FE-STAB TRAGFÄHIGKEIT UND STABILITÄT VON STÄBEN

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1 Rolf Kindmann Henning Uphoff FE-STAB TRAGFÄHIGKEIT UND STABILITÄT VON STÄBEN BEI ZWEIACHSIGER BIEGUNG MIT NORMALKRAFT UND WÖLBKRAFTTORSION Entwurf vom Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

2 Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/ Fax-Nr.: +49 (0)234/ Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Leistungsumfang 1 2 Grundlagen Koordinatensystem, Normierung und Definitionen Werkstoffgesetz Prinzip der virtuellen Arbeit Methode der finiten Elemente Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor für ein Stabelement Gesamtsteifigkeitsmatrix und Lastvektor Verschiebungs- und Schnittgrößen Eigenwerte und Eigenformen Teilschnittgrößenverfahren 18 3 Eingabe Vorbemerkung Berechnungsoption und baustatisches System Lager und Punktfedern Streckenfedern und Schubsteifigkeiten Querschnittswerte Einzellasten Gleichstreckenlasten und Torsionsstreckenmomente Vorverformungen Start der Berechnung 28 4 Ausgabe 29 5 Berechnungsbeispiele Vorbemerkung Biegedrillknicken eines Zweifeldträger Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens Rahmenriegel eines Zweigelenkrahmens 46 Literatur 54

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5 1 Leistungsumfang Das Programm FE-STAB ist ein leistungsfähiges FE-Programm für stabförmige Bauteile. Das Programm basiert auf der vollständigen Stabtheorie (zweiachsige Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion), so dass sowohl räumliche Beanspruchungen als auch das räumliche Tragverhalten von Stabstrukturen erfasst werden können. Dabei ist die Berechnung auf gerade Stäbe mit gleichbleibenden Querschnitten beschränkt. Die wesentlichen Anwendungsgebiete des Programms lassen sich wie folgt zusammenfassen: Berechnung von Verformungen und Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie I. oder II. Ordnung Ermittlung der kleinsten Eigenwerte, bzw. Verzweigungslasten, und den dazugehörigen Eigenformen, bzw. Knickbiegelinien für die Stabilitätsprobleme Biegeknicken und Biegedrillknicken Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für Stäbe mit Standardquerschnitten Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischen Ersatzimperfektionen Berücksichtigung aussteifender Konstruktionen durch Feder- und Schubsteifigkeiten Berücksichtigung beliebiger Querschnittsformen Berechnung von Auflager- und Federkräften Es besteht somit die Möglichkeit stabilitätsgefährdete, räumliche Stabstrukturen mit geringem Aufwand realitätsgetreu abzubilden und zu untersuchen. Das Programm ermöglicht die direkte Berücksichtigung geometrischer Ersatzimperfektionen und liefert den Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach der Plastizitätstheorie für Standardquerschnitte. Mit FE-STAB und dem Ersatzimperfektionsverfahren lassen sich schnelle und wirtschaftliche Tragsicherheitsnachweise für im Stahlbau übliche stabilitätsgefährdete Stäbe führen. Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau [4] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen Hintergründe und enthält zahlreiche weitere Beispiele. FE-STAB ist in Visual Basic programmiert. Als Programmoberfläche dient Microsoft Excel. Das vorliegende Programmpaket 2014 der RUBSTAHL-Programme ist kompatibel mit den aktuellen Versionen von MS-Excel bis einschließlich Excel 2013.

6 2 2 Grundlagen 2 Grundlagen Grundlage der Tragwerksberechnung mit dem Programm FE-STAB ist die vollständige Stabtheorie. Es können Stäbe berechnet werden, die durch Normalkraft, zweiachsige Biegung und Wölbkrafttorsion beansprucht werden. FE-STAB berücksichtigt alle sieben Verschiebungsgrößen. Die Tragwerksberechnung erfolgt mittels der Methode der finiten Elemente. Die hierfür nötigen Steifigkeitsbeziehungen zwischen Verschiebungs- und Lastgrößen werden mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit hergeleitet. Neben den Arbeitsanteilen der linearen Stabtheorie I. Ordnung am unverformten System werden die zusätzlichen Arbeitsanteile gemäß Theorie II. Ordnung berücksichtigt, so dass das geometrisch nichtlineare Tragverhalten stabilitätsgefährdeter Stabstrukturen abgebildet werden kann. Neben der Systemberechnung der Tragstruktur wird für Standardquerschnitte der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit geführt. Das Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3] erfasst dabei neben den fünf Schnittgrößen aus Normalkraft und zweiachsiger Biegung auch die drei Torsionsschnittgrößen Mxp, Mxs und M. Das Programm enthält eine umfangreiche Datenbank von Querschnittswerten für übliche Walz- und Hohlprofile. Zusätzlich können Querschnittswerte für Drei- bzw. Zweiblechquerschnitte ermittelt werden. Die Eingabe beliebiger Querschnitte ist ebenfalls möglich. Allerdings entfällt für beliebige Querschnitte die Möglichkeit des Nachweises der plastischen Querschnittstragfähigkeit. Die hier vorliegende Darstellung der theoretischen Grundlagen des Programms ist stark zusammengefasst, um dem Anwender eine Übersicht zu geben. Zum weiteren Studium der einzelnen Themen wird an entsprechender Stelle auf ausgewählte Literaturstellen verwiesen. 2.1 Koordinatensystem, Normierung und Definitionen Sowohl auf Querschnitts- als auch auf Stabebene folgt FE-STAB einer eindeutigen Normierung [3]. Die korrekte Anwendung des Programms erfordert die Einhaltung dieser Normierung und dem damit verbundenen Koordinatensystem. Das Programm berücksichtigt die sieben Verschiebungsgrößen des räumlichen Tragverhaltens. Gemäß Bild 2.1 stellt die Stabachse die x-achse dar und geht durch den Schwerpunkt des Querschnitts S. Die Achsen y und z entsprechen den Hauptachsen des Querschnitts. Die Verschiebungsgrößen beziehen sich auf den Schwerpunkt. Bild 2.2 und zeigt die Verschiebungsgrößen auf Stabelementebene.

7 2.1 Koordinatensystem, Normierung und Definitionen 3 Die Schnittgrößen beziehen sich sowohl auf den Schwerpunkt (N, My und Mz), als auch auf den Schubmittelpunkt M (Vz, Vy und Mx). Bild 2.4 zeigt zusätzlich die Wirkungsrichtung der Spannungen an einem Flächenelement. Das Wölbbimoment Mbezieht sich neben dem Schubmittelpunkt auf die normierte Wölbordinate. Die Schnittgrößen ergeben sich als Resultierende der Spannungen. Der Zusammenhang zwischen Spannungen und resultierenden Schnittgrößen ist in Tabelle 2.1 dargestellt. Bild 2.1 Definition positiver Verschiebungsgrößen Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte x Stablängsrichtung y, z Hauptachsen in der Querschnittsebene normierte Wölbordinate S Schwerpunkt M Schubmittelpunkt (y = ym, z = zm) Verschiebungsgrößen u Verschiebung in x-richtung v Verschiebung in y-richtung w Verschiebung in z-richtung v Verdrehung um die z-achse w Verdrehung um die y-achse Verdrehung um die x-achse Verdrillung

