Damian Rösslers Komplexe Analysis. SS 02 getext von Johannes Bader

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1 Damian Rösslers Komplexe Analysis SS 2 getext von Johannes Bader

2 Copyright 22 Johannes Bader Die Verteilung dieses Dokuments in elektronischer oder gedruckter Form ist nicht gestattet. Das Dokument entstand aus der Mitschrift der Vorlesung Komplexe Analysis bei Prof. Rössler im Sommersemester 2 am Departement der ETH Zürich. Dieses Dokument wurde mit L A TEX unter Windows gesetzt. Die verwendete Klasse ist paper.cls, wobei die Überschriften modifiziert und Aufzählung, u.ä. in Farbe gesetzt wurden. Grafiken wurden mit CorelDraw erzeugt und mit psfrag beschriftet, wobei aber unwichtige Illustrationen weggelassen wurden. Version 3., Juli 22

3 2 Inhaltsverzeichnis KomplexeZahlen Eigenschaften von C Exponential- und Logarithmusfunktion RiemannschesZahlenkugelundweitereelementareFunktionen AnalytischeFunktionen Kurven in C und konforme Abbildungen DerSatzvonCauchyI Anwendung der Integralformel Die allgemeine Integralformel Fourierreihen Fourier - Transformation DiskreteFourieranalysis Laplace Transformation Zusatz... 86

4 Komplexe Zahlen 3 KOMPLEXE ZAHLEN [V-242] Die komplexen Zahlen bilden eine Erweiterung der reellen Zahlen R, in der jede Gleichung a m x m + + a x + a = wobei a,...,a m R mindestens eine Lösung hat. Errinnerung R 2 ist die Menge der Paare (x, y) von reellen Zahlen. Definition. Das System der komplexen Zahlen besteht aus R 2 zusammen mit den Verknüpfungen: + Summme (x,y )+(x 2,y 2 ) Def = (x + y,x 2 + y 2 ) Multiplikation (x,y ) (x 2,y 2 ) Def = (x x 2 y y 2,x y 2 + x 2 y ) Dieses System wird mit dem Symbol C bezeichnet. Die Zahl (, ) wird i geschrieben, wobei i 2 =. Man identifiziert R mit der Achse {(x, ) R 2 x R} C. Rechenregeln für z,z,z 2,z 3 C (x, y) =(x, ) + i(,y)=x + iy z (z 2 z 3 )=(z z 2 ) z 3 z +(z 2 + z 3 )=(z + z 2 )+z 3 i 2 = z = z z +=z z (z 2 + z 3 )=z z 2 + z z 3 Für jedes z C\{} gibt es ein eindeutiges Element z C, sodassz z =.Für z = x + iy gilt: z x = x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 Man schreibt z, Inverse, für z. Wenn z = x + i, dann gilt z = x + i. Die Formel für z erhält man so: x + iy = x iy (x + iy)(x iy) = x iy x 2 + y 2 Zusammenfassung. Die komplexen Zahlen bilden eine Erweiterung der reellen Zahlen R, in der jede Gleichung a m x m + + a x + a =,wobeia,...,a m R eine Lösung hat. 2. Das System der komplexen Zahlen besteht aus R 2 zusammen mit den Verknüpfungen Summe, (x,y )+(x 2,y 2 ) Def = (x + y,x 2 + y 2 ) und Multiplikation

5 2 Eigenschaften von C 4 (x,y ) (x 2,y 2 ) Def = (x x 2 y y 2,x y 2 + x 2 y ). Dieses System wird mit dem Symbol C bezeichnet. 3. Es gelten die Rechenregeln: (x, y) =(x, ) + i(,y)=x + iy z (z 2 z 3 )=(z z 2 ) z 3 z +(z 2 + z 3 )=(z + z 2 )+z 3 i 2 = z = z z +=z z (z 2 + z 3 )=z z 2 + z z 3 4. Für jedes z C\{} gibt es ein eindeutiges Element z C, sodassz z = wobei z x = x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 2 EIGENSCHAFTEN VON C Es sei z = x + iy. Die Zahl y heisst Imaginärteil, die Zahl x heisst Realteil. x = R(z) y = I(z) Die Norm oder der Absolutbetrag von z ist die reelle Zahl x 2 + y 2 und wird mit z bezeichnet. Polardarstellung Aus der Trigonometrie wissen wir, dass jedes z in S in der Form (cos θ, sin θ) geschrieben werden kann. y S sin(θ) cos(θ) x Komplex ausgedrückt: Für jedes z C mit z = gibt es ein θ R, sodass z =cosθ + i sin θ. Weiter: Für alle z C gilt: z z = und deshalb gibt es ein θ R mit z =cosθ + i sin θ z = z (cos θ + i sin θ) z

6 2 Eigenschaften von C 5 y z + z 2 z z 2 (a) Addition x y θ + θ 2 z z 2 z z 2 θ θ 2 z z 2 (b) Subtraktion x Fig. : Geometrische Deutung von + und Das Argument arg(z) ist die Zahl θ, welche bis auf ein Vielfaches von 2π bestimmt ist. Rechenregeln Es gilt: arg(z z 2 )=arg(z )+arg(z 2 )+2π k wobei k Z. Wenn man θ immer in [, 2π) wählt, dann ist das Argument eindeutig bestimmt und heisst Hauptwert des Arguments. Mankannauchθ in dem Intervall [y,y +2π) wählen, für irgendein y R. Geometrische Deutung von + und Siehe Abbildung (a) und (b). Komplexe Konjugation Konjugierte von z. z = x + iy C. Man schreibt z für x iy; z ist die komplex

7 2 Eigenschaften von C 6 y z z x Rechenregeln z,z,z 2 C z z 2 = z z 2 z + z 2 = z + z 2 z = z z = z R(z) = z + z I(z) = z z 2 2 z z = z 2 Zusammenfassung 5. Es sei z = x + iy. Die Zahl y heisst Imaginärteil, die Zahl x heisst Realteil. 6. Die Norm oder der Absolutbetrag von z ist die reelle Zahl x 2 + y 2 und wird mit z bezeichnet. 7. Komplex ausgedrückt: Für jedes z C mit z = gibt es ein θ R, sodass z =cosθ + i sin θ. 8. Das Argument arg(z) ist die Zahl θ, welche bis auf ein Vielfaches von 2π bestimmt ist. 9. z = x + iy C. Man schreibt z für x iy; z ist die Konjugierte von z.. z,z,z 2 C z z 2 = z z 2 z + z 2 = z + z 2 z = z z = z R(z) = z + z I(z) = z z 2 2 z z = z 2

8 3 Exponential- und Logarithmusfunktion 7 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION Errinnerung sin(x) =x x3 3! + x5 5!... cos(x) = x2 2! + x4 4!... e x =+x + x2 2! + x3 3!... Die Definition von e x lässt sich erweitern: Satz 3. Die Reihe + z + z2 2! + konvergiert für alle z C und ergibt die Exponentialfunktion e z, z C. Bemerkung Aus der Definition konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn sie als Folge von Vektoren konvergiert. [V2-442] Wir berechnen für θ R e iθ =+iθ + (iθ)2 2! =+iθ θ2 = + (iθ)3 3! 2! iθ3 3! ( θ2 2! + θ4 4! =cosθ + i sin θ + θ4 + 4! + ) + i (θ θ3 3! + θ5 5! Das bedeuted: für jedes z C ist z = z e iθ eindeutig, vorausgesetzt θ [, 2π) Rechenregeln e z+z2 = e z e z2 e z z C e z = e R(z) e z = z =2π n Die Logarithmusfunktion wird wie folgt definiert log z def = ln z + i arg(z) Satz 3.2 Es gelten folgende zwei Punkte: n Z e log z = z, wenn z, unabhängig von der Wahl eines Wertebereichs für arg Wenn der Wertebereich von arg das Interval I =[y,y +2π) ist und I(z) I, dann ist log(e z )=z Beweis der obigen zwei Aussagen: )

9 3 Exponential- und Logarithmusfunktion 8 e log z = e ln z +i arg z = e ln z e i arg(z) = z e i arg(z) = z Der zweite Beweis erfolgt ähnlich log e z =ln e z + i arg e z =ln e R(z) e ii(z) + i arg(e R(z) e ii(z) ) = R(z)+i I(z)+i2πk k Z wobei aber I(z) arg(e ii(z) ) < k = Rechenregeln log(z z 2 ) = log(z ) + log(z 2 )+2πk, wobeik Z. Potenzieren und Radizieren Man definiert z w = e w log(z) Der Ausdruck macht nur Sinn, wenn z, wenn z R und w = a b, a, b Z. Dann gilt: z w = b z a unabhängig von arg. Ausserdem leitet man aus Satz 3.2 ( z m ) m = z ab, also ist z m w m = z eine Lösung der Gleichung ( ) Andere Lösungen erhält man, in dem man andere Wertebereiche für arg wählt. Satz 3.3 Die Lösungen von w in ( ) sind: mit m z e i θ m,..., m z e i θ m m θ =arg(z), θ =arg(z)+2π, θ m =arg(z)+(m ) 2π Bemerkung Allgemeiner gilt der Fundamentalsatz der Algebra. Es sei: P (w) =a m w m + a m w m + + a wobei a,...,a m C. Dann gibt es α,...,α k C und m,...,m k, so dass: P (w) =a m (w α ) m (w α 2 ) m2... (w α k ) m k Der Beweis hierfür erfolt später. P (w) =hatdielösungen α,,α k C

