7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE

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1 7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus, denen wi uns als estes widmen wollen: Dabei handelt es sich um eine Funktion, dh. um eine Zuodnungsvoschift, bei de veschiedenen Winkeln eelle Zahlen zugeodnet weden: 2 sin 0, cos 0, sin 0, 5 50 cos 0, Definition am Einheitskeis Um die beiden Funktionen einzufühen, stellen wi uns am besten einen Uhzeige de Länge 1 vo, de im Koodinatensystem im Punkt (0,0) festgemacht ist und sich gegen den Uhzeigesinn deht. Wenn sich de Zeige einmal um den Nullpunkt deht, entstehen alle Winkel zwischen 0 und 360 Gad. Dabei ist wichtig, dass de Winkel imme gegen den Uhzeige gemessen wid! Wi inteessieen uns nun fü zwei bestimmte Stecken, die man fü jeden Winkel einzeichnen kann: Um eine Beziehung zwischen Cosinus und Sinus hezustellen, kann man ganz einfach eine Gleichung mit Hilfe des Satzes von Pythagoas heleiten: Fü jeden Winkel entsteht ein echtwinkeliges Deieck, in dem wi den Satz des Pythagoas anwenden können: cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 Neben dem Sinus und Cosinus, lässt sich nun auch de Tangens als Stecke am Einheitskeis definieen: Die Stecke bezeichnen wi als Sinus und als Cosinus. Gundsätzlich sind diese Funktionen nicht so einfach mit de Hand auszuechnen, man vewendet dafü meist Taschenechne ode Compute. Fü manche Wete kann man Cosinus und Sinus abe am Einheitskeis ablesen: - 1 -

2 7.2 Die Winkelfunktionen in echtwinkeligen Deiecken Als nächstes wollen wi echtwinkelige Deiecke betachten. Nach Wahl eines Winkels α, weden die Seiten (in Bezug auf α) folgendemaßen bezeichnet: sin(30 ) = Gegenkathete Hypotenuse = 1 2 sin(60 ) = h a = Fü 45 kann man sich die Wete beispielsweise übe die Diagonale eines Quadates heleiten. Es gilt: sin(45 ) = cos(45 ) = In echtwinkeligen Deiecken mit 0 < α < 90 gilt: sin(α) = Gegenkathete Ankathete Gegenkathete Hypotenuse, cos(α) = Hypotenuse, tan(α) = Ankathete Kennt man fü diese Winkel die Funktionswete von Cosinus und Sinus kann man damit auch gleich die des Tangens beechnen. Weites kann man sich noch zu diesen bekannten Weten im esten Quadanten übelegen, wie diese in den andeen Quadanten aussehen. Kennt man von einem echtwinkeligen Deieck nu eine Seitenlänge und einen Winkel ode nu zwei Seitenlängen, dann kann man mit diesen Beziehungen die estlichen Seitenlängen und Winkel beechnen Anwendungsbeispiel: Beechnung von Weten ohne TR Neben den Weten fü 0, 90, 180 und 270 gibt es noch einige andee Wete, die man ohne Taschenechne beechnen kann. Fü 30 und 60 kann man sich die Wete übe ein gleichseitiges Deieck heleiten: Allgemein gilt also: sin(α) = sin(180 α) = sin(180 + α) = sin(360 α) = sin(α ) cos(α) = cos(180 α) = cos(180 + α) = cos(360 α) = cos(α ) tan(α) = tan(180 α) = tan(180 + α) = tan(360 α) = tan(α ) 7.3 Die Winkelsätze Nach Pythagoas gilt: a 2 = ( a 2 )2 + h 2 h 2 = a 2 a2 4 = 3a2 4 cos(60 ) = Ankathete Hypotenuse = a 2 a = a 2a = 1 2 cos(30 ) = h a = Um fehlende Gößen auch in nicht echtwinkeligen Deiecken zu beechnen, kann man Winkelsätze heleiten, die in jedem beliebigen Deieck gelten. Sinussatz: a sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) - 2 -

3 Cosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) p 1 = cos(φ) und p 2 = sin(φ) cos(φ) = p1 p2, sin(φ) = 7.4 Polakoodinaten Neben den Catesischen Koodinaten gibt es noch eine andee Möglichkeit, Punkte in de Ebene zu bescheiben. Wi beschänken uns dabei auf Punkte, fü die P 0 gilt: In Catesischen Koodinaten ist P = (p 1, p 2 ) Will man den Punkt P mit Polakoodinaten bescheiben, gibt man den Winkel φ und den Radius an: P = (; φ) Umechnung von Catesische- in Polakoodinaten Wiede können wi mit dem echtwinkeligen Deieck abeiten und den Satz des Pythagoas anwenden: = p p2 2 Weites gilt: tan(φ) = p2 p 1 φ = actan( p2 p 1 ) 7.5 Die Nomalpojektion Eine weitee Vewendung findet de Cosinus in de Nomalpojektion. Anschaulich leuchtet man bei de Nomalpojektion von oben auf den Vekto b und will wissen, wie lange de Schatten auf dem Vekto a ist. Dabei wid de Schatten mit b a bezeichnet und es gilt: Umechnung von Pola- in Catesische Koodinaten Betachtet man die Zeichnung, ekennt man ein echtwinkeliges Deieck, in dem wi die Winkelfunktionen anwenden können: b a = b cos(φ) - 3 -

