Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

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1 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls x Ω χ Ω (x) := 0, sost die sogete Iditorfutio der Mege Ω. Flls Ω ei Itervll ist, d et m χ Ω uch Rechtecsfutio, ud im Flle vo [0, ) Sprug- oder Heviside-Futio. Bereche Sie für, b, c R mit < c < b ds Oberitegrl J + (χ [,c],, b), sowie ds Uteritegrl J (χ [,c],, b). Ist χ [,c] itegrierbr? [Tipp: D χ [,c] beschrät ist, dürfe wir Stz 5.6 beutze. Wähle Sie für jedes eie Zerlegug { } Z = =x () 0, x (),..., x () =c ε, c+ε =y () 0,..., y () =b vo [, b], sodss x () x() = c ε, sowie y () y() = b c ε für jedes =,...,, wobei (ε ) N eie Nullfolge ist, mit 0 < ε < mi{c, b c}. Ws ist lim Z? Bereche Sie die Ober- ud Utersumme S ± (χ [,c], Z ) ud ihre Grezwerte für.] Lösug. Ei Hiweis vorb: Aufgbe dieser Art werde sehr viel zugäglicher, we Sie sich ei Bild dzu zeiche. Die obige Zerlegug wurde so gewählt, dss die Uter- ud Obersumme eie möglichst eifche Form ehme. Isbesodere ist die Whl eier Nullfolge (ε ) (um die Stelle c zu sepriere) eiesflls otwedig, erleichtert ber die Rechug. Für die -te Obersumme erhlte wir S + (χ [,c], Z ) = (x () x() ) sup χ [,c] [x (),x() ] + = c ε =, d x () j <c (y () y() ) sup χ [,c] [y (),y() ] = c ε ud log für die Utersumme S (χ [,c], Z ) = c ε = b c ε =0, d c< y () j b + 2ε + b c ε + (y () 0 x () ) sup χ [,c] [x (),y () =2ε 0 ] = 0 = c + ε + 2ε 0 + b c ε 0 = c ε, wobei i der obige Rechug ds Supremum durch ds Ifimum ersetzt werde muss. So ist ds Ifimimum vo χ [,c] im Itervll [x (), y () 0 ] gleich 0 [4 Pute].

2 Für die Feiheit Z der Zerlegug Z gilt { c ε Z = mx, b c ε }, 2ε 0. ( Put) D ußerdem χ [,c] (x) für lle x R, dürfe wir Stz 5.6 wede, d.h. ds Uterbzw. Oberitegrl ist der Grezwert der Uter- bzw. Obersumme für. Es gilt somit J + (χ [,c],, b) = lim (c +ε ) = c ( Put) sowie J (χ [,c],, b) = lim (c ε ) = c ( Put) Isbesodere stimme lso Ober- ud Uteritegrl vo χ [,c] überei, weshlb χ [,c] über [, b] itegrierbr ist(mit Itegrl χ [,c](x) dx = c ) [ Put]. Aufgbe 2.2 [8 Pute] Sei f : [, ] R eie stetige Futio ud χ Ω wie obe. () Zeige Sie, dss gilt χ [,b] (x)f(x) dx = f(x) dx, flls < b. [2 Pute; Tipp: Gebietsdditivität, d.h. für eie uf eiem Itervll [, b] itegrierbre Futio g gilt g(x)dx = c g(x)dx + g(x)dx, flls c c b (Stz 5.5).] Beweis. D f stetig ist, ud χ Ω ch Aufgbe 2.2 Riem-itegrierbr ist, gilt ch Stz 5.5 χ [,b] (x)f(x) dx = = χ [,b] (x)f(x) dx + 0 dx + f(x) dx + χ [,b] (x)f(x) dx + 0 dx = b b f(x) dx, χ [,b] (x)f(x) dx wobei wir beutzt hbe, dss g(x)dx = h(x)dx, we g(x) = h(x) x (, b), d.h. die Rdpute sid icht relevt für de Wert des Itegrls. Dies ist äquivlet zu u(x) dx = 0 flls u(x) = 0 für lle x (, b). Es folgt eierseits diret us der Kostrutio des Riem-Itegrls, dss Futioswerte uf Putmege eie Eifluss uf de Wert des Itegrls hbe, dererseits sieht m dies z.b. mithilfe des Mittelwertstzes (ei Beweis dieser Aussge wr hier llerdigs icht verlgt): Sei u eie uf [, b] itegrierbre Futio. Für jedes ε > 0 mit ε < b gibt es ei η ε R (zwische if [,+ε] u ud sup [,+ε] u), sodss u(x)dx = +ε u(x) dx + +ε u(x) dx = η ε ε + +ε u(x) dx D u beschrät ist, ist isbesodere (η ε ) ε beschrät. Durch die Whl vo ε > 0 η ε ε somit beliebig lei gemcht werde. Dies zeigt, dss ds Itegrl uf der lie Seite icht vo u(), soder ur vo u(x) für x > bhägt. Aloges gilt der Stelle b (bzw. i jedem seprierte Put). 2

