DEMO für Trigonometrie. Teil 1. Geometrie Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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1 Gemetrie Sinus, Ksinus und Tngens im retwinkligen Dreiek Text Nr Stnd 8. pril 010 Friedri ukel Trignmetrie DEM für INTERNETILITHEK FÜR SHULMTHEMTIK Teil 1

2 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie Vrwrt Dieser Text wurde völlig neu knzipiert. Mein lter Text mit änliem Inlt wr eer ein Unterritsmnuskript. Jetzt e i mi strk n die edürfnisse des Lernenden ngelent. Der rükt die Terie mer in den Hintergrund. Mustereispiele mit usfürlien Erklärungen und Triningsufgen mit Musterlösungen steen im Vrdergrund. Dmit knn mn diesen Text u gezielter im Unterrit einsetzen, z.. mit emern der in Mdle-Systemen. Denn drf ds Verständnis nit zu kurz kmmen. Der git es flgende snitte, wele dem Verständnis zw. der egründung dienen. Erst wenn mn verstet, wrum mn dies s mt, und ws Zwek und Nutzen ist, kmmt Verständnis in die Mtemtik. Hinweis zur Genuigkeit Mn knn getrst stets ds Gleieitszeien verwenden. Ds Ungefärzeien 5, 7 m ist sinnls, denn es git in der Gemetrie j üerupt keine exkten Werte, d lle Mßeingen eine Messgenuigkeit en. Hält mn si ls drn, die ngen eineitli (z.. uf 1 Dezimle) zu runden, dnn knn mn stets = sreien und liegt ziemli ritig. I weiß, dss diese ngen strk vereinft sind, und dss es Situtinen git, in denen mn nders vrgeen muss. D dies lles ier uszufüren, würde zu weit geen. DEM für Friedri ukel

3 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 3 Inlt 1 Grundwissen Wie kmmt mn im retwinkligen Dreiek uf Sinus und Ksinus? 4 1. Grundwissen zu Sinus und Ksinus 7 Triningsufgen Grundwissen zum Tngens 10 Triningsufgen 11 Etws Terie zur Herleitung einiger witiger Werte 1 3 ufgen und eispiele zur erenung retwinkliger Dreieke 15 4 Grundufgen 4 erenung vn Figuren mit retwinkligen Teildreieken Gleisenklige Dreieke Fläeninlt elieiger Dreieke Kreissnitte Kreisgenzweiek elieiges Dreiek Trpez 5 nwendungsufgen (Höenerenungen) Einfe Höenerenung 3 5. Prinzip der gekppelten Dreieke Prinzip der gestelten Dreieke 4 Triningsufgen: Dreieke und Prllelgrmme 5 Lösungen 7 DEM für Friedri ukel

4 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 1 Etws Terie zur Herleitung einiger witiger Werte. Mn sllte si flgende Werte merken: Sinus Ksinus Tngens = Kein Wert ( ) Diese Werte knn mn lle unter nwendung des Stzes vn Pytgrs erenen. Dies wird und zu im Unterrit exemplris gezeigt, knn er u ls Üungs- der gr Textufge gestellt werden..1 Die Werte zum Winkel α = 0 mt mn si m esten ls Grenzwerte klr: Ds Prlem liegt nämli drin: Es git kein etes retwinkliges Dreiek mit diesem Winkel. Es gilt:. Wenn α 0 get, dnn get =. Verkleinert mn ei gleileiendem, dnn wird immer kleiner. Für 0 flgt u 0. tnα = Verkleinert mn ei gleileiendem, dnn wird tnα immer kleiner. Für 0 flgt u tnα 0 sα = Verkleinert mn ei gleileiendem, dnn näert si dem Wert vn n, und dmit get 1, ls sα 1 DEM für β 90. Ds t zur Flge: sβ = = 0, sinβ = sα = 1 und tnβ = weil der Nenner gegen 0 get. Friedri ukel

