Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

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1 Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften von ganzen Modulformen sowie der zweite Teil des Beweises der Bijektivität der j-funktion behandelt. Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe Funktion für die gilt: f : H C ( a b (i) f(mz) = (cz + d) k f(z) für alle M = c d ) Γ, Γ = SL(2, Z) (ii) C >, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. (iii) f hat keine außerwesentliche Singularität bei i. Zu Punkt (iii): Wir können f durch eine Laurententwicklung g(q) = a n q n n= (q = e z 2 ) darstellen und definieren f(i ) := g() Man sagt, f ist außerwesentlich singulär in i, falls g außerwesentlich singulär in ist. Theorem: (k/2 - Formel) Sei f eine von der Nullfunktion verschiedene meromorphe Modulform vom Gewicht k. Dann gilt: a H {i } e(a) ord(f; a) = k 2

2 Dabei durchläuft a ein Repräsentantensystem (modulo Γ) aller Pole und Nullstellen von f. (Diese Menge ist endlich wegen der Kompaktheit des Fundamentalbereiches.) e(a) := 3 falls a ϱ mod Γ ϱ = e πi 3 2 #Γ a = 2 falls a i mod Γ sonst, also auch e(i ) = Γ a := {M Γ; M a = a} ist die Stabilisatorgruppe von Γ. Im Spezialfall k = erhält man für Modulformen ein Analogon zu den Sätzen von Liouville, die besagen, daß eine elliptische Funktion gleichviele Pole wie Nullstellen hat und die Summe der Residuen verschwindet. Hier muß man die Punkte a H noch mit der Gewichtung e(a) versehen. Beweis: Da f eine meromorphe Modulform ist, existiert ein C > O, so daß f(z) für Im z > C keine Nullstellen oder Pole hat. Wir wählen nun ein solches C und werten das folgende Integral längs des Weges γ aus: γ h(z)dz, mit h(z) = f (z) f(z) Zunächst seien keine Nullstellen und Pole auf dem Rand außer möglicherweise i, ϱ undϱ 2. Die Kreise um i, ϱ undϱ 2 haben den Radius ε >. Der Weg γ sieht nun folgendermaßen aus: 2

3 Für den Grenzübergang ε gilt: nach Residuensatz. h(z)dz = γ a mod Γ,a i,ϱ mod Γ ord(f; a) Nun zur Auswertung des Integrals: Wir zerlegen den Weg γ in einzelne Abschnitte und berechnen die Teilintegrale. )Die Integrale von A nach B und von B nach A Da f periodisch ist, ist auch h periodisch, und es gilt: B B A A 2) Die Integrale von C nach D und von D nach C Parametrisierung des Kreisbogens von C nach D: β : [, ] C t e i(c+t(d c)) c = arg C, d = arg D Den Kreisbogen von C nach D erhält man aus dem von C nach D durch Punktspiegeln und komplex Konjugieren: e i(c+t(d c)) Die Ableitung davon: β (t) = 2 3

4 Die Bögen werden also durch die Transformation z z ineinander überführt. Daher schauen wir uns das Verhalten von h(z) = f (z) unter f(z) dieser Transformation an. f( z ) = z k f(z) f ( z ) z 2 = z k f (z) + kz k f(z) h( z ) = f ( z ) f( z ) = zk f (z) + kz k f(z) z k f(z = z 2 h(z) + kz Also: D h(z)dz = h()β (t)dt (Kurvenintergral) und C C D h(z)dz h( ) β (t)dt h( 2 dt ( 2 h() + k) h()β (t)dt k 2 dt dt Damit ( D C h(z)dz + C D h(z)dz) = ( k h()β (t)dt dt h()β (t)dt k k [ln()] k (ln D ln C) 4 dt)

5 ε : k (ln i ln ϱ2 ) k (iπ 2 3 ) = k 2 3)Mit ähnlichen Überlegungen erhält man: A A C lim ε B lim ε lim ε h(z)dz ord(f; i ) B C D D h(z)dz 6 ord(f; ϱ2 ) h(z)dz ord(f; ϱ) 6 h(z)dz ord(f; i) 2 Wenn es weitere Pole/Nullstellen auf dem Rand gibt, modifiziert man die Integrationslinie wie folgt: Die zusätzlichen Kreissegmente heben sich gegenseitig auf. 5

6 Folgerungen: Definition: Eine meromorphe Modulform heißt ganz, wenn sie in allen Punkten aus H {i } regulär ist. Eine meromorphe Modulform ist genau dann ganz, wenn ord(f; a) a H {i } Für eine Nullstelle a einer ganzen Modulform gilt nach der k/2 - Formel die folgende Ungleichung: k 2 ord(f; a) e(a) 3 Damit lassen sich leicht die folgenden Eigenschaften von ganzen Modulformen zeigen: Jede ganze Modulform negativen Gewichts verschwindet identisch. 2 Jede ganze Modulform vom Gewicht ist konstant. 3 Es gibt keine ganze Modulform vom Gewicht 2. 4 Eine ganze Modulform von positivem Gewicht hat mindestens eine Nullstelle in H {i } Beispiel: Die Eisensteinreihen G 4 und G 6 mit G k (z) = (cz + d) k (c,d) Z Z,(c,d) (,) sind ganze Modulformen vom Gewicht k. Satz: Sei f eine ganze Modulform vom Gewicht 2, welche in i verschwindet (z.b. = g g 2 3, mit g 2 = 6G 4, g 3 = 4G 6 ). Dann hat f in i eine Nullstelle erster Ordnung und nur diese. 6

7 Beweis: k 2 ord(f; i ) = = e(i ) } {{ } + a,a i ord(f; a) e(a) Da alle Punkte einer ganzen Modulform eine Ordnung haben, gilt für alle a i : ord(f, a) = und ord(f; i ) =. Theorem: Die j-funktion induziert eine bijektive Abbildung ĵ : H/Γ C τ g3 2(τ) (τ) Beweis: (i) Surjektivität: bekannt (ii)injektivität: Zu zeigen: Für jedes b C gibt es genau ein z mit ĵ(z) = b. Dazu betrachten wir die Funktion B(z) = ĵ(z) b. Diese hat nach obigem Satz in i einen Pol erster Ordnung und nach der k/2 - Formel nur eine einzige Nullstelle. Damit ist die Injektivität gezeigt. Folgerung: Es gibt genauso viele Äquivalenzklassen in H modulo Γ wie Punkte in C. 7

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