Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen.

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1 Über die sog. «Ein-Frnken-pro-Todesfll» -Kssen. Eine versicherungstechnische Studie von HEINRICH JECKLIN (Zürich). (AIs Mnuskript eingegngen m 25. Jnur 1940.) In der versicherungstechnischen Litertur finden die sog. «Ein- Frnken-pro-Todesfll»-Kssen so gut ie keine Erähnung, obohl mn ihnen in der Sterbekssen-Prxis hie und d begegnet. Prof. Dums bezeichnet diese Kssen in seiner schönen, für nichtmthemtischen Leserkreis bestimmten Abhndlung «Réprtition ou Cpitlistion» ls nch einem der Umlge nlogen Prinzip ufgebute Institutionen: «Wenn ein Mitglied stirbt, bezhlt jeder Überlebende n die Ksse einen bestimmten Betrg, z. B. einen Frnken, und ds Totl der Beträge bildet die den Hinterlssenen zustehende Sterbesumme». Grundsätzlich sind bei derrtigen Sterbekssen mit den durch den jeeiligen Todesfll eines Kssenmitgliedes usgelösten Beiträgen drei Modlitäten denkbr: ) Es ird pro Todesfll von jedem Überlebenden ein fester Betrg eingehoben; ds Totl bildet die Sterbesumme, die von Fll zu Fll verschieden hoch usfllen knn. b) Es ird eine Sterbesumme bestimmter Höhe usbezhlt und die erforderlichen Beiträge uf die Überlebenden umgelegt, s vrible Beiträge zur Folge ht. c) Sterbesumme soohl ls Beiträge sind zum vorus fest vereinbrt. Bei den Fällen ) und b) hndelt es sich offensichtlich um eine einfche Umlge. Ist beim einzelnen Sterbefll die Zhl der Überlebenden L, der Beitrg P und die Sterbesumme S, so bestimmt sich

2 122 Vierteljhrsschrift der Nturf. Gesellschft in Züric bei ) die jeeilige Sterbesumme ls S= L P, und bei b) der jeeilige Beitrg ls P= L. Dbei ist n sich gleichgültig, ob es sich um eine offene, d. h. sich erneuernde, oder um eine geschlossene Gesmtheit hndelt. In leztterem Flle ird sich llerdings bld die freiillige Auflösung der Ksse ergeben egen Sinkens der Summe resp. Steigens der Prämie. Aber uch im Flle der offenen Gesmtheit muss es von den Mitgliedern zumindest ls scherer Nchteil empfunden erden, dss hinsichtlich der Todesfllsumme bez. des Prämienufndes die Höhe der jeeiligen Leistung nicht feststeht. Der Fll c) dgegen liegt nicht so einfch und knn ohl einiges theoretisches Interesse benspruchen, enn es sich uch nur um mthemtische Enticklungen gnz elementrer Ntur hndelt. Hier ird im llgemeinen keine Umlge vorliegen, d Prämie und Sterbesumme fest vorusgesetzt sind und dher bei vribler Mitgliederzhl eine Reserve den Ausgleich schffen muss. Im Gegenstz zur geöhnlichen Sterbeksse muss sich ls Chrkteristikum ergeben, dss die Prämie von der bsoluten Höhe der Mitgliederzhl bhängig ist. Es sei die Zhl der Mitglieder zu Beginn des k. Jhres mit Hk bezeichnet. Jedes überlebende Mitglied ht pro Sterbefll die fixe Prämie P zu entrichten. Weiter sei ngenommen, dss die Todesfälle und Neueintritte sich innerhlb des Jhres gleichmässig verteilen. Auf jeden Todesfll des k. Jhres sollen Zh Neueintritte entfllen, elche sofort (geissermssen ls Eintrittsgeld) den Betrg P bezhlen. An Prämien gehen dnn innerhlb eines Jhres offenbr ein: beim ersten Todesfll: P (Hh 1+Zh) = P 11-1k, beim zeiten Todesfll: P (ihk-1 + Zk)=P 2Hh=P (Hk- 2-F-2 Zk), beim dritten Todesfll: P (2Hh- 1+Zh)=P 311h= P (Hk-3 +3Zk), us. Finden im Lufe des Jhres Tk Todesfälle sttt, so ist die Prämieneinnhme des k. Jhres lso P Th (Hh (1 Zk) Th / Ist die Sterbesumme uf S ngesetzt, so finden im selben Jhre S Th Auszhlungen sttt. Bezeichnen ir mit n die Duer der Versicherungseinrichtung in Jhren (obei bei unbeschränkter Duer n = N zu setzen ist)