8 4 2 Grundlagen Bild 2.2 Definition positiver Verschiebungsgrößen auf Stabelementebene Bild 2.3 Definition positiver Schnittgrößen auf Stabelementebene Schnittgrößen N Normalkraft Vy, Vz Querkräfte My, Mz Biegemomente DIN EN : Mx Torsionsmoment T Mxp, Mxs primäres und sekundäres Torsionsmoment Tt, Tw M Wölbbimoment B

9 2.1 Koordinatensystem, Normierung und Definitionen 5 Bild 2.4 Spannungen und Schnittgrößen an der positiven Schnittfläche eines Stabes Tabelle 2.1 Schnittgrößen als Resultierende der Spannungen Bedingung Schnittgröße Definition x x A F 0 : Normalkraft N da y V 0 : Querkraft Vy xy da z V 0 : Querkraft Vz xz da x M 0 : Torsionsmoment M x xz y y M xy z z M da y A A A M M M x xp xs M 0 : Biegemoment My x z da z M 0 : Biegemoment M y da Spannungen Wölbbimoment M da z A A x A x x, y, z xy, xz, yz Normalspannungen Schubspannungen Die Richtung positiver Lastgrößen und ihre Angriffspunkte korrespondieren mit denen der Schnittgrößen. Die Angriffspunkte und Wirkungsrichtungen sind in Bild 2.3 und Bild 2.5 dargestellt. Lastgrößen, die nicht in Richtung der Hauptachsen wirken, müssen transformiert werden. Das Gleiche gilt für vom Schwerpunkt bzw.

10 6 2 Grundlagen Schubmittelpunkt abweichende Lastangriffspunkte. Exzentrisch wirkende Lasten können in FE-STAB berücksichtigt werden. Die Transformation auf den Schwerpunkt bzw. Schubmittelpunkt erfolgt automatisch. Bild 2.5 Positive Wirkungsrichtung und Angriffspunkte der Lastgrößen Einwirkungen, Lastgrößen qx, qy, qz Fx, Fy, Fz mx MxL MyL, MzL ML Streckenlasten Einzellasten Streckentorsionsmoment Lasttorsionsmoment Lastbiegemoment Lastwölbbimoment Zusätzlich gilt es folgende weitere Definitionen zu beachten: Querschnittswerte A Iy, Iz I IT Wy, Wz Sy, Sz im, ry, rz, r Fläche Hauptträgheitsmomente Wölbwiderstand Torsionsträgheitsmoment Widerstandsmomente statische Momente Größen für Theorie II. Ordnung und Stabilität Teilsicherheitsbeiwerte M F Beiwert für die Widerstandsseite (material) Beiwert für die Einwirkung (force)

11 2.1 Koordinatensystem, Normierung und Definitionen 7 Indizes Index el: Index pl: Index Rd: Index Ed: Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie Bemessungswert der Beanspruchbarkeit Bemessungswert der Beanspruchung Biegeknicken und Biegedrillknicken Ncr Mcr,y cr ideale Drucknormalkraft (Verzweigungslast) ideales Biegedrillknickmoment Verzweigungslastfaktor (Eigenwert)

12 8 2 Grundlagen 2.2 Werkstoffgesetz FE-STAB basiert auf der Elastizitätstheorie. Für die Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen wird daher linearelastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt, es gilt das Hookesche Gesetz. Für Querschnittsnachweise nach der Plastizitätstheorie wird das in Bild 2.6 dargestellte linearelastisch-idealplastische Werkstoffverhalten angenommen. Bild 2.6 linearelastisch-idealplastisches Werkstoffverhalten Werkstoffkennwerte E G fy fu u Index k: Index d: Elastizitätsmodul Schubmodul Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl Streckgrenze Zugfestigkeit Bruchdehnung charakteristischer Werkstoffkennwert Bemessungswert (design) Bei der Berechnung von Tragwerken aus Baustahl sind in der Regel folgende Bemessungswerte anzunehmen: E = kn/cm 2 G = E/(2 (1 + )) 8100 kn/cm 2 = 0,3

13 2.2 Werkstoffgesetz 9 In Tabelle 2.2 sind die Streckgrenzen und Bruchdehnungen üblicher Baustähle gemäß DIN EN [1] zusammengefasst. Die allgemeinen Baustähle S 235 und S 355 machen dabei mehr als 95 % der im Stahlbau verwendeten Menge aus. Weitere Informationen zum Werkstoffverhalten können Kapitel 2 Kindmann/Frickel [3] entnommen werden. Tabelle 2.2 Nennwerte der Streckgrenze f y und der Zugfestigkeit f u für ausgewählte Baustähle gemäß DIN EN (Auszug) Erzeugnisdicke t in mm Werkstoffnorm EN unlegierte Baustähle Stahlsorte S 235 S 275 S 355 S 450 t 40 mm 40 mm < t 80 mm f y [N/mm 2 ] f u [N/mm 2 ] f y [N/mm 2 ] f u [N/mm 2 ]

14 10 2 Grundlagen 2.3 Prinzip der virtuellen Arbeit Die Formulierung des Gleichgewichts im Tragwerk erfolgt mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Eine umfangreiche Herleitung kann Kapitel 2.9 Kindmann/Frickel [3] entnommen werden. Ein Tragwerk befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null ist. Die Bedingung W = Wext + Wint = 0 (2.1) ist daher die allgemeine Forderung, dass Gleichgewicht vorhanden ist. In Gleichung (2.1) ist Wext die virtuelle Arbeit der äußeren eingeprägten Kräfte (ext = external) und Wint die virtuelle Arbeit der entstehenden inneren Spannungen (int = internal). Daraus lässt sich die virtuelle Arbeit für im Programm verwendete gerade Stäbe herleiten. Tabelle 2.3 enthält eine Zusammenstellung der virtuellen Arbeit nach der linearen Stabtheorie (Theorie I. Ordnung) sowie die zusätzlichen Arbeitsanteile für die Theorie II. Ordnung. Dabei werden folgende Arbeitsanteile berücksichtigt: Anteil von Wint resultierend aus Normalspannungen x sowie Schubspannungen infolge St. Venantscher Torsion. Dabei kann für Stäbe das Volumenintegral in Integrale über die Querschnittsfläche und die Stablänge aufgeteilt werden (dv = da dx) [3]. Anteil von Wext resultierend aus Einzellasten Fx, Fy und Fz. Dabei greifen Fx im Schwerpunkt S an und Fy sowie Fz im Schubmittelpunkt M. Zusätzlich werden Außermittigkeiten in y- und z-richtung berücksichtigt. F ist die Wölbordinate im Lastangriffspunkt von Fx. Anteil von Wext infolge Streckenlasten qx, qy und qz sowie Streckentorsionsmomente mx. Es wird angenommen, dass qx im Schwerpunkt S angreift und die Wölbordinate dort gleich Null ist. Arbeitsanteile aus Punktfedern Ci, Streckenfedern ci und Schubsteifigkeiten S *. Die Federn korrespondieren zu den Verformungsgrößen v, w und. Die Streckenfeder cw wirkt im Schubmittelpunkt M, die Streckenfeder cv sowie die Schubsteifigkeit S * können in z-richtung außermittig zu M wirken. Arbeitsanteile gemäß Theorie II. Ordnung als Näherung für die geometrisch nichtlineare Stabtheorie sowie für Stabilitätsuntersuchungen. Somit können Verformungen und Vorverformungen (geometrische Ersatzimperfektionen) mit für baupraktische Anwendungen ausreichender Genauigkeit erfasst werden.

