Oberbegriff für Abstand und Winkel

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1 Skalarprodukt ein Oberbegriff für Abstand und Winkel ranz Pauer, lorian Stampfer Institut für achdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien April 2016

2 Aufgabe 3 der AHS-Zentralmatura 2015 Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprfung, AHS, 11. Mai 2015,Mathematik, Aufgabenheft Teil 1, Aufgabe 3, S. 7

3 Rudolf Taschner (Presse, 12. Mai 2015): Nonsens, das ist gar kein Skalarprodukt Aufgaben-sehr-textlastig

4 Einleitung Inhalt Was ist ein Skalarprodukt?

5 Einleitung Inhalt Was ist ein Skalarprodukt? Ein Skalarprodukt in der Physik

6 Einleitung Inhalt Was ist ein Skalarprodukt? Ein Skalarprodukt in der Physik Vom Skalarprodukt auf der Zeichenebene zum Satz von Pythagoras

7 Einleitung Inhalt Was ist ein Skalarprodukt? Ein Skalarprodukt in der Physik Vom Skalarprodukt auf der Zeichenebene zum Satz von Pythagoras Vom Satz von Pythagoras zum Skalarprodukt auf der Zeichenebene

8 Einleitung Inhalt Was ist ein Skalarprodukt? Ein Skalarprodukt in der Physik Vom Skalarprodukt auf der Zeichenebene zum Satz von Pythagoras Vom Satz von Pythagoras zum Skalarprodukt auf der Zeichenebene ußpunkt des Lotes und Winkel

9 Einleitung Inhalt Was ist ein Skalarprodukt? Ein Skalarprodukt in der Physik Vom Skalarprodukt auf der Zeichenebene zum Satz von Pythagoras Vom Satz von Pythagoras zum Skalarprodukt auf der Zeichenebene ußpunkt des Lotes und Winkel Eine Anwendung des Skalarproduktes in der Statistik

10 Was ist ein Skalarprodukt? V reeller Vektorraum (mit Addition u. Skalarmult.)

11 Was ist ein Skalarprodukt? V reeller Vektorraum (mit Addition u. Skalarmult.) Beispiele: R n ; VR aller Kräfte, die in einem Punkt angreifen;...

12 Was ist ein Skalarprodukt? V reeller Vektorraum (mit Addition u. Skalarmult.) Beispiele: R n ; VR aller Kräfte, die in einem Punkt angreifen;... Ein Skalarprodukt auf V ordnet je zwei Vektoren v, w in V eine reelle Zahl v w zu, und zwar so, dass v w = w v (symmetrisch) (cu + dv) w = c(u w) + d(v w) für alle u, v, w V und c, d R (bilinear) v v > 0, für alle v 0 (positiv definit)

13 Was ist ein Skalarprodukt? V reeller Vektorraum (mit Addition u. Skalarmult.) Beispiele: R n ; VR aller Kräfte, die in einem Punkt angreifen;... Ein Skalarprodukt auf V ordnet je zwei Vektoren v, w in V eine reelle Zahl v w zu, und zwar so, dass v w = w v (symmetrisch) (cu + dv) w = c(u w) + d(v w) für alle u, v, w V und c, d R (bilinear) v v > 0, für alle v 0 (positiv definit) Beispiel: Die unktion R n R n R n, die jedem Paar (a, b) von n-tupeln reeller Zahlen die Zahl n i=1 a ib i zuordnet, ist ein Skalarprodukt auf R n.

14 Was ist ein Skalarprodukt? (v, w) Basis von V, d.h.: jeder Vektor in V kann eindeutig als av + bw (mit a, b R) geschrieben werden.

