3 Nichteuklidische Geometrie

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1 3 Nichteuklidische Geometrie 3.1 eweisversuche Schon früh störte Euklids Postulat V die ihm nachfolgenden Mathematiker, vor allem aus ästhetischen Gründen. Man kam zu der uffassung, das Postulat müsste beweisbar sein, nicht zuletzt auch deswegen, weil Euklid in seinem ersten uch so lange zögerte, es anzuwenden, und weil er manche Sätze recht mühsam bewies, obwohl das mit dem Parallelenaxiom sehr viel einfacher ging. Posidonius, Philosoph, stronom, Historiker und Mathematiker (ca v.hr.), war einer der ersten, von denen eweisversuche bekannt sind. Er schlug vor, efinition 23 wie folgt zu ändern: Parallel sind gerade Linien, die in der selben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten beliebig verlängert, immer den gleichen bstand zwischen sich behalten. ie Schwierigkeiten werden hier natürlich in die efinition verlagert. Zur besseren Unterscheidung nennen wir Geraden, die immer den gleichen bstand zwischen sich behalten, äquidistant, und das Wort parallel benutzen wir weiterhin für Geraden, die sich nicht treffen. Was sind äquidistante Geraden genau? Gemeint war wohl, dass zwei Geraden genau dann äquidistant genannt werden sollen, wenn alle Lote, die man von einem Punkt auf einer der beiden Geraden auf die andere Gerade fällt, zueinander kongruent sind. Offensichtlich sind dann äquidistante Geraden auch parallel. er Plan des Posidonius sah nun folgendermaßen aus: In einem Satz (P 1 ) zeigte er völlig korrekt: urch einen gegebenen Punkt P, der nicht auf einer gegebenen Geraden g liegt, kann höchstens eine zu g äquidistante Gerade g gehen. ieser Satz könnte irgendwo vor Euklids Proposition 29 stehen! In einem Satz (P 2 ) zeigte Posidonius dann die Gültigkeit von Euklids Postulat V. llerdings wechselte er dabei nach elieben zwischen den egriffen äquidistant und parallel hin und her. Er führte damit einen neuen Parallelitätsbegriff ein, arbeitete aber mit den Eigenschaften des alten egriffes. In Wirklichkeit hat er damit das xiom (E.P) (Euklids Postulat V) durch ein anderes ersetzt: (PP): Parallele Geraden sind äquidistant. a ist Euklids xiom aber vorzuziehen, denn seine Voraussetzungen sind überprüfbar. Ob zwei gegebene Geraden äquidistant sind, ist dagegen schwer zu sagen.