15 2.3 Prinzip der virtuellen Arbeit 11 Tabelle 2.3 Virtuelle Arbeit W = W ext + W int für gerade Stäbe Lineare Stabtheorie (Theorie I. Ordnung): ( u q v q w q m ) dx S x M y M z x u F v F w F v M w M M M S x M y M z M zl M yl xl L v F y w F z F F z z F y y M x F M x F x F y F M z F M u EA u v EI v w EI w EI GI dx S S M z M M y M T vm cv vm wm cw wm c vm S vm vm cv zcv zm 2 c z z v c z z v S z z v cv M M v cv M M S M 2 S zs zm vm S zs zm dx u C u v C v v C v w C w w C w S u S M v M M v M M w M M w M v cv M 2 C C v C z z C z z v C z z M v cv M v cv M M Zusätzliche Arbeitsanteile für die Theorie II. Ordnung und Stabilität: N v M v M w M w M v M z M z M v M w M y M y y M M z z M rr M ( v M M v w M M w M ) dx y M w M dx ( q (y y ) q (z z ) dx F y y F z z y q M z q M y F M z F M v F z F z v w F y F y w M x F x F M M x F x F M mit: 2 2 M (z z ) (y y ) A 2 M i r y rr i 2 p x y 2 M z 2 M M 2 p i M I I da N i 2 M M z r y M y r z M y z r A (y z ) da I A r y (y z ) da 2 ym rz I z (y z ) da 2 z I z A y A M

16 12 2 Grundlagen 2.4 Methode der finiten Elemente Die Tragwerksberechnung in FE-STAB erfolgt mit der Methode der finiten Elemente. Im folgenden Abschnitt sind die wichtigsten Grundlagen und Annahmen, die dem Programm zugrunde liegen, zusammengefasst. Eine ausführliche Darstellung der theoretischen Zusammenhänge der FE-Methoden für Stabtragwerke, wie sie in FE-STAB verwendet werden, und weitere Anwendungsbeispiele können den Kapitel 3 und 4 aus Kindmann/Kraus [4] entnommen werden Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor für ein Stabelement Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit, s. Kapitel 2.3, wird die Steifigkeitsmatrix für ein Stabelement hergeleitet. Bild 2.7 zeigt ein Stabelement. Zur Beschreibung der Stablängsrichtung wird die dimensionslose Koordinate = x/l eingeführt. Der Knoten a liegt per Definition bei = 0 und der Knoten b bei = 1. Bild 2.7 Stabelement Die Steifigkeitsmatrix des Stabelementes beschreibt den Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen an Elementknoten mit den korrespondierenden Verformungsgrößen. Die Gleichgewichtsbedingung eines Stabelementes kann so in der Matrizenschreibweise formuliert werden, die grundlegend für die FE-Methode ist. Unterscheiden werden muss zwischen der Theorie I. Ordnung (lineare Stabtheorie) s = s = K e e e e e v + p (2.2) und der Theorie II. Ordnung: s = K + G v + p + p (2.3) e e e e e 0,e mit: s e Vektor der 14 Gleichgewichtsschnittgrößen an den Elementenden s e Vektor der 14 Nachweisschnittgrößen an den Elementenden K e Elementsteifigkeitsmatrix (14 14) G e geometrische Elementsteifigkeitsmatrix (14 14) v e Vektor der 14 Knotenverformungen des Stabelements p Vektor der 14 Lastgrößen infolge von Lasten im Stabelement e p = G v Lastgrößen infolge von Vorverformung 0,e e 0,e

17 2.4 Methode der finiten Elemente 13 Die Größe der Matrizen bzw. Vektoren resultiert aus der Berücksichtigung von sieben Verschiebungsgrößen pro Elementknoten. Es wird zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen differenziert. Die Gleichgewichtsschnittgrößen ( ^ ) entsprechen den dargestellten Schnittgrößen aus Bild 2.3. Ihre Wirkungsrichtung ändert sich bei Belastung und Verformung des Stabelementes nicht. Die Nachweisschnittgrößen hingegen werden auf die verformte Stabachse bezogen. Weitere Erläuterungen dazu enthält Kapitel Aus der in Tabelle 2.3 formulierten virtuellen Arbeit resultieren die Elementsteifigkeitsmatrix, die geometrische Elementsteifigkeitsmatrix sowie der Lastvektor. Dabei werden folgenden Annahmen berücksichtigt: Die Beschreibung der Verformungen im Stabelement erfolgt durch Hermite sche Interpolationspolynome, da die Verschiebungen in den Elementknoten und deren Ableitungen berücksichtigt werden. Die Längsverschiebung u() wird durch eine lineare Ansatzfunktion approximiert, die Verschiebung vm(), wm() und die Verdrehung () werden durch kubische Ansatzfunktionen approximiert. Der Querschnitt ist konstant über die Länge des Stabelementes. Die Größen cv, cw, c, qx, qy, qz, mx, N und Mrr sind im Stabelement konstant. Der Aufbau der Steifigkeitsmatrizen und des Lastvektors sowie die ausgewerteten Steifigkeitsbeziehungen und Einträge des Lastvektors können [4] in Kapitel und Kapitel 4.5 entnommen werden. Bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung können zusätzliche Vorverformungen des Stabes berücksichtigt werden. Hierzu wird der Lastvektor p formuliert. Die angegebenen Vorverformungen werden mithilfe der Geometrischen Elementsteifigkeitsmatrix in äquivalente Knotenlasten umgerechnet. Zum Aufstellen der geometrischen Elementsteifigkeitsmatrix werden die Schnittgrößen N, My, Mz und Mrr benötigt, so dass zunächst eine Systemberechnung nach Theorie I. Ordnung erfolgt. Damit ergeben sich die gesamten Verformungen aus der Summe der Verformungen und der Vorverformungen: 0,e vm,ges = vm + v0,m wm,ges = wm + w0,m ges = + 0 (2.4) In FE-STAB erfolgt keine Ausgabe der Gesamtverformungen, da es sich bei baupraktischen Berechnungen bei den Vorverformungen um geometrische Ersatzimperfektionen handelt, die nur teilweise reale Vorverformungen, d.h. geometrische Imperfektionen, enthalten.

