Zusammenfassung: Sinus- und Kosinusfunktion

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1 LGÖ Ks h -stündig 96 Zusammenfassung: Sinus- und Kosinusfunktion Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck Für einen Winkel mit 9 gilt: Hpotenuse Gegenkathete Gegenkathete sin = Hpotenuse Ankathete cos = Ankathete Hpotenuse Spezielle Werte: sin cos Merke: sin cos Falls die Hpotenuse die Länge hat (hier vergrößert dargestellt): Gegenkathete sin = = Gegenkathete Ankathete cos = = Ankathete Sinus und Kosinus im Einheitskreis Die Hpotenuse der Länge sei der Radius eines Einheitskreises (hier vergrößert dargestellt): cos sin Der Einheitskreis liege in einem Koordinatensstem, und der Winkel werde von der positiven - Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gerechnet Der zum Winkel gehörende unkt auf dem Einheitskreis sei c_zus_sinusundkosinusfunktion /6

2 LGÖ Ks h -stündig 96 sin Merke: cos sin = -Koordinate vo n cos = -Koordinate vn o Damit ist Sinus und Kosinus für beliebige Winkel erklärt Winkel im Bogenmaß Einheitskreis (vergrößert dargestellt): Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zum Winkel gehörenden Kreisbogens Der Einheitskreis hat den Umfang U = r = = Also hat ein Winkel von 6 das Bogenmaß Merke: 6 = Daraus erhält man (ohne Formeln und ohne GR!): Gradmaß Bogenmaß 6 Achtung: Wird ein Winkel in Grad angegeben, dann muss das Gradzeichen dazugeschrieben werden! Das Bodenmaß dagegen ist eine Zahl; wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, dann darf kein Gradzeichen dazugeschrieben werden Umrechnung: im Gradmaß im Bogenmaß Der Winkel verhält sich zum Vollwinkel 6 wie das Bogenmaß zum vollen Kreisumfang : = 6 c_zus_sinusundkosinusfunktion /6

3 LGÖ Ks h -stündig 96 Spezielle Werte von Sinus und Kosinus sin = sin = cos = cos = sin 9 = sin = 9 cos 9 = cos = 8 sin8 = sin = cos8 = cos = sin 7 = sin = 7 cos 7 = cos = Bei = 6 bzw = wiederholt sich das erste Bild c_zus_sinusundkosinusfunktion /6

4 LGÖ Ks h -stündig 96 Sinus- und Kosinusfunktion Alle Winkel werden mit bezeichnet und im Bogenmaß gemessen Aus den obigen Bildern und der periodischen Fortsetzung erhält man (ohne GR!) folgende Werte: 5 sin cos sin 5 cos 5 Abänderung der Sinus- und Kosinusfunktion Änderung der Amplitude Das Schaubild der Funktion f: f ( ) a sin = bzw f ( ) a cos = entsteht aus dem Schaubild der Sinusfunktion bzw der Kosinusfunktion durch eine Streckung mit dem Faktor a (im Fall a < mit dem Faktor a ) in -Richtung und im Fall a < zusätzlich durch eine Spiegelung an der -Achse Die Funktion f hat also die Amplitude a (im Fall a < die Amplitude a ) Schaubild im Fall a > : a sin a a 5 c_zus_sinusundkosinusfunktion /6

5 LGÖ Ks h -stündig 96 Änderung der eriode Ein unkt rotiere mit der eriodendauer bzw der Winkelgeschwindigkeit (oder Kreisfrequenz) ω = = t im Einheitskreis entgegen dem Uhrzeigersinn; zum Zeitpunkt sei der unkt t = ( ) Der Zeiger O rotiert ebenfalls mit der Winkelgeschwindigkeit ω Zum Zeitpunkt t = schließt der Zeiger mit der -Achse den Winkel = ein Zu einem beliebigen Zeitpunkt t hat sich der Zeiger um den Winkel = ωt = t gedreht Mit dieser Beziehung kann man die Zeit t und den überstrichenen Winkel ineinander umrechnen atsächlich genügt es, sich zu merken: = Spezielle Werte: O t ω t = t sin Merke: ( ω t) sin ( ωt) = -Koordinate von ωt = rojektion des Zeigers auf die -Achse cos( ωt) cos( ω t) = -Koordinate von = rojektion des Zeigers auf die -Achse Die Funktion f: hat also die eriode () = sin ( ωt) bzw f ( t) = cos( ωt) f t sin ( ωt) t c_zus_sinusundkosinusfunktion 5/6

6 LGÖ Ks h -stündig 96 Verschiebung in Richtung der t-achse Die Funktion t ωt sin ( ) bzw t cos( ωt) entsteht durch die rojektion eines Zeigers, der zum Zeitpunkt t = mit der -Achse den Winkel = einschließt, der also zum Zeitpunkt t = in der -Uhr-Stellung steht Die Funktion f : () = sin ( ωt + ) bzw f ( t) = cos( ωt + ) f t entsteht durch die rojektion eines Zeigers, der zum Zeitpunkt t = mit der -Achse den hasenwinkel (entgegen dem Uhrzeigersinn) einschließt Die wichtigsten Fälle sind: Fall =, d h der Zeiger steht zum Zeitpunkt t = in der -Uhr-Stellung : Es ist sin =, also sin ωt + = cos( ωt) Es ist cos =, und für wachsendes t wird cos ωt + negativ, also cos ωt + = sin ( ωt) Fall =, d h der Zeiger steht zum Zeitpunkt t = in der 9-Uhr-Stellung : Es ist sin negativ, also =, und für wachsendes t wird sin ( ωt + ) sin Es ist cos =, also cos ( ωt ) sin ( ωt) + = ( ωt ) cos( ωt) + = Fall =, d h der Zeiger steht zum Zeitpunkt t = in der 6-Uhr-Stellung : Es ist sin =, also sin ωt = cos( ωt) Es ist cos =, und für wachsendes t wird cos ωt positiv, also cos ωt = sin ( ωt) c_zus_sinusundkosinusfunktion 6/6