F u n k t i o n e n Trigonometrische Funktionen

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1 F u n k t i o n e n Trigonometrische Funktionen Jules Antoine Lissajous (*1822 in Versailles, 1880 in Plombières-les-Bains) wurde durch die nach ihm benannten Figuren bekannt, die bei der Überlagerung von Schwingungen entstehen. Hier wurde versucht mithilfe einer modernen Mathematik-Software, eine dreidimensionale Lissajous Figur darzustellen. Sie entsteht aus der Überlagerung von drei Schwingungen.

2 1. Der Winkel im Bogenmass Aufgabe 1: Berechne die Länge des Bogens b und das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius b / r für unterschiedliche Kreisradien r. Der Zentriwinkel beträgt α = 30. a) r = 12 cm b) r = 137 km c) r = 0.3 mm d) r = 1 m Aufgabe 2: Nun berechnen wir die Bogenlänge für unterschiedliche Zentriwinkel α. Der Radius ist jedoch konstant 5 m. Berechne auch hier das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius b / r. a) α = 15 b) α = 30 c) α = 90 d) α = 180 Aufgabe 3: Ich nehme an, dass dir bei Aufgabe 1 und 2 etwas aufgefallen ist. Was? Weshalb ist das so? Von was hängt das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius ab? Definition: Ein Winkel kann im Gradmass α oder im Bogenmass α gemessen werden.... Das Bogenmass ist das Verhältnis von b zum r: α=... Im Gradmass hat der volle Kreis einen Winkel von, im Bogenmass von Aufgabe 4: Fülle die nachstehenden Tabellen aus und überlege dir eine Umrechnungsformel vom Gradmass α ins Bogenmass α und umgekehrt. Welche Einheit hat das Bogenmass? Gradmass Bogenmass π 3 2 π Umrechnungsformel: α=... α=... Wichtige Werte: Gradmass Bogenmass 0 π 4 π Einheit des Bogenmasses [ α ] = = = Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 2 (November 11)

3 Aufgabe 5: Umrechnungen: Rechne diese Winkel in Grad um! a) 0.12 rad b) 2 c) 15 mrad Rechne diese Winkel in Rad um! d) 12 e) Berechne diese Werte! f) sin(30 ) g) sin(1.2) h) Finde heraus, wie dein Taschenrechner Radianten in Grad umrechnen kann. i) Wie kann der Taschenrechner die Aufgaben f und g lösen ohne, dass die Winkel umgerechnet werden müssen? Aufgabe 6: Berechne die Länge des Bogens b! a) Es ist α = 13 und r = 5 cm. Wie gross ist b =? b) Es ist α = π / 2 rad und r = 3 m. Wie gross ist b =? c) Es ist α = 1 rad und r = 7 m. Wie gross ist b =? d) Stelle eine Formel für die Berechnung der Bogenlänge b bei bekanntem Radius r und Winkel α (im Gradmass) bzw. α (im Bogenmass) auf. 2. Die trigonometrischen Funktionen Definition der Winkelfunktionen im Einheitskreis Pro Memoria: Liegt ein Punkt P(x y) auf dem Einheitskreis und bildet die Strecke OP mit der positiven Richtung der x-achse einen Winkel α, so gilt: sin( α ) = cos( α ) = tan( α ) = Funktionsgrafen der Winkelfunktionen Wir können nun die Grafen der Winkelfunktionen zeichnen. Wir tragen dazu den Winkel α auf der Abszisse (horizontale Achse) und den Funktionswert auf der Ordinate (vertikale Achse) ab. Um den Sinus zu Zeichen müssen wir den Einheitskreis auf der Abszisse abwickeln. Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 3 (November 11)

4 Aufgabe 7: Auf dieser Seite sind die Sinus- und die Cosinusfunktion abgebildet. a) Einige Achsen sind in Grad, andere im Bogenmasse beschriftet. Schreibe jeweils das andere Mass daneben, sodass die Achsen mit beiden Einheiten beschriftet sind. b) Studiere die Funktionen gut. Welche Eigenschaften haben sie (Definitionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Polstellen, Asymptoten und anderes)? c) Gibt es Zusammenhänge zwischen den Kurven? f ( α ) = sin( α ) f ( α ) = cos( α ) Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 4 (November 11)

5 Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion: Der Definitionsbereich sind die Zahlen. Der Wertebereich der Sinus- und der Cosinusfunktion ist das Intervall Diese Funktionen sind periodisch, d.h. sie wiederholen sich alle = rad. Der Funktionsgraf von Sinus und Cosinus hat Symmetrieeigenschaften: Die Sinusfunktion ist.. Die Cosinusfunktion ist.. Definition: Eine Funktion heisst periodisch, wenn sie sich nach einem gewissen Intervall, einer Periode p, identisch wiederholt, d.h. f(x + k p) = f(x) wobei k eine ganze Zahl ist. Aufgabe 8: Zeichne die Periode p in den Figuren der Sinus- und der Cosinusfunktion ein. Zudem ist hier auch noch der Funktionsgraf der Tangensfunktion dargestellt. Zeichne auch hier die Periode p ein. Wie gross ist sie in Grad- und im Bogenmass? Aufgabe 9: Studiere nun auch noch die Tangensfunktion. Welche Eigenschaften hat sie (Definitionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Polstellen, Asymptoten und anderes)? f ( α ) = tan( α ) Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 5 (November 11)