3 (b) Für jedes N ud x [, ], sei g (x) := χ 2 [, ](x). Zeige Sie, dss lim g (x)f(x) dx = f(0). [6 Pute; Tipp: Mittelwertstz der Itegrlrechug] Beweis. Zuächst gilt ch Aufgbeteil () [ Put] g (x)f(x) dx = 2 / / f(x) dx D f stetig ist, gibt es ch dem Mittelwertstz der Itegrlrechug für jedes N ei ξ [ /, /], sodss / f(x) dx = f(ξ / ) 2 [3 Pute], d.h. für lle N g (x)f(x) dx = f(ξ ). Die Behuptug folgt u wege lim ξ = 0 [ Put] ud der (Folge-)Stetigeit vo f [ Put]. Aufgbe 2.3 [8 Pute] Ziel dieser Aufgbe ist es, x 0 t2 dt für x > 0 uf zwei verschiedee Arte zu bereche. () Bereche Sie x 0 t2 dt mithilfe vo Riem-Summe. [7 Pute; Tipp: Orietiere Sie sich Beispiel 5.9: Ageomme Z = {x 0,..., x } ist eie Zerlegug vo [0, x], d gibt es α > 0, sodss es für jedes j =,..., ei ξ j (α) zwische x j ud x j gibt, mit ξ 2 j (α)(x j x j ) = α(x 3 j x 3 j ). Fide Sie α. Zeige Sie hierfür zuächst, dss ( t 3 )/( t) = +t+t 2 für t. Beweis. Wir orietiere us Beispielufgbe 5.9. Zuächst etbliere wir ei Lemm. Sei 0 < b. D existiert ξ(, b) ], b[ mit 3ξ(, b) 2 (b ) = b 3 3. Aus der Formel für die Geometrische Reihe, oder diretes Nchreche, folgt dss (b )(b 2 + b + 2 ) = b 3 3. D < b ud 2 < b < b 2 sehe wir, dss 3 2 < b 2 + b + 2 = b3 3 b < 3b2. b Wir setze ξ(, b) = 3 3 = 3 b 3 (b2 + b + 2 ) ud schlussfolger 2 < ξ 2 < b 2. D x x 2 streg mooto wchsed ist für x 0 folgt ξ ], b[. Ds schließt de Beweis des Lemms b. D f(t) = t 2 stetig ist, öe wir x 0 t2 dt mit Hilfe vo Riem-Summe bereche. Sei lso Z = {x 0,..., x } eie Zerlegug vo [0, x]. Wir wähle ξ = ξ(x, x ) (Nottio us dem Lemm) ud erhlte ls Riem-Summe für diese Zerlegug (ud Whl der Stützpute) (x x )f(ξ ) = (x x )ξ(x, x ) 2 = 3 (x3 x 3 ) Hierbei hdelt es sich um eie Telesope Summe mit Wert 3 (x3 x 3 0) = 3 (x3 0 3 ). Für diese Whl der Stützpute ist die Riem-Summe lso ubhägig vo der Zerlegug ud somit gleich dem Riem-Itegrl: x 0 t2 dt = x3. 3 3

