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1 Mathematik für Klasse 6/7 Prozentrechnen Trainingseinheiten zum Üben und Vertiefen Teil : Grundlagen Datei Nr. 055 Stand 6. November 204 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 055 Prozentrechnung 2 Vorwort Diese neue Fassung des Textes wurde unter didaktischen Gesichtspunkten verkürzt und verbessert. Die Anwendungen (Sachaufgaben) befinden sich im Text Inhalt Teil : Die Grundlagen Was bedeutet Prozent? Erklärendes Einführungsbeispiel Grundaufgabe : Berechnung des Prozentsatzes 4 Grundaufgabe 2: Berechnung des Prozentwertes 6 Grundaufgabe : Berechnung des Grundwertes 0 2 Verkettete Prozentaufgaben Verhältnisgleiche Paare 4 Rechnen mit Prozentformeln 6 4. Promille 8 Lösungen der Aufgaben 9-2

3 055 Prozentrechnung Was bedeutet Prozent? Erklärendes Einführungsbeispiel Zwei Gruppenleiter unterhalten sich über ihre Tätigkeit. Klaus sagt: Ich habe unter meinen 20 Personen 4 Männer. Peter antwortet ihm: Bei mir ist der Anteil der Männer höher, denn ich habe unter meinen 25 Personen 6 Männer. Wir wollen diese Aussagen näher untersuchen. Das Problem liegt zunächst darin, dass die Gruppen verschieden groß sind. Dann kann man nicht direkt die Zahlen 4 bzw. 6 Männer für einen Vergleich heranziehen. Grundsatz für alle Vergleiche ist: Die Bezugsgröße muss dieselbe Zahl sein. Hier sind die Bezugsgrößen, die Gesamtzahlen der Personen (man nennt dies den Grundwert), verschieden. Also muss man die Verhältnisse anpassen. Dazu fragt man sich, wie viele Männer in beiden Gruppen wären, wenn sie 00 Personen umfassen würden, wobei der Anteil der Männer aber derselbe bleiben soll. Das geht bei diesem Beispiel sehr leicht, weil man die Gruppengrößen 20 bzw. 25 ganz einfach auf 00 bringen kann: Wir erweitern die Brüche in geeigneter Weise: Bei der Gruppe von Klaus wird man die Zahlen Bei der Gruppe von Peter wird man die Zahlen 4 von 20 mit 5 multiplizieren und erhält dann 6 von 25 mit 4 multiplizieren und erhält dann 70 von von 00. Hier wird also aus der Bruch Hier wird aus der Bruch Jetzt sieht man, dass der Anteil von Klaus größer ist als der Anteil von Peter. Obwohl er absolut gesehen mehr Männer in der Gruppe hat, sind es relativ doch weniger. Wenn man 00 als Bezugsgröße verwendet, sind Ergebnisse sofort vergleichbar. Man nennt den Anteil dann Prozent (lateinisch: pro centum = von hundert). Bei Klaus sind also 70% (70 Prozent) der Personen männlich, bei Peter sind es 64%. Mit dem Begriff Prozent gibt man Anteile an, die sich auf die Standardgröße 00 beziehen. Teil von 00 Teilen sind dann, und dazu sagt man Prozent: % Prozent ( 5 % ) sind dann 00 5, also 5 von 00. 2,5 % sind dann 2, , was z. B. bei von 8 oder bei 2 von 6 usw. zutrifft. Eine Produktion von 20 % bedeutet dann 20% mehr als 00% (die volle Produktion). Ziel der nächsten Abschnitte: In den nächsten Abschnitten wird gezeigt, wie man Prozentsätze bei Verhältnissen wie 7 von 2 oder 9 von 5 usw. berechnet. Dann folgend die Berechnung des Prozentwerts (d. h. wieviel sind % von 240?) und die Berechnung des Grundwertes (0% sind 46, wieviel sind 00%, also der Grundwert?) Schließlich folgt ein wichtiger Abschnitt über Anwendungsaufgaben wie Preiserhöhung, Rabatt, Mehrwertsteuer usw.