5 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 13.3 Nun etrten wir ein Dreiek mit α = 30. D I e es dur Hlierung eines gleiseitigen Dreieks D erzeugt. Ein gleiseitiges Dreiek t drei glei lnge Seiten und lle Winkel sind 60 grß. Dur die Hlierung vn us sind zwei retwinklige Dreieke entstnden mit diesen Eigensften: α = 30 und die Gegenktete ist l s lng wie die Grundseite. Die Seite errenen wir mit Hilfe des Stzes vn Pytgrs: + = Ergit: Nun ziet mn teilweise die Wurzel: 4 3 = = = = = = 3 4 Dmit können wir Sinus, Ksinus und Tngens zu 30 erenen: sin30 tn30 1 = = = und 3 1 s30 = = = 3 1 = = = Erweitert mn mit 3 : Dssele Dreiek t β = sin60 = s30 3 = = = s60 1 = = sin30 = = 3 tn60 = = = 3.5 Ein retwinkliges Dreiek mit N Pytgrs gilt: sin 45 = = = = = 1 s45 = = = sin45 = tn45 = = = 1 α = 45 ist gleisenklig! + = = und = 1 3 tn30 = = 3 3 DEM für 30 = D 60 = 60 = Friedri ukel

6 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 14.6 us der Telle vn Seite 1 erkennt mn diesen interessnten Zusmmenng: s0 = sin90 llgemein gilt: s30 s45 s60 s90 = sin60 sα = sin( 90 α) = sin45 = s( 90 α) = sin30 = sin0 Den Grund für diese ezieungen erkennt mn snell m retwinkligen Dreiek: = = sβ und es ist α eispiele: sin 5 = s 65 sin 58 = s 3 s 44 = sin 46 s 1 = s 78 + β = 90 ls gilt β = 90 α usw. DEM für Friedri ukel

7 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 15 3 ufgen und eispiele zur erenung retwinkliger Dreieke Grundufge 1: Gegeen 1 Ktete und die Hyptenuse eispiel 1: Gegeen sind die Seiten = 8,0 m, = 3,0 m. 1. Sritt: Will mn α erenen, muss klr sein, dss dnn dzu die Gegenktete ist. ist immer die Hyptenuse, wenn Dnn gilt: = α,0. γ = 90 ist.. Sritt: Um zu erenen ( ist die nktete) t mn zwei Möglikeiten 1. mit der Ksinusfunktin. mit der Tngensfunktin: s s 7, 4 m Sließli felt n der. Winkel: 90 68,0. eispiel : Gegeen sind die Seiten = 7,0 m, = 5,0 m. tn 7, 4 m tn 1. Sritt: erenung vn α : der erenung vn β : s 44,4 sin 45, 6. Drus flgt β : Drus flgt α : 90 45,6 3. Sritt: erenung vn : sin sin tn tn s s lle vier erenung füren zu 4,9 m ,4 tn tn DEM für Hinweis: Mn einigt si meistens druf, sttt ds Gleieitszeien zu verwenden. Mn erkennt, wie viele Möglikeiten diesen Metden ieten! Friedri ukel

8 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 16 Grundufge : Gegeen sind eide Kteten eispiel 3: Gegeen sind die Seiten = 8,0 m, = 3,0 m. 1. Sritt: erenung vn α der: erenung vn β : 1 = α = 8 ( ) = β β 3 ( ) tnα tn 69,4 3 tn = = tn = 0,6 8. Sritt: erenung vn β erenung vn α : β = 90 69,4 = 0,6 3. Sritt: erenung vn : (Eine vn 4 Möglikeiten): sin α = = = sα = s α Ergenis in jedem Fll: = 8,5 m. Grundufge 3: eispiel 4 sinβ = = sin β α = = 90 β 69,4 s = β = s β Gegeen sind 1 Winkel und eine Ktete Gegeen sind = 6,5 m und = 5 1. Sritt: us α wird β erenet: Sritt: erenen der erenen tn α = = tn β der tnβ tn β = = sin α sα = = der 3. Sritt: erenen zw. erenen: = = sin α Grundufge 4: eispiel 5: s β s β = = = = sin α Ergenisse: 8, 3 m, 10, 6 m 1 sin β sin β = = s β = = s β Gegeen sind 1 Winkel und die Hyptenuse Gegeen sind = 10,0 m und α = Sritt: us α wird β erenet: /3. Sritt: sin α = = sin α = 8,0 m DEM für s α = = s α = 6,0 m der sin β = = sin β = 6,0 m s β = = s β = 8,0 m Triningsufgen uf Seite 5 Friedri ukel

