ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

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1 ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a, b] stetig und im offenen Intervall a, b) differenzierbar. Ferner sei g ) 0 für alle a, b). Dann ist gb) ga) und es gibt ein c a, b), sodass fb) fa) gb) ga) f c) g c). Beweis. Es ist gb) ga), sonst gäbe es ein c a, b) mit g c) 0. Wir betrachten die Hilfsfunktion ϕ) : fb) fa) ) g) ga) ) gb) ga) ) f) fa) ). ϕ ist stetig auf [a, b], differenzierbar auf a, b) und ϕa) ϕb) 0. Nach dem Satz von Rolle Satz VI.3.3) eistiert ein c a, b) mit ϕ c) 0. Nun ist woraus die Behauptung folgt. 0 ϕ c) fb) fa) ) g c) gb) ga) ) f c), Bemerkung.. Unter zusätzlichen Voraussetzungen kann der zweite Mittelwertsatz in Quotientenform geschrieben werden. Sei zusätzlich g ) 0 für alle a, b), so gilt fb) fa) f c) ) gb) ga). g c) Der Faktor gb) ga) ist verschieden von Null, da andernfalls ein c a, b) eistiert mit g c ) 0. Also gilt fb) fa) gb) ga) f c) g c). Ist g), so ist g ) 0 für alle und man erhält den einfachen) Mittelwertsatz VI.3.4). Hinweis: Dieses Material dient der Ergänzung und wird in meiner Übung am Montag, 4. April 005 behandelt. Satz VI.3.4: Die Funktion f : [a, b] R sei stetig und in a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein c a, b) derart, dass fb) fa) b a f c). Satz VI. 3.3: Ist die Funktion f in [a, b] stetig, in a, b) differenzierbar und gilt fa) fb), so eistiert ein c a, b) mit f c) 0.

2 CHRISTIAN HARTFELDT. Regel von Bernoulli / de l Hospital Man kann den verallgemeinerten Mittelwertsatz. für die Berechnung von Grenzwerten benutzen. Eistieren die Grenzwerte so gilt f), 0 g) 0, 0 f) 0 g) 0 f) 0 g). Sind 0 f) 0 und 0 g) 0, so eistiert der Grenzwert 0 f)/g) nicht. Die Frage ist, welche Aussagen für den Grenzwert des Quotienten getroffen werden können. wenn f) g) gilt. In diesem Fall spricht man von einem unbestimmten Ausdruck, der Form 0/0. Folgende Ausdrücke sind unbestimmt: ) 0,, 0 ), ), 0 ) ), 0 0 ), 0 ). Satz.. Seien D a, b)\{ 0 } mit a < 0 < b und f, g : D R differenzierbare Funktion, sowie g ) 0 auf D. Außerdem gelte ) f) g) oder ) 0 f) ±, Dann gilt 0 g) ±. f ) 3) 0 g ) a R f) 0 g) a. f) Die gleichen Aussagen gelten auch für Grenzwerte der Form, f) 0 g) 0 g) f) ±. g) Man beachte, dass die Implikation 3) auch beinhaltet, dass im Falle der Konvergenz von f ) f) der Grenzwert überhaupt eistiert. 0 g ) 0 g) Es ist ganz wichtig, dass eine der Voraussetzungen ) oder ) erfüllt ist. Andernfalls liefert die Implikation 3) ein falsches Ergebnis. Das wird in Beispiel..h illustriert. Wenn ) und ) beide nicht gelten, läßt sich der Grenzwert sowieso direkt bestimmen. Es kann auch vorkommen, dass erst eine mehrmalige Anwendung der L Hospitalschen Regel zum Ziel führt. Beispiel.. a.) 0 0 Seien f) sin), g) und 0 0. Dann ist ) erfüllt und wegen ist mit 3): sin) 0 0 f ) g ) cos 0 0 f) g). und

