UbungenzurAnalysis2 Prof.Dr.Kohnen WS1996/97 Dr.O.Delzeith
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- Jonas Ludo Bruhn
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1 UbungenzurAnalysis2 Prof.Dr.Kohnen WS1996/97 Dr.O.Delzeith
2 1.(i)EntscheidenSie,obdieFunktion (ii)berechnensiedieintegrale impunktx0=0dierenzierbarist.bestimmensieggfs.dieableitungf0(x0). (a)1 Z0xf:(R!R (1+x2)2dx; x7!jxj3 (b)1 Z 1x2 2.EineFunktionf:R!Rheitp{periodisch(p>0),wenn (1+x2)2dx:(4Punkte) gilt. ZeigenSie: Furjedestetigep{periodischeFunktionf:R!Rundallea2Rgilt f(x)=f(x+p)(8x2r) 3.SeienI=[a;b](a<b)undJ=[c;d](c<d)Intervalleund'; Z0f(x)dx=a+p p Zaf(x)dx: ZeigenSie: FurjedestetigeFunktionf:I!RistdieFunktion dierenzierbarefunktionenmit'(j)isowie (J)I. :J!Rstetig (3Punkte) stetigdierenzierbar.berechnensieihreableitung. G(x):='(x) Z(x)f(t)dt(x2J) (4Punkte) 1
3 4.SeienI=[a;b](a<b)einIntervallundx02IeinPunkt.DiestetigeFunktion f:i!rseiininfx0gdierenzierbar,undesexistieredergrenzwert ZeigenSie: (ii)esgiltf0(x0)=. (i)diefunktionfistinx0dierenzierbar; :=lim x!x0;x6=x0f0(x)2r: 5.BerechnenSiefolgendeIntegrale: (i)2 Z0cosxesinxdx;(ii) Z0x5cos(x3)dx;(iii)e Z1xlog(x)dx: (5Punkte) 6.Sei(s;c)2C1(R)C1(R)einFunktionenpaar,welchesdenBedingungen s0=c c0= sunds(0)=0 (3Punkte) genuge. ZeigenSie: (i)furallex2rgilt s2(x)+c2(x)=1: c(0)=1 (iii)esgilts;c2c1(r)sowiefurallex2r (ii)diefunktionensundcsinddurchdieobigenbedingungeneindeutigbestimmt. (iv)esgeltenfurallex;y2rdierelationen Tip:BetrachtenSiefureinweiteresFunktionenpaar(s;c),dasdiesenBedingungengenugt,dieAbleitungvonf(x):=(s(x) s(x))2+(c(x) c(x))2. s( x)= s(x)undc( x)=c(x): Tipzu(iii)und(iv):BenutzenSie(ii). s(x+y)=s(x)c(y)+s(y)c(x); c(x+y)=c(x)c(y) s(x)s(y): 2 (4Punkte)
4 7.BerechnenSiefolgendeIntegrale: hungen Tipzu(iii):BenutzenSieAufgabe2.(iv),umfurdieSubstitutiont=tg(x2)dieBezie- (i)1 Z0xnexdx(n0);(ii)1 "dx=2 1+t2dt\;cos(x)=1 t2 Z0e2x(2x+1)sin(x)dx;(iii)34 1+t2;sin(x)=2t 1+t2: Z41 sin(x)dx: 8.DieZahlwurdeinderVorlesungals zubeweisen. mita(y):=y Z0du p1 u2(jyj<1)deniert. :=2lim y!1 A(y) (5Punkte) Tip:Furalle">0istdieFunktion(v):=12(A(v)+vp1 v2)aufdemintervall ZeigenSie: Esgilt (d.h.istder"flacheninhaltdeseinheitskreises\). [0;1 "]einestammfunktionvonp1 v2(beweis?). =41 Z0p1 v2dv 9.Fura>0;a6=1wurdeinderVorlesungderLogarithmuszurBasisa alsumkehrfunktionderfunktionfa:(r!r+ loga:r+!r (4Punkte) deniert. (ii)zeigensie,da (i)berechnensiedieableitung(loga)0. loga(x)=log(x) x7!ax gilt. 3log(a)(x2R+) (3Punkte)