10 4 Riemannsches Zahlenkugel und weitere elementare Funktionen 9 Zusammenfassung. Für den Sinus und Cosinus gilt sin(x) =x x3 3! + x5 5!... cos(x) = x2 2! + x4 4!... + konvergiert für alle z C und ergibt die Exponenti- 2. Die Reihe + z + z2 2! alfunktion e z, z C 3. z = z e iθ 4. Die Logarithmusfunktion wird wie folgt definiert log z def = ln z + i arg(z) 5. log(e z )=z und e log z = z 6. log(z z 2 ) = log(z ) + log(z 2 )+2πk, wobeik Z. 7. Es gilt der Fundamentalsatz der Algebra. Es sei: P (w) =a m w m + a m w m + + a wobei a,...,a m C. Dann gibt es α,...,α k C und m,...,m k, so dass: P (w) =a m (w α ) m (w α 2 ) m2... (w α k ) m k P (w) =hatdielösungen α,,α k C 4 RIEMANNSCHES ZAHLENKUGEL UND WEITERE ELEMENTARE FUNKTIONEN Die Riemannsche Zahlenkugel, oder abgeschlossene komplexe Ebene, ist eine Kompaktifizierung von C, sie wird eingeführt um weniger Unterscheidungen in Konvergenz-Aussagen machen zu müssen. Definition 4. Die Riemannsche Zahlenkugel ist: C Def = C { } wird Punkt im Unendlichen genannt. Weiter führt man folgende Terminologie ein: Sei f : C C eine Funktion und z C lim f(z) =z lim f z z ( ) = z z lim z z f(z) = lim z z f(z) =

11 4 Riemannsches Zahlenkugel und weitere elementare Funktionen z P x P y z Ebene Fig. 2: Riemannsche Zahlenkugel: Durch die sogenannte stereographische Projektion werden die Punkte der Ebene auf die Sphäre abgebildet. Der Punkt P wird mit dem Pol der Sphäre ( ) verbunden, der Schnittpunkt mit der Sphäre bildet dann die Projektion P. Errinnerung Konvergenz in C Konvergenz in R 2, genauer: Sei g : R 2 R 2 eine Funktion und x, x R 2. lim x x g( x) = x für jedes ε> gibt es ein δ(ε) >, so dass wenn x x <δ(ε), dann gilt: g( x) x <ε Erweiterung der trigonometrischen Funktionen cos(z) = eiz + e iz 2 Rechenregeln sin 2 z +cos 2 z = sin(z) = eiz e iz 2i sin(z + w) =sinz cos w +cosz sin w cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w Ähnlich defniniert man die Hyperbolisch Trigonometrischen Funktionen cosh = ez +e z 2 sinh = ez e z 2 Rechenregeln cosh 2 (z) sinh 2 (z) = sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + sinh(w) cosh(z) cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w)

12 4 Riemannsches Zahlenkugel und weitere elementare Funktionen Möbiusfunktion Die Möbiusfunktion hat die Form z az + b cz + d Prob Eine Möbiusfunktion führt Kreis / Geraden auf Kreise / Geraden über. Beweis [V3-942] Man betrachtet die Funktionen: T : z z + d c T 2 : z z bc ad T 3 : z z c T 4 : z z + a c Dann ist die Möbiusfunktion die Komposition T : T 4 T 3 T 2 T Die Funktionen T,T 3,T 4 sind Translationen und Streckungen, d.h. Kreis/Geraden werden auf Kreis/Geraden abgebildet. Bleibt zu zeigen: T 2 bildet Kreis/Geraden auf Kreis/Geraden ab. Aus der analytischen Geometrie wissen wir, Kreis/Geraden werden gegeben durch eine Gleichung der Form: Ax + By + C(x 2 + y 2 )=D ( ) A, B, C, D R T 2 hat die Form: z = x + iy = Wenn ( ) gilt, dann gilt auch x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 ( ) ( ) x y A x 2 + y 2 + B x 2 + y 2 + C ( ( ) 2 ( ) ) 2 x y x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = D Zusammenfassung 8. Die Riemannsche Zahlenkugel, oder abgeschlossene komplexe Ebene, ist eine Kompaktifizierung von C, sie wird eingeführt um weniger Unterscheidungen in Konvergenz-Aussagen machen zu müssen. 9. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen lautet cos(z) = eiz + e iz 2 sin(z) = eiz e iz 2i 2. Wichtige Rechenregeln für die trigonometrischen Funktionen sind sin 2 z +cos 2 z =

13 5 Analytische Funktionen 2 sin(z + w) =sinz cos w +cosz sin w cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w 2. Die hyperbolischen trigonometrischen Funktionen cosh = ez +e z 2 sinh = ez e z Wichtige Rechenregeln für die hyperbolischen Funktionen sind cosh 2 (z) sinh 2 (z) = sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + sinh(w) cosh(z) cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) 23. Die Möbiusfunktion hat die Form z az + b cz + d Eine Möbiusfunktion führt Kreis / Geraden auf Kreise / Geraden über 5 ANALYTISCHE FUNKTIONEN Definition 5. Ein Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Menge in C Errinnerung Nicht zusammenhängend sind zwei Mengen U und U 2 wenn gilt: U = U U 2 U U 2 = Definition 5.2 Sei A C ein Gebiet, f : A C eine Funktion und z A. f ist in z differenzierbar (oder analytisch oder holomorph ), wenn lim = f(z) f(z ) f(z + z) f(z ) = lim z z z z z z existiert. Wir nennen den Grenzwert Ableitung von f an der Stelle z und bezeichnen ihn mit f (z ) oder auch df dz (z ). Rechenregeln Sei A C ein Gebiet und f,g : A C analytisch (d.h. in jedem z A analytisch).. af + bg ist auch analytisch a, b C 2. (f g) ist auch analytisch und (f g) = f g + fg 3. f g ist auch analytisch und ( ) f = f g fg g g 2

14 5 Analytische Funktionen 3 4. Eine rationale Funktion a + a z + + a n z 2 b + b z + b m z m ist analytisch in jedem z A, b + b z + b m z m 5. Kettenregel: Seien A, B C Gebiete und f : A C, g : B C zwei Funktionen wobei f(a) B und f,g analytisch, dann gilt: (g f) =(g f)f Deutung der Ableitung.[V4-42] f(z + z) f(z) f (z ) z. Folgender Satz ermöglicht viele analytische Funktionen zu bilden: Satz 5.3 Seien f,f,... holomorphe Funktionen (d.h analytische Funktionen) von einem Gebiet A C. Es gelte: f k (z) c k k, z A Das heisst, wenn k= c k existiert, dann auch k= f k(z), z A. Ausserdem existiert k= f k (z) und es gilt: ( f k (z)) = f z(z) k= k= Beispiel 5.I Sei f k = k n= a nz n, a n C. Wenn für p>, k= a n p k konvergiert, dann konvergiert auch g(z) = a n z z und g (z) = na n z n n= Beispiel 5.II Die Exponentialfunktion kann geschrieben werden als e z =+z + z2 2! +... und ist somit analytisch z C, da n! pn konvergiert p>. Weiter gilt: d dz (ez )= d dz () + d dz (z)+ =++2z + = ez 2! Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Exkurs Mehrdimensionale Differentialgleichungen. U R m ist eine offene Teilmenge, f : U R n, m, n., x U Definition 5.4 Die Funktion f ist in x reell differenzierbar wenn es eine lineare Abbildung Df( x ):R m R n gibt, so dass der Grenzwert lim x x existiert. f( x) f( x ) Df( x )( x x ) } {{ } } {{ } realer Zuwachs lin. Annäherung des Zuwachs x x = k=

15 5 Analytische Funktionen 4 Es sei f = ( f (x,...,x m ),...,f n (x,...,x m ) ). Man schreibt f k x l wobei k {,...,n}, l {,...,m} für die (partielle) Ableitung von f k (x,...,x m )indierichtung x l. Wenn f in x reel differenzierbar ist, dann gibt es alle partiellen Ableitungen f k x l und Df( x ) hat die Matrixform: f f f x x 2... x m.. f n x f n x m Satz 5.5 Wenn f k x l alle x U. existiert und stetig ist in ganz U, dann gibt es ein Df( x )für Folgender Satz sagt, dass ein infinitesimaler reell differenzierbarer Isomorphismus ein lokaler Isomorphismus ist. Satz 5.6 Sei U R m eine offene Teilmenge und f : U R m, f = ( f (x,...,x m ),..., f n (x,...,x m ) ) eine Funktion. Wenn f k x l stetig ist in U k, l und x U, so dass det Df( x ), dann gibt es ein V U mit x V, V offen so dass: f(v ) offen f V : V f(u) ist bijektiv (f V = f eingeschränkt auf V ) Die Umkehrfunktion g def = (f V ) : f(v ) V ist reell differenzierbar in ganz V und g k x l ist stetig k, l Satz 5.7 (Kettenregel) Seien U R m und V R n zwei offene Teilmengen, x U und f : U R n g : V R l reell differenzierbar in U reell differenzierbar in V Dann ist g f reell differenzierbar in U und D(g f)( x )=Dg ( f( x ) ) Df( x ) Satz 5.8 (CR-Differentialgleichung) A C, f : A C eine Funktion, z = x + iy A, f(x, iy) =u(x, y)+iv(x, y) Dann gibt es die komplexe Ableitung df dz (z ) gesetzt der Fall es gibt Df(z ) und u x = v y und u y = v x