3 Jhrg. 85. H. JEcKLIN. Über die sog. «Ein-Frnken-pro-Todesfll»-Kssen. 123 und ird die vereinfchende Annhme gemcht, dss Ein- und Auszhlungen durchschnittlich per Jhresmitte erfolgen, so ist P us der Gleichsetzung der Brerte von Ein- und Auszhlungen zu bestimmen: Y -L 7! (1) p k Tk(Hk (1_ Z).T 2 ' 1) k vk = S 21k Tk. vk '^z Ist der Altersufbu der jeeiligen Gesmtheit Hit beknnt, derrt, dss lso H = x L`h) ist, obei die Lok) die Besetzungsziffern der einzelnen Altersklssen (mit dem untersten Alter ) zu Beginn des k. Jhres drstellen, und ird eine bestimmte Sterbetfel ls unveränderlich geltend vorusgesetzt, so ist die jährliche Erneuerungszhl gegeben durch (2) Zk Tk = x Lxk + 1 ) Z.. L?) px = Hk +1 H iz Zx L(..k) q. = =Hk+ 1 Hk Tk. (qx bedeutet die einjährige Sterbens-, p x 1 q l die einjährige Überlebenshrscheinlichkeit des x-jährigen.) Es hndelt sich hier lso um gnz nloge Überlegungen ie bei den ähnlich gelgerten Theoremen der Bevölkerungsvorusberechnung für Sozilversicherungskssen und dergl.1) Prktisch ist es nicht möglich, den jeeiligen künftigen Umfng und Altersufbu einer beliebigen offenen Personengesmtheit zu kennen, mn ist gezungen, geisse präzisierende Annhmen zu mchen. So könnte z. B. die zeitliche Veränderung von H durch eine beknnte Funktion f (k) ls Wchstumsfktor festgelegt sein, dergestlt, dss 14+1= Hk f (k), und usserdem gemäss einer oft gemchten Supposition ngenommen erden, dss, bgesehen vom Eröffnungsbestnd, Neueintritte nur zum Alter erfolgen. Die Zhl der jährlichen Neueintritte äre dnn ie folgt festgelegt: (3) Z T = Lk + 1) = H k k /z-^ 1 U L(k + 1) = H LU. L(k). ^ x k f(k) ^^` x p Im einzelnen Fll müsste die Funktion f (k) plusibel geählt erden, und es äre dmit die Berechnung des Beitrges P theoretisch möglich. In der Prxis dürften sich llerdings so mnnigfche Schierigkeiten ergeben, dss die Verendung eines 1) Mn vergl. z. B. W. FRIEDLI: Bevölkerungssttistische Grundlgen zur Alters- und Hinterlssenenversicherung in der Scheiz". Bern 1928.

4 124 Vierteljhrsschrift der Nturf. Gesellschft in Zürich derrtigen Prämiensystems sich ls bsolut ungeeignet ereisen müsste. Besonders einfch gestltet sich die Schlge, enn gefordert ird, dss die Versichertengesmtheit einen konstnten Umfng hben soll. Es ist dnn lso Hk = H= konst., s im vorherigen gleichbedeutend ist mit f (k)=1. Bezüglich der jährlichen Erneuerungszhl muss dnn gelten: (4) Zk Trz H mix LT px = H x L`11) (1 q,) 2x LT q.. =T,I, Also folgt Zk = 1, d. h. jeder Abgng zufolge Todes ird sofort durch einen Neueintritt ettgemcht. Die Bestimmungsgleichung (1) für die Prämie vereinfcht sich uf P H S, der Beitrg ist lso hier eine reine Umlge der konstnten Sterbesumme S uf die konstnte Mitgliederzhl H. Dies ist offenbr die Schlge, ie sie der ursprünglichen primitiven Idee der Gründer von «Ein-Frnkenpro-Todesfll»-Kssen entspricht. Es ist nicht nötig zu betonen, dss ein derrtiges Finnzsystem usserordentlich lbil und die strikte Durchhltung kum möglich ist. Die Zhl der vom einzelnen Mitglied jährlich zu entrichtenden Beiträge Th P schnkt ntürlich mit der Änderung des Altersufbues von H. Wird uch hier ieder die spezielle Annhme getroffen, dss die Neueintretenden einheitlich ds Alter ufeisen sollen, so ird die Gesmtheit in ihrem Altersufbu einem Behrrungszustnd entgegenstreben und schliesslich eine ntürliche sttionäre Gesmtheit drstellen in dein von SAXER beschriebenen Sinne. 2) Es ist dnn H= c 2x 1 x (orin c eine Konstnte und lr die Lebenden zhlen der vorusgesetzten Absterbeordnung bedeuten), die jähr liche Erneuerungszhl ist T= c 2x lx qx = c 2x dx=c l, und der einzelne Beitrg P c l. Die vom Einzelmitglied pro Jhr x l S zu mchende Aufendung stellt sich uf T P= c l - P lx Dies ist ber die Nettoprämie für eine lebenslängliche Todesfllversicherung mit Eintrittslter und unter Nullsetzung des tech- 2) W. SAXER: Zur Frge des Behrrungszustndes". Mitteilungen der Vereinigung scheizerischer Verslcherungsmthemtiker, Heft 27.