18 14 2 Grundlagen Gesamtsteifigkeitsmatrix und Lastvektor Die Methode der finiten Elemente zerteilt das baustatische System in eine finite Anzahl von Stabelementen. In Kapitel werden die Steifigkeitsbeziehungen und Lastvektoren für ein Stabelement erläutert. Zur Berechnung des gesamten Systems müssen die Steifigkeiten und Lastvektoren der einzelnen Elemente zusammengefasst werden. Die Assemblierung der Gesamtsteifigkeitsmatrix und der Lastvektoren erfolgt durch Addition der Steifigkeitsbeziehungen und Lastgrößen an den jeweiligen Elementknoten. Die Größe der Gesamtsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors ergibt sich somit aus der Anzahl der Stabelementenden, bzw. -knoten und der Anzahl der berücksichtigten Verschiebungsgrößen pro Knoten. Es ergibt so somit das folgende Gleichungssystem nach Theorie I. Ordnung, das unter Berücksichtigung der geometrischen Randbedingungen, d.h. vorhandenen Lagerungsbedingungen, gelöst werden kann: K v = p (2.5) Nach Theorie II. Ordnung ergibt sich folgendes Gleichungssystem, dass mit den Ergebnissen der Berechnung nach Theorie I. Ordnung gelöst werden kann: K G v = p + p 0 (2.6) mit: K Gesamtsteifigkeitsmatrix G geometrische Gesamtsteifigkeitsmatrix v Vektor der Knotenverformungen des Stabes p Vektor der Lastgrößen des Stabes p 0 Vektor der Lastgrößen infolge von Vorverformungen Verschiebungs- und Schnittgrößen Durch das Lösen der Gleichungssysteme (2.5) und (2.6) werden die Verschiebungsgrößen des Stabes berechnet. Da die Gleichungssysteme so wie sie in Kapitel formuliert sind singulär sind, müssen zur Lösung die geometrischen Randbedingungen herangezogen werden. Durch die Berücksichtigung der Lagerungsbedingungen des Stabes kann das Gleichungssystem gelöst und damit die Verschiebungsgrößen bestimmt werden. Zur Lösung des Gleichungssystems wird das Cholesky-Verfahren verwendet, s. Kapitel 8 [4] und [7]. Die Lösung des Gleichungssystems (2.5) liefert die Verschiebungsgrößen nach Theorie I. Ordnung. Das Gleichungssystem (2.6) liefert die Verschiebungsgrößen nach Theorie II. Ordnung. Die Berechnung nach Theorie II. Ordnung setzt eine Berechnung nach Theorie I. Ordnung voraus, da zum Aufstellen

19 2.4 Methode der finiten Elemente 15 der geometrischen Steifigkeitsmatrix die Schnittgrößen N, My, Mz und M benötigt werden. Die Ermittlung der Schnittgrößen erfolgt mit den Gleichungssystemen (2.2) und (2.3). Es wird unterschieden zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen. Die Gleichgewichtsschnittgrößen ( ^ ) wirken in Richtung der unverformten Stabachse gemäß Bild 2.3. Die Nachweisschnittgrößen wirken in Richtung der verformten Stabachse bzw. senkrecht dazu. Für den Fall der Biegung mit Normalkraft in der x-z-ebene ist dieser Zusammenhang in Bild 2.8 prinzipiell dargestellt. Bild 2.8 Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen bei Biegung mit Normkraft in der x-z-ebene Die Nachweisschnittgrößen dienen zur Ermittlung von Spannungen bzw. zum Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit. Zur Klarstellung muss hier erwähnt werden, dass die Nachweisschnittgrößen den in Tabelle 2.1 definierten Schnittgrößen (Spannungsresultierenden) entsprechen, und dass nur für diese Schnittgrößen die üblichen Methoden zur Spannungsermittlung gelten. Für Berechnungen nach Theorie I. Ordnung entsprechen die Nachweisschnittgrößen den Gleichgewichtsschnittgrößen, da die Schnittgrößen am unverformten System ermittelt werden. s = s = K e e e e e v + p (2.7) Bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung werden zunächst die Gleichgewichtsschnittgrößen ( ^ ) mit dem formulierten Gleichungssystem und der darin enthaltenden statischen Gleichgewichtsbedingung ermittelt.

20 16 2 Grundlagen s = K + G v + p + p (2.8) e e e e e 0,e Mithilfe der Verformungen und der Verdrehung sowie deren Ableitungen können aus den Gleichgewichtsschnittgrößen die Nachweisschnittgrößen ermittelt werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass es sich um kleine Verdrehungen handelt (sin(, cos() 1). Die gesamten Transformationsbeziehungen zwischen Gleichgewichtsund Nachweisschnittgrößen können Kapitel 4.8 [4] entnommen werden. Die Schnittgrößen N, My, Mz und Mgehen in die geometrische Steifigkeitsmatrix ein. Standardmäßig berechnet FE-STAB daher zunächst die Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung um daraus die geometrische Steifigkeitsmatrix zu ermitteln mit der die Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgen kann. Da die benötigten Schnittgrößen nur als Näherung nach Theorie I. Ordnung vorliegen, kann die Berechnung nach Theorie II. Ordnung in FE-STAB bei Bedarf wiederholt werden. Ab der ersten Wiederholung der Berechnung werden dann die ermittelten Nachweisschnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zur Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix herangezogen. So kann die Genauigkeit der Ergebnisse iterativ verbessert werden. Die Ausgabe der Schnittgrößen in FE-STAB erfolgt nach der gebräuchlichen Vorzeichenkonvention ( Vorzeichenkonvention 1 ). Positive Schnittgrößen wirken an positiven Schnittflächen entsprechend Bild 2.4 bzw. entsprechend dem Elementende b in Bild 2.3. An negativen Schnittflächen gelten für positive Schnittgrößen die entgegengesetzten Wirkungsrichtungen, so dass die am Elementende a in Bild 2.3 gezeigten Wirkungsrichtungen entsprechend umzudrehen sind. In der Berechnung der Schnittgrößen wird an verschiedenen Stellen im Programm FE-STAB die Annahmen kleiner Verdrehungen verwendet. Die Voraussetzung kleiner Verdrehungen v M, w M und wird bei der Herleitung der virtuellen Arbeit, der Formulierung der Steifigkeitsmatrix sowie bei der Berechnung der Schnittgrößen verwendet. Damit die Näherung sin( & cos() 1 gilt, müssen die Verdrehungen begrenzt werden. Bei baupraktischen Berechnungen sind die Verdrehungen v M und w M in der Regel klein, so dass eine Begrenzung der Verdrehung als unproblematisch angesehen werden kann und somit im Programm entfällt. Die Verdrehung hingegen kann jedoch große Winkel annehmen, insbesondere bei reiner Torsion. Im Programm wird daher die Begrenzung 0,3 (2.9) vorgenommen. Die Programmrechnung bricht ab, sollte dieser Grenzwert überschritten werden.

21 2.4 Methode der finiten Elemente Eigenwerte und Eigenformen Zur Stabilitätsuntersuchung von Stäben werden in der Regel der kleinste positive Eigenwert und die zugehörige Eigenform benötigt. Anstelle von Eigenwert ist im Stahlbau der Ausdruck Verzweigungslastfaktor gebräuchlich. Das Eigenwertproblem lässt sich mit der Methode der finiten Elemente lösen. Die Bedingung zur Bestimmung von cr lautet: cr K + α G v = 0 (2.10) Um die geometrische Steifigkeitsmatrix aufzustellen, müssen die Schnittgrößen bekannt sein. Es erfolgt zunächst eine Ermittlung der Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung. Mit der Bedingung Determinante gleich Null und dem homogenen Gleichungssystem (2.10) kann cr bestimmt werden: cr det K + α G = 0 (2.11) Die Lösung dieser Bedingung erfolgt iterativ mit einem Matrizenzerlegungsverfahren. Anschließend erfolgt die Ermittlung der zugehörigen Eigenform mit der inversen Vektoriteration: K + α G v i+1 = G vi Start (2.12) Ausführliche Erläuterungen zum Matrizenzerlegungsverfahren und zur inversen Vektoriteration sind in Kapitel 8 und 9 [4], [8], [10] und [11] enthalten.

