Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen"

Transkript

1 Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug: Wir gebe 2 äquivalete Defiitioe. 1. B C heisst Häufugspukt der Zahlefolge {a }, we es für alle ɛ > ud N N eie Zahl N gibt mit a B < ɛ. 2. B C heisst Häufugspukt der Zahlefolge {a }, we es eie Teilfolge vo {a } gibt, die gege B kovergiert. (ii) (1 Pukt) Bestimme Sie sup{a : N} ud sup a für die Folge a ( 1) ( 1), ( N). Lösug : Es ist a 2k 1 <, ad < a 2k 2k/(2k 1) > a 2k+2 k N. Also sid sup{a : N} a 2 2 ud sup a k a 2k 1. (iv) (2 Pukte) Es seie < a < 1/2 ud a +1 2 a 2 für. Beweise Sie: Lösug: Wir behaupte zuächst, dass a. (1) a < 2 1, ( ). (2) I der Tat: (2) ist richtig für. Ageomme, (2) gilt für ei. Da ist a +1 2 a 2 < 2 [ 2 1] 2 2 2, d.h. (2) gilt auch für + 1 astelle vo. Damit folgt (2) aus dem Iduktiosprizip. Wege (2) ud der Voraussetzuge gilt u a 2 1 für, woraus (1) folgt. Aufgabe 2 (Reelle Reihe). (i) (1 Pukt) Gebe Sie das Leibiz-Kriterium für die Kovergez eier Reihe a. Lösug: Es sei {a } N eie mooto fallede Folge ichtegativer reeller Zahle mit a. Da kovergiert die Reihe ( 1) a. (ii) (1 Pukt) Utersuche Sie die Kovergez der achfolgede Reihe. ( 1) log(), ( 1) 1 Lösug: Es gilt (log /) (1 log )/ 2 < für alle > e. Daraus folgt (log )/ > (log( + 1))/( + 1) für alle 3. Weil ausserdem (log )/ ist, folgt die Kovergez der Reihe ( 1) log() ach dem Leibiz-Kriterium. Weiterhi ist 1. Ifolge des otweige Kriteriums zur Kovergez divergiert also die Reihe ( 1) 1. (iii) (1 Pukt) Sei s k1 ( 1)k+1 1 k ud s s. Zeige Sie, dass s s Lösug: Es hadelt sich um eie Reihe die das Leibiz-Kriterium erfüllt. Also gelte die Ugleichuge 1/(2 + 1) s 2+1 s 2, s 2+1 s 2 1 s 2+2 s 2, ud daher s s 2 s 2+1 s 2 1/(2 + 1) für N. (iv) (1 Pukt) Gebe Sie ei Beispiel für eie Nullfolge (a ) N mit a a, so dass ( 1) a divergiert. 3. April 213

2 Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Lösug: Setze a 2 1 1/ ud a 2 2 für N. Da ist 2 k1 ( 1) k a k (1/k) 2 k (1/k) k1 k2 k1 k (1/k) 2 für. k1 2 k Aufgabe 3 (Komplee Zahle ud Reihe). Sei a z eie komplee Potezreihe mit Kovergezradius R >. (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Kovergezradius R a. Lösug: Der Kovergezradiaus R is defiiert als die Zahl 1/( sup a ), we < sup a < +, +, we sup a, ud, we sup a + gilt. (ii) (1 Pukt) Beweise Sie, dass die Reihe für alle z < R absolut kovergiert. Lösug: Für z < R ist sup a z z R < 1, so dass die absolute Kovergez aus dem Wurzelkriterium folgt. (iii) (1 Pukt) Es sei R >. Beweise Sie, dass die Fuktio f(z) a z i z stetig ist. Lösug: Nach dem Wurzelkriterium kovergiert g(r) : a r 1 für r < R, ud die so defiierte Fuktio g ist mooto wachsed für < r < R. Also gilt g(r) < C für < r < R/2, mit eier vo r uabhägige Zahl C >. Es folgt für < z < R/2: f(z) f() a z z a z 1 z g( z ) z C für z. (iv) (1 Pukt) Bestimme Sie de Kovergezradius achfolgeder Potezreihe: z 1 + (1 + i 3), ( ) + i z Lösug: Nach der obige Defiitio ist für die erste Reihe R 1 + (1 + i 3) 1/ 1 + i 3 2. Für die zweite Reihe gilt R /( + i) 1. Aufgabe 4. (i) (1 Pukte) Ermittel Sie, ob die Fuktioe f() (1 + 3 )/(1 + 2 ) ud g() 2 si cos i ei lokales Miimum/Maimum, oder keies vo beide besitze. Lösug: Es gilt f () 32 (1+ 2 ) (1+ 3 )2 (1+ 2 ) 2, f () ( )(1+ 2 ) 2 ( )2(1+ 2 )2 (1+ 2 ) 4, g () 2 si si 2 cos + 2 cos 2 si, ud g () 2 si si 2 cos si cos si cos 4 si 2 cos. Folglich ist f () > 2 f (), ad g () < 2 g (), so dass f ei lokales Maimum ud g ei lokales Miimum i hat. 3. April 213