16 5 Analytische Funktionen 5 Beweis Aus Voraussetzung existiert f(z) f(z ) lim z z z z Insbesondere gibt es f(x + iy ) f(z ) lim x x x + iy z Man berechnet ( ) ( ) [V5-642] u(x, y )+i v(x, y ) u(x,y ) i v(x,y ) = lim x x x + iy z u(x, y ) u(x,y ) = lim + i v(x, y ) v(x,y ) x x x x x x = u x (x,y )+i v x (x,y ) Ähnlich in der y-richtung f(z) f(z ) f(x + iy) f(z ) lim = lim z z z z y y x + iy z Reelle Differenzierbarkeit von f u(x,y)+iv(x,y) u(x,y ) iv(x,y ) = lim y y x + iy x iy u(x,y) u(x,y ) = lim + i v(x,y) v(x,y ) y y i(y y ) i(y y ) = i u y (x,y )+ v y (x,y ) lim = f(z + z) f(z ) = f (z ) z z f(z + z) f(z ) f (z) z lim z z f reell differenzierbar = Die Multiplikation mit f (z ) ist eine lineare Abbildung R 2 R 2 der Ebene in die Ebene. Lemma 5.9 Eine Matrix ( ab cd) stellt als lineare Abbildung R 2 R 2 die Multiplikation mit einer komplexen Zahl dar, gesetzt den Fall a = d und b = c. Die entsprechende komplexe Zahl ist einfach a + ic oder d ib Beweis (a + ic)(x + iy) =(ax cy)+i(cx + ay) ( )( ) a c x = c a y x, y R

17 5 Analytische Funktionen 6 : Aus Hypothese ist jetzt f reell differenzierbar. Aus Definition gilt: f(z) f(z ) Df(z )(z z ) lim = ( ) z z z z mit Df(z )= ( u x v x u y v y ) ( ) a b := c d Da es sich um eine CR-Differentialgleichung handelt gilt a = d, b = c, also stellt Df(z ):R 2 R 2 die Multiplikation mit z = u x (x,y )+i v y (x,y ) dar. f(z) f(z ) z (z z ) ( ) lim = z z z z f(z) f(z ) lim = z = f (z ) z z z z Beispiel 5.III Beweise, dass der Hauptwert von log in {z R(z) > } holomorph sind. log z =ln z + i arg(z) ( =ln(x + iy) = ln ( y ) x 2 + y } {{ } 2, arctan } {{ x) } u(x,y) v(x,y) Errinnerung d dt arctan(t) = +t 2 also u x = x2 + y 2 2 2x x2 + y 2 x = x 2 + y 2 v x = +(x/y) 2 y x 2 = Ausserdem sind: u x, u y, v x, v y y x 2 + y 2 = stetig. Wegen Satz 5.5 ist man fertig. u y = y x 2 + y 2 v y = + ( y x x x 2 + y 2 ) 2 x

18 5 Analytische Funktionen 7 Satz 5. Sei f : A C holomorph, z A, f (z ) a) Es gibt eine offene Menge U A, U offen und z U so dass f U f(u) bijektiv ist. b) Die Umkehrfunktion g =(f U) : f(u) U ist auch analytisch. Beweis.[V6-842] a) folgt aus Satz 5.6 b) gilt aufgrund der Kettenregel (Satz 5.7): D(g f) =D(Identität) = Identität = Dg Df In z U sei ( ) a b Df(z )= c d Dann gilt Dg ( f(z ) ) = ( Df(z ) ) = ( ) ( d b d ) = D b D a D c a c D wobei D = ad bc. Wegen der CR-Differentialgleichung gilt a = d, b = c. Ausserdem erfüllt g auch die CR-Differentialgleichung in f(z ( ) a b D = D a b Zusammenfassung 24. Ein Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Menge in C 25. Sei A C ein Gebiet, f : A C eine Funktion und z A. f ist in z differenzierbar oder analytisch oder holomorph, wenn lim = f(z) f(z ) f(z + z) f(z ) = lim z z z z z z existiert. Wir nennen den Grenzwert Ableitung von f an der Stelle z und bezeichnen ihn mit f (z ) oder auch df dz (z ). 26. Die aus dem Reellen bekannten Regeln gelten auch in C

19 6 Kurven in C und konforme Abbildungen Es sei f = ( f (x,...,x m ),...,f n (x,...,x m ) ). Man schreibt f k x l wobei k {,...,n}, l {,...,m} für die (partielle) Ableitung von f k (x,...,x m )indierichtung x l. Wenn f in x reel differenzierbar ist, dann gibt es alle partiellen Ableitungen f k x l und Df( x ) hat die Matrixform: f f f x x 2... x m.. f n x f n x m 28. Die Kettenregel lautet: g f ist reell differenzierbar und D(g f)( x )=Dg ( f( x ) ) Df( x ) 29. A C, f : A C eine Funktion, z = x + iy A, f(x, iy) =u(x, y)+iv(x, y) Dann gibt es die komplexe Ableitung df dz (z ) gesetzt der Fall es gibt Df(z ) und u x = v y und u y = v x 3. Eine Matrix ( ab cd) stellt als lineare Abbildung R 2 R 2 die Multiplikation mit einer komplexen Zahl dar, gesetzt den Fall a = d und b = c. Die entsprechende komplexe Zahl ist einfach a + ic oder d ib 3. Sei f : A C holomorph, z A, f (z ) a) Es gibt eine offene Menge U A, U offen und z U so dass f U f(u) bijektiv ist. b) Die Umkehrfunktion g =(f U) : f(u) U ist auch analytisch. 6 KURVEN IN C UND KONFORME ABBILDUNGEN Definition 6. a) Eine Kurve in C ist eine stetige Funktion von einem Intervall [a, b] inc (a, b R) b) Eine Kurve γ(t) :[a, b] C ist stückweise C wenn es a,...,a m R gibt, so dass a = a <a < <a m = b dγ dt existiert und ist stetig auf (a k,a k+ )für k =,...,m lim t a + k dγ dt und lim t a k dγ dt existieren für k =,...,m

20 6 Kurven in C und konforme Abbildungen 9 (a) C Kurve (b) stückweise C Kurve (c) unstetige Kurve Fig. 3: Kurven in C c) γ(t) heisst C wenn m = in (b). Beispiel 6.I Siehe Fig. 3 Satz 6.2 Sei γ(t) :[a, b] C eine C Kurve, f : A C eine holomorphe Funktion, A ein Gebiet in C. Esseif(γ) die Kurve f ( γ(t) ) :[a, b] C. Dann gilt: df(γ) (t) =f ( γ(t) ) dγ dt dt Beweis Kettenregel (5.7) auf Seite 4 Korollar 6.3 Sei f : A C holomorph im Gebiet A. Wenn f (z) = z A dann ist f konstant. Beweis Es seien z,z A. Dann gibt es eine C Kurv γ(t) : [a,b ] A und a, b (a,b ) mit γ(a) =z, γ(b) =z.esseiγ(t) = ( u(t),v(t) ). Nach Satz 6.2 gilt: df(γ) (t) =f ( γ(t) ) d(γ) dt dt = ( ) f(γ)(t) = ( u (t),v (t) ), wegen ( ) gilt, dass du dt = und dv dt = in dem Intervall (a,b ) und aus der reellen Analysis folgt u (a) =u (b) und v (a) =v (b), deshalb: f ( γ(a) ) = f ( γ(b) ) f(z )=f(z ) Definition 6.4 Es sei A ein Gebiet und f : A C eine Funktion. f heisst winkeltreu oder konform, wenn für jedes z A und alle Paare (γ,γ 2 )vonc Kurven, die sich in z schneiden gilt: arg ( d dt γ ) arg Bis auf ein Vielfaches von 2π. ( ) ( ) ( ) d d d dt γ 2 z =arg dt f(γ) arg dt f(γ 2) f(z) Satz 6.5 (Notation wie in (6.4)). Wenn f : A C analytisch ist und f (z), z A, dannistf winkeltreu.