2 112 3 Nichteuklidische Geometrie er griechische Philosoph Proklos iadochos (ca n.hr.), Haupt der Schule des Neuplatonismus, hatte noch Zugang zu vielen Quellen, die für uns längst verloren sind, z.. zur Großen Geschichte der Geometrie des Eudemus, eines Schülers des ristoteles. In seinem Kommentar zum ersten uch der Elemente gibt Proklos einen kurzen Überblick über das Werk des Eudemus, der selbst in seiner fragmentarischen Form für uns von unschätzbarem Wert ist. In diesem Kommentar finden sich auch Hinweise auf frühere Versuche, das Parallelenaxiom zu beweisen, insbesondere wird ein Versuch des berühmten ägyptischen Naturwissenschaftlers laudius Ptolemäus (ca n.hr.) beschrieben, der übrigens auch die Grundlagen der Trigonometrie geschaffen hat. er eweis des Ptolemäus war unsinnig, wie Proklos feststellte. ieser gab nun selbst einen eweis an: Satz (P r 1 ): Wenn sich zwei verschiedene Geraden in einem Punkt schneiden, dann wird der bstand zwischen ihnen beliebig groß. Es bleibt unklar, was mit bstand gemeint ist. Hier ist das aber noch leicht zu reparieren. Trifft die Gerade g = auf die Gerade h =, so dass ein spitzer Winkel ist, so wachsen die Lote von h auf g über jede Grenze. er Satz ist richtig und kann ohne Parallelenaxiom bewiesen werden. llerdings führt Proklos den eweis nicht aus. Wir werden ihn an späterer Stelle unter Verwendung des rchimedes-xioms nachtragen können. Satz (P r 2 ): er bstand zwischen zwei Parallelen g 1, g 2, die eine gemeinsame Senkrechte besitzen, kann nicht über alle Grenzen wachsen. uch dieser Satz wird von Proklos nicht bewiesen, und die Formulierung ist noch unklarer. Wir wollen ihn wie folgt verstehen: Es gibt eine Strecke KL, so dass jedes Lot von einem Punkt von g 1 auf g 2 und jedes Lot von einem Punkt von g 2 auf g 1 größer als KL ist. ie Frage, ob der Satz beweisbar ist, stellen wir erst mal zurück. Satz (P r 3 ): Wenn eine Gerade eine von zwei Parallelen schneidet, die eine gemeinsame Senkrechte besitzen, so muss sie auch die andere schneiden. eweis: Seien g 1 und g 2 die beiden Geraden, P Q (mit P g 1 und Q g 2 ) die gemeinsame Senkrechte. Schließlich sei h eine Gerade, die g 1 in einem Punkt S schneidet. as Lot von einem Punkt X h habe den Fußpunkt E auf g 1.

3 3.1 eweisversuche 113 Proklos sagte nun: Nach Satz (P r 1 ) wird die Länge des Lotes XE beliebig groß. Nach Satz (P r 2 ) kann der bstand von g 2 zu g 1 nicht über alle Grenzen wachsen. as ist nur möglich, wenn h irgendwann Punkte auf der anderen Seite von g 2 erreicht, also insbesondere g 2 schneidet. P S E g 1 X h Q as ist ein wenig knapp, aber man kann tatsächlich einen sauberen eweis dafür finden. g 2 Satz (P r 4 ): us Satz (P r 3 ) folgt Postulat V. eweis: Wir betrachten die Standard-Situation: Zwei Geraden g 1, g 2 werden von h in P 1 bzw. P 2 geschnitten und bilden Ergänzungswinkel α + β < 2R. g 1 P 1 g 1 M P 2 h Sei α der Winkel bei P 2. Wir tragen ihn bei P 1 an P 1 P 2 an und erhalten so eine neue Gerade g 1, die parallel zu g 2 ist und von g 1 geschnitten wird. Vom Mittelpunkt M der Strecke P 1 P 2 fällen wir jeweils das Lot auf g 1 und g 2. Es entstehen zwei kongruente reiecke (WWS), und daraus kann man folgern, dass die Lote auf einer Geraden liegen. lso besitzen die Parallelen eine gemeinsame Senkrechte, und g 1 muss auch g 2 schneiden. ieser eweis des Parallelenaxioms ist schon recht trickreich, aber sein Schwachpunkt ist natürlich der Satz (P r 2 ). Nennen wir die ussage von (P r 2 ) das Proklos- xiom (P-Pr). ann liefern (P r 3 ) und (P r 4 ) die Folgerung (P-Pr) = (E-P). ber es gilt auch die Umkehrung: eweis dazu: Es gelte das Parallelenaxiom, und es seien zwei Parallelen g 1, g 2 mit gemeinsamer Senkrechte P Q gegeben. ußerdem sei E P ein Punkt auf g 1 und F der Fußpunkt des Lotes von E auf g 2. g 2

4 114 3 Nichteuklidische Geometrie P E g 1 Q us dem Parallelenaxiom folgt der Satz über die Winkelsumme, also ist auch P EF ein Rechter. Nun folgt, dass im Viereck QF EP gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Insbesondere ist EF = P Q. Weil E beliebig gewählt werden kann, ist damit (P-Pr) bewiesen. In Wirklichkeit ist also (P r 2 ) äquivalent zum Parallelenaxiom. Im Jahre 622 floh Mohammed von Mekka nach Medina und begründete den Islam. ereits 641 eroberten die raber lexandria. Zwischen 750 und 850 n.hr. beginnt die Geschichte der Mathematik bei den rabern. agdad und amaskus wurden zu Zentren der Wissenschaft, Wörter wie lgebra oder lgorithmus fanden ihren Weg in die Mathematik. Viele arabische Wissenschaftler beschäftigten sich mit dem Parallelenproblem. Wir wollen hier nur über die zwei bedeutendsten sprechen: Omar al-hayyam (auch Khayyam oder hajjam geschrieben, ca ) war ein persischer Mathematiker, stronom, Philosoph und ichter. Noch mehr als durch seine wissenschaftlichen Untersuchungen wurde er durch seine Lyrik bekannt. ei Untersuchungen des Parallelenproblems ging er sorgfältiger als seine Vorgänger vor. Omar Khayyams Theorem: etrachtet wird ein Viereck mit folgenden Eigenschaften: ei und liegen jeweils rechte Winkel vor, und es ist =. N δ α M g ie Strecke wird asis genannt, die Strecke Gipfellinie. ie Winkel γ und δ heißen Gipfelwinkel. Nun gilt: 1. ie Gipfelwinkel sind kongruent. 2. Errichtet man im Mittelpunkt M der asis eine Senkrechte, so trifft diese die Gipfellinie in ihrem Mittelpunkt N und bildet mit ihr einen rechten Winkel. γ β F g 2

5 3.1 eweisversuche 115 eweis: 1) haben wir schon in bschnitt 2.6 gezeigt (Satz über Äquidistanz). 2) Sei g die Senkrechte zu in M. Nach Proposition 28 (Satz über Winkel an Parallelen) ist g sowohl zu als auch zu parallel. a und auf verschiedenen Seiten von g liegen, muss das auch für und gelten. lso trifft g die Gipfellinie in einem inneren Punkt N. a M = M ist (SWS), ist M = M und M = M. Weil aber die Gipfelwinkel kongruent sind, muss auch M N = M N sein. Und schließlich ist MN = R M = R M = MN. lso ist MN = MN und insbesondere N = N. Und da NM = NM ist, trifft g senkrecht auf die Gipfellinie. In der Euklidischen Geometrie würde nun sehr schnell (etwa mit den Sätzen über Winkelsummen) folgen, dass die Gipfelwinkel ebenfalls rechte Winkel sind. Ohne Parallelenaxiom kann man nicht ausschließen, dass die Gipfelwinkel spitz oder stumpf sind. Wenn wir solchen verallgemeinerten Rechtecken einen Namen geben wollen, sollten wir sie eigentlich Khayyam-Vierecke nennen. us Gründen, die später klar werden, heißen sie jedoch Saccheri-Vierecke. Khayyam zeigt: Satz: Im Viereck mit den Winkeln α, β, γ, δ sei α = β = R. ann gilt: 1. > δ < γ. 2. = δ = γ. 3. < δ > γ. eweis: Nach Khayyams Theorem gilt: = = δ = γ. Sei nun >. ann kann man einen Punkt E mit E und E = finden. Es ist ϕ := E = E < = γ, und da ϕ ußenwinkel zum reieck E ist, ist ϕ > δ. Insgesamt ist also δ < γ. E δ ϕ γ α β

6 116 3 Nichteuklidische Geometrie er Fall < kann analog behandelt werden. Satz von den drei Hypothesen: Sei ein Saccheri-Viereck mit den Winkeln α, β und γ = δ. ann gilt: 1. Ist δ < R, so ist >. 2. Ist δ = R, so ist =. 3. Ist δ > R, so ist <. eweis: Wir stellen die Situation von Khayyams Theorem her: N δ γ α β M a die Winkel bei M und N Rechte sind, ist MN ein Viereck, das die Voraussetzungen des vorigen Satzes erfüllt. a auch α ein rechter Winkel ist, folgt aus diesem Satz: Ist δ < R, so ist N > M, usw. a δ = γ ist, führt die etrachtung des rechten Teil-Vierecks zu den gleichen Ergebnissen, und man erhält die ehauptung. Soweit ist alles gut, aber nun schließt Khayyam mit Hilfe eines sogenannten philosophischen Prinzips weiter, das angeblich auf ristoteles zurückgeht. Khayyam sagt, dass zwei Geraden mit einer gemeinsamen Senkrechten äquidistant sind. iese Hypothese ist aber sogar noch stärker als der Satz (P r 2 ) von Proklos und hat das Parallelenpostulat zur Folge. Wenn die Geraden und äquidistant sind, so bedeutet das, dass die beiden Hypothesen δ < R und δ > R auszuschließen sind. Jedes Saccheri-Viereck ist schon ein Rechteck. Nach diesem nebulösen Schlenkerer arbeitet Khayyam wieder korrekt weiter, und mit ähnlichen Schlüssen, wie wir sie schon bei Proklos gesehen haben, folgert er schließlich: Wenn die Gipfelwinkel in jedem Saccheri-Viereck Rechte sind, dann folgt das Postulat V. amit hat Khayyam eine weitere zu Postulat V äquivalente edingung gefunden (denn die Umkehrung gilt natürlich auch). Sein Fehler liegt im mystischen eweis der Hypothese von den rechten Gipfelwinkeln.

7 3.1 eweisversuche 117 Nasir ad-in at-tusi (auch Nasir al-in al-tusi oder Nasir Eddin geschrieben), , war zunächst strologe im Iran, kam dann aber als Hofastronom des ruders des Mongolenherrschers Kublai Khan in die Gegend von agdad. ekannt wurde er durch seine Forschungen auf dem Gebiet der Trigonometrie. eim Parallelenproblem knüpfte er an die Ergebnisse von Khayyam an. a seine rbeiten später ins Lateinische übersetzt wurden, wurden so die arabischen Forschungen im bendland bekannt. Er kommt auf anderem, aber genauso suspektem Wege zu der ussage: ie Gipfelwinkel in einem Saccheri-Viereck sind immer rechte Winkel. araus folgert er schließlich richtig weiter, dass die Winkelsumme in jedem reieck 180 beträgt. Nasir ad-ins letzter Schritt besteht aus dem folgenden (korrekten und korrekt bewiesenem) Satz: Satz (von Nasir ad-in): Wenn die Winkelsumme in jedem reieck gleich zwei Rechten ist, dann gilt Euklids fünftes Postulat. (er eweis muss hier aus Zeitgründen entfallen, findet sich aber im nhang dieses bschnittes). amit hat Nasir ad-in gezeigt: Folgerung: Postulat V gilt genau dann, wenn die Winkelsumme in jedem reieck 180 beträgt. Nachdem 1482 die erste gedruckte Version der Elemente in Europa erschienen war, tauchten auch dort einige eweisversuche auf, die aber nichts Neues brachten. In England machte 1621 Sir Henry Savile in Vorlesungen über Euklid auf zwei angebliche Makel in den Elementen aufmerksam: ie Theorie der Parallellinien und die Lehre von den Proportionen. Er stiftete daraufhin einen mathematischen Lehrstuhl an der Universität Oxford mit der uflage, dass der jeweilige Inhaber Vorlesungen über Euklid zu halten habe. Einer der ersten Professores Saviliani war John Wallis ( ). Er kannte und kritisierte die Probleme seiner Vorgänger mit den äquidistanten Linien und versuchte es auf anderem Wege: Zwei reiecke werden ähnlich genannt, wenn sie in allen drei Winkeln übereinstimmen. Wallis stellte nun folgendes Postulat auf: (WP) Zu jedem reieck kann man (bei vorgegebener Seite ein ähnliches reieck konstruieren.

8 118 3 Nichteuklidische Geometrie Ob dieses Postulat einsichtiger als Euklids Parallelenpostulat ist, sei erst einmal dahingestellt. Wallis zeigt nun (1663): Satz: (WP) = (E P) eweis: werde von den Geraden und getroffen und bilde mit ihnen auf einer Seite innere Winkel, die zusammen kleiner als 180 sind. Wir wählen 1 mit 1 und 1 mit 1 willkürlich und konstruieren das zu 1 1 ähnliche reieck H. ann ist H parallel zu. tritt ins Innere des Winkels H ein, muss also die gegenüberliegende Seite H des reiecks H treffen, etwa in E. Nun konstruiert man das zu 1 1 ähnliche reieck E 1. Offensichtlich muss 1 auf liegen, und 1 E ist parallel zu. H 1 E 1 1 Schließlich konstruiere man das zu 1 E ähnliche reieck X. a X = und X = sein muss, ist X der gesuchte Schnittpunkt von und. er eweis ist korrekt, hinterlässt aber Unbehagen, weil die postulierte Konstruierbarkeit von ähnlichen reiecken ein sehr starkes Werkzeug ist. In Wirklichkeit folgt fast trivial, dass das Postulat von Wallis äquivalent zum Parallelenaxiom ist. John Playfair ( ), Professor für Mathematik und Physik an der Universität Edinburgh, schrieb 1796 ein uch mit dem Titel Elements of Geometry. arin formulierte er das Parallelenaxiom in der heute üblichen Form: (P) Ist g eine Gerade und P g, so geht durch P genau eine Parallele zu g. X Satz: (P) (E P) eweis: a) Sei zunächst (P) vorausgesetzt. ie Gerade EF werde von in E und von in F geschnitten. G liege auf der Verlängerung von EF über F hinaus.

9 3.1 eweisversuche 119 L F β G δ γ M E α Wir konstruieren die Gerade LM durch F so, dass δ := MF G = EF =: α ist. ann ist LM parallel zu. Setzt man β := EF und γ := F M, so ist β + γ + δ = 180, also γ = 180 (β + α) > 0. lso ist LM, und nach (P) kann nicht parallel zu sein. und müssen sich schneiden. b) Umgekehrt sei nun (E.P) vorausgesetzt. ie Existenz einer Parallelen g zu g durch P g haben wir schon an früherer Stelle bewiesen: Man fälle das Lot h von P auf g und wähle für g die Senkrechte zu dem Lot in P. Ist g eine weitere Gerade durch P, also g g, so müssen g und g auf einer Seite von h zusammen innere Winkel < 180 bilden. Nach (E.P) schneiden sich g und g, d.h., g ist keine Parallele. Wir haben jetzt folgende äquivalente Formulierungen des Parallelenaxioms: 1. Euklids Postulat V. 2. Playfairs Postulat. 3. ie Winkelsumme beträgt in jedem reieck Jedes Saccheri-Viereck ist ein Rechteck. 5. Werden zwei Geraden g 1, g 2 von einer dritten geschnitten, so sind sie genau dann parallel, wenn die Winkelbeziehungen (E), (F) und (Z) gelten. 6. Parallele Geraden sind äquidistant. 7. Zu jedem reieck gibt es ähnliche reiecke beliebiger Größe. 8. Sind g 1, g 2 parallel, so bleibt die Länge der Lote von der einen Geraden auf die andere stets beschränkt.