3 Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 (ii) (1 Pukt) Bestimme Sie das Supremum der Fuktio f() si auf ], [. Lösug: Es gilt f() ( 1) 2 /(2 + 1)! 1 k 4k+2 ( 1 (4k + 3)! 2 ) < 1 (4k + 4)(4k + 5) für < < 4. Ferer gilt f() 1/ 1/4 für 4. Weil f() 1 ist, folgt sup{f() : > } 1. (iii) (2 Pukte) Sei f :]a, b[ R eie stetige Fuktio, so dass a f() + ud b f() +. Beweise Sie, dass f auf ]a, b[ ei Miimum besitzt. Lösug: Sei m if{f() : (a, b)}. Da gibt es eie Folge { } (a, b) mit f( ) m. Durch Übergag zu eier Teilfolge köe wir erreiche, dass ist, für ei [a, b]. I de Fälle a ud b würde wege der Voraussetzuge m + folge, was absurd ist. Also gilt (a, b), ud wege der Stetigkeit vo f folgt da m f( ) mi{f() : (a, b)}. Aufgabe 5. Beweise Sie die folgede Aussage durch vollstädige Iduktio: (i) (2 Pukte) Es seie a 1 a 2 5 ud a +1 a + 6a 1 für 2. Da ist a 3 ( 2) für 2. (3) Lösug: Es sid a ( 2) 2 ud a 3 a 2 + 6a ( 2) 3, d.h. die Formel (3) ist korrekt für 2 ud 3. Ageomme, (3) ist korrekt für zwei aufeiaderfolgede Zahle 1 ud mit 3, (1 Pukt). Da gilt a +1 a + 6a 1 3 ( 2) + 6(3 1 ( 2) 1 ) (3 + 6)3 1 ( 2 + 6)( 2) ( 2) +1, d.h., die Formel (3) gilt auch für + 1 astelle vo. Die Behauptug folgt u aus dem Iduktiosprizip (1 Pukt). (ii) (2 Pukte) Sid N {} ud p > 1, so gilt I : (1 ) p d! (p + 1)(p + 2) (p + + 1). (4) Lösug: Zuächst sei agemerkt, dass das ueigetliche Itegral i (4) kovergiert wege p > 1. Für gilt (1 ) p d 1 p + 1, d.h. (4) ist korrekt. Ageomme (4) gilt für ei N {} (1 Pukt). Mittels partieller Itegratio ergibt sich da I p (1 ) p d + 1 p + 1 (1 ) p d + 1 p p + 1 I + 1 p + 1 I +1. (1 ) p+1 d +1 (1 ) p d 3. April 213