21 6 Kurven in C und konforme Abbildungen 2 Fig. 4: Die obere Halbebene wird auf die Einheitsscheibe abgebildet (a) Einfach zusammenhängend (b) Zusammenhängend Fig. 5: Unterschied zwischen zusammenhängend und einfach zusammenhängend Beweis Folgt aus Satz 6.2 Satz 6.6 (Notation wie in (6.4)). Wenn f reell stetig differenzierbar ist und winkeltreu, dann ist f analytisch und f ohne Beweis Seien A, A 2 C Gebiete. A und A 2 heissen konform äquivalent, wenn es eine Funktion f : A A 2 gibt, wobei f analytisch ist und f (z), z A Beispiel 6.II Die Möbiusfunktion: +iz iz bildet die obere Halbebene auf die Einheitsscheibe ab siehe Fig 6. Das Beispiel ist ein Spezialfall von dem Riemannschen Abbildungssatz. Satz 6.7 A sei ein ein einfach zusammenhängendes Gebiet siehe Fig 6, A C. Dann ist A konform äquivalent zur Einheitsscheibe. Einfach zusammenhängend bedeutet, dass das Gebiet keine Löcher hat. Beispiel 6.III Folgende Funktion, die Joukowski Funktion z ( z + ) = ( z 2 ) + 2 z 2 z bildet {z z > } konform auf C\{z R(z), I(z) =} ab.

22 7 Der Satz von Cauchy I 2 Zusammenfassung 32. Eine Kurve in C ist eine stetige Funktion von einem Intervall [a, b] inc (a, b R). Eine Kurve γ(t) :[a, b] C ist stückweise C wenn es a,...,a m R gibt, so dass a = a <a < <a m = b dγ dt existiert und ist stetig auf (a k,a k+ )für k =,...,m dγ lim t a + k dt und lim dγ t a k dt existieren für k =,...,m γ(t) heisst C wenn m =. 33. Sei γ(t) :[a, b] C eine C Kurve, f : A C eine holomorphe Funktion, A ein Gebiet in C. Esseif(γ) die Kurve f ( γ(t) ) :[a, b] C. Dann gilt: df(γ) (t) =f ( γ(t) ) dγ dt dt 34. Sei f : A C holomorph im Gebiet A. Wenn f (z) = z A dann ist f konstant. 35. Es sei A ein Gebiet und f : A C eine Funktion. f heisst winkeltreu oder konform, wenn für jedes z A und alle Paare (γ,γ 2 )vonc Kurven, die sich in z schneiden gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d arg dt γ arg dt γ 2 z =arg dt f(γ) arg dt f(γ 2) f(z) Bis auf ein Vielfaches von 2π. 36. Wenn f : A C analytisch ist und f (z), z A, dannistf winkeltreu. 37. Wenn f reell stetig differenzierbar ist und winkeltreu, dann ist f analytisch und f. 38. Seien A, A 2 C Gebiete. A und A 2 heissen konform äquivalent, wenn es eine Funktion f : A A 2 gibt, wobei f analytisch ist und f (z), z A 7 DER SATZ VON CAUCHY I Der Satz von Chauchy I sagt, dass jede analytische Funktion (lokal) eine Stammfunktion besitzt komplexe Linienintegrale Sei γ[a, b] C eine stückweise C -Kurve und A ein Gebiet C mit γ([a, b]) A und f : A C eine stetige Funktion. Definition 7. [V7-2342] b f = f(γ(t))γ (t)dt γ a

23 7 Der Satz von Cauchy I 22 genauer = m k= ak+ a k f(γ(t))γ (t)dt Da sonst γ(t) in den Knickpunkten keinen Sinn macht. Die Notation ist die selbe wie in Definition 6.. Beispiel 7.I Sei C der Einheitskreis und n Z, n C z n = = 2π 2π = 2π i e it d dt eit { }} { { }} { (cos t + i sin t) n ( sin t + i cos t) dt ( cos(nt)+i sin(nt) ) ( sin t + i cos t)dt ( cos(nt) sin t +sin(nt) cos t ) dt 2π ( sin(nt) sin t cos(nt) cos(t) ) dt mit den trigononetrischen Formel erhält nan = 2π sin ( (n +)t ) dt i 2π Beispiel 7.II Sei wieder C der Einheitskreis 2π z = e it i e it dt =2πi C cos ( (n +)t ) dt = Ein wichtiger Unterschied zum Beispiel 7.I ist die Singularität in. Satz 7.2 Sei A C ein Gebiet und f : A C eine Funktion. Wenn es ein F : A C gibt, so dass F = f(z), dann gilt für jede Kurve γ :[a, b] A f = F ( γ(b) ) F ( γ(a) ) γ Insbesondere ist f = γ wenn γ geschlossen ist. Bemerkung F heisst Stammfunktion von f, sie ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. Die Bedingung impliziert, dass das Integral unabhängig vom Weg ist, wenn f eine Stammfunktion besitzt. Siehe Fig. 6(a)

24 7 Der Satz von Cauchy I 23 γ(b) =γ (b) c z γ(a) =γ (a) z d (a) γ f = γ f (b) z z Fig. 6: Die Wegunabhängigkeit und Bedeutung von z z Satz 7.3 Sei f : A C stetig und A ein Gebiet, wenn f = γ für alle geschlossenen Kurven γ A, dannist F (z) = f z z eine Stammfunktion von f, wobeiz z irgendeine Kurve von z nach z ist siehe Fig 6(b), z A Bemerkung Es gibt keine Stammfunktion für z, da wie in Beispiel 7.II gezeigt C z Beispiel 7.III Sei f = z n eine Funktion und A = C eine Menge F (z) = f(tz) d dt (tz)dt (tz) = parametrisierte Gerade, t =[, ] = t m z m zdt = z m+ t m dt [ ] = z m+ t m+ m + = zm+ m +

25 7 Der Satz von Cauchy I 24 R R 2 R 3 R 4 γ Fig. 7: Beweis des Korollar 7.6 Satz 7.4 [V8-2542] Sei A ein konvexes Gebiet und f : A C eine holomorphe Funktion, dann besitzt f eine Stammfunktion in A. Insbesondere gilt: f = γ für jede geschlossene Kurve in A. Beide Aussagen gelten auch wenn in einem w A f nur stetig ist. Das wird eine wesentliche Rolle spielen, auch wenn es eigentlich eine falsche Hypothese ist, denn die Funktion muss immer holomorph sein. Definition 7.5 Ein Gebiet A heisst konvex, wenn für Punkte z und z A die Punkte εz +( ε)z ε (, ) auch in A liegen. Beispiel 7.IV C\{} ist nicht konvex. y x Korollar 7.6 Seien A und f wie in Satz 7.4 und γ ein Viereck. Dann gilt: f = γ Beweis R f R = f + f + f + f R 2 R 3 R 4 R + f R + f + f R R f

26 7 Der Satz von Cauchy I 25 Für mindestens einen R i, i {, 2, 3, 4} gilt 4 f R i f daraus folgt R n f R 4 n Der Durchschnitt R n = {w } n R f Aus Hypothese ist f in w holomorph. Wir schreiben nun die Definition der Holomorphie hin: Es sei ε> dann gibt es ein δ>sodass f(z) f(w ) f (w ) z w <ε Wenn z w <δ. Der Umfang von R sei P, dann ist der Umfang von R n R n = P 2 n Wir wählen uns ein n so gross dass P 2 n <δ Dann gilt f(z) f(w ) (z w )f (w ) <ε z w ε P z n z innerhalb und auf R n. (Beachte: Der Umfang ist natürlich grösser als jede Distanz innerhalb R n. Man rechnet: f 4n f R R n =4 n ( f(z) f(w ) (z w)f ) (w ) R n } {{ } } {{ } = = wegen Satz n Länge(R n ) ε P 2 n =4 n ε P 2 4 n = εp 2

27 7 Der Satz von Cauchy I R ω R Fig. 8: Siehe Beweis zu Korollar 7.7 Das heisst, die Tatsache das man die Funktion im Punkt w ableiten kann, ist eine infinitesimale Version des Satzes von Cauchy. Er reduziert den Satz auf die Differenzierbarkeit selbst. Bemerkung Der Satz 7.4 ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Korollar 7.7 Korollar 7.6 gilt auch, wenn f in einem w innerhalb Rfnur stetig ist. Beweis R f = wegen Korollar 7.6 = R f + f + + f + f 2 8 R Für dessen Betrag gilt f max f auf und innerhalb R Länge R R } {{ } :=4ε Was beliebig klein wird Definition 7.8 Es sei γ eine stückweise C geschlossene Kurve und a C, a/ γ. Die Umlaufzahl von γ um a bezeichnet man mit η(γ,α), man berechnet sie wie folgt: η(γ,a) = dz 2πi z a η(γ,α) Z. γ Satz 7.9 (Integralformel von Cauchy) Sei A konvexes Gebiet, f eine holomorphe Funktion f : A C und γ eine geschlossene, stückweise C Kurve in A. Sei a A aber a/ γ f(a) η(γ,α) = 2πi γ f(z) z a dz Das heisst, alle Punkte innerhalb γ werden von den Randpunkten beeinflusst.

28 7 Der Satz von Cauchy I 27 η(γ,) = 2 η(γ,) = a η(γ,) = a a η(γ,) = a Fig. 9: Die Umlaufzahl für einige Beispiele Allgemeiner gilt f (a) η(γ,α) = k! } {{ } 2πi d k dx k γ f(z) dz (z a) k+ Beweis Man definiert eine Funktion für z A { f (a) wenn z = a g(z) = sonst f(z) f(a) z a g ist stetig in A und analytisch A\{a}. Wegen (7.4) gilt g(z)dz = γ f(z) f(a) f(a) = γ z a γ z a Weshalb f(z) =2πi f(a) η(γ,α) z a γ Zusammenfassung 39. Der Satz von Chauchy I sagt, dass jede analytische Funktion (lokal) eine Stammfunktion besitzt.

29 7 Der Satz von Cauchy I Für ein komplexes Linienintegral gilt f = b γ a f(γ(t))γ (t)dt 4. Sei A C ein Gebiet und f : A C eine Funktion. Wenn es ein F : A C gibt, so dass F = f(z), dann gilt für jede Kurve γ :[a, b] A f = F ( γ(b) ) F ( γ(a) ) γ Insbesondere ist f = γ wenn γ geschlossen ist. F heisst Stammfunktion von f, sie ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. 42. Sei f : A C stetig und A ein Gebiet, wenn ffür alle geschlossenen Kurven γ γ A, dannist F (z) = f z z eine Stammfunktion von f. 43. Ein Gebiet A heisst konvex, wenn für Punkte z und z A die Punkte εz +( ε)z ε (, ) auch in A liegen. 44. Es sei γ eine stückweise C geschlossene Kurve und a C, a/ γ. Die Umlaufzahl von γ um a bezeichnet man mit η(γ,α), man berechnet sie wie folgt: η(γ,a) = dz 2πi z a η(γ,α) Z. γ 45. Sei A konvexes Gebiet, f eine holomorphe Funktion f : A C und γ eine geschlossene, stückweise C Kurve in A. Sei a A aber a/ γ. Der Integralsatz von Cauchy lautet dann f(a) η(γ,α) = 2πi γ f(z) z a dz

30 8 Anwendung der Integralformel 29 8 ANWENDUNG DER INTEGRALFORMEL [V9-342] Sei A ein konvexes, abgeschlossenes Gebiet und f : A C eine holomorphe Funktion, sowie γ :[a, b] A eine Kurve. Satz 8. Die Funktion f ist unendlich oft komplex differenzierbar und η(γ,ζ)f (k) (z) = k! f(ζ) dζ z A, z / γ 2πi (ζ z) k+ Beweis Da η(γ,ζ)f(z) = 2πi γ γ f(ζ) (ζ z) dζ können wir die Leibnitzsche Regel anwenden (ohne Beweis). Wir leiten beide Seiten nach z ab ( ) f(z) η(γ(z))f(z) = 2πi (ζ z) 2 dζ Und iterativ für jedes k> Bemerkung Ein solcher Satz gilt nicht im Reellen γ Beispiel 8.I t 3/2 ist reell differenzierbar, aber die zweite Ableitung d 2 t 3/2 dt 2 gibt es nicht. Wegen Satz 8., 7.2 und 7.4 gilt Satz 8.2 (Hebbarkeitsatz) Sei A ein Gebiet und f : A C eine stetige Funktion. Wenn f : A\{} C holomorph ist, dann ist f in ganz A holomorph. Beispiel 8.II Die Funktion e z cos z +2 ist stetig in, denn der Limes existiert und lässt sich zu einer holomorphen Fuktion in einer Umgebung von ausdehnen. Notation ρ>, z C D ρ (z )={z C z z <ρ} D ρ (z )={z C z z ρ} gemeint ist immer: stückweise C

31 8 Anwendung der Integralformel 3 Satz 8.3 Sei A ein Gebiet und f : A C eine holomorphe Funktion, a A D ρ (a) A ρ > Die Potenzreihe f (k) (a) (z a) k k! k= heisst Taylorreihe und konvergiert in D ρ (a) und hat den Wert f(z). Bemerkung f ist in D ρ (a) vollständig durch f(a), f () (a) bestimmt. Beweis f(z) = f(ζ) 2πi γ ζ z dζ wobei γ der Rand des Kreises mit Radius ρ um a ist ζ z = ζ a z a ζ a geometrische Reihe = ζ a Wenn z < gilt z = [V-252] k= f(z) = 2πi z k γ k= ( ) k z a ζ a f(ζ) ζ z dζ = f(ζ) ( ) k z a dζ 2πi γ ζ a ζ a k= = ( ) f(ζ)(z a) k 2πi k= γ (ζ a) k+ dζ Aus uniformer Konvergenz auf γ ( ) f(ζ)(z a) k (z a)k γ (ζ a) k+ dζ = 2πi γ Wegen Satz 8. (z a)k = 2πi = f(ζ) dζ (ζ a) k+ f (k) (a)2πi k! (z a)k f (k) (a) k! Nun werden wir allgemeine Sätze über Potenzreihen formulieren, da jede holomorphe Funktion als Potenzreihe geschrieben werden kann.

32 8 Anwendung der Integralformel 3 Sätze und Definitionen über Potenzreihen Definition 8.4 Es sei z C und a,a, C. Die grösste reelle Zahl R, sodass die Potenzreihe a k (z z ) k ( ) k= konvergiert z D R (z ) heisst Konvergenzradius von ( ) Satz 8.5 Selbe Notation z D R (z ) ist die Funktion f(z) = a k (z z ) k k= holomorph, und weiter f (z) = ka k (z z ) k k= Ist man ausserhalb der Kreisscheibe, so divergiert die Potenzreihe immer, auf dem Rand können komische Sachen passieren. Das heisst a k (z z ) k k= divergiert, wenn man von der Kreisschreibe weg geht z z > R, ohne Beweis, vergleiche mit Satz 5.3. Ausserdem gilt die folgende Eindeutigkeitsaussage. Satz 8.6 Wenn a k (z z ) k = b k (z z ) k k= k= In einer offenen Kreisscheibe um z, dann gilt a k = b k k. Beweis Aus Satz 8.3 Formeln für den Konvergenzradius a) Wenn λ = lim k a k a k+ existiert, dann ist λ der Konvergenzradius von a k (z z ) k k=

33 8 Anwendung der Integralformel 32 b) Wenn k ρ = lim ak k existiert, dann ist ρ der Konvergenzradius von. Beispiel 8.III e z =+z + z2 2! + z3 3! +... λ = lim k k! (k+)! = lim k k += c) Aus Satz 8.3 folgt (Notation wie in (8.3)) Der Konvergenzradius von ist ρ. k= f (k) (a) (z a) k k! Beispiel 8.IV Die geometrische Reihe f(z) =+z + z hat den Konvergenzradius wenn zf(z) = + f(z). (z )f(z) = f(z) = z Taylorreihe von 4+z 2 um. 4+z 2 = 4 + ( z 4 2 = ( iz 2 [ = + 4 ) 2 ) 2 ( ) 2 iz + 2 ( ) 4 iz + ] 2 = z2 6 + z4 64 ( ) konvergiert wenn iz 2 2 < z 2 < 4 ( ) divergiert wenn 2 iz 2 > Deshalb hat ( ) den Konvergenzradius 2.

34 8 Anwendung der Integralformel 33 2i 4+z 2 2i Dies entspricht gerade dem Abstand zwischen dem Punkt und den Singularitäten. Satz 8.7 Siehe Übung 5, Serie 4 f : A C ist holomorph im Gebiet A, z A, ρ>, D ρ (z ) A. γ = Kreis mit Radius ρ um z. Dann gilt f (k) (z ) k! ρ k N wobei N das Maximum von f auf γ ist. Bemerkung Hinweis zum Beweis des Satzes 8.7: Siehe Satz 8.. Korollar 8.8 (Satz von Liouville) Wenn f in ganz C holomorph ist und f(z) M, z C, M>, dann ist f konstant. Beweis Wegen (8.7) ρ f (z ) ρ M ρ> wird beliebig klein, also f (z )= z C Das heisst, f ist konstant. Satz 8.9 (Fundamentalsatz der Algebra) Es sei P (z) =a + a z + + a n z n dann gibt es mindestens eine Zahl z C, sodassp (z )=. Beweis Per absurdum ist f(z) = P (z) in ganz C holomorph. Wegen (8.8) erhält man einen Widerspruch, wenn man zeigen kann, dass f(z) in C beschränkt ist. lim f(z) = lim z z a + + a n z n = lim z z n a }{{} z n + a z n + + a n = a n = }{{} } {{ }

35 8 Anwendung der Integralformel 34 ρ> δ>sodass f(z) >δwenn z >ρ wobei f(z) < max{ε, M } M = max{ f(z) z D ρ ()} Widerspruch! Satz 8. (von Gauss) Sei f : A C eine holomorphe Funktion und A eine Gebiet, z A ein Punkt, ρ>, D ρ (z ) A f(z )= 2πi 2π f(z + ρe iθ )dθ Beweis Cauchy: γ =Kreisumz mit Radius ρ, γ(θ) =z ρ e iθ, θ [, 2π]. f(z )= f(z) dz 2πi z z γ 2π = f(z + ρe iθ ) d 2πi z + ρe iθ z dθ (z + ρe iθ )dθ = 2π f(z + ρe iθ ) 2πi ρe iθ ρie iθ dθ Korollar 8. (lokaler Satz vom Minimum) Sei f : A C eine holomorphe Funktion im Gebiet A. Wenn f in z A ein lokales Maximum hat, das heisst f() f(z) für alle z in einer Umgebung von z,dannistf konstant in dieser Umgebung. Beweis Aus Hypothese gibt es ein ρ>, so dass D ρ (z ) A und f(z) f(z ) z D ρ (z ). Man rechnet f(z ) = π 2π f(z + ρe iθ )dθ 2π 2π f(z + ρe iθ ) dθ 2π Siehe Fig. 2π 2π f(z ) Falls eine -Fläche existiert < 2π 2π f(z ) = f(z )

36 8 Anwendung der Integralformel 35 f(z ) 2π Fig. : 2πi I 2 2π +2πi Rand I 3 I 2π I Fig. : Satz 8.2 Sei A ein beschränktes Gebiet in C, f : A C stetig, f A : A C holomorph. Dann gilt a) M = max { f(z) z A } = max { f(z) z Rand(A)} b) Wenn f(z ) = M für ein z A, dannistf konstant in A Beispiel 8.V Das Maximum von e z auf [, 2π] [, 2π]. Siehe Fig.. Wegen (8.2) gilt M = max { e z z [, 2π] [, 2π]} = max { e z z I I I 2 I 3 } Für I,I,I 2,I 3 gilt max { e z z I } = e 2π max { e z z I } = max { e 2π e iθ } θ [, 2π] = e 2π max { e z z I 2 } = max { } e θ+2πi θ [, 2π] = e 2π max { e z z I 3 } = max { } e iθ θ [, 2π] = Also ist max { e z z [, 2π] [, 2π]} =2π

37 8 Anwendung der Integralformel 36 I r r 2 i z R r i Fig. 2: Laurent Entwicklung, Beispiel 8.VI 8.3 lässt sich verallgemeinern zu Satz 8.3 (Laurent Entwicklung) Sei z C, r <r 2 und A = {z C r < z z <r 2 } Siehe Fig. 2 a) Wenn f : A C holomorph ist, dann gilt f(z) = a k (z z ) k + b k (z z ) k k= k= Wenn z A, wobei a k = f(ζ) dζ 2πi γ (ζ z ) k+ b k = f(ζ)(ζ z ) k dζ 2πi γ Weiter sind die a,a,... und b,b,... eindeutig bestimmt. Beweis Ähnlich wie (8.3) Beispiel 8.VI a) Die Funktion f(z) = z + z ist holomorph in C\{} für r =,r 2 =, z = ist die Laurentreihe von f(z) + z Also a =,a k = k>, b =,b k = k>

38 8 Anwendung der Integralformel 37 b) f(z) = z z 2 + f(z) = 2 z i + 2 z + = 2 z i + 4i ( ) z i 2i = 2 z i + [ z i ] (z i)2... 4i 2i 4 = 2 (z ) + i k 2 k 2 (z i) k k= also z = i, r =,r 2 = 2, und b = 2 b k = k> a k = i k z k 2 k> Notation Sei A ein Gebiet, z A, f : A\{} C eine holomorphe Funktion, ρ> D ρ (z ) A. Wegen (8.3) gilt f(z) = a k (z z ) k + b k (z z ) k k= k= Wenn b k = k und a,a,...,a n =,a n+, dann hat f in z eine Nullstelle der Ordnung n Beispiel 8.VII z hat eine Nullstelle der Ordnung in, z 4 hat eine Nullstelle der Ordnung 4 in, usw. Wenn b k = k>n, dann hat f eine Polstelle der Ordnung n +inz Beispiel 8.VIII z hat eine Polstelle der Ordnung in, z 2 der Ordnung 2 in, usw. hat eine Polstelle Wenn es kein k > gibt so dass b k = k>k, dann hat f eine wesentliche Singularität in z Das Residuum Res(f,z )inz ist die Zahl b. Wenn b k = k, dann ist z eine hebbare Singularität. Isolierte Singularität.[V2-652] Sei a ein Punkt im Gebiet Ω, Ω :=Ω\{a} und f : Ω C eine analytische Funktion. Dann ist a ist eine isolierte Singularität von f. Diese Vorlesung wurde von Todor gehalten, weshalb die Notationen von denen Rössleres abweichen können. Insbesondere wurde die Aufteilung in Koeffizienten a n und b n für positive bzw. negative Exponenten in der Laurent Entwicklung nicht vorgenommen. Die a n entsprechen den b n für n<

39 8 Anwendung der Integralformel 38 Ω Ω a a γ Fig. 3: Konvergenzbereich der Laurent Entwicklung und Residuum Beispiel 8.IX Sei f(z) = z a Ω=C. Die Laurent Entwicklung von a herum ist f(z) = a n (z a) n n= Diese Summe konvergiert ausserhalb einer Scheibe um a = =(z a) z a = a n (z a) n n= Das heisst a n = {, n =, sonst Für das Residuum von f in a gilt Res(f a) :=a f dz =2πi Res(f a) =2πi a Sei γ f(z) = Res(f a) = z a f(z) = n= a n (z a) n wir unterscheiden drei Fälle:

40 8 Anwendung der Integralformel 39. Falls a n =für n<, dann heisst a hebbare Singularität. Es gilt Res(f a) =, f :Ω C analytisch. f(z) = a n (z a) n n= f() = a = a + a (z a)+a 2 (z a) 2 + Daraus folgt, f kann auf ganz Ω definiert werden, wir setzen f wie folgt in den Punkt a fort: { f(z), z Ω\{a} f(z) = a, z = a Beispiel 8.X Die Sincfunktion ist definiert durch f : C\{} C f(z) = sin z z a = ist eine Singularität sin z = n sin z z ( ) n z 2n+ (2n + )! = z z3 3! + z5 5!... = z2 3! + z4 5!... Wenn wir sin z z fortsetzten in der Umgebung erhalten wir sin z z = z= Das heisst f(z) = { sin z z z z = somit ist a = eine hebbare Singularität. 2. Falls a n =für n m, wobeim eine feste positive Zahl ist m>. Dann heisst a Pol!der Ordnung m. Die entsprechende Laurent Entwicklung sieht wie folgt aus f(z) =a m (z a) m + a m+ (z a) m a, a 9,..., a, a, a,...sind die Koeffizienten. f(z) = a m (z a) m + a m+ (z a) m+ + + a + a (z a)+a 2 (z a) 2 +

41 8 Anwendung der Integralformel 4 In unserem Beispiel f(z) = z a ist m =, das heisst, es liegt ein vor. Wenn { f(z) = g g(a) h h(a) =,h (a) folgt, a ist ein einfacher Pol von f. Beispiel 8.XI Sei f(z) = z z 2 + Also g(z) =z und h(z) =z 2 + g(i) =i h(i) =i 2 += a = i ist ein einfacher Pol von f h (i) =2i Für das Residuum gilt Res(f a) = g(a) h a = i 2i = 2 Es sei wobei f = g h a Nullstelle k ter Ordnung von g a Nullstelle k + ter Ordnung von h. Daraus folgt, a ist einfacher Pol von f. a Nullstelle k ter Ordnung von g bedeutet, g(a) =,g (a) =,g k (a) =. Unter diesen Voraussetzungen gilt Res(f a) =(k +) g(k) (a) h (k+) (a) Beispiel 8.XII f(z) = cos z z 3 a =, daraus folgt Res(f a) =3 cos 6 = 2

42 8 Anwendung der Integralformel 4 denn wir haben eine Funktion f = g h. Dabei gilt und g(z) = cos z h(z) =z 3 g() = g () = g () h() = h () = h () = h () daraus folgt, a = ist Pol 2 ter Ordnung von f. Falls dann gilt: g(a) h(a) = h (a) = h (a) Res(f a) =2 g (a) h (a) 2 g(a)h (a) 3 (h (a)) 2 Beispiel 8.XIII f(z) = z + (z 2 +2) 2 a = 2i also ist a = ± 2i und damit Res(f a) =2 6 2 ( 2i + )24 2i Wesentliche Singularität: a kein Pol von f a keine hebbare Singularität } a wesentliche Singularität von f Beispiel 8.XIV f(z) =e z = k k! ( ) k z Um das Residuum in zu rechnen, bestimmt man die Laurentreihe. Offensichtlich ist a =, also Res(f,) =. Zusammenfassung 46. Die Funktion f ist unendlich oft komplex differenzierbar und η(γ,ζ)f (k) (z) = k! f(ζ) dζ z A, z / γ 2πi (ζ z) k+ γ

43 8 Anwendung der Integralformel Sei A ein Gebiet und f : A C eine stetige Funktion. Wenn f : A\{} C holomorph ist, dann ist f in ganz A holomorph. 48. ρ>, z C D ρ (z )={z C z z <ρ} D ρ (z )={z C z z ρ} 49. Sei A ein Gebiet und f : A C eine holomorphe Funktion, a A D ρ (a) A ρ > Die Potenzreihe f (k) (a) (z a) k k! k= heisst Taylorreihe und konvergiert in D ρ (a) und hat den Wert f(z). 5. Wenn λ = lim k a k a k+ existiert, dann ist λ der Konvergenzradius von a k (z z ) k k= 5. Wenn k ρ = lim ak k existiert, dann ist ρ a k (z z ) k k= der Konvergenzradius von 52. Der Satz von Liouville lautet, wenn f in ganz C holomorph ist und f(z) M, z C, M>, dann ist f konstant. 53. Der Fundamentalsatz der Algebra lautet: Wenn P (z) =a + a z + + a n z n dann gibt es mindestens eine Zahl z C, sodassp (z )=.

44 8 Anwendung der Integralformel Der Satz von Gauss lautet: Sei f : A C eine holomorphe Funktion und A eine Gebiet, z A ein Punkt, ρ>, D ρ (z ) A f(z )= 2πi 2π f(z + ρe iθ )dθ 55. Sei f : A C eine holomorphe Funktion im Gebiet A. Wenn f in z A ein lokales Maximum hat, das heisst f() f(z) für alle z in einer Umgebung von z,dannistf konstant in dieser Umgebung. 56. Sei A ein beschränktes Gebiet in C, f : A C stetig, f A : A C holomorph. Dann gilt a) M = max { f(z) z A } = max { f(z) z Rand(A)} b) Wenn f(z ) = M für ein z A, dannistf konstant in A 57. Sei z C, r <r 2 und A = {z C r < z z <r 2 }. Wenn f : A C holomorph ist, dann gilt f(z) = a k (z z ) k + b k (z z ) k k= k= Wenn z A, wobei a k = f(ζ) dζ 2πi γ (ζ z ) k+ b k = f(ζ)(ζ z ) k dζ 2πi γ Weiter sind die a,a,... und b,b,... eindeutig bestimmt. 58. Sei A ein Gebiet, z A, f : A\{} C eine holomorphe Funktion, ρ> D ρ (z ) A. Wegen (8.3) gilt f(z) = a k (z z ) k + b k (z z ) k k= k= Wenn b k = k und a,a,...,a n =,a n+, dann hat f in z eine Nullstelle der Ordnung n Wenn b k = k>n, dann hat f eine Polstelle der Ordnung n +inz Wenn es kein k > gibt so dass b k = k>k, dann hat f eine wesentliche Singularität in z Das Residuum Res(f,z )inz ist die Zahl b.

45 9 Die allgemeine Integralformel 44 Wenn b k = k, dann ist z eine hebbare Singularität. 59. Sei a ein Punkt im Gebiet Ω, Ω :=Ω\{a} und f : Ω C eine analytische Funktion. Dann ist a ist eine isolierte Singularität von f. 6. Es sei f = g h wobei a Nullstelle k ter Ordnung von g a Nullstelle k + ter Ordnung von h. Daraus folgt, a ist einfacher Pol von f. a. Unter diesen Voraussetzungen gilt Res(f a) =(k +) g(k) (a) h (k+) (a) 6. Falls dann gilt: g(a) h(a) = h (a) = h (a) Res(f a) =2 g (a) h (a) 2 g(a)h (a) 3 (h (a)) 2 9 DIE ALLGEMEINE INTEGRALFORMEL [V3-252] Die verallgemeinerte Cauchy Integralformel ist ähnlich wie die bereits Gesehene, erlaubt aber auch die Integration durch komplexe Gebiete. Der Residuensatz Definition 9. Sei A ein Gebiet in C und γ : [a, b] A eine Kurve. γ heisst nullhomolog, wenn η(γ,z) = z C\{A} Wobei η(γ,z) die Umlaufzahl von γ um z bedeutet. Eine nullhomologe Kurve in A ist also zusammenziehbar, ohne dass sie aus A kommt. Definition 9.2 Ein Zyklus in A ist eine formale Linearkombination n γ + n 2 γ n k γ k wobei n,...,n k und γ,...,γ k abgeschlossene Kurven in A sind.

46 9 Die allgemeine Integralformel 45 γ 2 A γ A γ 2 γ (a) γ ist nicht nullhomolog in A, γ 2 ist nullhomolog (b) γ γ 2 nullhomolog ist Fig. 4: Bedeutung von nullhomolog Man definiert η(n γ + + n k γ k,z)= k n i η(γ,z) i= analog ist n γ + + n k γ k nullhomolog in A, wenn η(n γ + + n k γ k,z)= z C\{A} Weiter gilt k f(z)dz = n i f(z)dz n γ + +n k γ k i= γ i Satz 9.3 (Integralformel) Sei Γ ein nullhomologer Zyklus in einem Gebiet A. Dann gilt a) Γ f = b) und k! f(ξ) 2πi Γ (ξ a) k+ dξ = η(γ,a)f (k) (a) wobei a A, a/ Γ Bemerkung Wenn A konvex ist, sind alle Zyklen nullhomolog. Beispiel 9.I Nach (9.3a) gilt γ f = γ 2 f fürfig.9b) Satz 9.4 (Der Residuensatz) Sei A ein Gebiet, z,...,z k A die Singularitäten, f : A\{z,...,z k } C eine holomorphe Funktion und Γ ein nullhomologer Zyklus wobei z,...,z k / Γ. Dann gilt k f dz =2πi Res(f,z j ) η(γ,z j ) Γ j= Diese Beziehung verallgemeinert Satz 9.3 a) und b).

47 9 Die allgemeine Integralformel 46 II A 2 I 2 Beweis (von 9.3 und 9.4) Wird ähnlich geführt wie der Beweis von Cauchy für konvexe Gebiete Beispiel 9.II Sei γ ein Kreis mit Radius um den Punkt und f(z) = z + (z ) 2 + (z ) (z ) n dann erhalten wir mit der Integralformel (9.3) γ = k j= = 2πi! 2πi d j () (j )! dz j =2πi und mit dem Residuensatz (9.4) =2πi {Residuum von f in D()} =2πi Bemerkung [V4-2352] Auf Anfrage eines Zuhörers lim a k = λ a k+ lim k a k = ρ Für den Konvergenzradius gilt λ = ρ = Konvergenzradius Erste Anwendung der Residuuenformel Was ist das Integral Wir setzen z 4 dx =? + f(z) = z 4 +

48 9 Die allgemeine Integralformel 47 Die Reihenentwicklung liefert ( )( )( (z 4 +)= z e iπ 4 z e 3iπ 4 z e 5iπ 4 Aus dem Residuensatz folgt, siehe Fig. f(z)dz + f(z)dz =2π I II ( Res )( z e 7iπ 4 ( ) ( f,e iπ 4 +Res ) f,e 3iπ 4 Für das erste Residuum gilt ( ) Res f,e iπ z e iπ/4 4 = lim z e iπ/4 z 4 + = 4e 3iπ/4 = (e iπ/4 e 3iπ/4 )(e iπ/4 e 5iπ/4 )(e iπ/4 e 7iπ/4 ) und für das Zweite ( Res f,e 3iπ 4 ) = 4e 9iπ/4 = 2πi 4 ( ) e 3iπ 4 e 3iπ 4 = πi ( ) 2 2iI e 3iπ 4 ( = π sin 3π ) 4 ( ) 2 = π = π 2 2 weiter ist f(z)dz πr max ( f(z) ) II z 4 + z 4 2 z 4 wenn z II und r>2ist 2 πr max ( f(z) ) πr r 4 = wenn r π 2r 3 Satz 9.5 Es sei R(x, y) eine rationale Funktion, so dass R(cos θ, sin θ) θ R. Dann gilt wobei 2π R(cos θ, sin θ)dθ =2πi {Residuum von f(z) ind ()} f(z) = R ( 2 ( ) z + z, 2i iz ( )) z z ))

49 9 Die allgemeine Integralformel 48 x + iy I 2 x 2 + y I 3 I x x 2 Fig. 5: Alle Singularitäten von f(z)e iωz liegt im Rechteck Beweis Aus dem Residuensatz folgt f(z)dz =2πi {Residuum von f(z) ind ()} γ wobei γ = Einheitskreis. 2π f(z)dz = f ( e iθ) ie iθ dθ γ = 2π R(cos θ, sin θ) ie iθ ie iθ dθ Beispiel 9.III 2π cos 2 θ dθ =?R(x, y) =x 2 wobei 2πi { Residuum von R ( 2 R ( 2 ( ) z + z, 2i iz ( )) z z ( ) z + z, 2i iz ( 2 ( )) z z ( )) z + 2 z = iz = [ z 2 +2z z + ] z 2 4i z = [z + 2z 4i + z ] 3 in D () } Also ist Res(f,) = 2i und damit 2π cos 2 θ dθ =2πi 2i = π Fourier Integrale Sei A C ein Gebiet {z I(z) > } A, f : A\{z,...,z m } C eine analytische Funktion so dass lim z f(z) =.z,...,z m / R dann gilt Satz 9.6 Es sei ω> e iωx f(x)dx =2πi { Residuum von e iωx f(z) in{z I(z) > }

50 9 Die allgemeine Integralformel 49 Beweis Wir wählen den Weg in Fig. 5 y e iωz f(z)dz = e iω(x2+it) f(x 2 + it)i dt () I x e iωz f(z)dz = e iω(t+iy) f(iy + t)dt (2) I 2 x 2 e iωz f(z)dz = e iω( x+it) f( x + it)i dt (3) I 3 y Fall () e iω(x2+it)i f(x 2 + it) = e ωt f(x 2 + it)i f(x2 + it) t [,y ] Fall (2) e iω(t+iy) f(iy + t) = e ωy f(iy + t) f(iy + t) t [ x,x 2 ] Fall(3) e iω( x+it) f( x + it)i = e ωx f( x + it)i f( x + it) t [,x 2 ] Man wählt x,x 2,y so gross dass f(x 2 + it) <ε t [,y ] f( x + it) <ε t [,y ] f(iy + t) <ε t [ x,x 2 ] damit erhalten wir y f(z)e iωz dz e iω(x2+it) f(x 2 + it)i dt I y ε e iω(x2+it) i dt y = ε e ωt dt = ε [ ω ] y e ωt = ( ω eωy + ) ε ω ε ω analog dazu f(z)e iωz dz < ε I 3 ω

51 9 Die allgemeine Integralformel 5 Nach Lemma f(z)e iωz dz <εe ωy (x + x 2 ) I 2 } {{ } Länge von I 2 Der rechte Teil der Beziehung wird beliebig klein, daraus folgt x2 e iωx f(x)dx = f(z)e iωz dz x =2πi { Residuum von f(z)e iωz in {z I(z) > }} Beispiel 9.IV [V5-2852] cos(t) t 2 + b 2 dt = 2 = 2 R cos(t) t 2 + b 2 dt e it t 2 + b 2 dt =2πi { Res von e iz z 2 in {z I(z) > } + b2 ib und ib sind Polstellen von eiz z 2 +b. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können 2 wir annehmen, b> und erhalten ( e iz ) Res z 2 + b 2,ib = ei(ib) 2ib = e b 2ib Daraus folgt cos(t) t 2 + b 2 dt = ) (2πi 2 R e b 2b = πe b 2ib Satz 9.7 Seien P (z) und Q(z), Q(x) x R zwei Polynome mit Koeffizienten in C und deg(q) 2 + deg(p ) dann ist P (x) { dx =2πi Res von P (z) Q(x) Q(z) } } in {z C I(z) > } Satz 9.8 (Verallgemeinerung) Sei f eine analytische Funktion in C bis auf die Polstellen {z,z 2,...,z n C} und M>: f(z) M z 2 wenn z. Unter dieser Bedingung gilt deg = Grad f(t)dt =2πi {Res von f(z) in{z I(z) > }}

52 9 Die allgemeine Integralformel 5 Zusammenfassung 62. Sei A ein Gebiet in C und γ :[a, b] A eine Kurve. γ heisst nullhomolog, wenn η(γ,z) = z C\{A} Wobei η(γ,z) die Umlaufzahl von γ um z bedeutet. Eine nullhomologe Kurve in A ist also zusammenziehbar, ohne dass sie aus A kommt. 63. Ein Zyklus in A ist eine formale Linearkombination n γ + n 2 γ n k γ k wobei n,...,n k und γ,...,γ k abgeschlossene Kurven in A sind. 64. n γ + + n k γ k ist nullhomolog in A, wenn η(n γ + + n k γ k,z)= z C\{A} 65. Es gilt f(z)dz = n γ + +n k γ k k n i f(z)dz γ i i= 66. Sei Γ ein nullhomologer Zyklus in einem Gebiet A. Dann gilt a) Γ f = b) und k! f(ξ) 2πi Γ (ξ a) k+ dξ = η(γ,a)f (k) (a) wobei a A, a/ Γ 67. Der Residuensatz lautet: Sei A ein Gebiet, z,...,z k A die Singularitäten, f : A\{z,...,z k } C eine holomorphe Funktion und Γ ein nullhomologer Zyklus wobei z,...,z k / Γ. Dann gilt k f dz =2πi Res(f,z j ) η(γ,z j ) Γ j= 68. Es sei R(x, y) eine rationale Funktion, so dass R(cos θ, sin θ) θ R. Dann gilt 2π R(cos θ, sin θ)dθ =2πi {Residuum von f(z) ind ()}

53 Fourierreihen 52 wobei f(z) = R ( 2 ( ) z + z, 2i iz ( )) z z 69. Für ω> gilt e iωx f(x)dx =2πi { Residuum von e iωx f(z) in{z I(z) > } 7. eien P (z) und Q(z), Q(x) x R zwei Polynome mit Koeffizienten in C und deg(q) 2 + deg(p ), dann ist P (x) { dx =2πi Res von P (z) } in {z C I(z) > } Q(x) Q(z) 7. Sei f eine analytische Funktion in C bis auf die Polstellen {z,z 2,...,z n C} und M>: f(z) M z 2 wenn z. Unter dieser Bedingung gilt f(t)dt =2πi {Res von f(z) in{z I(z) > }} FOURIERREIHEN Fourierreihen geben eine Methode, um periodische Funktionen f : R C zu approximieren. Man fängt mit der 2π-periodischen Funktion t e ikt (k Z) an und versucht, f mit Linearkombinationen M k= M anzunähern. Für welche 2π-periodischen Funktionen f gibt es eine konvergente Fou- Grundlagen rierreihe f(t) = a k e ikt k= a k e ikt

54 Fourierreihen 53 (Wir haben im Laufe der Vorlesung schon Fourierreihen angetroffen, denn die Laurentreihe ist ein Spezialfall der Fourierreihe). Wie berechnet man die a k? Wir haben schon folgendes bewiesen: Es sei g eine analytische Funktion in D ρ ()\{}, ρ>. Wähle ein r<ρ, r>sodassf(t) :=g(re it ), dann gilt wegen Satz 8.3 f(t) = k= c k (re it ) k und für die Koeffizienten c k = 2πi f(ζ) ζ k dζ γ wobei γ ein Kreis um mit Radius r darstellt. Das bedeutet, f(t) hat die Fourierkoeffizienten a k = c k r k. [V3-352] Wir haben gesehen, dass f(t) = c k (ra it ) k f(t) =g(re it ) Wir wollen nun die c k berechnen: c k = g(ζ)ζ k 2πi also = 2πi = 2πi = 2πr k f(t) = γ 2π 2π 2π k= wobei für die a k gilt g(re it )r (k+) e (k+)it d dt (reit )dt f(t) r (k+) e it e ikt rie it dt f(t)e ikt dt a k e ikt 2π a k = c k r k = f(t)e ikt dt 2π Die a k heissen Fourierkoeffizienten. Buch Fourieranalysis Cambridge University Press von T.W. Körner Die Fourier Entwicklung ergibt unter milden Bedingungen folgenden Satz Satz. Es sei f : R C eine 2π periodische Funktion, so dass f überall zweimal stetig differenzierbar ist (= ( ) d 2 f dt ist stetig). Definiere 2 a k = 2π f(t)e ikt dt 2π

55 Fourierreihen 54 dann gilt f(t) = k= a k e ikt Die Aussage stimmt auch, wenn d2 f dt ausserhalb einer diskreten Menge beschränkt 2 bleibt. Satz.2 Es sei f : R C eine 2π periodische Funktion.. Wenn es Zahlen a k C, k Z gibt, so dass f(t) = k= a ke ikt, dann sind die a k eindeutig bestimmt durch f 2. Wenn f stetig ist und 2π f(t)e ikt dt = 2π dann ist f = Bemerkung 2π 2π e ilt e ikt dt = { l = k l k k Z Hier passieren ähnliche Dinge wie in einem endlichen Vektorraum mit dem Skalarprodukt. Beispiel.I Sei f(t) =t 2, t [ π, π], und f eine 2π periodische Funktion. k a k = 2π f(t)e ikt dt 2π = π f(t)e ikt dt 2π π = π t 2 e ikt dt 2π π Partielle Integration uv = uv u v = 2π = 2π ] π [t 2 e ikt ik π } {{ } [ = 2t 2π { 2π = 2π ( ik π 2t 2π π ik e ikt dt ) 2 e ikt ] π π ( e ikπ k 2 + e ikπ) +2 ik ( 4π( ) k k 2 2i ) k 3 I(e ikt ) = 4π( ) k 2π k 2 = 2( )k k 2 + π ( ) 2 2 e ikt dt 2π π ik ( ) 3 [ (e ikt ) ] } π π