2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen.

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1 2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. In diesem Kapitel beginnen wir mit der systematischen ufstellung der Euklidischen Geometrie wie man sie in [Euklid, Elemente] findet. ls erstes Lehrstück dieser Systematik werden wir in diesem Kapitel sehen, wie Euklid die Kongruenzsätze aus der xiomatik der Euklidischen Geometrie ableitet. Es gibt hier ein paar kleine Eigenheiten wie z.. der Versuch, wirklich alles definieren zu wollen. Es wird z.. auch versucht zu definieren was ein Punkt und was eine Gerade ist. Heute steht man (nach Hilbert) auf dem Standpunkt, daß Punkt und Gerade in der Euklidischen Geometrie undefinierbare Grundbegriffe sind. ber davon abgesehen ist die Herleitung der Kongruenzsätze heute immer noch gültig. Was uns hier besonders interessiert ist die Tatsache, daß Euklid die Kongruenzsätze auf einem sehr fundamentalen Niveau herleitet. Natürlich wird in der Euklidischen Geometrie nicht mehr gemessen, nachdem ja von den Pythagoräern festgestellt worden ist, daß nicht alle geraden Strecken meßbar sind. ber genauso bemerkenswert ist vielleicht die Tatsache, daß Euklid zur Herleitung der Kongruenzsätze auch nicht die Existenz und Eindeutigkeit von Parallelen voraussetzt. Es gibt also in diesem Teil noch keine Parallelverschiebung. Wir werden erst im nächsten Kapitel sehen, wie Euklid die Existenz von Parallelen herleitet. ie Kongruenz stellt eine gewisse Äquivalenzrelation zwischen den geometrischen Objekten der Euklidischen Ebene dar. Eine andere, schwächere Äquivalenzrelation, an die man an dieser Stellle auch denken könnte, ist die Flächengleichheit. Mit der beschäftigen wir uns im übernächsten Kapitel. Wir beginnen mit der Euklidischen xiomatik auf der alle rgumente in der Euklidischen Geometrie letztlich beruhen. Für eine moderne, aber auch sehr viel abstraktere Fassung dieser xiomatik siehe [Hilbert, Grundlagen der Geometrie] oder für eine erste Einführung meine Skripte [Johannson, Geometrie].

2 30. Geometrie (L2) 1. ie xiomatische Grundlegung der Euklidischen Geometrie. Wir wollen darauf achten, ob Euklid bei der Herleitung der Kongruenzsätze das Parallelenaxiom oder gar die Existenz von Paralellelen benutzt. nsonsten wollen wir natürlich sehen wie die Kongruenzsätze bewiesen, d.h. streng logisch aus den xiomen der Euklidischen Geometrie hergeleitet werden. n dieser Stelle bemerken wir noch, daß die Euklidischen xiome (die wir hier kennenlernen und für das Folgende zugrunde legen wollen) eine bestimmte, uns zwar anschaulich sehr vertraute, aber doch nicht einzig mögliche Geometrie, beschreiben. Es gibt im Gegenteil noch sehr viel andere sinnvolle Geometrien. ls besonders wichtige eispiele werden wir später noch die sphärische und die hyperbolische Geometrie behandeln. ie Euklidische Geometrie ist unter diesen Geometrien durch die Gültigkeit des Parallelenaxioms ausgezeichnet. as Parallelenaxiom lautet im Originaltext (deutsche Version): 5. Gefordert soll sein daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. ie anderen xiome sind viel kürzer. Sie lauten: Gefordert soll sein: 1. dass man von jedem Punkte nach jedem Punkte die Strecke ziehen kann. 2. dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend verlängern kann. 3. dass man mit jedem Mittelpunkt und bstand den Kreis ziehen kann. 4. dass alle rechten Winkel einander gleich sind. Zu den obigen xiomen gehören noch verschiedene efinitionen. Wie z.. 5. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade linie gestellt, einander gleiche Winkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter. 23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Richtungen ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen. Hier ist die vollständige Liste aller efinition, Postulate und xiome aus [Euklid].