4 (b) Vlidiere Sie Ihr Ergebis us () mithilfe vo Stz 5.2 (Huptstz der Differetilud Itegrlrechug). [ Put] Beweis. Sei F (t) = t3 3. D F = f ud f stetig ist, folgt x 0 f(t) dt = F (x) F (0) = x3 3. us dem Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug. Aufgbe 2.4 [8+4 Pute] I dieser Aufgbe zeige wir, dss ( ) ( ) e! e, ( ) e e für lle N, wobei e = exp() die Eulersche Zhl bezeichet. Bemerug: Abschätzuge dieser Art sid ls Stirlig-Formel bet. Mit mehr Aufwd m zeige, dss 2π (/e) eie bessere Näherug für! ist. Zeige Sie, dss (i) log! = =2 log, [ Put] Beweis. Wie i der Vorlesug gezeigt folgt us dem Additiostheorem 2.6 (exp(x+ y) = exp(x) exp(y)) die Versio log(xy) = log(x) + log(y). Eifche Idutio zeigt, dss log(x x 2... x ) = x + x x. D! = ( ) ( 2) ergibt sich log! = log. Ds gewüschte Ergebis folgt us der beobchtug exp(0) =, lso log = 0. (ii) log t dt = log +. [2 Pute] Beweis. F (x) = x log x x ist eie Stmmfutio vo log x. Ds folgt durch eifches Nchreche us der Produtregel ud (log x) =. D log x uf [, ] stetig x ist folgt us dem Huptstz der Itegrl- ud Differetilrechug (ud log = 0), dss log t dt = F () F () = log +. (iii) log t dt log! log t dt + log [4 Pute; Tipp: Schreibe Sie log t dt = =2 log t dt ud beutze/beweise Sie, dss für eie mooto wchsede Futio f, f()(b ) f(t) dt f(b)(b ).] 4

5 Beweis. Wir Beweise zuächst die Hilfsussge: sei f : [, b] R mooto wchsed (ud somit itegrierbr). D gilt f()(b ) f(t) dt f(b)(b ). Wir zeige die erste Ugleichug, die zweite ist log. Sei g(t) = f(). D gilt g(t) f(t) für lle t [, b] ud somit, dss g(t) dt f(t) dt. Aber g(t) ist eie ostte Futio, ud somit ht ds Itegrl de Wert f()(b ) (z. B. d f()t eie Stmmfutio zu g ist). Wir zeige u log t dt log!. Durch Gebietsdditivität öe wir log t dt = =2 log t dt schreibe. Aus der obe bewiesee Hilfsussge folgt, dss log t dt ( ( )) log = log (d log mooto wchsed ist, vgl Stz 3.9()). Die gewüschte Ugleichug folgt durch Aufsummiere (ud Teilufgbe (i)). Schließlich zeige wir log! log t dt + log. Aus der Hilfsussge folgt, dss log t dt log( ). Durch Aufsummiere folgt log t dt log. Die gewüschte Ugleichug folgt durch Additio vo log uf beide Seite (ud Teilufgbe (i)). Schließe Sie de Beweis vo ( ) b. [ Put] Beweis. Die Kombitio vo (ii) ud (iii) liefert log + log! log + + log. D die Expoetilfutio exp mooto wchsed ist, erhält sie Ugleichuge, ud es folgt dss exp( log + ) exp(log!) exp( log + + log ). Die Ugleichug ( ) folgt durch Beutzug des Additiostheorems 2.6. Zustzufgbe [4 Bouspute; mit Computer/Tscherecher]: Zeige Sie, dss ( )! für 7. e Beweis. D log mooto wchsed ist, ist es hireiched (ud otwedig) zu zeige, dss log! log + log. Sei d = log + log log!. (d ) ist eie mooto wchsede Folge. Ds folgt us userer Kostrutio der ursprügliche Abschätzug: Wir hbe log = log t dt, vgl. Teilufgbe (ii). Es gilt weiterhi log = + log t dt ud somit log t dt = log = log ( )!. Die Kombitio dieser Aussge liefert d = log + log log! = log log ( )! = = log t dt (log t log t ) dt 5 log t dt

6 D log mooto wchsed ist gilt log t log t 0 ud somit d + d = + (log t log t ) dt 0. Ds beweist die Behuptug, dss d mooto wächst. Wir solle zeige, dss d 0 für 7. D d mooto wächst ist es hireiched zu zeige, dss d 7 0. Tscherecher oder Computer bereche leicht, dss d 7 = > 0. Bemerug: Sei x = + ɛ, ɛ [0, [. D gilt log x log x = log ( + ) ɛ ɛ. Folglich gilt (log t log t ) dt ɛ dɛ = ud dher d dx log. D d 2 x 2 misst, wie viel zu groß usere Abschätzug ist, erhlte wir log! = log + log d log + log (vgl. die bessere Näherug i der erste Bemerug). I dieser Alyse hbe wir Terme ubhägig vo 2 verchlässigt, weswege wir de log 2π Term uf diese Weise icht erhlte öe. 6

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