Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat."

Transkript

1 Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften von ganzen Modulformen sowie der zweite Teil des Beweises der Bijektivität der j-funktion behandelt. Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe Funktion für die gilt: f : H C ( a b (i) f(mz) = (cz + d) k f(z) für alle M = c d ) Γ, Γ = SL(2, Z) (ii) C >, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. (iii) f hat keine außerwesentliche Singularität bei i. Zu Punkt (iii): Wir können f durch eine Laurententwicklung g(q) = a n q n n= (q = e z 2 ) darstellen und definieren f(i ) := g() Man sagt, f ist außerwesentlich singulär in i, falls g außerwesentlich singulär in ist. Theorem: (k/2 - Formel) Sei f eine von der Nullfunktion verschiedene meromorphe Modulform vom Gewicht k. Dann gilt: a H {i } e(a) ord(f; a) = k 2

2 Dabei durchläuft a ein Repräsentantensystem (modulo Γ) aller Pole und Nullstellen von f. (Diese Menge ist endlich wegen der Kompaktheit des Fundamentalbereiches.) e(a) := 3 falls a ϱ mod Γ ϱ = e πi 3 2 #Γ a = 2 falls a i mod Γ sonst, also auch e(i ) = Γ a := {M Γ; M a = a} ist die Stabilisatorgruppe von Γ. Im Spezialfall k = erhält man für Modulformen ein Analogon zu den Sätzen von Liouville, die besagen, daß eine elliptische Funktion gleichviele Pole wie Nullstellen hat und die Summe der Residuen verschwindet. Hier muß man die Punkte a H noch mit der Gewichtung e(a) versehen. Beweis: Da f eine meromorphe Modulform ist, existiert ein C > O, so daß f(z) für Im z > C keine Nullstellen oder Pole hat. Wir wählen nun ein solches C und werten das folgende Integral längs des Weges γ aus: γ h(z)dz, mit h(z) = f (z) f(z) Zunächst seien keine Nullstellen und Pole auf dem Rand außer möglicherweise i, ϱ undϱ 2. Die Kreise um i, ϱ undϱ 2 haben den Radius ε >. Der Weg γ sieht nun folgendermaßen aus: 2

3 Für den Grenzübergang ε gilt: nach Residuensatz. h(z)dz = γ a mod Γ,a i,ϱ mod Γ ord(f; a) Nun zur Auswertung des Integrals: Wir zerlegen den Weg γ in einzelne Abschnitte und berechnen die Teilintegrale. )Die Integrale von A nach B und von B nach A Da f periodisch ist, ist auch h periodisch, und es gilt: B B A A 2) Die Integrale von C nach D und von D nach C Parametrisierung des Kreisbogens von C nach D: β : [, ] C t e i(c+t(d c)) c = arg C, d = arg D Den Kreisbogen von C nach D erhält man aus dem von C nach D durch Punktspiegeln und komplex Konjugieren: e i(c+t(d c)) Die Ableitung davon: β (t) = 2 3

4 Die Bögen werden also durch die Transformation z z ineinander überführt. Daher schauen wir uns das Verhalten von h(z) = f (z) unter f(z) dieser Transformation an. f( z ) = z k f(z) f ( z ) z 2 = z k f (z) + kz k f(z) h( z ) = f ( z ) f( z ) = zk f (z) + kz k f(z) z k f(z = z 2 h(z) + kz Also: D h(z)dz = h()β (t)dt (Kurvenintergral) und C C D h(z)dz h( ) β (t)dt h( 2 dt ( 2 h() + k) h()β (t)dt k 2 dt dt Damit ( D C h(z)dz + C D h(z)dz) = ( k h()β (t)dt dt h()β (t)dt k k [ln()] k (ln D ln C) 4 dt)

5 ε : k (ln i ln ϱ2 ) k (iπ 2 3 ) = k 2 3)Mit ähnlichen Überlegungen erhält man: A A C lim ε B lim ε lim ε h(z)dz ord(f; i ) B C D D h(z)dz 6 ord(f; ϱ2 ) h(z)dz ord(f; ϱ) 6 h(z)dz ord(f; i) 2 Wenn es weitere Pole/Nullstellen auf dem Rand gibt, modifiziert man die Integrationslinie wie folgt: Die zusätzlichen Kreissegmente heben sich gegenseitig auf. 5