22 18 2 Grundlagen 2.5 Teilschnittgrößenverfahren Für bestimmte Querschnittstypen, siehe Kapitel 3.5, erfolgt in FE-STAB automatisch die Ermittlung der Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3]. Es handelt sich um einen Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit, der im Gegensatz zu den Interaktionsbeziehungen in DIN EN [1] die gleichzeitige Wirkung der acht Schnittgrößen N, My, Mz, M, Vy, Vz, Mxp und Mxs erfasst, die bei allgemeiner Belastung des Querschnitts auftreten. Die Nachweisbedingungen für I-Querschnitte mit beliebigen Schnittgrößen können Kapitel 5.7 [6] entnommen werden. [3] enthält zusätzlich die Nachweisbedingungen für kreisförmige Profile, rechteckige Hohlprofile und Zwei- bzw. Dreiblechquerschnitte jeweils für beliebige Beanspruchungen. Das Teilschnittgrößenverfahren teilt die wirkenden Schnittgrößen in Teilschnittgrößen auf, die örtlich in bestimmten Querschnittsteilen wirken. Die Geometrie des Querschnitts muss daher bekannt sein. Es kann daher bei der Eingabe beliebiger Querschnitte (Typ1) kein Nachweis mit dem Teilschnittgrößenverfahren geführt werden.

23 3.1 Vorbemerkung 19 3 Eingabe 3.1 Vorbemerkung Als Programmoberfläche dient MS-Excel. Im Tabellenblatt Eingabe erfolgt die Eingabe sämtlicher Berechnungsparameter. Bei Eingabe der Querschnittswerte werden automatisch weitere Tabellenblätter geöffnet. Als Maßeinheiten der Eingabewerte müssen kn und cm verwendet werden. 3.2 Berechnungsoption und baustatisches System Bild 3.1 zeigt einen Auszug aus der Eingabemaske von FE-STAB. In den ersten Zeilen Projekt und Kommentar besteht die Möglichkeit die durchgeführte Berechnung kurz zu beschreiben. Bild 3.1 Eingabemaske FE-STAB: Berechnungsoptionen und baustatisches System Theorie Das Programm führt die Tragwerksberechnung wahlweise nach Theorie I. oder II. Ordnung durch. Entsprechend ist in das Feld eine 1 oder eine 2 einzutragen. Wird eine Zahl größer als 2 eingegeben, erfolgt die Berechnung nach Theorie II. Ordnung mehrfach (n-1 mal). Wird eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung durchgeführt und der Eigenwert wird überschritten, d.h. cr < 1, erfolgt keine

24 20 3 Eingabe Ausgabe der Schnittgrößen und Verformungen. Es erfolgt keine automatische Begrenzung der Verformungen. Diese sind vom Anwender zu begrenzen. Werkstoffkennwerte und Teilsicherheitsbeiwerte Die Kennwerte Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Streckgrenze fy,k des verwendeten Werkstoffs sowie der für die Nachweisführung maßgebende Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchbarkeit M werden vom Benutzer vorgegeben. Sie sind konstant über den ganzen Stab. Der Bemessungswert der Streckgrenze ergibt sich zu: fy,d = fy,k / M (3.1) Der Elastizitätsmodul E und der Schubmodul G sind für die Berechnung nach Theorie II. Ordnung gemäß DIN EN [1] nicht durch den Teilsicherheitsbeiwert abzumindern. Eigenwert bzw. Verzweigungslastfaktor cr Die Ermittlung des Eigenwertes cr erfolgt ausschließlich bei einer Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung. Ist die Option cr berechnen gewählt, erfolgt die Berechnung automatisch nach Theorie II. Ordnung. Das Programm ermittelt den 1. positiven Eigenwert, auch wenn dieser kleiner als 1 ist. Die maximale Anzahl der Iterationsschritte zur Bestimmung des Eigenwertes sowie die geforderte Genauigkeit von cr können festgelegt werden. In den meisten Fällen sind ca. 25 Iterationsschritte bei einer Genauigkeit von 10-4 zur Ermittlung von cr ausreichend. Ist die Anzahl der gewählten Iterationsschritte zu gering oder wird kein Eigenwert gefunden, erfolgt eine Fehlermeldung des Programms. Zusätzlich zum Eigenwert kann die zugehörige Eigenform, bzw. Knickbiegelinie, ausgegeben werden. Dafür muss die Option cr berechnen ausgewählt sein. Stababschnitte und Anzahl der Stabelemente Zur Berechnung kann der Stab in maximal 10 Abschnitte mit insgesamt maximal 120 Elementen unterteilt werden. Die Einteilung der Stababschnitte und -elemente ist so vorzunehmen, dass Lager, Einzellasten und Punktfedern jeweils in Knoten (Elementenden) liegen. Dies gilt ebenfalls für die Enden von Gleichstreckelasten und Torsionsstreckenmomenten sowie für die Beschreibung von Vorverformungen. Zur Verdeutlichung ist in Bild 3.2 ein Beispiel dargestellt.

25 3.3 Lager und Punktfedern 21 Bild 3.2 Beispiel zur Einteilung in Stababschnitte und -elemente 3.3 Lager und Punktfedern Lager und Punktfedern können in jedem Knoten des Stabes angeordnet werden. Die Lager und Punktfedern korrespondieren zu den 7 Verschiebungsgrößen in Bild 2.1 und sind entsprechend einzugeben. Liegt die angegeben Stelle x auf keinem Elementende, erfolgt eine Fehlermeldung. Bild 3.3 Eingabemaske FE-STAB: Lager und Punktfedern Die Eingabe der Lagerungsbedingungen erfolgt mittels Kennzahlen in der dafür vorgesehen Tabelle der Eingabemaske, s. Bild 3.3. Die zu verwendenden Kennzahlen sind in Tabelle 3.1 aufgeführt. Ebenfalls ist die Verwendung von Standardlagern möglich. Hierfür sind in der Zeile Standardlager die in Tabelle 3.2 aufgeführten Kennzahlen einzutragen. Lager in Stablängsrichtung ( us ) sind weiterhin separat zu wählen. Bei Verwendung von Standardlagern erfolgt die Aktualisierung der übrigen Zeilen erst nach dem Start der Berechnung.

26 22 3 Eingabe Tabelle 3.1 Kennzahl Kennzahlen zur Festlegung der Lagerungsbedingungen Lagerungsbedingung -1 festes Lager -2 in der 1. Spalte 0 bzw. leere Zelle > 0 festes Lager in allen Knoten, Verformungsgröße im gesamten Stab behindert kein Lager und keine Punktfeder, Verformungsgröße unbehindert Punktfeder, Federsteifigkeit entspricht dem angegebenen Zahlenwert Tabelle 3.2 Kennzahlen zur Festlegung von Standardlagern Kennzahl Lagerungsbedingungen Bezeichnung 3 festes Lager in v, w und -Richtung gelenkige Lagerung und Gabellagerung 5 6 Alle Kontenverschiebungen und -verdrehungen sind behindert, jedoch ohne Wölbbehinderung Alle Kontenverschiebungen und -verdrehungen sind behindert, mit Wölbbehinderung Einspannung mit Gabellagerung Biege- und Torsionseinspannung Zur besseren Übersicht werden die definierten Lagerungsbedingungen in einem Diagramm dargestellt. Es werden die geläufigen Symbole für feste Lager, Gabellager und Einspannungen verwendet. Bild 3.4 zeigt das Diagramm am Beispiel eines gabelgelagerten, symmetrischen Zweifeldträgers. Bild 3.4 Eingabemaske FE-STAB: Lagerungsbedingungen für Zweifeldträger Lager, die zu us korrespondieren wirken im Schwerpunkt S des Querschnitts. Wohingegen Lager, die zur Richtung vm bzw. wm korrespondieren, im Schubmittelpunkt M wirken.