10 120 3 Nichteuklidische Geometrie nhang Satz von Nasir ad-in: Wenn die Winkelsumme in jedem reieck gleich zwei Rechten ist, dann gilt Euklids fünftes Postulat. eweis: ie Gerade h werde von den beiden Geraden g 1 und g 2 in zwei verschiedenen Punkten P 1 und P 2 getroffen und bilde dabei die Ergänzungswinkel α (bei P 1 ) und β (bei P 2 ). Es sei α + β < 180. ann muss wenigstens einer der beiden Winkel ein spitzer sein, etwa α. Wir fällen das Lot von P 2 auf g 1, mit Fußpunkt F. P 2 δ ε h g 2 P 1 α F g 1 a in dem reieck P 1 F P 2 nicht zwei Winkel 90 vorkommen können, muss F auf der gleichen Seite von h liegen wie die Winkel α und β. Sei δ := P 1 P 2 F. Offensichtlich ist δ < 90. Ist sogar β < δ, so tritt die Gerade g 2 ins Innere des reiecks P 1 F P 2 ein, muss also P 1 F = g 1 treffen. Sei nun β δ. Ist β = δ, so ist g 2 = F P 2, und g 1 und g 2 schneiden sich auch in diesem Fall. Wir können also annehmen, dass β > δ ist. Weil nach der Voraussetzung über die Winkelsumme δ = 90 α ist, ist ε := β δ = β (90 α) = (α + β) 90 < = 90. amit ist gezeigt, dass g 1 und g 2 mit P 2 F auf einer geeigneten Seite einen rechten und einen spitzen Winkel als Ergänzungswinkel bilden. Wir brauchen uns nur noch mit diesem Spezialfall zu befassen: ie Gerade werde von unter einem spitzen und von unter einem rechten Winkel getroffen. Gezeigt werden soll, dass sich und schneiden. H G

11 3.1 eweisversuche 121 Wir wählen einen Punkt G mit G und fällen das Lot von G auf mit Fußpunkt H. ann ist klar, dass H auf der gleichen Seite von liegt wie der Punkt. Ist H =, so stimmt das Lot mit überein, und wir sind fertig. Gilt H, so muss nach Pasch außer H noch eine weitere Seite des reiecks GH treffen. ies kann nicht HG sein (Parallelität), also trifft die Gerade G =. Es bleibt der Fall H zu untersuchen. H n G n H 2 M G 2 H = H 1 G 1 = G L Wir konstruieren Punkte G 1 := G, G 2, G 3,... auf mit G 1 = G 1 G 2 =.... ie Fußpunkte der Lote von G i auf seien mit H i bezeichnet. ehauptung: Es ist H = HH 2. eweis dazu: Man errichte in die Senkrechte L zu mit L = HG 1. Nach dem Satz über die Winkelsumme im reieck ist LG 1 = 90 G 1 H = G 1 H. aher ist G 1 H = G 1 L (SWS), und damit LG 1 = HG 1 = 90, sowie H = LG 1. ann ist aber auch HG 1 L = HG 1 + G 1 L = LG 1 + (90 LG 1 ) = 90. Wählt man noch M H 2 G 2 mit H 2 M = H 1 G 1, so ist H 2 H 1 G 1 M ein Saccheri- Viereck, und es folgt, dass H 2 MG 1 = H 1 G 1 M ist. Wegen des Satzes von der Winkelsumme muss dann H 2 MG 1 = H 1 G 1 M = 90 und daher MG 1 = H 2 H 1 sein.

12 122 3 Nichteuklidische Geometrie a sich HG 1 L und HG 1 M zu 180 ergänzen, sind M, G 1 und L kollinear. ber dann sind G 1 L und MG 1 G 2 Scheitelwinkel, also kongruent. Und da G 1 L = G 1 G 2 M ist (Winkelsumme im reieck), ist LG 1 = G 1 G 2 M (WSW), und daher LG 1 = G 1 M. So folgt: H 1 H 2 = G 1 M = G 1 L = H. Genauso folgt allgemein für den Fußpunkt H i des Lotes von G i auf, dass H i = n H ist. Nach rchimedes gibt es aber ein n, so dass n H > ist. ann gilt H n, und es folgt wieder, dass sich und treffen.