5 Jhrg. 85. H. JECKLIN. Über die sog. «Ein-Frnken-pro-Todesfll»-Kssen. 125 nischen Zinsfusses. Es zeigt sich hier ieder ekltnt, um ieviel ungünstiger sich die Umlge für die Versicherten schlussendlich stellt ls ds Kpitldeckungsverfhren. Abschliessend soll der Fll betrchtet erden, dss keine Neueintritte stttfinden. Es ist lso Zh = O, und der Versichertenbestnd stellt eine geschlossene, sich durch Absterben uflösende Gesmtheit dr. Die Bestimmungsgleichung (1) vereinfcht sich hier zu (5) 2 p' kth ' (H/?_ Tk 1 2 J 1 vh '12=S >7k Th' vk_vz Hiebei ist Hk=2x L4k> = >'x L 1» und T x M> q +h Nehmen ir insbesondere n, dss es sich um gleichltrige Mitglieder, lso geissermssen um einen Jhrgängerverein, hndle, so knn voriger Gleichung die Gestlt gegeben erden p. h L+k- 1 L+k + L1 Uk /_^ +k-1 ±k )' 2 V = S k L+ k-1 L+h) Uh ^. 1 Nun ist hier L+k = c l+k, obei e = L l L und L±_h-1 L+k=C (l+k I l+k)= l d+h- 1. Mithin knn eiter umgeformt erden uf (Ereiterung mit l U+ ) P 'h d+h-1 (L+Iz1 + L +h 1). U+k =2 S > k d+k-1 U+iz, 1 1 respektive, unter Benützung der üblichen Symbole der Kommuttionszhlen, L ^ _ p' k (c } Iz 1 li k-1 + ç-^ k-1 ' l } k l ç+k-1 oder uch = 2S 2k C+k L P.. 'k (V D+h-1 l+h_ 1 D + h l+k) M I =2. S M. l

6 126 Vierteljhrsschrift der Nturf. Gesellschft in Zürich Setzt mn, ie oft gebräuchlich, D l = D, und 2'1' +k,, o so erhält mn schliesslich (6) P S W 2 M L v N, N+1 + 1) l M Mn ersieht uch hier ieder deutlich die Abhängigkeit der Beitrgshöhe vom bsoluten Personenumfng der Ksse (bez. der nfänglichen Mitgliederzhl L). Die Versicherungskombintion ist im vorliegenden Flle dem Wesen nch eine lebenslängliche Todesfllversicherung, fussend uf dem Kpitldeckungsverfhren, mit fllender Prämie, derrt, dss die Jhresprämie den bsoluten jährlichen Totenzhlen der Gesmtheit proportionl ist (mit Prortzhlung im Todesjhr bis zum eigenen Tode). Es ist einleuchtend, dss eine derrtige Regelung für prktische Belnge, insbesondere uch zur Aufstellung der technischen Bilnzen, ungeeignet ist. Die nch den üblichen Prinzipien berechnete Todesfllversicherung, mit konstnter oder nch einfchem Gesetz vribler Prämie, erfüllt den Zeck einfcher und besser. In kurzer Zusmmenfssung können ir feststellen, dss die Ein-Frnken-pro-Todesfll"-Kssen ls Fürsorge-Einrichtung bzulehnen sind.