27 3.4 Streckenfedern und Schubsteifigkeiten 23 Das Gleiche gilt für Punktfedern: Wegfedern Cu (in Richtung us) wirken im Schwerpunkt S und Wegfedern Cv und Cw (in Richtung v bzw. w) wirken im Schubmittelpunkt M. Allerdings kann die Wegfeder Cv in z-richtung auch außermittig zum Schubmittelpunkt M angeordnet werden. Die Eingabe der Ordinate des Angriffspunktes erfolgt im Eingabebereich der Streckenfedern, s. Kapitel 3.4, und erfolgt im Bezug auf den Schwerpunkt S. Für die übrigen Punktfedern (Dreh- und Wölbfedern) gilt, dass ihr Einfluss vom Angriffspunkt unabhängig ist. Sie können daher an beliebiger Stelle wirken und es erfolgt keine separate Eingabe des Angriffspunktes. 3.4 Streckenfedern und Schubsteifigkeiten FE-STAB beinhaltet die Möglichkeit kontinuierlich wirkende Aussteifungen infolge Streckenfedern und Schubfestigkeiten zu berücksichtigen. Es wird dabei zwischen folgenden Größen unterschieden: Drehbettung c: Wegfeder cv: Wegfeder cw: Schubfeld S * : Streckendrehfeder um die Stabachse Streckenwegfeder in Richtung y Streckenwegfeder in Richtung z Schubsteifigkeit, die die seitliche Verschiebung behindert Bild 3.5 Eingabemaske FE-STAB: Streckenfedern und Schubfestigkeiten Die Eingabe erfolgt gemäß Bild 3.5. Neben den Bemessungswerten der Feder- und Schubsteifigkeiten können Außermittigkeiten in Richtung der z-achse der Wegfeder cv sowie des Schubfeldes S berücksichtigt werden. Die Außermittigkeiten sind bezogen auf den Schwerpunkt S des Querschnitts anzugeben, s. Bild 3.6. Die Umrechnung auf den Schubmittelpunkt M erfolgt automatisch. Die eingebenden Streckenfedern und Schubfelder wirken konstant über die gesamte Stablänge.

28 24 3 Eingabe Bild 3.6 z-ordinaten außermittiger Streckenwegfedern c v und Schubfelder 3.5 Querschnittswerte In FE-STAB können drei Typen von Querschnitten berücksichtigt werden: Typ1: beliebige Querschnitte Typ2: Zwei- und Dreichblechquerschnitte Typ3: Walzprofile und Hohlprofile, tabellierte Querschnittswerte Bild 3.7 zeigt den Teil der Eingabemaske für die Querschnitte. Es werden die wichtigsten Querschnittswerte angezeigt. Zur Eingabe der Querschnittswerte bzw. Wahl der tabellierten Querschnitte öffnen sich jeweils neue Tabellenblätter. Eine umfangreiche Zusammenstellung der Querschnittswerte ist in den zugehörigen Tabellenblättern Q-Typ1 bis Q-Typ3 enthalten. Für Querschnitte vom Typ 2 und Typ 3 wird der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3] geführt, siehe Kapitel 3.5. Bild 3.7 Eingabemaske FE-STAB: Querschnittswerte Bei Typ1-Querschnitten handelt es sich um beliebige Querschnittsformen. Die Querschnittswerte sind einzeln einzugeben und daher separat zu berechnen. Die Querschnittswerte beziehen sich dabei auf das y-z-hauptachsensystem und sind

29 3.5 Querschnittswerte 25 zwingend in diesem zu berechnen und einzugeben. Bezugspunkte im Querschnitt sind der Schwerpunkt S sowie der Schubmittelpunkt M. Zur Berechnung nach Theorie II. Ordnung werden die Größen ry, rz und r benötigt. Die Berechnung dieser Größen erfolgt gemäß Tabelle 2.3. In Tabelle 3.3 ist zusammengestellt welche Größen für Querschnitte mit verschiedenen Symmetrieeigenschaften benötigt werden. Bei Typ2-Querschnitten handelt es sich um Zwei- bzw. Dreiblechquerschnitte, wobei der Steg stets senkrecht und die Flansche stets horizontal angeordnet sind. Zur Eingabe der Querschnitte wird die Querschnittsgeometrie im Bezugs- Koordinatensystem definiert. Das Bezugs-Koordinatensystem befindet sich dabei in der Mitte des Stegsbleches. Es ist darauf zu achten, dass keine Diskontinuitäten bei der Eingabe der Bleche entstehen. Tabelle 3.3 Querschnittswerte r y, r z und r für verschiedensymmetrische Querschnitte Bei Typ3-Querschnitten handelt es sich um Walzprofile und vergleichbar geschweißte Querschnitte sowie kreisförmige und rechteckige Hohlprofile. Für Standardquerschnitte enthält das Programm eine umfangreiche Datenbank der Querschnittswerte. Folgende Standardquerschnitte sind darin enthalten: IPE, IPEo, IPEv, IPEa, HEAA, HEA, HEB, HEM, HL, HD, HP, UAP, UPE, gleichschenklige und ungleichschenklige Winkel sowie warm- und kaltgefertigte kreisförmige, quadratische und rechteckige Hohlprofile. Zusätzlich können in der Registerkarte Freies Profil I-, U- und L-Profile sowie kreisförmige und rechteckige Hohlprofile frei definiert werden. Hierfür sind die Querschnittsabmessungen und Blechdicken sowie Ausrundungsradien einzugeben. So können auch geschweißte Profile berücksichtigt werden. Die Ausrundungsradien sind dann zu Null zu setzen. Für weiterführende Informationen zum Thema Querschnittsnormierung und Ermittlung von Querschittskennwerten siehe Kapitel 3 Kindmann/Krüger [6] sowie Kapitel 3 Kindmann/Frickel [3].

30 26 3 Eingabe 3.6 Einzellasten Die Eingabe von Einzellasten und Einzellastmomenten erfolgt in der Tabelle Einzellasten, s. Bild 3.8. In der Zeile Stelle x wird der Angriffspunkt der Einzellast bzw. des Einzellastmoments in Richtung der Stablänge definiert. Der Angriffspunkt muss in einem Elementknoten liegen. Die Wirkungsrichtung und Vorzeichen der Lastgrößen entsprechen Bild 2.3 und Bild 2.5. Die Einzellasten Fx, Fy und Fz können sowohl in y- als auch in z-richtung exzentrisch zum Schwerpunkt eingegeben werden. Die Einzellastmomente wirken unabhängig vom Lastangriffspunkt. Die Transformation des Lastangriffspunktes von Fy und Fz auf den Schubmittelpunkt M erfolgt automatisch. Bild 3.8 Eingabemaske FE-STAB: Einzellasten 3.7 Gleichstreckenlasten und Torsionsstreckenmomente Gleichstreckenlasten und Torsionsstreckenmomente werden in der entsprechenden Tabelle eingegeben, s. Bild 3.9. Bereichsweise können konstante Gleichstreckenlasten qz, qy und qx sowie Streckentorsionsmomente mx berücksichtigt werden. Die Wirkungsrichtung und der Lastangriffspunkt entspricht Bild 2.3. Die Bereiche der wirkenden Streckenlasten in Stabslängsrichtung werden in den Spalten von x und bis x definiert. Bereichsanfang und -ende müssen in einem Elementknoten liegen. Für definierte Bereiche ist nur eine Eingabe zulässig.