5 10.(i)ZeigenSiefolgendeBeziehungenfurdieFunktionensinhundcosh: (ii)zeigensie,dadiefunktionsinh:r!rbijektivistundfurihreumkehrfunktionarsinh("areasinushyperbolicus\) (b)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)(x;y2r); (a)cosh2(x) sinh2(x)=1(x2r); (c)cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)(x;y2r). 11.SeiI=(a;b)mit 1a<0<b1einIntervall. gilt. Arsinh(x)=log(x+px2+1)(x2R) ZeigenSiefureinedierenzierbareFunktionf:I!RdieAquivalenzderfolgenden Aussagen: (i)furallex2igiltf0(x)=f(x); (4Punkte) 12.Seif:I!Rnf0geinedierenzierbareFunktionaufeinemIntervallIR. (ii)furallex2igiltf(x)=f(0)exp(x): (i)zeigensie,dadiefunktion logjfj:(i! x7!log(jf(x)j) R (5Punkte) DieAbleitungD(f)vonlogjfjheitlogarithmischeAbleitungvonf. (ii)zeigensiefurdierenzierbarefunktionenf;g:i!rnf0g: dierenzierbarist. (iii)berechnensiedieerstenableitungenderfolgendenfunktionen: (b)g(x)=x(xx)(x2r+). (a)f(x)=xx(x2r+); (a)d(f)(x)=f0(x) f(x)(x2i);(b)d(fg)=d(f)+d(g): 13.BerechnenSiedieZahlemiteinemFehler<10 4unterBenutzungdesSatzesvon Taylor. (3Punkte) (4Punkte) 4
6 14.SeienIeinoenesIntervallinR,a2Iundf:I!Reinezweimaldierenzierbare Funktion,furdieinadiedritteAbleitungexistiere. ZeigenSie: 15.Seieinebeliebige,aberfestereelleZahl. Esgilt MandenieredenBinomialkoezienten h!0f(a+3h) 3f(a+2h)+3f(a+h) f(a) lim h3 =f(3)(a):(4punkte) ZeigenSie:Esgiltfurjxj<1(1+x)=1Xn=0 n!:=8<: ( 1):::( n+1) n! 1 n!xn: ;n>0: ;n=0 16.ZeigenSiedieExistenzderfolgendenGrenzwerte,undberechnenSiesie: Tip:BeweisenSiefurdieAbleitungenderFunktionf(x)=(1+x)mitx2( 1;1) 1n!f(n)(0)= n!(n0);benutzensiedanndensatzvontaylor.(5punkte) 17.BestimmenSiedenKonvergenzradiusderfolgendenPotenzreihen: (i)lim x!0log(1+x+x2) x x2 ;(ii)lim x!4(tg(x))tg(2x);(iii)lim x!01x62x2 2x2log(1+t2)dt: Z (i)1xn=1nxn(>0);(ii)1xn=2xn logn;(iii)1xn=0xn!:(3punkte) (4Punkte) 5
7 18.Sei1Xn=0anxneinePotenzreihemitdemKonvergenzradius0R1,sodaallebis aufendlichvielekoezientenanvon0verschiedensind.fernerexistieredergrenzwert undseimita2rbezeichnet. ZeigenSie: n!1an+1 Esgilt liman 19.Seif2C0(R)eineFunktion,furdie (HierbeiseiderAusdruck10als1verstanden.) R=1a: gilt. f(x+y)=f(x)f(y)(8x;y2r)() (4Punkte) ZeigenSie: Tipzu(i):IntegrierenSie()nachderVariablenyubereingeeignetesIntervall. (ii)istfnichtkonstant,soexistiertgenaueinekonstante2rmit (i)esgiltf2c1(r); zu(ii):benutzensieaufgabe3.3. f(x)=ex(8x2r): (4Punkte) 6
8 20.ZeigenSiefolgendeAussagenfurdiedurch deniertefunktionf:r!r: (ii)furallen2n0giltf(n)(0)=0. (i)esgiltf2c1(r); f(x):=(e 1 0;x=0 x2;x6=0 Bem.:DiesesBeispielzeigt,daeineFunktionnichtnotwendigerweisedurchihreTaylorreiheinderenKonvergenzbereichdargestelltwerdenmu. furx6=0gilt. f(n)(x)=pn1xe 1 x2 Tip:Zujedemn2N0existiert(?)einPoynomPnvomGrad3n,soda 21.ZeigenSie: (i)furx2u1(0)gilt 1Xn=1nxn=x (1 x)2: (5Punkte) (ii)diedurchdiepotenzreihe1p tional,d.h.quotientzweierpolynomfunktionen. n=1n2xndeniertefunktionf:u1(0)!ristganzra- (3Punkte) 7
9 22.Seien1P Mandeniere Fernerseien2(0;r)undk2N. n=0anxnund1p f(x):=1p n=0anxn(x2ur(0))sowieg(x):=1p n=0bnxnpotenzreihenmitdenkonvergenzradienr>0undr>0. ZeigenSie: (i)diepotenzreihe1p n=0bnxn(x2ur(0)): Furx2Ur(0)seiF(x):=1P (ii)diefunktionenn=0janjxnhatdenkonvergenzradiusr. sinddurchpotenzreihen1p fk:x7!f(x)k(x2ur(0))undfk:x7!f(x)k(x2ur(0)) n=0janjxndiedurchdiepotenzreihedargestelltefunktion. (iii)giltf()<r,soistdiefunktionh:=gfaufdemintervall[ ;]durcheine Tip:SetzenSiediePotenzreihenineinanderein,benutzenSie(ii)unddenUmordnungssatz. n=0cn;kxnund1p n=0n;kxndarstellbar.furn2n0gilt jcn;kjn;k. (konvergente)potenzreihedarstellbar. 23.ZeigenSie: Esgiltfurallex2[ 1;1]arctg(x)=1Xn=0( 1)n 2n+1x2n+1: (5Punkte) FolgernSie 4= :::: (4Punkte) 8
10 24.Sei1P seif(x):=1p ZeigenSie: Esexistiertein2(0;r),sodadieFunktion n=0anxneinepotenzreihemitkonvergenzradiusr>0unda06=0.furx2ur(0) n=0anxndiedurchdiepotenzreihedargestelltefunktion. Tip:BeweisenSiedieBehauptungzunachstfurdiePotenzreihea0+x.WendenSie durcheinepotenzreihedargestelltwird. dannaufgabe2aufdiekompositionf=(x7!a0+x)(x7!1p 1f:8><>:U(0)!R x7!1 f(x) 25.UntersuchenSie,obfolgendeGrenzwerteexistieren,undbestimmenSiesieggf.: (i)lim (x;y)!(0;0)x4+y4 x2+y2;(ii)lim (x;y)!(0;0)xy2 x2+y4;(iii)lim (x;y)!(0;0)y n=1anxn)an. x2+y2: (3Punkte) (4Punkte) 26.EinPaar(X;d),bestehendauseinernichtleerenMengeXundeinerAbbildung Furjedesx2XseiendieMengen d:xx!r,heitmetrischerraum,wennfolgendeaxiomeerfulltsind: (iii)8x;y2x:(d(x;y)=0,x=y)(denitheit): (ii)8x;y;z2x:d(x;z)d(x;y)+d(y;z)(dreiecksungleichung); (i)8x;y2x:d(x;y)=d(y;x) U(x):=fy2Xjd(x;y)<g(2R+) (Symmetrie); sowie DannistdasPaar(X;fFxgx2X)eintopologischerRaum. deniert. ZeigenSie: Sei(X;d)einmetrischerRaum. Fx:=fU(x)j2R+g 9 (4Punkte)
11 27.BestimmenSiejeweilsdasInnere,denRandunddenAbschlufolgenderTeilmengen vonr2: (iii)a3:=([0;1][0;1])\q2. (ii)a2:=f(x;ex)j 5<x3g; (i)a1:=f(x;y)2r2jx2+y21g[f(x;0)2r2j0<x<2g; 28.(i)SeienARnund(xm)m2NeineFolgeinA,d.h.xm2A(8m2N). (ii)beweisensiefolgendeaussagenfureinefamiliefaigi2ivonteilmengenvonrn: ZeigenSie: IstdieFolgekonvergentmitGrenzwertx02Rn,sogiltx02A. (5Punkte) GebenSieeinBeispieldafuran,dain(b)i.a.nichtGleichheitgilt.(4Punkte) (b)\i2iai\i2iai. (a)[i2iai=[i2iai; 29.SeiS1:=f(x;y)2R2jx2+y2=1gderRandderEinheitskreisscheibe. istwohldeniert,bijektivundstetig,aberkeinhomoomorphismus. ZeigenSie: DieAbbildung f:([0;1)! t7!(cos2t;sin2t) S1 30.SeienXeintopologischerRaumundAX. ZeigenSie: (ii)dertopologischerauma(versehenmitderinduziertentopologie)istgenaudann (i)sindxkompaktundaabgeschlossen,soistauchakompakt. (3Punkte) kompakt,wennaeinekompakteteilmengevonxist. 10 (4Punkte)
12 31.Seien(X;fFxgx2X)und(Y;fGygy2Y)topologischeRaume. ZeigenSie: sehen. Mansagt,dasmengentheoretischeProduktXYwirdmitderProdukttopologiever- (i)daspaarxy;ft(x;y)g(x;y)2xymit (ii)sindxundykompakt,soistauchxykompakt. isteintopologischerraum. T(x;y):=fUVjU2Fx;V2Gyg(8(x;y)2XY) Tip:(1)DertopologischeRaumfxgY(8x2X)(versehenmitdervonXY TeilmengeIxImitfxgYWx:=[i2IxWi.FurUx:=\i2IxUi(x2X) BenutzenSienundieKompaktheitvonX,umeineendlicheTeilmengeI0I giltp 1(Ux)Wx.DasSystemfUxgx2XisteineoeneUberdeckungvonX. Uibzw.VivonXbzw.Ysind.Esexistiertzujedemx2Xeineendliche annehmen,dadiemengenwivonderformuivimitoenenteilmengen (2)SeifWigi2IeineoeneUberdeckungvonXY.O.B.d.A.kannman induziertentoplogie)istkompakt. 32.SeiXeintopologischerRaum. ZeigenSie: mit[i2i0wi=xyzukonstruieren. (ii)istaxeinezusammenhangendeteilmenge,soistauchjedemengebmit (i)istxwegweisezusammenhangend,soauchzusammenhangend. (4Punkte) (iii)dertopologischeraum ABAzusammenhangend. ist (b)abernichtwegweisezusammenhangend. (a)zusammenhangend, X:=f(0;y)j 1y1g[x;sin1x0<x1 Tipzu(a):XistderAbschludesBildesAderstetigenAbbildungf:(0;1]!X, zu(b):beweisdurchwiderspruch.existierteeinstetigerweg:[0;1]!x x7!(x;sin1x),alsomithilfevon(ii)zusammenhangend. ([t0;1]). eineabgeschlossenemengevonxmit([t0;1])=f(t0)g[a,alsox=a= mit(0)=(0;0)und(1)=(1;sin1),soware([t0;1])mit t0:=supft2[0;1]j(t)2f0g[ 1;1]g 11 (5Punkte)
13 33.SeiS1:=f(x;y)2R2jx2+y2=1gderRandderEinheitskreisscheibe. istwohldeniert,bijektivundstetig,aberkeinhomoomorphismus. ZeigenSie: DieAbbildung f:([0;1)! t7!(cos2t;sin2t) S1 34.SeienXeintopologischerRaumundAX. ZeigenSie: (ii)dertopologischerauma(versehenmitderinduziertentopologie)istgenaudann (i)sindxkompaktundaabgeschlossen,soistauchakompakt. (3Punkte) 35.Seien(X;fFxgx2X)und(Y;fGygy2Y)topologischeRaume. ZeigenSie: kompakt,wennaeinekompakteteilmengevonxist. (i)daspaarxy;ft(x;y)g(x;y)2xymit T(x;y):=fUVjU2Fx;V2Gyg(8(x;y)2XY) (4Punkte) sehen. Mansagt,dasmengentheoretischeProduktXYwirdmitderProdukttopologiever- (ii)sindxundykompakt,soistauchxykompakt. Tip:(1)DertopologischeRaumfxgY(8x2X)(versehenmitdervonXY isteintopologischerraum. TeilmengeIxImitfxgYWx:=[i2IxWi.FurUx:=\i2IxUi(x2X) BenutzenSienundieKompaktheitvonX,umeineendlicheTeilmengeI0I giltp 1(Ux)Wx.DasSystemfUxgx2XisteineoeneUberdeckungvonX. Uibzw.VivonXbzw.Ysind.Esexistiertzujedemx2Xeineendliche annehmen,dadiemengenwivonderformuivimitoenenteilmengen (2)SeifWigi2IeineoeneUberdeckungvonXY.O.B.d.A.kannman induziertentoplogie)istkompakt. mit[i2i0wi=xyzukonstruieren. 12 (4Punkte)
14 36.SeiXeintopologischerRaum. ZeigenSie: (iii)dertopologischeraum (ii)istaxeinezusammenhangendeteilmenge,soistauchjedemengebmit (i)istxwegweisezusammenhangend,soauchzusammenhangend. ABAzusammenhangend. ist (b)abernichtwegweisezusammenhangend. (a)zusammenhangend, X:=f(0;y)j 1y1g[x;sin1x0<x1 Tipzu(a):XistderAbschludesBildesAderstetigenAbbildungf:(0;1]!X, zu(b):beweisdurchwiderspruch.existierteeinstetigerweg:[0;1]!x x7!(x;sin1x),alsomithilfevon(ii)zusammenhangend. ([t0;1]). eineabgeschlossenemengevonxmit([t0;1])=f(t0)g[a,alsox=a= mit(0)=(0;0)und(1)=(1;sin1),soware([t0;1])mit t0:=supft2[0;1]j(t)2f0g[ 1;1]g 37.SeidieFunktionf:R2!Rdurch f(x;y):=8><>:xy(x2 y2) x2+y2,falls(x;y)6=(0;0) 0,falls(x;y)=(0;0) (5Punkte) gegeben. (iii)zeigensie,dadiepartiellenableitungenf12(0;0)undf21(0;0)existieren,und (ii)berechnensiediepartiellenableitungenf12(x;y)undf21(x;y)fur(x;y)6=(0;0), (i)zeigensie,dadieabbildungfderklassec(1)angehort,undberechnensie stellensiefest,dadiesenichtgleichsind. undbestatigensiederengleichheit. WidersprichtdiesSatz3,x3,Kap.IVderVorlesung? gradf(0;0). 13 (4Punkte)
15 38.SeieinereelleZahl. f:rnnf0g!r: ZeigenSiedieAquivalenzderfolgendenAussagenfureinedierenzierbareAbbildung (ii)esgilt (i)fisthomogenvomgrade,d.h.esgilt f(tx)=tf(x)(8x6=0;8t2r+): 39.Seiena;b;c2R. (gradf(x))x=f(x)(8x6=0): ohnebenutzungdeshurwitzkriteriums: ZeigenSiedieAquivalenzderfolgendenAussagenfurdiequadratischeForm Q(h;k)=ah2+2bhk+ck2((h;k)2R2) (4Punkte) (ii)esgilta>0undac b2>0. (i)qistpositivdenit,d.h.q>0; 40.BestimmenSiekritischePunkte,relativeExtremaundSattelpunktederfolgenden FunktionenmitDenitionsbereichR2: (i)f(x;y)=x x2 y2; (3Punkte) 41.SeienUeineoeneUmgebungvon0inR,f2C(q+1)(U)eineFunktionunda;b2R+. (ii)g(x;y)=sin(xy). ZeigenSie: DieTaylorentwicklungderFunktiong(x;y):=f(ax+by)um(0,0)besitztdieForm (4Punkte) BerechnenSiedasRestgliedRq+1. g(x;y)=qxm=0f(m)(0) m!mxj=0 mj!(ax)j(by)m j+rq+1(x;y): 14 (4Punkte)
16 42.Seien Q(h)=nP i;j=1cijhihjundeq(h)=np ZeigenSie: quadratischeformenund">0gegeben.dieformqseipositivdenit,undesgelte jcij cijj<"n2(i;j=1;:::;n): i;j=1cijhihj(h2rn) (i)esexistierteinekonstantem2r+mit (ii)esgilt Tip:BetrachtenSiedasWerteverhaltenvonQaufderkompakten(?)Menge Q(h)mkhk2(8h2Rn): Tip:BeweisenSiezunachstjeQ(h) Q(h)j"khk2(8h2Rn). Insbesondereistfur0<"<mdiequadratischeFormeQpositivdenit. eq(h)(m ")khk2(8h2rn): Sn 1:=fx2Rnjkxk=1g: 43.SeienL2L(Rr;Rs)undM2L(Rs;Rt). ZeigenSie: Esgilt kmlkkmkklk: (5Punkte) 44.DieAbbildungf:R3!R3seidurch gegeben. f(x;y;z)=(x+y+z;xy+xz+yz;xyz) (3Punkte) (iii)bestimmensiediemengeallerpunkte(x;y;z)2r3,indenendasdierential (ii)berechnensiediejacobimatrixvonfinallenpunkten(x;y;z)2r3. (i)zeigensie,dafdierenzierbarist. Df(x;y;z)vonfeinesingularelineareAbbildungist. 15 (4Punkte)
17 45.(i)DieFunktionenf:Rnnf0g!Rundg:R+R+!R2seiendurch (ii)seienurm,vrnoeneteilmengenundf:u!v,g:v!u deniert. VerizierenSiefurdieKompositionfgdieGultigkeitderKettenregel. f(x)=log(kxk2)undg(x;y)= xy;px y! dierenzierbareabbildungen,diezueinanderinverssind. ZeigenSie: (a)dietotalendierentialedf(x)(x2u)bzw.dg(y)(y2v)vonfbzw.g 46.Sei(b)Furallex2Ugilt sindbijektivelineareabbildungen.insbesonderegiltn=m. diemengeallerreellensymmetrischennn{matrizen,versehenmitdervonr(n;n) V:=fA2R(n;n)jAt=Ag Dg(f(x))=(Df(x)) 1: ZeigenSie: induziertentopologie. (4Punkte) (ii)furdiemenge (i)diemengevisteinr{untervektorraumvonr(n;n). allersymmetrischen,positivdenitennn{matrizengilt: (b)diemengecistkonvex,d.h.furbeliebigematrizena;b2cistdieverbindungsstrecke BenutzenSiehierzudasKriteriumvonHurwitz. C:=fA2VjA>0g (a)diemengecisteineoeneteilmengevonv. 47.BestimmenSiedasTaylorpolynomn{terOrdnung(n2N)derFunktion incenthalten. [A;B]:=ftA+(1 t)bj0t1g umdenentwicklungspunkt(0,0). f(x;y)=1 1 x y (5Punkte) 16 (3Punkte)
18 48.Seienf:Rn!Rundg:Rn!RndierenzierbareAbbildungenmit ZeigenSie: Esgilt gradf(x)=0(8x2rn)undfg1: 49.Seienf:R3!Rundg:R2!RAbbildungenderKlasseC(2). DruckenSiedieerstenundzweitenpartiellenAbleitungenderFunktion F(x;y):=f(x;y;g(x;y))((x;y)2R2) Jg(y)=0(8y2Rn): (4Punkte) 50.SeienUeineoeneTeilmengevonRn,x02UeinPunktundf;g:U!Rminx0 intermenderpartiellenableitungenvonfundgaus. dierenzierbareabbildungen. ZeigenSie: DieAbbildung F:(U! R (4Punkte) istimpunktx0dierenzierbar,undesgilt df(x0)(h)=f(x0)(dg(x0)(h))+g(x0)(df(x0)(h))(8h2rn): x7!f(x)g(x) (5Punkte) 17
Symmetrien Regel: Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn. Beispiel: f(x)=2x 5-15x 3 +2x 2 =>Grad(f) KA: Ergebnis 1P, Schreibweise 1P
Ganzrationale Funktionen Definition: Eine Funktion ist ganzrational, wenn diese auf Summen von x-potenzen mit positiven Exponenten mit Faktoren besteht z.b. f(x)=2x 5-15x 3 +2x 2 Beispiel: f(x)=2x 5-15x
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Mehr2 x = 4. f(x) = ± f(x) = 1. x = x 0. (x 4) (x + 2)(x 4) x 4 + f(x) 1 6. x 2 + (x + 2)(x 4) = 3, , (x 4) (x + 2)(x 4) =
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