13. Übungswoche. Kapitel 12: Varianzanalyse (Fortsetzung)

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1 1 13. Übungswoche Kapitel 12: Varianzanalyse (Fortsetzung) [ 3 ] Im Vorkurs Mathematik für Wirtschafstwissenschaftler vor Beginn des Sommersemesters 2009 wurde am Anfang und am Ende ein Test geschrieben, in dem jeweils 18 Punkte erreicht werden konnten. Für die 75 Teilnehmer, die an beiden Tests teilgenommen haben, wurde die Differenz der Punktzahlen aus dem Nach- und Vortest berechnet und in Verbesserung gespeichert. In gruppe wurde eine modifizierte Gruppennumer gespeichert, so dass Außenstehende nicht auf die tatsächliche Gruppe schließen können > anova(aov(verbesserung~factor(gruppe))) Analysis of Variance Table Response: Verbesserung Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(gruppe) *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * a) Interpretieren Sie den Boxplot. Gibt es Unterschiede zwischen den Gruppen. b) Aus welchen in der obigen R-Ausgabe gegebenen Zahlen erhält man den F value. c) Mit welchem R-Befehl können Sie den P-Wert Pr(>F) berechnen?

2 2 d) Mit welchem R-Befehl können Sie den F value bestimmen, wenn der P-Wert Pr(>F) mit gegeben ist. e) Welche Hypothese wird mit dem F value geprüft? f) Was bedeutet *** nach ? g) Würden Sie die Hypothese ablehnen, wenn Ihnen α = bzw. α = vorgeschrieben ist? h) Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn Sie die Hypothese bei diesem F value verwerfen? i) Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktion der Prüfgröße unter der Nullhypothese. Skizzieren Sie den P-Wert. 1.0 Dichtefunktion unter der Nullhypothese f(x) x j) Füllen Sie die aus der Vorlesung bekannte Tabelle der Varianzanalyse aus: FG SQ(Res) DQ(Res) F(oderPG) Differenz Modell 1 Modell 2

3 3 [ 4 ] Beispiel mit R Mit Hilfe einer Varianzanalyse soll bei einem medizinischem Experiment die Auswirkung verschiedener Medikamente i(i =1,..., 4) auf die Länge von Hasenföten untersucht werden. Die gemessenen Daten liegen in R im Datensatz Foeten in einer zweispaltigen Tabelle vor. Die einzelnen Spalten können mit Medikament bzw. Laenge aufgerufen werden. Das Ergebnis eines bestimmten R-Befehls ergibt folgende Ausgabe: Analysis of Variance Table Response: Laenge Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(medikament) Residuals Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Der Befehl anova(aov(laenge factor(medikament))) erzeugt die obige R- Ausgabe. b) Es liegen insgesamt 104 Beobachtungen vor. c) Die Summe der Quadrate für das Modell 2 ist d) Unter der Nullhypothese gilt P(PG < ) = e) Die Prüfgröße ist F-verteilt mit 100 und 103 Freiheitsgraden. f) Der R-Befehl 1 -pf(1.4092,3,100) ergibt abgesehen von etwaigen Rundungen die Ausgabe g) Die Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit 3 und 103 Freiheitsgraden hat an der Stelle den Wert

4 4 Kapitel 13: Zeitreihen und Indizes [ 1 ] Die folgende Tabelle enthält die Jahreshöchstpreise von Gold am London Bullion Market seit 1968 in US-Dollar pro Unze (Quelle: Wikipedia). Die Preise wurden hier auf ganze Dollar gerundet. Jahr Höchstpreis a = 1 a = 3 a = a) Stellen Sie die Zeitreihe in der folgenden Abbildung graphisch dar.

5 Goldpreis Jahr b) Berechnen Sie die fehlenden Werte der gleitenden Durchschnitte für a = 1,3 und 5 und zeichnen Sie den Trend ebenfalls in die Graphik mit ein. c) Mit welchem R-Befehl kann man den Trend berechnen. Nehmen Sie an, dass die Goldpreise unter Gold gespeichert sind. [ 2 ] Die folgende Tabelle enthält die Zahl der Studierenden an der Universität Göttingen vom SS2004 bis zum WS 2008/2009(Quelle: Stadt Göttingen, Fachdienst Statistik und Wahlen, Göttinger Statistik Journal 4/2008). Semester Anzahl Trend Anzahl - Trend Saisonkomponente Residuum SS WS2004/ SS WS2005/ SS WS2006/ SS WS2007/ SS WS2008/

6 6 Die folgende Abbildung zeigt die graphische Darstellung der Zeitreihe. 25 Studierende in Tausend SS04 SS05 SS06 SS07 SS08 Semester a) Berechnen Sie einen für diese Daten geeigneten Trend. b) Zeichnen Sie den Trend in die obige Graphik ein. c) Berechnen Sie die Saisonkomponente. d) Berechnen Sie die Residuen und stellen Sie diese graphisch dar.