31 3.8 Vorverformungen 27 Bild 3.9 Eingabemaske FE-STAB: Streckenlasten und Torsionsstreckenmomente Es kann eine Außermittigkeit der Querlasten qz und qy in y- und z-richtung berücksichtigt werden. Die Ordinaten z und y beziehen sich dabei auf den Schwerpunkt S. Die Transformation auf den Schubmittelpunkt M erfolgt vom Programm. Durch dieses Vorgehen können unplanmäßige Torsionseffekte bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden. 3.8 Vorverformungen Zur Berücksichtigung geometrischer Ersatzimperfektionen können Vorverformungen angegeben werden. Sie dienen zur Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung und zur Nachweisführung gegen Stabilitätsversagen. Vorverformungen können entweder in Form von Geraden und Parabeln oder in Form von Geraden und Sinushalbwellen definiert werden. Hierfür sind die entsprechenden Kennzahlen 0, 1 bzw. 2 in die vorgesehene Zelle einzutragen, s. Bild Bild 3.10 Eingabemaske FE-STAB: Vorverformungen Es können Vorverformungen in y- und z-richtung sowie Vorverdrehungen um die x- Achse eingegeben werden. Das Aufbringen der Vorverformungen erfolgt abschnittsweise in Stablängsrichtung. Die Indices A, E und M kennzeichnen den

32 28 3 Eingabe Anfang, das Ende und die Mitte des betrachteten Stababschnitts. Anfang und Ende eines Stababschnittes müssen in einem Elementknoten liegen. Pro definierten Stababschnitt ist nur eine Eingabe zulässig, d.h. geradlinige und gekrümmte Vorverformungen müssen in einem Zug eingegeben werden. Ebenfalls dürfen sich angrenzende Stababschnitte nicht überlappe. Bild 3.11 zeigt eine beispielhafte Vorverformung w in z-richtung wie sie im Programm zu definieren ist. Bild 3.11 Eingabe von Vorverformungen 3.9 Start der Berechnung Nach erfolgter Eingabe aller notwendigen Werte kann die Berechnung mit dem Button Berechnung starten gestartet werden. Sollten Unstimmigkeiten bei den Eingabewerten vorliegen, erfolgt i.d.r. eine Fehlermeldung und die Berechnung wird abgebrochen. Zusätzlich ist es möglich Eingabeblätter zu speichern und einzulesen. Dies geschieht mit dem zugehörigen Button. Die zusätzlichen Buttons dienen zur Navigation im Eingabeblatt.

33 3.9 Start der Berechnung 29 4 Ausgabe Nach erfolgter Berechnung werden die Ergebnisse in verschiedenen Tabellenblättern ausgegeben. Tabellenblatt Ausgabe Im Tabellenblatt Ausgabe werden die Eingabe sowie die wesentlichen Ergebnisse der Berechnung dargestellt, so dass es möglich ist die durchgeführte Berechnung eindeutig nachzuvollziehen. Im Aufbau ähnelt es stark dem Tabellenblatt Eingabe. Es ist so formatiert, dass die Ausgabe der Ergebnisse ohne weitere Skalierung auf zwei Seiten des Formats DIN-A4 möglich ist. Neben den Eingabewerten werden die ermittelte Auflager- und Federkräfte ausgegeben. Erfolgt eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung wird der ermittelte Eigenwert cr angezeigt. Bei der Verwendung von Typ2- bzw. Typ3-Querschnitte werden sowohl die maximale Querschnittsausnutzung sowie der Verlauf der Querschnittsausnutzung gemäß Teilschnittgrößenverfahren über die Stablänge ausgegeben. Zusätzlich werden die benötigten Rechenzeiten ausgegeben. Tabellenblatt Schnittgrößen Im Tabellenblatt Schnittgrößen erfolgt die Ausgabe der berechneten Schnittgrößen (in den Knoten) in tabellarischer und in grafischer Form über die bezogene Stablänge x/l. Es wird unterschieden zwischen Nachweisschnittgrößen und Gleichgewichtsschnittgrößen, siehe Kapitel Die Nachweisschnittgrößen werden zur Ermittlung der Spannungen und zum Nachweis der Querschnittstragfähigkeit verwendet. Die Gleichgewichtsschnittgrößen beziehen sich auf die unverformte Stabachse und resultieren direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen der finiten Elemente Methode. Erfolgt die Berechnung nach Theorie I. Ordnung entsprechen die Nachweisschnittgrößen den Gleichgewichtsschnittgrößen. Ergibt die Berechnung eine Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1), erfolgt keine Ausgabe der Schnittgrößen. Tabellenblatt Verformungen Im Tabellenblatt Verformungen werden die ermittelten Knotenverformungen aller sieben Knotenfreiheitsgrade ausgegeben. Die Ergebnisse werden tabellarisch ausgegeben. Zusätzlich erfolgt die graphische Ausgabe der Verformungsfunktionen v(x), w(x) und (x). Das Tabellenblatt enthält außerdem die Funktion der angesetzten Vorverformungen in tabellarischer sowie in grafischer Form.

34 30 4 Ausgabe Ergibt die Berechnung eine Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1), erfolgt keine Ausgabe der Verformungen. Tabellenblatt Eigen Das Tabellenblatt Eigen enthält Angaben über den errechneten Wert sowie die iterative Ermittlung des Eigenwertes cr. Es werden das Intervall, in dem der Eigenwert mit der gewählten Genauigkeit liegt, und der Verlauf der iterativen Eigenwertermittlung angezeigt. Zusätzlich werden die zugehörigen Eigenformen v(x), w(x) und (x) ausgegeben. Die Darstellung der Eigenformen wird dabei jeweils auf die Maximalordinate 1 normiert. Die Verhältnisse der 3 Eigenformfunktionen untereinander werden durch den Wert Faktor dargestellt. Die Ermittlung des Eigenwertes sowie der Eigenform erfolgt nur, wenn diese Option im Eingabeblatt ausgewählt wird. Tabellenblatt TSV Im Tabellenblatt TSV erfolgt die Ausgabe der Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit in jedem Knoten des Stabes in tabellarischer und in grafischer Form. Die Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit bezieht sich auf die berechneten Nachweisschnittgrößen. Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit erfolgt mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3]. Verfahrensbedingt erfolgt die Berechnung ausschließlich für Querschnitte vom Typ 2 und Typ 3, siehe Kapitel 3.5. Tabellenblatt Federn Im Tabellenblatt Federn werden die aufgenommenen Kräfte der Streckenfedern und des Schubfeldes ausgegeben. Tabellenblatt Q-Typ1, Q-Typ2, Q-Typ3 In den Tabellenblättern Q-Typ1 bis Q-Typ3 sind umfangreiche Informationen zu den Querschnittswerten des gewählten Querschnitts aufgeführt.