6 Eigenschaften der Tangensfunktion: Die Tangensfunktion ist mit einer Periode p = = Der Tangens hat bei = eine Polstelle, die sich alle wiederholt. Der Funktionsgraf des Tangens ist.. Der Definitionsbereich sind die Zahlen ohne die Polstellen Der Wertebereich des Tangens sind alle Zahlen. Aufgabe 10: Gib alle Maxima und Minima dieser Funktionen 0 bis 2π bzw. 0 bis 360 an. Gib die Stellen im Grad- und im Bogenmass an. Welchen Wert nehmen die Funktionen in den Maxima bzw. Minima an? a) f(x) = sin(x) b) f(x) = cos(x) c) f(x) = tan(x) Aufgabe 11: Wie viele Nullstellen haben die folgende Funktionen im Intervall 0 bis 2π bzw. 0 bis 360 Gib die Nullstellen im Grad- und im Bogenmass an. a) f(x) = sin(x) b) f(x) = cos(x) c) f(x) = tan(x) Aufgabe 12: Gib die Periode der folgenden Funktionen im Grad- und im Bogenmass an. a) f(x) = sin(x) b) f(x) = cos(x) c) f(x) = tan(x) Aufgabe 13: Die Sinus-Funktion hat alle π = 180 eine Nullstelle. Sie hat jedoch eine Periode von 2π = 360. Ist dies ein Widerspruch? Aufgabe 14: Um die folgenden Fragen zu beantworten, musst du die dir die Funktionsgraphen gut anschauen. Für welche x in Grad zwischen 0 und 360 gilt: a) sin(x) = 0 b) sin(x) = 1 c) sin(x) = 1 d) sin(x) = 0.5 e) sin(x) = 0.5 f) sin(x) = 2 2 g) sin(x) = h) cos(x) = 0 i) cos(x) = 1 k) cos(x) = 1 l) cos(x) = 0.5 m) cos(x) = 0.5 n) cos(x) = p) tan(x) = 0 q) tan(x) = 1 r) tan(x) = 1 s) tan(x) = 3 t) tan(x) = o) cos(x) = Aufgabe 15: Bei welchen x-werten kann man Achsen senkrecht zur x-achse zeichnen (Symmetrieachsen), damit der Graph der Sinus-, der Cosinus- bzw. der Tangens-Funktion bei der Spiegelung an diesen auf sich selber abgebildet wird? Aufgabe 16: An welchen Punkten auf der x-achse (Symmetriezentren) kann der Graph der Sinus-, der Cosinus- bzw. der Tangens-Funktion gespiegelt werden, so dass die jeweilige Funktion bei dieser Punktspiegelung auf sich selber abgebildet wird. Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 6 (November 11)

7 Die trigonometrischen Funktionen im Bogenmass Aufgabe 17: Zeichne die Sinusfunktion in diesen Koordinatensystemen ein. Damit die Grafiken einfach abgelesen werden können ist die y-achse gleich skaliert wie die y-achse. Lies die Steigung der Funktion an der Stelle x = 0 ab. a) f(x) = sin(x) im Bogenmass Steigung an der Stelle x = 0: f (0) = (im Bogenmass) b) f(x) = sin(x) im Gradmass Steigung an der Stelle x = 0: f (0) = (im Gradmass) Die trigonometrischen Funktionen im Bogenmass: Die trigonometrischen Funktionen lassen sich im einfach, d.h. mit natürlicher Skalierung, darstellen. Dabei nimmt die Steigung f der Funktion Werte an, insbesondere beträgt die Steigung der Sinusfunktion f(x) = sin(x) an der Stelle x = 0 f (0) =. Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 7 (November 11)

8 3. Die allgemeine Sinusfunktion Aufgabe 18: Hier sind jeweils ganze Scharen von Sinuskurven gezeichnet. Dabei wird ein Parameter in der Funktion verändert. Beschreibe, was die Parameter am Funktionsgrafen verändern. Besser als diese Figuren zu betrachten, ist es eine interaktive Simulation auf dem Internet zu studieren. Du findest einen geeigneter Funktionsplotter auf ( Mathematik Funktionsplotter Allgemeine Sinusfunktion) a) f(x) = A sin(x) mit diesen Werten des Parameters A A = 2.0, A = 1.5 A = 1.0, A = 0.5 b) f(x) = sin(ω x) mit diesen Werten des Parameters ω ω = 2.0, ω = 1.0, ω = 0.75, ω = 0.5 c) f(x) = sin(x + ϕ 0 ) mit diesen Werten des Parameters ϕ 0 ϕ 0 = 2 / 3 π, ϕ 0 = 1 / 3 π ϕ 0 = 0, ϕ 0 = 1 / 3 π d) f(x) = sin(x) + y 0 mit diesen Werten des Parameters y 0 y 0 =1, y 0 = 0.5 y 0 = 0, y 0 = 1 Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 8 (November 11)