3 2. ie ufstellung der Euklidischen Geometrie. efinitionen. 2 Kongruenzsätze Ein Punkt ist, was keine Teile hat, 2. Eine Linie breitenlose Länge. 3. ie Enden einer Linie sind Punkte. 4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt. 5. Eine Fläche ist, was nur Länge und reite hat. 6. ie Enden einer Fläche sind Linien. 7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmässig liegt. 8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene i gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen. 9. Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig. 10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden Winkel ein Rechter. 11. Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist, 12. Spitz, wenn kleiner als ein Rechter. 13. Eine Grenze ist das, worin etwas endigt. 14. Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfasst wird. 15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (ogen) heißt] umfasste Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreis] laufende Strecken einander gleich sind; 16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt. 17. Ein urchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft den Kreis zu halbieren. 18. Ein Halbkreis ist die vom urchmesser und dem durch ihn abgeschnittenen ogen umfasste Figur. [und Mittelpunkt ist beim Halbkreis derselbe Punkte wie beim Kreis].

4 32. Geometrie (L2) 19. Geradlinige Figuren sind solche, die von Srecken umfaßt werden, dreiseitige die von drei, vierseitige, die von vier, vielseitige, die von mehr als vier Strecken umfaßten. 20. Von den dreiseitigen Figuren ist ein gleichseitiges reieck jede mit drei gleichen Seiten, ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten, ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten. 21. Weiter ist von den dreiseitigen Figuren ein rechtwinkliges reieck jede mit einem rechten Winkel, ein stumpfwinkliges jede mit einem stumpfen Winkel, ein spitzwinkliges jede mit drei spitzen Winkeln. 22. Von den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist, ein längliches Rechteck jede, die zwar rechtwinklig aber nicht gleichseitig ist, ein Rhombus jede, die zwar gleichseitig aber nicht rechtwinklig ist, ein Rhomboid jede, in der die gegenüberliegenden Seiten sowohl als Winkel einander gleich sind und die dabei weder gleichseitig noch rechtwinklig ist; die übrigen vierseitigen Figuren sollen Trapeze heißen, 23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen. Postulate. Gefordert soll sein: 1. ass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann, 2. ass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann, 3. ass man mit jedem Mittelpunkt und bstand den Kreis zeichnen kann, 4. ass alle rechten Winkel einander gleich sind, 5. Und dass man, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.

5 2 Kongruenzsätze 33 xiome. 1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich. 2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich. 3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich. 4. Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen ungleich. 5. ie oppelten von demselben sind einander gleich. 6. ie Halben von demselben sind einander gleich. 7. Was einander deckt, ist einander gleich. 8. as Ganze ist größer als der Teil. 9. Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum. emerkung. amit ist das System der Euklidischen Geometrie festgelegt. Es ist für das Folgende sehr wichtig von vornherein hervorzuheben, dass man in der griechischen Mathematik nicht gemessen (man hatte hierfür auch gar nicht die Möglichkeiten. Ein Zahlsystem wie heute gab es bei den Griechen nicht). lso Strecken hatten keine Längen, da Längen nicht gemessen i werden konnten. Ebene Figuren hatten keinen Flächeninhalt, da Flächeninhalte nicht gemessen werden konnten.

6 34. Geometrie (L2) 3. Zwei Grundkonstruktionen. Im Folgenden werden wir einige eweise des Euklidischen Lehrbuchs vorstellen. Wir werden dabei alle benutzten efinitionen, Postulate und xiome fettgedruckt herausheben. ies soll es erleichtern, alle Voraussetzungen herauszufinden, die in einem eweis benutzt wurden. uf diese Weise sieht man z.. leicht, dass in diesem bschnitt das Parallelenaxiom (Post. 5) nirgends verwendet wurde. lle Konstruktionen dieses bschnitts sind also unabhängig vom Papallelenaxiom. Sie könnte man ganz ebenso in Geometrien durchführen in denen das Parallelaxiom nicht gilt, wie etwa in der sphärischen Geometrie und in der hyperbolischen Geometrie (siehe später). Insbesondere schließen wir, dass z.. der Kongruenzsatz (SWS) auch in der sphärischen Geometrie gilt. ufgabe. [Euklid I 1] Man konstruiere ein gleichseitiges reieck mit Grundseite. E Lösung. Man ziehe (Post. 3) einen Kreis um und einen Kreis um, jeweils mit als Radius. Sei einer der Schnittpunkte der Kreise. Man ziehe (Post. 1) die Strecken und. ann ist (ef. 15) und somit (x. 1) = und = = Für die nächste ufgabe beachte man, dass man eine Strecke nicht einfach parallel verschieben kann, da bisher die Existenz von Parallelen noch nicht gezeigt ist.