4 7.6 Das Bogenmaß Bis jetzt haben wi den Winkel imme in Gad angegeben, es gibt alledings noch eine andee Möglichkeit, nämlich das Bogenmaß. Dabei gibt man die Länge des Keisbogens an, de zum Winkel gehöt, wobei dabei zu beachten ist, dass die Länge des Keisbogens vom Radius abhängt. 7.7 Einige Eigenschahften von Cosinus und Sinus Bis jetzt hat de Uhzeige imme nu eine Umdehung gemacht. Was abe passiet, wenn e sich weitedeht, de Winkel also > π (360 ) ist? Man sieht, dass de Zeige bei 60 und bei 420 auf de gleichen Position steht, dh. die Funktionswete von Cosinus und Sinus sind gleich. b und b bezeichnet die Bogenlänge, s und s die dazugehöige Sehnenlänge. Aufgund de Ähnlichkeit de Deiecke gilt: s = s und ebenso b = b. Man sieht, dass die zweite Gleichung unabhängig vom Radius ist und definiet dahe: Definition Das Bogenmaß eines Winkels ist de Quotient a = b, wobei b die Länge eines Winkelbogens mit dem Radius ist. Allgemein gilt fü 0 α 2π: sin(α + 2π) = sin(α) cos(α + 2π) = cos(α) Man spicht in diesem Fall von eine peiodischen Funktion. Die Peiode bezeichnet die Länge, ab de sich de Funktionswete wiedeholen. Im Fall von Cosinus und Sinus betägt die Peiode 2π. Neben de Peiodizität von Cosinus und Sinus kann man noch ablesen, dass gilt: cos( α) = cos(α) (symmetisch) sin( α) = sin(α) (antisymmetisch) Wenn man = 1 wählt, gilt: a = b 1 = b, dh. das Bogenmaß ist gleich de Länge des Winkelbogens mit dem Radius 1. Umechnung zwischen Gad- und Bogenmaß Bezeichnet a das Bogenmaß und g das Gadmaß, dann gilt die Beziehung: a π = g 180 Denn wi wissen ja, dass im Einheitskeis 180 dem halben Keisumfang π entspicht und dahe gilt: 180 = π = π 1 = π 180 g = π 180 g = a Somit gilt nun z.b.: cos(90 ) = cos( π 2 ) = 0 ode sin(270 ) = sin( 3π 2 ) = 1 Weites sieht man aus de Zeichnung, dass Cosinus und Sinus nu Wete zwischen -1 und 1 annehmen: 1 cos(α) 1 und 1 sin(α) 1 Man spicht in so einem Fall von eine beschänkten Funktion. Wi können uns außedem noch übelegen, welches Vozeichen die Winkelfunktionen in den Quadanten I - IV haben: - 4 -

5 Fü den Sinus gilt: Fü den Cosinus gilt: 7.9 Die Acusfunktionen 0 α π : + 0 α π 2 und 3π 4 α 2π: + π π α 2π : 2 α 3π 4 : 7.8 Die Gaphen von Cosinus und Sinus Mit Hilfe des Bogenmaß wollen wi uns nun übelegen, wie die Funktionsgaphen von Cosinus, Sinus und Tangens ausschauen. Sinus und Cosinus: Wi wissen jetzt schon, dass veschiedene Winkel gleichen Sinus, Cosinus ode Tangens haben können. Wenn man sich abe auf passende Beeiche einschänkt, dann findet man zu einem gegebenen Wet de Winkelfunktionen einen eindeutigen Winkel: 1. Fü jedes x [ 1, 1] gibt es einen eindeutigen Winkel α [0, π], sodass cos(α) = x gilt. Diese Winkel wid mit accos(x) bezeichnet und Acuscosinus von x genannt. 2. Fü jedes x [ 1, 1] gibt es einen eindeutigen Winkel α [ π 2, π 2 ], sodass sin(α) = x gilt. Diese Winkel wid mit acsin(x) bezeichnet und Acussinus von x genannt. Tangens: 3. Fü jedes x R gibt es einen eindeutigen Winkel α ( π 2, π 2 ), sodass tan(α) = x gilt. Diese Winkel wid mit accos(x) bezeichnet und Acustangens von x genannt. Acuscosinus, Acussinus und Acustangens können als Funktionen betachtet weden. Die zugehöigen Gaphen sehen dann folgendemaßen aus: - 5 -

6 7. Rechne S = (1; 130 ) und T = (10; 300 ) in Catesische Koodinaten um. Lösungen: 1. a) 3 4 π b) 1 6 π c) 4 3 π 2. a) 135 b) 120 c) c = 6, 66, α = 54, 16, β = 35, BEISPIELE 1. Rechne das Gadmaß ins Bogenmaß um. a) 135 b) 30 c) Rechne das Bogenmaß ins Gadmaß um. a) 3π 4 b) 2π 3 c) 7π Von einem echtwinkeligen Deieck kennt man zwei Seiten: a = 5, 4 und b = 3, 9. Beechne die ditte Seite und die Winkel des Deiecks! 4. b = 7, 52, α = 44, 35, β = 48, e = 9, 83, f = 8, 39 (wobei mit e und f die beiden Diagonalen bezeichnet weden), c = 6, 9, γ = 80, δ = P = (3, 16; 18, 43 ), Q = (4, 12; 345, 96 ) 7. S = ( 0, 643; 0, 766), T = (5; 8, 66) 4. Von einem beliebigen Deieck kennt man a = 7, c = 10 und γ = 87. Beechne die Seite b und die estlichen Winkel! 5. Von einem Vieeck kennt man a = 6, b = 6, d = 7, α = 80 und β = 110. Beechne die übigen Seiten und Winkel! 6. Beechne die Polakoodinaten von P = (3, 1) und Q = (4, 1)

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