6 Folgerungen: Definition: Eine meromorphe Modulform heißt ganz, wenn sie in allen Punkten aus H {i } regulär ist. Eine meromorphe Modulform ist genau dann ganz, wenn ord(f; a) a H {i } Für eine Nullstelle a einer ganzen Modulform gilt nach der k/2 - Formel die folgende Ungleichung: k 2 ord(f; a) e(a) 3 Damit lassen sich leicht die folgenden Eigenschaften von ganzen Modulformen zeigen: Jede ganze Modulform negativen Gewichts verschwindet identisch. 2 Jede ganze Modulform vom Gewicht ist konstant. 3 Es gibt keine ganze Modulform vom Gewicht 2. 4 Eine ganze Modulform von positivem Gewicht hat mindestens eine Nullstelle in H {i } Beispiel: Die Eisensteinreihen G 4 und G 6 mit G k (z) = (cz + d) k (c,d) Z Z,(c,d) (,) sind ganze Modulformen vom Gewicht k. Satz: Sei f eine ganze Modulform vom Gewicht 2, welche in i verschwindet (z.b. = g g 2 3, mit g 2 = 6G 4, g 3 = 4G 6 ). Dann hat f in i eine Nullstelle erster Ordnung und nur diese. 6

7 Beweis: k 2 ord(f; i ) = = e(i ) } {{ } + a,a i ord(f; a) e(a) Da alle Punkte einer ganzen Modulform eine Ordnung haben, gilt für alle a i : ord(f, a) = und ord(f; i ) =. Theorem: Die j-funktion induziert eine bijektive Abbildung ĵ : H/Γ C τ g3 2(τ) (τ) Beweis: (i) Surjektivität: bekannt (ii)injektivität: Zu zeigen: Für jedes b C gibt es genau ein z mit ĵ(z) = b. Dazu betrachten wir die Funktion B(z) = ĵ(z) b. Diese hat nach obigem Satz in i einen Pol erster Ordnung und nach der k/2 - Formel nur eine einzige Nullstelle. Damit ist die Injektivität gezeigt. Folgerung: Es gibt genauso viele Äquivalenzklassen in H modulo Γ wie Punkte in C. 7

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

13. Abzählen von Null- und Polstellen

13. Abzählen von Null- und Polstellen 13. Abzählen von Null- und Polstellen 77 13. Abzählen von Null- und Polstellen Als weitere Anwendung des Residuensatzes wollen wir nun sehen, wie man ot au einache Art berechnen kann, wie viele Null- bzw.

Mehr

Die Weierstraßsche Funktion

Die Weierstraßsche Funktion Die Weierstraßsche Funktion Nicolas Weisskopf 7. September 0 Zusammenfassung In dieser Arbeit führen wir die Weierstraßsche Funktion ein und untersuchen einige ihrer Eigenschaften. Wir zeigen, dass jede

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Fraktale Geometrie: Julia Mengen

Fraktale Geometrie: Julia Mengen Fraktale Geometrie: Julia Mengen Gunnar Völkel 1. Februar 007 Zusammenfassung Diese Ausarbeitung ist als Stoffsammlung für das Seminar Fraktale Geometrie im Wintersemester 006/007 an der Universität Ulm

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

PD Dr. R. Schätzle 9.4.2001 Dr. A. Karlsson. Funktionentheorie II SS 2001

PD Dr. R. Schätzle 9.4.2001 Dr. A. Karlsson. Funktionentheorie II SS 2001 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle 9.4.2001 Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS 2001 1.Übung AUFGABE 1: Zeigen Sie, daß die Riemannschen Flächen CI und D := {z CI z < 1 } mit

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr

FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN

FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN JOSEF TEICHMANN 1. Ein motivierendes Beispiel aus der Anwendung Das SABR-Modell spielt in der Modellierung von stochastischer Volatilität eine herausragende

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilungen Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen

Mehr

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Analysis IV, SS 2012 Freitag $Id: residuum.tex,v /06/29 17:27:57 hk Exp $

Analysis IV, SS 2012 Freitag $Id: residuum.tex,v /06/29 17:27:57 hk Exp $ $Id: residuum.tex,v.6 202/06/29 7:27:57 hk Exp $ 6 Der Residuenkalkül 6. Der Residuensatz Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den Begriff des Residuums einer holomorphen Funktion f : U C in einer isolierten

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

f : C C, z f(z) = zz komplex differenzierbar? Gibt es ein Gebiet G so dass f G analytisch ist?