7 2 Kongruenzsätze 35 ufgabe. [Euklid I 2] Sei ein Punkt und sei eine gegebene Strecke. Man konstruiere eine Strecke L mit L =. K H L E G F Lösung der ufgabe. Man ziehe die Strecke (Post. 1). Man errichte das gleichseitige reieck [Euklid I 1]. Man verlängere, gerade um die Strecken E,F (Post. 2). Man zeichne den Kreis GH, mit als Mittelpunkt und als bstand. (Post. 3) Sei G der Schnittpunkt dieses Kreises mit der geraden Linie F. Man zeichne den Kreis GKL, mit als Mittelpunkt und G als bstand (Post. 3). Sei L der Schnittpunkt dieses Kreises mit der geraden Linie E. ann ist (ef. 15) G = und L = G, da Mittelpunkt des Kreises GH und Mittelpunkt des Kreises GKL ist. lso ist (x. 3, x. 1) L = G =

8 36. Geometrie (L2) 4. er Erste Kongruenzsatz (SWS). Erster Kongruenzsatz. (SWS) [Euklid I 4] Seien und EF zwei reiecke mit = E, = F und = EF. ann ist = EF, und = EF, = F E. E F eweis. Man lege auf EF und lege dabei den Punkt auf und die Strecke auf E ann muß auch der Punkt den Punkt E decken, denn = E. ann (x. 9) deckt die Strecke die Strecke E. lso liegt die Strecke auf der Strecke F, denn = EF. eshalb deckt der Punkt den Punkt F, denn = F. deckt aber E. Folglich muss (x. 9) die Strecke die Strecke EF decken. amit decken alle Seiten des einen reiecks die des anderen. Folglich muß das reieck das reieck EF decken und ihm gleich sein. Insbesondere müssen alle Winkel von die entsprechenden Winkel von EF decken und ihnen gleich sein.

9 5. er Zweite Kongruenzsatz (SSS) 2 Kongruenzsätze 37 Satz. [Euklid I 5] Sei ein gleichschenkliges reieck (ef. 20) mit =. ann ist =. F G E eweis. Es seien, um die geraden Linien,E verlängert (Post. 2). Man wähle auf den Punkt F beliebig. Man konstruiere den Punkt G auf E mit G = F. (1) (dies ist der Schnittpunkt von E und dem Kreis um mit Radius F). Schließlich ziehe man die Strecken F,G (Post. 1). ann ist F = G, = und F = G. ann sind [Euklid I 4] die reiecke F und G kongruent. Insbesondere F = G, F = G und F = G (2) Weiter ist (x. 3) F = G, da F = G (wegen (1)) und = (nach Vor.). Somit F = G, F = G und F = F = G = G lso sind [Euklid I 4] die reiecke F und G kongruent. Insbesondere F = G und F = G. (3) und so wegen (2) und (3) = G G = F F =.

10 38. Geometrie (L2) Satz. [Euklid I 7] Es ist nicht möglich, über derselben Strecke und auf derselben Seite, zwei Paare von Strecken, und, zu zeichnen mit = und =. eweis. ngenommen dies ist möglich. emerkung. Mit dieser nnahme hätte man zwei verschiedene reiecke und, über derselben Grundlinie, deren Seiten paarweise längengleich sind. ber chtung: Man darf jetzt nicht einfach den Kongruenzsatz (SSS) verwenden, denn wir sind ja erst noch dabei, ihn zu beweisen! Man ziehe. ann wäre [Euklid I 5] = und = (1) da = und = (nach Voraussetzung). Weiter ist lso wäre (x. 8) und (1) < und <. ies ist ein Widerspruch zu (1). <.

11 2 Kongruenzsätze 39 Zweiter Kongruenzsatz. (SSS) [Euklid I 8] Seien und EF reiecke mit zwei = E, = F, = EF. ann ist auch = EF, = EF, = EF. G E F eweis. Man lege das reieck auf das reieck EF und lege dabei den Punkt auf den Punkt E sowie die Strecke auf die Strecke EF. ann muss der Punkt den Punkt F decken, denn = EF. ann gilt [Euklid, 7], dass alle Seiten von Seiten von EF decken. Somit ist = EF, = EF, = EF. Literatur. Euklid, ie Elemente