3 ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN 3 b.) Seien f) 3 und g) e. Dann ist ) bei 0 erfüllt und mehrmalige Anwendung der Regel von de L Hospital liefert: 3 e f) g) f ) g ) 3 e f ) g ) 6 e f 3) ) g 3) ) 6 e 0. c.) Seien f) e + und g) e. Dann ist ) bei 0 erfüllt und daher e e + e e e 0. d.) 0 Seien f) log), g) und 0 0. Es soll log) bestimmt werden. Dies ist zwar kein Quotient, aber durch Umformen erhält man log) log) e.) Seien f) + ) 0. und g). Dann ist + ) f)g) e logf)) g) e log+ ). Nun ist der Eponent für vom Typ 0 und daher ist wie in 3. ) ) + log Also ist + + e ) e. log + + f.) 0 Seien f) + und g). Dann gilt log) + ) log). f) g) e logf)) g) e log+) log). Der Eponent ist für vom Typ log + ) log) +. Somit ist +.

4 4 CHRISTIAN HARTFELDT Also ist + ) log) e. g.) 0 0 Für f) 3 und g) 3 ) log) log) gilt f) g) e logf)) g) e log 3 ) log) Der Eponent ist für 0 vom Typ, also log) + log3) log) log)+ log3) e log). + log3) ) + log3). Damit ist ) 3 log) e. h.) Abschließend noch ein Beispiel, das die Notwendigkeit der Voraussetzung ) oder ) zeigt. Betrachte f) e und g) e +. Es soll 4) f) g) bestimmt werden. Allein die Regel 3) würde wegen f ) g ) e e e 0 den Grenzwert 0 für 4) liefern. Das ist aber falsch, denn wegen f) und g), folglich f) g). e 0 ist Offensichtlich sind weder ) noch ) erfüllt, deshalb darf man 3) nicht anwenden. Sind Zähler und Nenner in Potenzreihen entwickelbar, ist die Limesbildung damit oft einfacher. cos Beispiel.3.. Nach viermaliger!) Anwendung von L Hospital erhält man 0 4 cos. Dies ist sehr aufwendig. Mit Potenzreihen sieht man den Grenzwert sofort: cos ) ) !

5 ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN 5 3. Zusätzliche Aufgaben zur Übung Analysis Themenkreis: Differentialrechnung, Mittelwertsätze. Beweisen Sie durch Anwendung der Mittelwertsätze folgende Abschätzungen: a.) Für > 0 gilt + < +. b.) Für a > b gilt e a b a) < e b e a < e b b a). Lösung: a.) Wir wenden den Mittelwertsatz auf f) + im Intervall 0, ) an, Dann ξ 0, ) mit f ξ) Mit der Abschätzung erhält man ξ <! + ξ. < + < + < +. b.) Nach dem zweiten Mittelwertsatz für f) e im Intervall a, b) eistiert ξ a, b) mit also e a e b a b eξ, e b e a e ξ b a) { > e a b a) < e b b a). Es sei c 0 oder d 0. Beweisen Sie, dass die rationale Funktion f mit f) : a + b c + d auf ihrem Definitionsbereich genau dann ein Etremum besitzt, wenn f eine Konstante ist. Beweis: Angenommen f habe auf D ein Etremum. Dann gilt zunächst für die erste Ableitung f ac + d)ca + b) ac + ad ca cb ad cb ) c + d) c + d) c + d). Damit ist die notwendige Bedingung für das Etremum erfüllt, wenn f ) 0. f ) 0 ad cb b ad, falls c 0. c Setzt man dieses in f) ein, so erhält man f) ad a + c c + d ca + ad c c + d a c c + d c + d a c