f : C C, z f(z) = zz komplex differenzierbar? Gibt es ein Gebiet G so dass f G analytisch ist? Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Klausurvorbereitung - Lösungsvorschläge- Funktionentheorie Hier eine kleine Sammlung von Klausurvorbereitungsaufgaben vom Sommersemester 008 aus der Vorlesung

Mehr

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975) Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz Die Cantor-Funktion Stephan Welz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

6.2 Perfekte Sicherheit

6.2 Perfekte Sicherheit 04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg ufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und nti-steinersche Punkte Darij Grinberg Eine durch den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks B gehende Gerade g werde an den Dreiecksseiten B; und B gespiegelt;

Mehr

Ein RSA verwandtes, randomisiertes Public Key Kryptosystem

Ein RSA verwandtes, randomisiertes Public Key Kryptosystem Seminar Codes und Kryptographie WS 2003 Ein RSA verwandtes, randomisiertes Public Key Kryptosystem Kai Gehrs Übersicht 1. Motivation 2. Das Public Key Kryptosystem 2.1 p-sylow Untergruppen und eine spezielle

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten In Anwesenheit eines äußeren magnetischen Felds B entsteht in der paramagnetischen Phase eine induzierte Magnetisierung M. In der ferromagnetischen Phase führt B zu einer Verschiebung der Magnetisierung

Mehr

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen

Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, 25.1.2001 Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory

Mehr

Damian Rösslers Komplexe Analysis. SS 02 getext von Johannes Bader

Damian Rösslers Komplexe Analysis. SS 02 getext von Johannes Bader Damian Rösslers Komplexe Analysis SS 2 getext von Johannes Bader Copyright 22 Johannes Bader baderj@ee.ethz.ch Die Verteilung dieses Dokuments in elektronischer oder gedruckter Form ist nicht gestattet.

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Verkäufer/-in im Einzelhandel. Kaufmann/-frau im Einzelhandel. belmodi mode & mehr ein modernes Unternehmen mit Tradition.

Verkäufer/-in im Einzelhandel. Kaufmann/-frau im Einzelhandel. belmodi mode & mehr ein modernes Unternehmen mit Tradition. Eine gute Mitarbeiterführung und ausgeprägte sind dafür Das ist sehr identisch des Verkäufers. Eine gute Mitarbeiterführung und ausgeprägte sind dafür Das ist sehr identisch des Verkäufers. Eine gute Mitarbeiterführung

Mehr

Exkurs: Polnische Räume

Exkurs: Polnische Räume Ein normaler Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis kann auf viele Weisen metrisiert werden; man kann insbesondere eine einmal gewonnene Metrik in vielerlei Weise abändern, ohne die von ihr erzeugte Topologie

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010 Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver

Mehr

Schwach ergodische Prozesse

Schwach ergodische Prozesse Schwach ergodische Prozesse Von der Fakultät für Naturwissenschaften der Universität Duisburg-Essen (Standort Duisburg) zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte

Mehr

Logik-Programme. Eine Tatsachenklausel ist eine einelementige positive Klausel, d.h. sie hat

Logik-Programme. Eine Tatsachenklausel ist eine einelementige positive Klausel, d.h. sie hat Logik-Programme Definition: Eine Tatsachenklausel ist eine einelementige positive Klausel, d.h. sie hat die Form {P }. Eine Prozedurklausel ist eine Klausel der Form {P, Q 1, Q 2,..., Q k } mit k 1. P

Mehr

1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen

1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Mit dem Lemma von Burnside lassen sich Zählprobleme lösen, bei denen Symmetrien eine Rolle spielen. Betrachten wir als einführendes Beispiel die Anzahl der

Mehr

1 Zahlen. 1.1 Die reellen Zahlen

1 Zahlen. 1.1 Die reellen Zahlen Zahlen Die aus dem Alltagsleben bekannten rationalen Zahlen (Bruchzahlen) reichen nicht aus, um Analysis rigoros betreiben zu können. Die historische Entwicklung zeigt vielmehr, dass für die Belange der

Mehr

6. Die Gamma-Funktion

6. Die Gamma-Funktion 6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio.

Mehr

Folgen und Grenzwerte

Folgen und Grenzwerte Wintersemester 2015/201 Folgen und Grenzwerte von Sven Grützmacher Dieser Vortrag wurde für den (von der Fachschaft organisierten) Vorkurs für die Studienanfänger an der Fakultät für Mathematik und Informatik

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr