Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 203 Zusammensetzung von Geradenspiegelungen Symmetriegruppen

2 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen ii Inhalt 1 Nochmals Scherenschnitte Zusammensetzung von Geradenspiegelungen Begründung Vorgehen und Schreibweisen Zusammensetzung von zwei Geradenspiegelungen Spiegelung an zwei sich schneidenden Geraden. Rotation Ein Beispiel Positiver Drehsinn Didaktischer Hinweis Vertauschung der Reihenfolge Umkehrung der Fragestellung Spiegelung an zwei orthogonalen Geraden. Punktspiegelung Spiegelung an zwei parallelen Geraden Die zwei Spiegelachsen sind bekannt Umkehrung der Fragestellung Zusammensetzung von drei Geradenspiegelungen Drei parallele Geraden Ein weiterer Spezialfall: Schubspieglung Drei kopunktale Geraden Drei allgemeine Geraden Zusammensetzung von vier Geradenspiegelungen Übersicht Symmetriegruppen Repetition: Was ist eine Gruppe Beispiele und Gegenbeispiele Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes Zyklische Gruppe Rotationen beim Dreieck Addition modulo Anhang: Das Kartenspiel Modul 203 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 1999 Erste Fassung (Einzelblätter) Sommer 2001 Überarbeitung und Erweiterung Sommer 2003 Fehlerkorrekturen Sommer 2005 Andere Einteilung, geändertes Layout, Kürzungen Sommer 2007 Grafische Überarbeitung. MathType Frühjahr 2009 Kleine Erweiterung Frühjahr 2011 Keine Änderung last modified: 3. Januar 2014 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 1 1 Nochmals Scherenschnitte Wir falten ein Blatt Papier möglichst unregelmäßig zwei Mal; die beiden Faltlinien sollen weder senkrecht noch parallel zueinander sein. Dann stechen wir mit der Scherenspitze hinein und schneiden ein unregelmäßiges Loch aus. Was erhalten wir nach dem Auffalten? Falten, ein Loch ausschneiden und auffalten Der erste und der dritte Kopf erscheinen zueinander verdreht, ebenso der zweite und der vierte Kopf. Was ergibt sich, wenn wir rechtwinklig oder parallel falten? Rechtwinklige oder parallele Faltlinien Bei rechtwinkligen Faltlinien ist der dritte Kopf gegenüber dem ersten um 180 verdreht. Bei parallelen Faltlinien haben wir eine Translation.

4 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 2 2 Zusammensetzung von Geradenspiegelungen 2.1 Begründung Wir werden sehen, dass wir sämtliche Kongruenzabbildungen durch Zusammensetzen von Geradenspiegelungen erhalten können. Die Geradenspiegelungen bilden also eine Art Baukasten für die Kongruenzabbildungen. Es wird sich sogar zeigen, dass wir mit der Zusammensetzung von höchstens drei Geradenspiegelungen auskommen. 2.2 Vorgehen und Schreibweisen Die Spiegelung an der Geraden a bezeichnen wir mit S a. Die Schreibweise: P = S a ( P) bedeutet, dass der Punkt P der Spiegelpunkt (Bildpunkt) des Punktes P bei Spiegelung an der Geraden a ist. Eine andere mögliche Schreibweise für denselben Sachverhalt ist: S a P P a P Geradenspiegelung P = S a ( P) Wenn wir nun den Punkt P zunächst an der Geraden a spiegeln und dann den Bildpunkt P an einer zweiten Geraden b spiegeln, und dann schließlich den Endpunkt P erhalten, also P = S b P ( ) = S b S a ( P) ( ) oder P S a gilt, schreiben wir das auf eine der beiden folgenden Arten: P = S b S a P ( ) oder P S b S a S b P P P

5 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 3 b a P Zusammensetzung von zwei Geradenspiegelungen P = S b S a ( P) Die ungewohnte Reihenfolge in der Schreibweise lässt sich so erklären, dass der Punkt P ohnehin ganz zuhinterst steht. Auf diesen Punkt wird die Spiegelung S a angewendet, und auf den Spiegelpunkt S a P ( ) dann die zweite Spiegelung S b. Wer frisst wen?

6 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 4 3 Zusammensetzung von zwei Geradenspiegelungen 3.1 Spiegelung an zwei sich schneidenden Geraden. Rotation Ein Beispiel b a P Spiegelung an zwei sich schneidenden Geraden Die Zusammensetzung S b S a ist eine Rotation. Der Drehpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, der Drehwinkel das Doppelte des orientierten Winkels von der ersten Spiegelgeraden a zur zweiten Spiegelgeraden b.

7 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Positiver Drehsinn Früher wurde der positive Drehsinn als Gegenuhrzeigersinn erklärt. Dies ist nicht falsch, aber nicht mehr zeitgemäß, da viele Uhren heute eine Digitalanzeige haben. Gegenuhrzeigersinn? Der positive Drehsinn ist der Kreiselsinn. Positiver Drehsinn

8 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Didaktischer Hinweis Die Einsicht, dass es sich bei der Zusammensetzung S b S a wirklich um eine Rotation handelt, ergibt sich erst, wenn mindestens ein Dreieck abgebildet wird. Um die Zeichenarbeit zu vereinfachen, empfiehlt sich ein Kreisraster ( rundes Karopapier). b a Im Kreisraster, Abbildung S b S a

9 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Vertauschung der Reihenfolge Was erhalten wir, wenn wir die Reihenfolge der Spiegelungen vertauschen, also zuerst an b und dann an a spiegeln? b a Vertauschte Reihenfolge: S a S b Bei Vertauschung der Reihenfolge ergibt sich eine Rotation im entgegengesetzten Drehsinn. Die Zusammensetzung von Geradenspiegelungen ist nicht kommutativ.