4 Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Daraus folgt I p I!( + 1) (p + 1)(p + 2) (p + + 1)(p + + 2) ( + 1)! (p + 1)(p + 2) (p + + 2), d.h. (4) gilt auch für + 1 astelle vo. Die Behauptug folgt u aus dem Iduktiosprizip (1 Pukt). Aufgabe 6. (i) (1 Pukt) Sei M eie Mege reeller Zahle. Defiiere Sie die gleichmässige Stetigkeit eier Fuktio f : M R. Lösug: f heisst gleichmässig stetig auf M, falls es zu jedem ɛ > ei δ > gibt, so dass f() f(y) < ɛ gilt für alle, y M mit y < δ. (ii) (1 Pukt) Sei I ei beschräktes oder ubeschräktes Itervall, ud es sei f : I R differezierbar mit f () L I, für eie Zahl L >. Zeige Sie, dass f gleichmässig stetig auf I ist. Lösug: Sid, y I, so folgt aus dem Mittelwertsatz f() f(y) f (z)( y) für eie Zahl z zwische ud y. Daraus folgt f() f(y) f (z) y L y. (5) Ist u ɛ >, so gilt für alle, y I mit y < ɛ/l, wege (5), Also ist f auf I gleichmässig stetig. f() f(y) L y < ɛ. (iii) (2 Pukte) Utersuche Sie die Fuktioe f p () : p, (p R), sowie g() si( 2 ) auf gleichmässige Stetigkeit auf dem Itervall [1, + [. Lösug: Für p 1 ist f p() p p 1 p, also f p gleichmässig stetig auf [1, + ) wege (ii). Für p > 1 ist f p icht gleichmässig stetig auf [1, + ). I der Tat: Ageomme f p wäre gleichmässig stetig ud δ die zu ɛ 1 gehörede Zahl aus der Defiitio i (i), ud es sei N. Da gilt wege des Mittelwertsatzes für f p ( + 1) f p () p( + θ) p 1 p p 1 für ei θ (, 1). Der letzte Ausdruck strebt aber gege + für +, im Widerspruch zur Aahme. Ählich ka ma im Falle der Fuktio g argumetiere: Ageomme, g wäre gleichmässig stetig auf [1, + ), ud δ die zu ɛ 1/2 gehörede Zahl. Da gilt ( π( + (1/2)) π), jedoch g( π( + (1/2))) g( π) si(π( + (1/2))) si(π) 1, im Widerspruch zur Aahme. Aufgabe 7 (Grezwerte). (i) (3 Pukte) Bestimme Sie die folgede Grezwerte, falls diese eistiere. Lösug: Es gilt (, 1 cos 2 ), si (2 ) ( ) April 213

5 Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Durch dreimalige Awedug der Regel vo de l Hospital erhält ma: ( 1 cos 2 ) cos cos Mittels der Potezreihe für de Sius erhält ma 2 2 si 1 cos + si 2 2 cos 2 si + cos 2 si 3 cos si. 6 si ( 1) 2+1 /(2 + 1)! ( 1) 2 4 /(2 + 1)! : s(). 2 Weil die Potezreihe s() ach dem Quotietekriterium für alle kovergiert, ist sie stetig i, so dass s() s() 1 2 gilt. (iii) (1 Pukt) Es sei f defiiert i eiem offee Itervall I, ud f möge eistiere i eiem Pukt I. Zeige Sie, dass f( + h) 2f( ) + f( h) h h 2 f ( ) gilt. Lösug: Die Fuktioe f ud f sid i stetig. Deshalb ergibt eie zweimalige Awedug der Regel vo de l Hospital, f( + h) 2f( ) + f( h) h h 2 f ( + h) f ( h) h 2h f ( + h) f ( ) h 2h f ( ). + h f ( ) f ( h) 2h Aufgabe 8. (i) (1 Pukt) Sei f : [a, b] R eie beschräkte Fuktio. Defiiere Sie das Oberitegral b a f() d ud das Uteritegral b f() d vo f. a Lösug: Es sid ˆ { b N } f() d : sup f(ξ )( 1 ) : a ξ 1 2 N 1 ξ N N, a ˆ b { N } f() d : if f(ξ )( 1 ) : a ξ 1 2 N 1 ξ N N. a (ii) (1 Pukt) Sei { 1 falls ratioal, f() falls irratioal. 3. April 213

6 Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Bereche Sie 1 f() d ud 1 f() d. Lösug: Es gilt f() 1 auf [, 1]. Wege der Dichtheit der ratioale sowie der irratioale Zahle i [, 1] folgt wege (i), ˆ 1 f() d f() d 1 d 1, d 1 2. (iii) (2 Pukte) Für welche Werte vo p kovergiert das ueigetliche Itegral + 2 We es kovergiert, so bereche Sie seie Wert. Lösug: Mit Hilfe der Substitutio e y erhält ma für b > 2, d (log ) p? ˆ b 2 d (log ) p ˆ log b log 2 y 1 p 1 p log y dy y p log b log 2 log b log 2 für p 1 für p 1 Für b + divergiert der letzte Ausdruck ach + für p 1, ud kovergiert ach [log 2] 1 p /(p 1) für p > 1. Somit kovergiert das ueigetliche Itegral geau da we p > 1 ist, ud i diesem Fall ist sei Wert gleich [log 2] 1 p /(p 1). 3. April 213

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P) Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann Das folgede Skript zur Vorlesug Spezielle Aspekte der Aalysis für Studierede des Lehramts a Grud, Haupt ud Realschule wird fortlaufed aktualisiert ud verädert werde. Das Skript ethält bei weitem icht alle

Mehr

Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder

Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder Mathematik Abiturwisse Script vo Michael Telgkamp Vorlesug Dr. Bruder . Eiführug Abiturwisse Mathematik / 9. Zahlebereiche: N atürliche Zahle Z gaze Zahle Q ratioale Zahle R reelle Zahle C komplee Zahle

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen Vorlesugsergäzug zur Igeieurmathematik R.Brigola Ei kleies Eimaleis über Mittelwertbilduge Grudlage über arithmetische Mittel, geometrische Mittel, harmoische Mittel, quadratische Mittel ud das arithmetisch-geometrische

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

1 Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen mehrerer Variablen

1 Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen mehrerer Variablen KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffma SS 204 6.04.204 Höhere Mathematik II für die Fachrichtug Iformatik. Saalübug (6.04.204) Grezwerte ud Stetigkeit

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

8.3. Komplexe Zahlen

8.3. Komplexe Zahlen 8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse

Mehr

Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Vorlesung zur Didaktik der Analysis

Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Vorlesung zur Didaktik der Analysis Stetigkeit ud Dierezierbarkeit Vorlesug zur Didaktik der Aalysis Ihalt Nachtrag: Fuktioegrezwert Stetigkeit Aschauliche Bedeutug Mathematische Präzisierug Topologische Charakterisierug Gleichmäßige Stetigkeit

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Informatik II Dynamische Programmierung

Informatik II Dynamische Programmierung lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit

Mehr

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6 65 Eric Müller Vollstädige Iduktio Nach GIUSEPPE PEANO (858-93) ka ma die Mege N der atürliche Zahle durch folgede Axiome defiiere []:. ist eie atürliche Zahl.. Zu jeder atürliche Zahl gibt es geau eie

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Folgen und Reihen Glege 03/01

Folgen und Reihen Glege 03/01 Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis

Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis Skript Mathematik Ihaltsverzeichis Folge ud Reihe.... Arithmetische Folge ud Reihe.... Geometrische Folge ud Reihe.... Aufgabe... Zis- ud Ziseszisrechug...4. Eifache Verzisug...4. Ziseszisrechug...5. Gemischte

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

Kapitel II Der Galton-Watson-Prozeß mit Immigration

Kapitel II Der Galton-Watson-Prozeß mit Immigration Kapitel II Der Galto-Watso-Prozeß mit Immigratio I diesem Kapitel werde wir das Modell des eifache GWP s um die Kompoete der Immigratio erweiter, was bedeutet, daß sich die Geeratioe der betrachtete Populatio

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

Grundkompetenz-Aufgaben

Grundkompetenz-Aufgaben Durch starte Mathematik übugsbuch bis Grudkompetez-Aufgabe Aufgrud der eue schriftliche Reifeprüfug i Mathematik ist es otwedig, sich mit de eue Grudkompetez-Aufgabe auseiaderzusetze. Die Olie-Ergäzug

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung Mathematik Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1

Mehr

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07. Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:

Mehr

2. Einführung in die Geometrische Optik

2. Einführung in die Geometrische Optik 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222 Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am..007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S-07 Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme

Mehr

3. Einführung in die Statistik

3. Einführung in die Statistik 3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr

Transformator. n Windungen

Transformator. n Windungen echische iversität Dresde stitut für Ker- ud eilchephysik R. Schwierz V/5/29 Grudpraktikum Physik Versuch R rasformator rasformatore werde i viele ereiche der Elektrotechik ud Elektroik eigesetzt. Für

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

Aussagenlogik Schnelldurchlauf

Aussagenlogik Schnelldurchlauf Aussagelogik Schelldurchlauf Michael Leuschel Softwaretechik ud Programmiersprache Lecture 3 Teil 1: Sprache (Sytax) Bestadteile Atomare Aussage (atomic propositios) Etweder wahr oder falsch (Wahrheitswert,

Mehr

e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + 2b f) 2 log (x) + 3 log (2y) 0.5 log (z)

e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + 2b f) 2 log (x) + 3 log (2y) 0.5 log (z) Mathematik 1 Test SELBSTTEST MATHEMATIK 1. Forme Sie die folgede Terme um: a) y y y y + y : ( ) ( ) b) ( 9 ) 18 c) 5 3 3 3 d) 6 5 4 ( 7 y ) 3 4 5 ( 14 y ) e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + b f) log () +

Mehr

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Hadelsschule Abschlussprüfug Sommer Fach: MATHEMATIK Bearbeitugszeit: Erlaubte Hilfsmittel: Zeitstude Nicht-programmierbarer Tascherecher

Mehr

Mengenbegriff und Mengendarstellung

Mengenbegriff und Mengendarstellung R. Brikma http://brikma-du.de Seite 1 05.10.008 Megebegriff ud Megedarstellug Eie Mege, ist die Zusammefassug bestimmter, wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug ud useres Dekes welche Elemete der Mege

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

Geometrische Wahrscheinlichkeiten für nichtkonvexe Testelemente

Geometrische Wahrscheinlichkeiten für nichtkonvexe Testelemente Geometrische Wahrscheilichkeite für ichtkovexe Testelemete Dissertatio zur Erlagug des akademische Grades Dr. rer. at. FerUiversität i Hage Fakultät für Mathematik ud Iformatik vorgelegt vo Dr.-Ig. Uwe

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex TEHNIHE UNIVEITÄT HEMNITZ FAULTÄT FÜ INFOMATI Hardwarepraktikum im W /3 Versuch 3 equetielle ysteme I Gruppe 8: aia Bär hristia Hörr obert ex hemitz, 7. November Hardwarepraktikum equetielle ysteme I Aufgabe

Mehr

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel: E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche

Mehr

2. Gleichwertige Lösungen

2. Gleichwertige Lösungen 8. Gleichwertige Lösuge Für die Lösug jeder lösbare Aufgabe gibt es eie uedliche Azahl vo (abstrakte ud kokrete) Algorithme. Das folgede Problem illustriert, dass eie Aufgabe eifacher oder kompliziert,

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Abschlussprüfung 2013 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2013 an den Realschulen in Bayern Prüfugsdauer: 50 Miute Abschlussprüfug 03 a de Realschule i Bayer Mathematik II Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A Haupttermi A 0 Die ebestehede kizze zeigt de Axialschitt eier massive

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen Aufgabe 1: WS 2000/2001 Aufgabe 1: (4 P (4 Pukte) Gebe Sie die Formel zur Bestimmug des relative sowie des koforme Zissatzes a ud erläuter Sie die Uterschiede bzw. Gemeisamkeite der beide Zisfüße. Lösug:

Mehr

Lektion II Grundlagen der Kryptologie

Lektion II Grundlagen der Kryptologie Lektio II Grudlage der Kryptologie Klassische Algorithme Ihalt Lektio II Grudbegriffe Kryptologie Kryptographische Systeme Traspositioschiffre Substitutioschiffre Kryptoaalyse Übuge Vorlesug Datesicherheit

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Powercrete. Der Beton mit hoher Wärmeleitfähigkeit

Powercrete. Der Beton mit hoher Wärmeleitfähigkeit Powercrete Der Beto mit hoher Wärmeleitfähigkeit 2 Optimierug des Stromdurchflusses mit Powercrete Die elektrische Eergieübertragug ud -verteilug i de urbae Ballugsräume wird aus aheliegede Grüde i überwiegedem

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Aufgabenblatt 4. A1. Definitionen. Lösungen. Zins = Rate Zinskurve = Zinsstruktur Rendite = Yield

Aufgabenblatt 4. A1. Definitionen. Lösungen. Zins = Rate Zinskurve = Zinsstruktur Rendite = Yield Augabeblatt 4 Lösuge A. Deiitioe Zis = Rate Ziskurve = Zisstruktur Redite = Yield A. Deiitioe Zerobod = Nullkupoaleihe = Zero coupo bod Aleihe, die vor Ede der Lauzeit keie Zahluge leistet ud am Ede der