7 7 [ 3 ] Zeitreihe, additives und multiplikatives Modell Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Man spricht von einer Zeitreihe, wenn eine Variable zu verschiedenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten beobachtet wird. b) Verwendet man ein additives Modell für eine Zeitreihe, so ist der beobachtete Wert der Variablen gleich der Summe aus dem Trend und der Saisonkomponente. c) Bei einer Zeitreihe mit steigendem Trend ist oft ein multiplikatives Modell für die Beschreibung der Daten geeignet, wenn die Saisonschwankungen mit der Zeit deutlich größer werden. d) Wird das multiplikative Modell verwendet, so folgen die Logarithmen der Zeitreihe einem additiven Modell. e) Das Ziel einer logarithmischen oder anderen Transformation der Daten ist es, die Saisonschwankungen konstant zu machen. f) Ein Nachteil des multiplikativen Modells ist es, dass man keine Zerlegung der Ursprungsdaten erhalten kann. g) Saisonkomponente und Saisonfaktor bedeuten dasselbe. [ 4 ] In den folgenden Tabellen und Grafiken sind die durchschnittlichen Verbrauchsmengen (pro Monat) sowie die Preise für Milch, Butter und Käse für Beamten- und Angestelltenhaushalte in den Jahren 1990 bis 1998 abgebildet. Beamte: Jahr Gut i q i 0 p i 0 q i 1 p i 1 q i 2 p i 2 q i 3 p i 3 q i 4 p i 4 Milch [l] Butter [g] Käse [g] Jahr Gut i q i 5 p i 5 q i 6 p i 6 q i 7 p i 7 q i 8 p i 8 Milch [l] Butter [g] Käse [g]

8 8 Angestellte: Jahr Gut i q0 i p i 0 q1 i p i 1 q2 i p i 2 q3 i p i 3 q4 i p i 4 Milch [l] Butter [g] Käse [g] Jahr Gut i q5 i p i 5 q6 i p i 6 q7 i p i 7 q8 i p i 8 Milch [l] Butter [g] Käse [g] sei das Basisjahr. Berechnen Sie jeweils, d.h. für Beamten- und Angestelltenhaushalte a) den Preisindex nach Laspeyres für das Jahr 1992 b) den Preisindex nach Paasche für das Jahr 1996 c) den Mengenindex nach Laspeyres für das Jahr 1994 d) den Mengenindex nach Paasche für das Jahr 1995 e) den Umsatzindex für das Jahr 1998

9 9 [ 5 ] Preismessziffern Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Eine Preismessziffer vergleicht die Preise zum Zeitpunkt t mit dem Preis einer Basisperiode t = 0. b) Ist die monatlich berechnete Preismessziffer zum Zeitpunkt t gleich 1.30, so bedeutet dies, dass der Preis im Vergleich zum Vormonat um 30% gestiegen ist. c) Ist die Preismessziffer zum Zeitpunkt t gleich 1.20, so bedeutet dies, dass der Preis im Vergleich zum Basisjahr um 20% gestiegen ist. d) Preisindizes werden als gewichtete Durchschnitte der Preismessziffern berechnet, wobei der Gewichtungsfaktor als Umsatzanteil des Gutes am Gesamtumsatz zu interpretieren ist. [ 6 ] Preisindizes Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Der Verbraucherpreisindex ist ein gewichteter Durchschnitt der Umsätze der wichtigsten Verbrauchsgüter für einen typischen Haushalt. b) Preisindizes werden als gewichtete Durchschnitte der Preismessziffern berechnet, wobei der Gewichtungsfaktor als Umsatzanteil des Gutes am Gesamtumsatz zu interpretieren ist. c) Beim Preisindex nach Laspeyres sind die Gewichtungsfaktoren der einzelnen Güter des Warenkorbes zeitlich konstant. d) Beim Preisindex nach Laspeyres bleiben Änderungen der Mengen mit der Zeit unberücksichtigt. e) Beim Preisindex nach Paasche sind die Gewichtungsfaktoren von der Zeit abhängig, weil die Gewichtungsfaktoren die Preise zur Zeit t enthalten. Alte Klausuraufgaben [ 7 ] Punkte: 2 IV07S2 Bei einer Varianzanalyse mit I = 5 Gruppen ergab sich die folgende unvollständige Arbeitstabelle. Berechnen Sie die Prüfgröße F. Modell FG SQ(Res) DQ(Res) F Differenz M M F =

10 10 [ 8 ] Punkte: 4 WS08S2 Gegeben sei die folgende Zeitreihe mit Quartalsdaten und Saisonschwankungen I II III IV I II III IV I II III IV t x t T t ??? Berechnen Sie die Saisonkomponente für das Quartal II, sowie das Residual e 10. S II = e 10 = [ 9 ] Punkte: 4 WS08S2 Die folgende Tabelle enthält die Preise und Mengen von vier Produkten in den Jahren 2002 und 2006: Produkt Menge Preis Menge Preis A B C D Berechnen Sie für das Jahr 2006 den Mengenindex nach Paasche Q P t und den Preisindex nach Laspeyres Pt L, jeweils bezogen auf das Basisjahr Runden Sie Ihre Ergebnisse in Prozent jeweils auf die nächste ganze Zahl. Q P t = P L t =