufsinn!
Berechnungen in Dreiecken Allgemeines zu Dreiecken Innenwinkelsatz α + β + γ = 180 Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck Die Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
MehrTrigonometrie. Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 29. Januar 2012 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 1 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrAnalytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Analytische Geometrie Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG Wird erweitert Lösungen nur auf der Mathe CD Datei Nr. 0050 Stand November 005 F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 0050 Dreiecke
Mehrα π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel
Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,
MehrThemen: Strahlensätze, Trigonometrie, trigonometrische Funktionen
Mathematik Klasse 10c Vorbereitung Klassenarbeit Nr. 3 am 1.3.019 Themen: Strahlensätze, Trigonometrie, trigonometrische Funktionen Checkliste Was ich alles können soll Ich erkennen die Strahlensatzfiguren
Mehr1 Kreissektoren und Kugeln Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel α und dem Radius r:
Mathematikgrundwissen der 0. Jahrgangsstufe Kreissektoren und Kugeln Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel und dem Radius r: r A r b Bogenlänge: b = 60 r Flächeninhalt: b = 60 r Berechne jeweils den Umfang
MehrFit in Mathe. Juni Klassenstufe 10. Trigonometrie mit Sinus- und Kosinussatz
Thema Musterlösungen 1 Trigonometrie mit Sinus- und Kosinussatz Vorbemerkungen Für Winkelangaben wird hier, wenn nicht anders angegeben, das Bogenmaß verwendet. Es gilt 1 rad = 360 π 57, bezeichnet das
Mehr3 Abbildungen von Funktionsgraphen
32 3 Abbildungen von Funktionsgraphen In Kapitel 1 dieses Workshops haben wir uns mit der Transformation von geometrischen Figuren im Achsenkreuz beschäftigt: mit Verschiebungen, Spiegelungen, Achsenstreckungen
MehrM 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt
MehrM 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt
MehrEinführung in die Trigonometrie
Einführung in die Trigonometrie Sinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis Monika Sellemond, Anton Proßliner, Martin Niederkofler Thema Stoffzusammenhang Klassenstufe Trigonometrie
MehrKursarbeit Nr.1 LK Mathematik NAME :
Kursarbeit Nr.1 LK Mathematik 7. 10. 2004 1. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F zur angegebenen Funktion f! a) f :R R, f x =1 1 x 100 b) f :R R, f x =sin 2 x 5 x c) f :R R, f x = x 5 x 3 2 2 x 2 2. Berechnen
MehrZusammenfassung: Sinus- und Kosinusfunktion
LGÖ Ks h -stündig 96 Zusammenfassung: Sinus- und Kosinusfunktion Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck Für einen Winkel mit 9 gilt: Hpotenuse Gegenkathete Gegenkathete sin = Hpotenuse Ankathete cos
MehrTrigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus. Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013
Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 0 4 5 4 4 Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = ) und einen beliebigen Winkel
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrAbiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt
MehrProf. U. Stephan Wi-Ing 1.2
Seite 1 von 5 Prof. U. Stephan Wi-Ing 1. inweis: Dateien Starmath.ttf und Starbats.ttf im Verzeichnis C:\WINDOWS\FONTS erforderlich Ich vermisse im Vorspann "Was man weiß, was man wissen sollte" die trigonometrischen
Mehrmentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann
mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann schnell
MehrSpezielle Klassen von Funktionen
Spezielle Klassen von Funktionen 1. Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f : R R mit f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, n N 0 und a 0, a 1,, a n R, (a n 0) heißt ganzrationale Funktion n
MehrRaumgeometrie - gerade Pyramide
1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1.2 Berechne
MehrTrigonometrie. Schülerzirkel Mathematik Schülerseminar
Schülerzirkel Mathematik Schülerseminar Trigonometrie Im Schülerseminar für Schülerinnen und Schüler der Klassenstufen 8 10 wurde die Trigonometrie innerhalb der Einheit über komplexe Zahlen behandelt,
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 05 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
MehrR. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.
MehrTrigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht
Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt
MehrÜberblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion
Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion -x2 -x1 x1 x2 Die Funktion x sin x ; x ℝ heißt Sinusfunktion und ihr Graph Sinuskurve. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch (blau in der Zeichnung) zum
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 0 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Wir wollen einer Zeichnung und nicht dem Taschenrechner mehrere Sinuswerte entnehmen und graphisch darstellen. Falls c = ist, gilt a = sinα. Die Strecken der Länge liegen auf
MehrStoffverteilungsplan Mathematik 10 auf der Grundlage des Lehrplans Klettbuch
mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und K4: Unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln K6: Überlegungen, Lösungswege
MehrGrundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 0. Jahrgangsstufe Mathematik Kreis und Kugel. Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U π rπ d Flächeninhalt Aπ r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge α π r 60 Flächeninhalt A α π
MehrLösungen zu delta 10. Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7
Lösungen zu delta 0 Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) L = {} b) L = {0; } c) L = { } d) L = { 6; } e) L = {,; } f) L = { } g) L = {,; } h) L = {7; 0} i) L = { } Summenwert aller Lösungen:.
Mehr9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
Übungsmaterial 9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion. 9. Eigenschaften der trigonometrischen
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des
MehrBundesgymnasium für Berufstätige Salzburg. Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4 Winkelfunktionen. LehrerInnenteam m/ Mag. Wolfgang Schmid.
Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4 Winkelfunktionen LehrerInnenteam m/ Mag. Wolfgang Schmid Unterlagen Um die Größe eines Winkels anzugeben gibt es verschiedenee
Mehr