4 055 Prozentrechnung 4 Grundaufgabe : Berechnung des Prozentsatzes a) Klaus will sich ein Fahrrad kaufen. Der ausgeschilderte Preis beträgt 280. Er erhält vom Händler 42 Preisnachlass. Wie viel Prozent sind das? Lösung: Man berechnet den Bruchteil, den der Preisnachlass bezogen auf den ausgeschilderten Preis ausmacht: p 5% Der Bruch wird so umgeformt, dass Hundertstel entstehen. Ich habe dazu durch 7 und dann durch 2 gekürzt, und am Ende habe ich mit 5 erweitert. Und statt Hundertstel schreibt man Prozent. Brüche kann man aber auch in Dezimalzahlen umrechnen. Etwa mit einem Taschenrechner: 42 p 0,5 5%. 280 Wenn man weiß, dass hinter dem Komma Zehntel und 5 Hundertstel stehen oder anders gesagt 5 Hundertstel, dann weiß man, dass 0,5 genau 5 % sind. Man kann dabei erkennen, dass man einfach das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben muss und dann % dahinter schreibt. b) Wie viel Prozent sind 45 von 60? Wir berechnen den Bruch p 75% Hier habe ich zuerst durch 5 gekürzt und dann mit 25 auf Hundertstel erweitert. Mit einem Taschenrechner wird man aus dem Bruch eine Divisionsrechnung machen: 5 : 60 0,75, und dann rückt man das Komma um 2 Stellen nach rechts und erhält 75%. Beim Berechnen des Prozentsatzes mit dieser Methode, die als Formel so aussieht W p=, G erhält man stets einen Bruch bzw. mit dem Taschenrechner in der Regel eine Dezimalzahl. Die Multiplikation mit 00% (d. h. Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach rechts) erzeugt dann eine Prozentzahl. c) Wie viel Prozent sind 6 von 55? Ein Taschenrechner liefert: W 6 p 0, ,2% G 55 Die ersten beiden Dezimalen geben die Hundertstel an, also haben wir 2 Hundertstel, das sind 2 Prozent (und noch ein paar Zerquetschte ). Die Multiplikation mit 00 verschiebt das Komma um 2 Stellen nach rechts an die Stelle des Trennstriches. Dann muss man noch % dahinter schreiben. Im Grunde rechnet man also: 6 6 p 00% Dies kann man als Formel auch so aufschreiben: p W 0% G 0

5 055 Prozentrechnung 5 Die folgenden Musterbeispiele werden auf 2 Arten gelöst: d) Wie viel Prozent sind 6 von 800? W W Mit der Formel p : bzw. mit p 00% : G G 6 W 6 p 0,04 5 4,5% p 00% 00 % 4,5% 800 G 800 Hier erhält man einen Bruch, den man in eine Dezimalzahl umrechnet und dann das Komma um 2 Stellen nach rechts verschiebt: Aus 0,045 wird 4,5%. e) Wie viel Prozent sind 95,20 von 2,25? 95,2 p 0, ,2% 2,25 f) Wie viel Prozent sind 54,2 von 48,5? MERKE: 54,2 p,2 2% 48,5 Hier erhält man gleich die Prozentzahl. W 95,2 p 00% 00% 77,2% G 2,25 W 54,2 p 00% 00% 2% G 48,5 Hier ist der Prozentwert höher als der Grundwert, was natürlich mehr als 00% ergibt! % entsprechen = 0,0 00 2% entsprechen 2 = = 0,02 5% entsprechen 5 = 0, % entsprechen 0 = 00 0 = 0, 2,5 2,5% entsprechen 0, % entsprechen 20 = 0, % entsprechen 25 = 0, % entsprechen 50% entsprechen 50 = 00 2 = 0,5 75% entsprechen 75 = 00 4 = 0,75 00% entsprechen 00 =, also das Ganze ungeteilt. Merke auch diese Begriffe: 00 Die volle Menge, die 00% entspricht, heißt Grundmenge G. Der Wert, der dem Prozentsatz p entspricht, heißt Prozentwert W. 8 % von 75 sind 6 8 % ist der Prozentsatz p 75 ist der Grundwert G 6 ist der Prozentwert W

6 055 Prozentrechnung 6 Aufgabe (Lösungen Seite 9) Berechne die Prozentsätze zu diesen Daten im Kopf (als Bruch auf Hundertstel bringen): a) 24 von 50 b) 5 cm von 25 cm c) 5 von 4 d) 0 von 50 e) 25 m von 500 m f) 4 von 40 g) 9 kg von 75 kg h) 8 von 6 i) 5 L von 40 L Aufgabe 2 Berechne die Prozentsätze mit Taschenrechner a) von 9 b) 2, m von 57 m c) 5 von Grundaufgabe 2: Berechnung des Prozentwertes. Methode: Berechnung mit einfachen Prozentsätzen im Kopf. Beispiele: 25% von 240 km sind 50% von 90 sind 75% von 40 Personen sind 20% von 5 sind % von 20 t sind 2,5% von 000 sind 40% von 250 sind 4 von 240 km, also 240km 60km. 4 2 von 90, also von 40, also 40 0 Personen. 4 5 von 5, also von 20 t, also 20 t 40 t. 8 von 000, also von 250, also Diese Übungen sollte man sicher und fix beherrschen. Dazu gehört, dass man die zu den Prozentzahlen gehörenden Brüche gelernt hat, und dass man diese einfachen Bruchrechnungen im Kopf machen kann. Aufgabe (Lösungen Seite 9) Ich beginne mit einem Muster: 0% von 80 = % von 80 = 50% von 660 = 0% von 4 = 25% von 64 = 25% von 900 = 75% von 80 = 75% von 28 = % von 75 = % von 44 = 40% von 50 = 40% von 200 = 5% von 20 = 2% von 400 =