Mehr

186.813 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VU 6.0 1. Übungstest SS 2012 26. April 2012

186.813 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VU 6.0 1. Übungstest SS 2012 26. April 2012 Techische Uiversität Wie Istitut für Computergraphik ud Algorithme Arbeitsbereich für Algorithme ud Datestrukture 186.813 Algorithme ud Datestrukture 1 VU 6.0 1. Übugstest SS 2012 26. April 2012 Mache

Mehr

Investitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode

Investitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode Mit Hilfe der köe folgede Ivestitioe beurteilt werde: eizele Ivestitioe alterative Ivestitiosobjekte optimale Ersatzzeitpukte Seite 1 Folgeder Zusammehag besteht zwische der Kapitalbarwertmethode ud der

Mehr

STUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte

STUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte STUDIUM Mthetische Grudlge für Betrieswirte Mit de folgede Aufge köe Sie i eie Selsttest üerprüfe, o Sie och eiigerße die Grudlge der Alger eherrsche. Diese hdwerkliche Fertigkeite sid wesetlich, we es

Mehr

Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt

Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de

Mehr

Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i

Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge 1.1.1. Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS-

Mehr

Investitionsund Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode, Interner Zinsfuß

Investitionsund Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode, Interner Zinsfuß Ivesiiosud Fiazierugsplaug miels Kapialwermehode, Ierer Zisfuß Bearbeie vo Fraka Frid, Chrisi Klegel WI. Aufgabe: Eie geplae Ivesiio mi Aschaffugsausgabe vo.,- läss jeweils zum Jahresede die folgede Eiahme

Mehr

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Aufbaustudium Grüdugscotrollig Lösugshiweise zur 3. Musterklausur Lösugshiweise

Mehr

Klausur Internes Rechnungswesen Wintersemester 2014/15, Prof. Dr. Jan Schäfer-Kunz, 90 Minuten, Seite 1/10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Klausur Internes Rechnungswesen Wintersemester 2014/15, Prof. Dr. Jan Schäfer-Kunz, 90 Minuten, Seite 1/10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Klausur Iteres Rechugswese Witersemester 2014/15, Prof. Dr. Ja Schäfer-Kuz, 90 Miute, Seite 1/10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Name: Matr.Nr.: Pukte Hilfsmittel Tascherecher Casio FX-87 DE Plus Hiweise zur Bearbeitug

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 6. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug 6.. Defiitioe ud Beispiele Spiele aus dem Alltagslebe: Würfel, Müze, Karte,... u.s.w. sid gut geeiget die Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug darzustelle. Wir

Mehr

x mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten

x mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten Übug &Prktiku zu Digitle Sigle ud Systee The: Fltug Diskrete Fltug Wird ei zeitdiskretes Sigl ( T ) x it Hile eies liere, zeitivrite Siglverrbeitugssystes verrbeitet, so lässt sich ds Verhlte des verrbeitede

Mehr

Aufgabenblatt 6. Anpassung Beta an Verschuldungsgrad: Problem

Aufgabenblatt 6. Anpassung Beta an Verschuldungsgrad: Problem ufgabeblatt 6 Lösuge 1 passug Beta a Verschuldugsgrad: Problem Fall 1: I der Vergageheit war der Verschuldugsgrad geriger als heute. Das empirisch ermittelte Beta ist a die aktuelle Verschuldug azupasse

Mehr

Prof. Dr. Günter Hellmig. Klausurenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig. Klausurenskript Finanzmathematik Prof. Dr. Güter Hellig lausureskript Fiazatheatik Ihalt: lausur vo WS 9/. Eifache Zise: Vorschüssigkeit ud Nachschüssigkeit. Reterechug: Reteedwert ud Retebarwert 3. Tilgugsrechug: Tilgugspla bei Ratetilgug

Mehr

Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann

Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann I. Iformatio ud Nachricht 1. Iformatio ud Nachricht - Nachricht (Sytax), Sigale, Zeiche - Iformatio (Sematik), bit - Rausche 2. digitale Nachrichte - digitale Sigale (Sigalparameter aus edlicher Zeichevorrat)

Mehr