15 Was ist ein Skalarprodukt? (v, w) Basis von V, d.h.: jeder Vektor in V kann eindeutig als av + bw (mit a, b R) geschrieben werden. (av + bw) (cv + dw) = av (cv + dw) + bw (cv + dw) = ac(v v) + ad(v w) + bc(w v) + bd(w w)

16 Was ist ein Skalarprodukt? (v, w) Basis von V, d.h.: jeder Vektor in V kann eindeutig als av + bw (mit a, b R) geschrieben werden. (av + bw) (cv + dw) = av (cv + dw) + bw (cv + dw) = ac(v v) + ad(v w) + bc(w v) + bd(w w) Ein Skalarprodukt auf V ist eindeutig durch die Skalarprodukte der Vektoren einer Basis bestimmt.

17 Was ist ein Skalarprodukt? (v, w) Basis von V, d.h.: jeder Vektor in V kann eindeutig als av + bw (mit a, b R) geschrieben werden. (av + bw) (cv + dw) = av (cv + dw) + bw (cv + dw) = ac(v v) + ad(v w) + bc(w v) + bd(w w) Ein Skalarprodukt auf V ist eindeutig durch die Skalarprodukte der Vektoren einer Basis bestimmt. Gram sche Matrix bezüglich Basis (v, w): ( ) v v v w w v w w

18 Was ist ein Skalarprodukt? (v, w) Basis von V, d.h.: jeder Vektor in V kann eindeutig als av + bw (mit a, b R) geschrieben werden. (av + bw) (cv + dw) = av (cv + dw) + bw (cv + dw) = ac(v v) + ad(v w) + bc(w v) + bd(w w) Ein Skalarprodukt auf V ist eindeutig durch die Skalarprodukte der Vektoren einer Basis bestimmt. Gram sche Matrix bezüglich Basis (v, w): ( ) v v v w w v w w Gram sche Matrix des Standardskalarproduktes auf R 2 bezüglich Standardbasis ((1, 0), (0, 1)): ( )

19 Was ist ein Skalarprodukt? Abstand zwischen v V und w V : v w := (v w) (v w) Abstand zwischen v und 0 ( Norm von v ): v := v 0 = v v

20 Was ist ein Skalarprodukt? Abstand zwischen v V und w V : v w := (v w) (v w) Abstand zwischen v und 0 ( Norm von v ): v := v 0 = v v Die Geraden durch 0 und v und durch 0 und w stehen zueinander normal (orthogonal), wenn v w = 0 ist.

21 Was ist ein Skalarprodukt? Abstand zwischen v V und w V : v w := (v w) (v w) Abstand zwischen v und 0 ( Norm von v ): v := v 0 = v v Die Geraden durch 0 und v und durch 0 und w stehen zueinander normal (orthogonal), wenn v w = 0 ist. Zwei Geraden stehen zueinander normal, wenn die dazu parallelen Geraden durch 0 zueinander normal stehen.

22 Was ist ein Skalarprodukt? Auf der Zeichenebene wird ein Skalarprodukt durch Wahl eines rechtwinkeligen Koordinatensystems festgelegt: w 1 v v = 1 = w w v w = 0 = w v 0 1 v (av + bw) (cv + dw) = ac + bd ( a (Standardskalarprod. der Koordinatenspalten und b) ( c d) ).

23 Ein Skalarprodukt in der Physik s 0

24 Ein Skalarprodukt in der Physik s W Vektorraum der Wege Basis (s 1, s 2 ): s 1 Weg 1 m parallel zum Ufer, s 2 Weg 1 m normal zum Ufer. 0

25 Ein Skalarprodukt in der Physik s W Vektorraum der Wege Basis (s 1, s 2 ): s 1 Weg 1 m parallel zum Ufer, s 2 Weg 1 m normal zum Ufer. Vektorraum der (konstanten) Kräfte Basis ( 1, 2 ): 1 Kraft 1 N parallel zum Ufer, 2 Kraft 1 N normal zum Ufer. 0

26 Ein Skalarprodukt in der Physik s W Vektorraum der Wege Basis (s 1, s 2 ): s 1 Weg 1 m parallel zum Ufer, s 2 Weg 1 m normal zum Ufer. Vektorraum der (konstanten) Kräfte Basis ( 1, 2 ): 1 Kraft 1 N parallel zum Ufer, 2 Kraft 1 N normal zum Ufer. Arbeit in Nm wird durch bilineare unktion A : W R mit A( 1, s 1 ) = 1, A( 1, s 2 ) = 0, A( 2, s 1 ) = 0, A( 2, s 2 ) = 1 beschrieben. 0