7 055 Prozentrechnung 7 Beispiele zu Rechnungen die auf Dezimalzahlen führen: a) 0% von 7 = 7,7 0 b) 0% von 5,24 = 5,24 0,524 0,52 (Komma verschieben) 0 c) 25% von 0 = ,5 d) 25% von : 4 9,25 e) 50% von 9 = 9 9 : 2 9,5 2 f) 50% von,7 =,7,7 : 2,85 (6 : 2 = 8!) 2 g) 5% von 4 = h) Wie viel sind i) j) e) ,7 2 0% von 27, m? 00 % von 2,5 t = 2,5 t = 0,025 t = 2,5 kg 0,9 60 4,5 60% von 4,5 km = 0 0 4,5 km = = = 0 0% von 27, m 27, m 2,7 m 5 km = 2,7 km oder so: 60% von 4,5 km = 0,6 4,5 km = 2,70 km % von 000 Personen = 000 Personen = 2250 Personen 4 oder so: 75% von 000 Personen = 0, P. = 75 0 P. = 2250 P. f) 9% von 5,4 sind,9 5,4 42,26 42, Bei Geldbeträgen wird man stets die. Dezimale durch Auf- oder Abrunden beseitigen! Aufgabe 4 (wie eben gezeigt) (Lösungen Seite 20) 0% von 7 = 0% von 0,57 = 0% von 7 = 0% von 0,57 = 0% von 4,20 = 20% von 4 = 20% von 42,5 = 20% von 0,75 = 25% von 2 = 25% von 0 = 25% von 2,5 = 25% von 0,64 = 40% von 4 = 40% von = 50% von = 50% von,7 = 50% von 0,04 = 50% von 0,0 75% von 0 = 75% von = % von 0 = % von 2,46 =

8 055 Prozentrechnung 8 2. Methode: Berechnung des Prozentwertes ohne Taschenrechner Beispiele: Da man nicht immer einen Taschenrechner parat hat, sollte man in der Lage sein, nicht zu umfangreiche Berechnungen auch schriftlich durchführen zu können: 2% von 50 sind 6% von 25 sind 78% von 0 sind ,4 Diesen Beispielen konnte man ansehen, dass man den Grundwert (50,25 oder 0) gegen die Hundertstel kürzen kann. Die folgenden Beispiele gestatten dies nicht mehr: 5% von 8 sind 6,0. Nebenrechnung: Nach der Multiplikation trennt man wie in 0,5 auch in 60 zwei Dezimalstellen ab. % von 74,50 sind 2,25. Nebenrechnung: 74,5 0, Nach der Multiplikation trennt man insgesamt Dezimalstellen vom Ergebnis ab. Da es sich um handelt, sollte man dann noch runden, in diesem Falle aufrunden: 2,24 2,5% von 24 sind,000, also. Nebenrechnung: Hier sind am Ende noch Stellen abzustreichen! Aufgaben 5 (Nebenrechnungen auf einem Blatt!) (Lösungen Seite 20) 24% von 5600 = % von 00 = 2,8% von 75 = 4% von 80 = 44% von 2,5 =,5% von =,5% von 420 = 82% von =,25% von 4 = % von 5 = Hier hilft mehrfaches Kürzen: Zuerst durch 50, dann noch durch 2! Ebenso hier: Zuerst durch 25 und dann durch 4 kürzen. Hier habe ich durch 0 gekürzt, dann mit multipliziert und schließlich durch 0 dividiert. 0, ,