9 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 17 4 erenung vn Figuren mit retwinkligen Teildreieken. 4.1 Gleisenklige Dreieke eispiel 1: Gegeen: = 8,0 m, 70. ) erene die Grundseite und die Höe. ) Stelle eine Frmel zur erenung des Fläeninltes nur us den gegeenen Größen und α uf. Lösung: ) Die Höe zur Grundseite zerlegt in zwei retwinklige Teildreieke. Im Teildreiek D ist die Hyptenuse, weil dem reten Winkel gegenüer liegt. Der gilt: HTUNG: Keine Dppelrüe verwenden. Stet im Zäler ein ru, dnn sreit mn in gnz nrml in den D sα = = = = s α 5,5 m Huptru: Wegen der Symmetrie ist =. Den Winkel erenet mn üer die Winkelsumme: 180, d Die Höe = D ist im Teildreiek D eine Ktete, und zwr die Gegenktete zu : = = ) Dmit erstellt mn die Frmel für den Fläeninlt: 1 us swie s und sin flgt: 1 1 s sin sin s Der Tsenrener liefert ds Ergenis = 0,6 m eispiel : Gegeen: = 15,0 m, 48,0. erene und stelle eine Frmel für den Fläeninlt in ängigkeit vn und α uf. Im retwinkligen Teildreiek D gilt: D s 11, m. Höe: tnα = = tnα 8,33 m s Dreieksinlt: 1 1 = = tn α tn = 4 = 6,47 m DEM für D Friedri ukel

10 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 1 DEM für Friedri ukel

11 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie Triningsufgen 5 ) ) erene die felenden Stüke eines retwinkligen Dreieks ( γ = 90 Es git versiedene Wege, ier wird nur ein Lösungseispiel gezeigt. Versue, möglist nur die gegeen Stüke zu verwenden, er nit den Pytgrs. ) zu: Wenn mn eine (fls) erenete Größe weiter verwendet, t mn ein Prlem! = 47,0 m und β = 38,0 sβ s β = = = 59,64 m tnβ = = tnβ = 36,7 α = 3,0 und = 6,4 m = = = 3.39 m sα = = sα = 5,43 m ) = 6,0 m und =,5 m d) 6 (,5 ) α = = 60 β 5 β = = 90 α 58 tnα = α = tn = 67,4 β =,6 sin α = = = 6,50 m = 10,0 m und α = 41,0 sin α = = = 18,9 m tnα tn α = = = 138,0 m e) = 15,8 m und = 4,3 m 1 15,8 ( 4, ) β = = 90 α 49 sin α = α = sin = 40,6 β = 49,4 1 sα = = sα = 18,5 m f) = 39, km und = 56,4 km 39, ( 56,4 ) sinβ = β = sin = 46,0 α = 44,0 1 sβ = = sβ = 39, km DEM für Friedri ukel

12 16001 Trignmetrie 1 Gemetrie 3 Triningsufgen 6 erene p, q und im Dreiek (1) trignmetris und () mit Ktetenstz und Höenstz (flls mögli) d1) 0 α = 48 und = 8, m β = = 90 α 4 sinβ = = sinβ = 5,5 m p sβ = p = sβ = 6,1 m q tnα tn α = q = = 4,9 m d) lterntiv zuerst: sin α = = 8. = 11,0 m Dnn mit dem Ktetenstz: sin48 und q = p = 11 m 6,1 m = 4,9 m und mit dem Höenstz: e1) = 16,0 m und α = 84 = p p = = 6,1 m = p q = p q = 5,5m β = 6 = = = 15,9 m p sβ = p = sβ = 15,8 m, = p = 0,m sinβ = = sinβ = 1,7 m α q DEM für D p β Friedri ukel

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