9 Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = A sin(ω x + ϕ 0 ) + y 0 Die.. A verändert die., die.. ω verändert die., die.. ϕ 0 verändert die. und die.. y 0 verändert die. der Sinusfunktion. Aufgabe 19: Welche dieser Funktionsgleichungen gehört zu welchem Graphen? f(x) = sin(x) f(x) = 2sin(x) + 2 f(x) = 2sin(x) f(x) = 2sin(2x) f(x) = sin(x + 2) f(x) = sin(x) 2 Aufgabe 20: Die hier abgebildeten Funktionsgraphen werden durch eine Funktionsgleichung der Form f(x) = A sin(ω x + ϕ 0 ) + y 0 beschrieben. Gib die Funktionsgleichung an! a) b) c) d) e) f) Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 9 (November 11)

10 g) h) i) k) l) m) 4. Anwendungsaufgaben Die allgemeine Sinus-Funktion beschreibt periodische Vorgänge, so zum Beispiel die Bewegung eines Pendels, die Gezeiten, Wirtschaftszyklen, Wellen Aufgabe 21: Die astronomische Sonnenscheindauer ist die theoretische Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang und untergang an einem bestimmten Ort ungehindert von Bergen am Horizont bei einer wolkenlosen und ungetrübt klaren Atmosphäre. Im Verlauf eines Jahres ändert sich aufgrund der geneigten Erdachse die astronomische Sonnenscheindauer. Bei uns wird die Sonnenscheindauer durch die folgende Funktion beschrieben: d t 4.25 sin t (t in Tagen ab Jahresbeginn) a) Wie lange Dauert ein Tag im Durchschnitt? Wie lang ist der kürzeste und wie lang ist der längste Tag? b) Wie lange ist die Periode dieser Funktion? c) Wie lang ist der Tag am 7. August (219. Tag) und am 30. März? d) An welchem Tag im Jahr ist der längste bzw. der kürzeste Tag? e) Welche Tage im Jahr sind 9.33 h lang? Aufgabe 22: Wegen der Gezeiten steigt und sinkt der Meeresspiegel. Der Wasserstand in der Bay of Fundy in Kanada wird am durch die Funktion ht 1.2sin t 2 5 beschrieben, wobei t die Zeit in Stunden von Mitternacht an und h den Wasserstand in Metern bezeichnet. 6 Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 10 (November 11)

11 a) Wie gross ist der Gezeitenhub in Metern, d.h. wie gross ist der Unterschied zwischen dem tiefsten (Ebbe) und dem höchsten Wasserstand (Flut)? b) Wie lange dauert es von einer Flut bis zur nächsten Flut? c) Um wie viel Uhr ist am zum ersten Mal Flut? d) Wie hoch ist der Wasserstand in der Bay of Fundy an diesem Tag um 13 30? Ist das Wasser zu dieser Zeit steigend oder fallend? Aufgabe 23: Ein Riesenrad hat 10 m Durchmesser, seine Achse liegt 6 m über dem Boden. Es dreht sich einmal in drei Minuten. Du steigst zur Zeit t = 0 in eine Gondel ein. Die Gondel ist in diesem Zeitpunkt ganz unten. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel a) zur Zeit t = 6 Min? b) zur Zeit t = 4.5 Min? c) zur Zeit t = 5 Minuten? d) zur Zeit t (in Minuten)? Aufgabe 24: An der deutschen Nordseeküste beträgt der Tidehub 3 m (Unterschied im Wasserstand zwischen Ebbe und Flut). Heute am Mittag ist die Gezeit genau zwischen Ebbe und Flut. Das Wasser ist am steigen. Die Gezeiten wiederholen sich alle 12h. Finde eine Funktion, die den Wasserstand als Funktion der Zeit beschreibt. a) Welchen Wasserstand hat das Meer in 4 Stunden? Steigt oder sinkt es? b) Welchen Stand hat das Meer um 6 Uhr 30 am nächsten Morgen früh. c) Die Fähre kann erst auslaufen, wenn der Wasserstand 1 m über dem mittleren Stand überschreitet. Wann läuft die Fähre frühstens aus? d) Bis wann spätestens können noch Fähren auslaufen? Aufgabe 25: Die Temperaturen in Alaska schwanken über ein Jahr weg stark. Die Temperaturschwankungen über ein Jahr hinweg verhalten sich ziemlich exakt sinusförmig. Die höchste mittlere Temperatur beträgt 13 und wird im langjährigen Mittel am 15. Juli (Tag 197) erreicht. Die tiefste mittlere Temperatur beträgt 11. a) Wie lautet die Gleichung der Funktion, die Temperatur T(t) als Funktion des Tages t beschreibt? Hier musst du die allgemeine Funktionsgleichung des Sinus noch um einen weitern Parameter erweitern. b) Welche mittlere Temperatur herrscht am 7. September (Tag 251)? c) An welchen Tagen beträgt die mittlere Temperatur gerade 0? Funktionen: Trigonometrische Funktionen Seite 11 (November 11)