35 5.1 Vorbemerkung 31 5 Berechnungsbeispiele 5.1 Vorbemerkung In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang und die theoretischen Grundlagen des Programms FE-STAB erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen eine detaillierte Beschreibung der Dateneingabe und eine Beschreibung der wichtigsten Aspekte der Ausgabe der Ergebnisse. Zur Veranschaulichung von FE-STAB werden in diesem Kapitel 3 Berechnungsbeispiele gezeigt: Biegedrillknicken eines Zweifeldträgers Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens Rahmenriegel eines Zweigelenkrahmens Die Beispiele sollen den Umfang des Programms zeigen und die Eingabe von baustatischen Systemen in FE-STAB verdeutlichen. Der Fokus liegt dabei auf der Berechnung und Nachweisführung mit FE-STAB. Da die Beispiele dem Buch Stahlbau - Teil 1 [6] entnommen sind, sind dort weitere Einzelheiten zu den Beispielen zu finden. Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf den Tabellenblättern, die in Kapitel 4 erläutert wurden. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur ausgewählte Teile der Ausgabe wiedergegeben. 5.2 Biegedrillknicken eines Zweifeldträger In Bild 5.1 ist ein gabelgelagerter Zweifeldträger dargestellt, der durch eine vertikale Gleichstreckenlast qz belastet wird, die am Obergurt des Trägers angreift. Aus der Gleichstreckenlast qz resultiert ein Biegemoment My. Der Träger ist in den Feldern weder seitlich gestützt, noch ist die Verdrehung behindert. Der Träger ist somit gegen den Stabilitätsfall Biegedrillknicken nachzuweisen. Bild 5.1 Zweifeldträger IPE 400

36 32 5 Berechnungsbeispiele Nähere Einzelheiten zu diesem Beispiel können Kapitel in [6] entnommen werden. Gemäß DIN EN [1] kann der Nachweis auf zwei Arten geführt werden. Der Nachweis kann mit dem Abminderungsfaktor für das Biegedrillknicken LT gemäß Kapitel [1] erfolgen. Zur Ermittlung von LT ist es notwendig das ideale Biegedrillknickmoment Mcr,y zu berechnen. Da in diesem Beispiel eine alleinige Biegebeanspruchung My vorliegt, kann Mcr,y mit dem in FE-STAB ermittelten 1. Eigenwert des Systems cr berechnet werden. Es ergibt sich zu: M cr,y = αcr max M y = 1, ,8 = 290,3 knm Die weitere Nachweisführung mit dem modifizierten Abminderungsfaktor LT,mod führt zu einem Bemessungswert der Biegedrillknickbeanspruchbarkeit von My,b,Rd 180 knm. Somit liegt eine Auslastung des Bauteils von ca. 120 % vor. Der Nachweis ist nicht erfüllt. Alternativ kann der Biegedrillknicknachweis mit einer Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen geführt werden. Die zum ermittelten 1. Eigenwert cr = 1,333 zugehörige Eigenform ist bezüglich v(x) und (x) antimetrisch in beiden Feldern des Zweifeldträgers. Die ermittelte Eigenform zeigt, dass zum bemessungsrelevanten 1. Eigenwert des Systems der Stabilitätsfall Biegedrillknicken korrespondiert (v(x) 0 und (x) 0). Für die Berechnung mit dem Ersatzimperfektionsverfahren wird somit eine antimetrische Vorkrümmung v0(x) in Form einer Parabel angesetzt. Gemäß [1] ergibt sich für das Verhältnis h/b = 400/180 = 2,22 > 2 und plastische Querschnittsausnutzung v0 = L/150 = 600/150 = 4,0 cm. Der so geführte Nachweis zeigt eine Ausnutzung des Bauteils von 99,9 % in Höhe des mittleren Auflagers. Somit ist der Nachweis gegen Stabilitätsversagen erfüllt. Bild 5.2 zeigt die wesentlichen Ergebnisse der Tragwerksberechnung des Systems mit FE-STAB. Bei den dargestellten Schnittgrößen handelt es sich um die Nachweisschnittgrößen nach Theorie II. Ordnung.

37 5.2 Biegedrillknicken eines Zweifeldträger 33 Bild 5.2 Nachweis des Zweifeldträgers mit dem Ersatzimperfektionsverfahren

38 34 5 Berechnungsbeispiele

39 5.2 Biegedrillknicken eines Zweifeldträger 35

40 36 5 Berechnungsbeispiele

41 5.2 Biegedrillknicken eines Zweifeldträger 37

42 38 5 Berechnungsbeispiele

43 5.3 Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens Kapitel 11.5 [6] enthält eine ausführliche Tragwerksberechnung der wesentlichen Bauteile einer einschiffigen Lagerhalle. Die Rahmen der Halle sind als Zweigelenkrahmen mit Vouten ausgeführt, was eine im Stahlbau übliche Konstruktionsweise darstellt. An dieser Stelle wird der Nachweis der Rahmenstiele gegen Stabilitätsversagen mit dem Ersatzimperfektionsverfahren in FE-STAB gezeigt. Vorausgegangen ist bereits der Nachweis der Tragfähigkeit des Zweigelenkrahmens unter Berücksichtigung des Biegeknickens in der Rahmenebene. Somit muss noch das Biegeknicken um die schwache Achse sowie das Biegedrillknicken des Rahmenstiels ausgeschlossen werden. Bild 5.3 zeigt den aus dem Gesamtsystem herausgeschnittenen Rahmenstiel mit den bemessungsrelevanten Einwirkungen. Die Einwirkungen ergeben sich aus der Schnittgrößenermittlung des Rahmens nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung der maßgebenden Lastfallkombination. Ebenfalls dargestellt sind die anzusetzenden Funktion der Vorverformung v0(x), die ermittelten Nachweisschnittgrößen sowie der Verlauf der Querschnittsausnutzung Ed/Rd. Bild 5.3 Stiel des Zweigelenkrahmens und Nachweis mit dem Ersatzimperfektionsverfahren Da der Rahmenstiel planmäßig sowohl durch eine Drucknormalkraft N als auch durch ein Biegemoment My beansprucht wird, ist zunächst zu untersuchen welcher Stabilitätsfall maßgebend für die Nachweisführung ist. Die zum 1. Eigenwert cr = 3,44 korrespondierende Eigenform zeigt, dass Biegedrillknicken maßgebend wird, da v(x) 0 und (x) 0. Für das Stützenprofil HEA 320 mit dem Verhältnis h/b = 310/300 < 2 wird gemäß Tabelle NA.2 [1] entsprechend der Eigenform eine

44 40 5 Berechnungsbeispiele einwellige Vorkrümmung v0 = L/200 = 720/200 = 3,6 cm angesetzt, so dass der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit folgen kann. Die Berechnung nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung der Vorkrümmung v0 führt neben der planmäßigen Beanspruchung ans Normalkraft N und Biegung My zu weiteren Schnittgrößen aus Biegung um die schwache Achse Mz und Torsion Mxp, Mxs und MDie für die Tragfähigkeit maßgebenden Schnittgrößen sind in Bild 5.3 dargestellt. Der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit führt zu einer maximalen Auslastung des Stiels von 95,5 % am Stützenkopf. Folglich kann der Stabilitätsnachweis mit dem Ersatzimperfektionsverfahren erfolgreich geführt werden.