27 Ein Skalarprodukt in der Physik s W Vektorraum der Wege Basis (s 1, s 2 ): s 1 Weg 1 m parallel zum Ufer, s 2 Weg 1 m normal zum Ufer. Vektorraum der (konstanten) Kräfte Basis ( 1, 2 ): 1 Kraft 1 N parallel zum Ufer, 2 Kraft 1 N normal zum Ufer. Arbeit in Nm wird durch bilineare unktion A : W R mit A( 1, s 1 ) = 1, A( 1, s 2 ) = 0, A( 2, s 1 ) = 0, A( 2, s 2 ) = 1 beschrieben. Beschreibe sowohl Wege als auch Kräfte durch Koordinatenspalten bezüglich der gegebenen Basen. Arbeit wird dann durch das Standardskalarprodukt auf R 2 beschrieben. 0

28 Vom Skalarprodukt auf der Zeichenebene zum Satz von Pythagoras w w v w v w = 0 0 v v v w 2 = (v w) (v w) = = v v w v v w + w w = v 2 + w 2

29 Satz von Thales w v = w v 0 v (w v) (w ( v)) = (w v) (w + v) = w w v v = w 2 v 2 = 0

30 Vom Satz von Pythagoras zum Skalarprodukt Bekannt: Abstand, rechter Winkel, Satz von Pythagoras B := (b 1, b 2 ) b 2 a 2 A := (a 1, a 2 ) (b 1, a 2 ) b 1 a 1 AB 2 = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 ( ) A B 2 = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2

31 Vom Satz von Pythagoras zum Skalarprodukt Bekannt: Abstand, rechter Winkel, Satz von Pythagoras A := (a 1, a 2 ) B := (b 1, b 2 ) 0 A0B rechter Winkel AB 2 = 0A 2 + 0B 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 = (a a 2 2) + (b b 2 2) a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 (A B := a 1 b 1 + a 2 b 2 )

32 ußpunkt des Lotes und Winkel w cv w cv g v 0 v (w cv)! = 0 v w = c(v v) c = v w v v 0 ußpunkt des Lotes von w auf die Gerade g: v w v v v w v w v v v (Minimal-)Abstand von w zu g.

33 ußpunkt des Lotes und Winkel w cv w cv g v 0 v (w cv)! = 0 v w = c(v v) c = v w v v 0 ußpunkt des Lotes von w auf die Gerade g: v w v v v w v w v v v (Minimal-)Abstand von w zu g.

34 ußpunkt des Lotes und Winkel α Winkel zwischen R 0 v und R 0 w. 0 α π bzw. 0 α 180 w v w (v w )v α w = 1 = v w = w w v = v v cos(α) = v w cos(α) = v w v w cos(α) 0 v v

35 Eine Anwendung des Skalarproduktes in der Statistik ( ) x1 x 2 x n y 1 y 2 y n y i = kx i, 1 i n Spalten im R 2 Zeilen im R n (x i, y i ) x kx = y 0

36 Eine Anwendung des Skalarproduktes in der Statistik ( ) x1 x 2 x n y 1 y 2 y n Spalten im R 2 (x i, y i ) Zeilen im R n y 0 x kx Summe der Normalabstände minimal? Abstand von y zu kx minimal! k = x y x x

37 Eine Anwendung des Skalarproduktes in der Statistik ( ) x1 x 2 x n y 1 y 2 y n Spalten im R 2 Zeilen im R n (x i, y i ) Standardskalarprodukt auf R n y kx = n (y i kx i ) 2 i=1 Summe der Quadrate der Vertikalabstände y i kx i soll mi- nimal sein! k = x y x x = n i=1 x iy i n i=1 x 2 i

38 Danke für die Aufmerksamkeit!