6 6 CHRISTIAN HARTFELDT und somit ist f) konstant und damit gilt auch die Rückrichtung. Bemerkung: Ist c 0, so muss d 0 sein. Man würde dann erhalten ad 0, also a 0, also f) b/d. 3. Beweisen Sie durch Kurvendiskussion): Für alle > 0 gilt ln + ) > +. Beweisidee: Wir untersuchen das Monotonieverhalten der Funktion f) : ln + ). + Beweis: Die Funktion f) : ln + ) ist differenzierbar in 0, ) und es gilt für + alle 0, ) f ) + ) < 0. Damit ist f streng monoton fallend in 0, ). Wegen f) 0 folgt, dass f) > 0 für alle 0, ) sein muss. Somit erhält man f) ln + ) > 0 ln + ) > + + und das ist die Behauptung. 4. Bestimmen Sie von der Funktion auf 0, 4) die lokalen Etrema der Funktion f. f) ) 5 + ) 4 Lösung: Wir betrachten die Funktion f) ) 5 + ) 4. Die Ableitungen sind f ) 5 ) ) 3 ) 3 5 ) + 8 ) f ) 0 ) ) ) 0 ) + 4 ) Mit der notwendigen Bedingung f ) 0 folgt 0 ) 3 5 ) + 8 ) ) ) was 0, 4) und 3 / 0, 4) liefert. Man sieht, dass 5 eine Dreifachnullstelle ist und untersuchen nun, ob wirklich ein lokales Minimum ist. Dazu benötigen wir hier noch die 3. und 4. Ableitung. f ) 0 ) ) f ) 0 f ) 60 ) + 48 ) f ) 0 f 4) ) 0 ) + 48 f 4) ) 48 > 0 Damit hat f) in ein lokales Minimum und besitzt auf 0, 4) keine weiteren Etrema. 5. Beweisen Sie, dass folgende Funktionen f auf R differenzierbar sind und die angegebenen Ableitungen haben: a.) f) arctan) f ) + b.) f) arsinh ) f ) +

7 ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN 7 c.) f) ln h), wobei h eine differenzierbare reellwertige Funktion ohne Nullstellen ist. f ) h ) h) d.) f) ln a + ib) + i arctan a, wobei a + ib C eine feste komplee Zahl mit b b 0 ist. f ) a + ib). Lösung: a.) Der arctan bildet von R auf π/, π/) ab, ist also auf R definiert und überall differenzierbar, da die Umkehrabbildung zum arctan, also tan von π/, π/) auf R abbildet und für alle y π/, π/) differenzierbar ist und es gilt tan y) cos y) 0 auf π, π ). Durch Anwendung des Theorems über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion folgt arctan tan)) tan ) / cos cos + sin / cos tan und damit die Behauptung. b.) Der arsinh bildet von R auf R ab, ist also auf R definiert und überall differenzierbar, da die Umkehrabbildung zum arsinh, sinh ist und sinh ) cosh ) 0 ist. Durch Anwendung des Theorems über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion folgt arsinh sinh )) sinh ) cosh ) + sinh ) und damit die Behauptung. c.) Die Funktion h ist laut Voraussetzung differenzierbar ohne Nullstelle. Damit muss h stetig sein und nach Anwendung des Zwischenwertsatzes muss h auf R positiv oder negativ sein. Damit müssen wir zwei Fälle untersuchen: Fall :: Sei h) > 0 für alle R. Dann ist nach Anwendung der Kettenregel f ) h) h ). Fall :: Sei h) < 0 für alle R. Dann ist f ) ln h)) h) h )) h ) h) und damit folgt die Behauptung. d.) Nach den Grenzwertsätzen ist f : D R C in 0 differenzierbar Re f), Im f) : D R in 0 differenzierbar sind.

8 8 CHRISTIAN HARTFELDT Wir setzen f ) : ln a + ib) ) und f ) : arctan a ) und untersuhen diese b beiden Funktion. Für die Ableitung von f ) erhalten wir f ) ln a) + b } {{ } :h) a) + b a) + b a) { a) + b } a für alle D R. a) + b Für die Ableitung von f ) erhalten wir ) a f ) arctan b + a) b b b a) + b. Damit erhält man schließlich f ) f ) + if ) a a) + b + i b a) + b a + ib a) + b a + ib a) + ib) a) ib) a + ib) und das ist die Behauptung.

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