9 055 Prozentrechnung 9. Methode: Berechnung des Prozentwertes mit Taschenrechner Dies dürfte wohl am wenigsten Probleme bereiten, wenn man weiß, wie man den Prozentsatz in die geeignete Dezimalzahl umwandelt. Oftmals muss man am Ende noch runden, etwa wenn Tausendstel Euro entstehen. Beispiele: 97% von 267, sind 0,97 267, 259,28 259,28 4,65% von 20 sind 45,08 6,4% von 9,5 sind 6,478 24% von 26 sind, ,24 Wenn der Prozentsatz die Zahl 00 übersteigt, erhält man mehr als den Grundwert:......! % von,24... Aufgaben 6 (Runde wenn nötig) (Lösungen Seite 20) 70% von 82 =,5% von 52 = 8% von 0,9 = 5,2% von 7 = 6,2% von 56 = 4% von 7 = 55% von 55 = 05% von 58 = 28% von 520 = 0,45% von 80 = 2% von 65 kg = 42% von 80 kg = 0,06% von 27 = 0,29% von 5 kg =,5% von 25,86 = 4,8% von 8 = 29% von 48 = 9,5 % von 260 km =

10 055 Prozentrechnung 0 Grundaufgabe : Berechnung des Grundwerts Ich zeige drei verschiedene Methoden zur Berechnung. Bitte aussuchen!. Methode: Berechnung des Grundwerts durch Hochrechnung auf 00%. a) 25% Rabatt sind 20. Was war der ursprüngliche Preis? Der Grundwert ist immer der Ausgangszustand, also 00%. Durch Multiplikation mit 4 kommt man einerseits auf 00%, andererseits auf % 00% W = 20 G = 80 Ergebnis: G = 80. b) 50% sind 2. Um den Grundwert zu bestimmen muss man auf 00% kommen. 50% 00% Dies gelingt durch Verdoppelung: W = 2 G = 46 Also ist G = 46. c) 25% sind 4,50 m. Der Grundwert beträgt 8 m, das Vierfache. d) 0% sind 7,50. Der Grundwert ist dann das 0-fache: 75. e) 2,5% sind 5. 00% sind dann das 8-fache: G f) % sind 2,50 kg. 00% sind das Dreifache: G = 7,50 kg Der Hintergrund ist die Proportionalität zwischen dem Prozentsatz und dem Prozentwert. Multipliziert man den Prozentsatz mit einer Zahl, muss man den Prozentwert mit derselben Zahl multiplizieren! g) 20% sind 4 kg. 00% sind dann das Fünffache, also ist G 5 4kg 205 kg. Diese Methode liefert schnell den Grundwert, weil die hier gegebenen Prozentsätze Teiler von 00 sind.

11 055 Prozentrechnung 2. Methode: Berechnung des Grundwerts mittels Dreisatz a) 2% sind 50. % sind % sind Oder kürzer so: 00% sind ,2 (Taschenrechner) b) 45% sind 5,75, % sind 5, , % sind Oder so: 00% sind 5,75 5 0,45 c) 9% sind,2 % sind,2 9 00% sind, Oder so: 00% sind,2 28,9. Methode: Berechnung des Grundwerts als Divisionsaufgabe. In der Aufgabe Wie viel sind 2% von 250? haben wir in der Kurzlösung den Prozentwert durch eine Multiplikation mit dem Prozentsatz gefunden: 2% von 250 sind W p G 0, Diesen Prozess sollte man grafisch darstellen: Grundwert 250 Nun stelle ich die Aufgabe um und frage: 2% sind 50. Wie groß war der Grundwert? Grundwert 250 0,2 :0,2 Prozentwert 50 Prozentwert 50 Zur Lösung kehrt man einfach die Aufgabe um und dividiert durch den Prozentsatz! Allgemein haben wir somit diese Prozesse zu berechnen: Grundwert Prozentwert p :p Prozentwert Grundwert

12 055 Prozentrechnung 2 Als Formeln: W G p und Musterbeispiele: a) 2% sind 50. Also ist b) 45% sind 5,75, es folgt c) 94% sind 4, daher ist d) 9% sind,2, daher ist W G (p als Dezimalzahl ohne %) p W 50 G 250 p 0,2 5,75 G 5 0,45 4 G 50 0,94,2 G 28,9 Aufgabe 7: Berechne den Grundwert (Lösung Seite 2) a) 8% sind 45 km b) 2% sind 44,6 c) 45% sind 57,60 d) 5,6% sind 68 e) 9% sind 5,58 f) 70% sind 6, kg. Aufgabe 8: Berechne den Grundwert (Lösung Seite 2) a) p = 4,5%, W = 50 b) p = 2%, W = 6,72 c) p = 5%, W =,06 d) p = 20,8%, W = 2,48 e) p = 90%, W = 8,9 f) p = 0,26% W = 7

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