10 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Umkehrung der Fragestellung Zu einer gegebenen Rotation R Z,φ können die beiden Geraden beliebig durch das Rotationszentrum Z gewählt werden; ihr orientierter Zwischenwinkel muss der halbe Drehwinkel sein. Im folgenden Beispiel ist b so gesucht, dass R Z,φ = S b s a. a' b Z 2 a Gesucht ist b Die erste Spiegelgerade a kann mit beliebiger Richtung durch Z gewählt werden. Die zweite Spiegelgerade b muss so durch Z gezeichnet werden, dass der Winkel von a nach b den halben Drehwinkel ausmacht. 3.2 Spiegelung an zwei orthogonalen Geraden. Punktspiegelung b Spiegelung an zwei orthogonalen Geraden a

11 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 9 Dies ist ein Sonderfall einer Drehung, nämlich eine Drehung um 180, also eine Punktspiegelung. b a Spiegelung an zwei orthogonalen Geraden, Vertauschung der Reihenfolge 3.3 Spiegelung an zwei parallelen Geraden Die zwei Spiegelachsen sind bekannt a b Spiegelung an zwei parallelen Geraden Wir erhalten eine Translation. Der Translationsvektor ist der doppelte Abstandsvektor von a nach b.

12 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Umkehrung der Fragestellung Eine Translation sei durch ihren Translationsvektor gegeben. Wie kann diese Translation als Zusammensetzung von zwei Geradenspiegelungen dargestellt werden? Translationsvektor bekannt 4 Zusammensetzung von drei Geradenspiegelungen 4.1 Drei parallele Geraden a b c Was für eine Abbildung ist S c S b S a?

13 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Ein weiterer Spezialfall: Schubspieglung Es ist g j und h j. Wir spiegeln zuerst an g, dann an h und schließlich an j: j g Schubspiegelung h

14 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 12 Variante: Wir spiegeln zuerst an g, dann an j und schließlich an h: j g Variante Welche weiteren Varianten führen zum selben Ergebnis? h

15 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Drei kopunktale Geraden c b a Spiegelung an drei kopunktalen Geraden

16 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Drei allgemeine Geraden S c S b S a =? S b a c Drei Geraden S b 1 T a 1 c S c S b S a = S c S b1 S a1, b 1 c

17 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 15 b 2 T a 1 S c S b S a = S c S b1 S a1 = S c2 S b2 S a1 b 2 a 1 Schubspiegelung c 2

18 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 16 5 Zusammensetzung von vier Geradenspiegelungen Wir behandeln nur den allgemeinen Fall. Sonderfälle können analog untersucht werden. S d S c S b S a Drehung Drehung C 2 C 1 b c a d Vier Geraden b 1 C 2 C 1 a 1 b c a d Modifikation b 1 durch C 2 ; S d S c S b S a = S d S c S b 1 S a1 Drehung Drehung Drehung Drehung

19 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 17 b 1 C 2 C 1 c 1 C 3 a 1 Weitere Modifikation c 1 durch C 1 c 1 = b 1 : S d S c S b S a = S d S c S b 1 S a1 = S d 1 S c1 S b1 S a 1 = S d1 S a1 Drehung Drehung Drehung Drehung Identität d 1 Drehung 6 Übersicht Wir sahen also, dass eine Zusammensetzung von vier Geradenspiegelungen zu einer Zusammensetzung von zwei Geradenspiegelungen reduziert werden kann. Damit kann jede Zusammensetzung von Geradenspiegelungen auf eine Zusammensetzung von höchstens drei Geradenspiegelungen reduziert werden. Damit ergibt sich folgende Übersicht: Eine Geradenspiegelung Geradenspiegelung orientierungsumkehrend Zusammensetzung von zwei Geradenspiegelungen Rotation Translation orientierungstreu Zusammensetzung von drei Geradenspiegelungen Schubspiegelung Geradenspiegelung orientierungsumkehrend Jede Isometrie kann als Zusammensetzung von maximal drei Geradenspiegelungen dargestellt werden. Die Geradenspiegelungen sind also so etwas wie die Atome der Isometrien.

20 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 18 7 Symmetriegruppen 7.1 Repetition: Was ist eine Gruppe G ist eine Menge. In G haben wir eine innere Verknüpfung * der Elemente von G : Eigenschaften: Assoziativität: a G, b G a b G ( a b) c = a ( b c) Neutralelement e: e a = a e = a a G Inverses a 1 : a 1 a = a a 1 = e a G Sonderfall: Falls a b = b a a,b G, dann heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch. Niels Henrik Abel Niels Henrik Abel hat sich als einer der ersten mit Gruppen beschäftigt. 7.2 Beispiele und Gegenbeispiele a) Die Menge der Translationen mit der Zusammensetzung als Verknüpfung ist eine abelsche Gruppe. b) Die Menge der Isometrien mit der Zusammensetzung als Verknüpfung ist eine Gruppe, sie ist aber nicht abelsch. c) Die Menge der Rotationen mit festem Zentrum mit der Zusammensetzung als Verknüpfung ist eine abelsche Gruppe. d) Die Menge der Geradenspiegelungen mit der Zusammensetzung als Verknüpfung ist keine Gruppe. Dies, obwohl die Geradenspiegelungen als Bausteine für die Isometrien benutzt werden können. e) Die Menge der Schubspiegelungen mit der Zusammensetzung als Verknüpfung ist keine Gruppe. f) Die Menge der Rotationen mit der Zusammensetzung als Verknüpfung ist keine Gruppe. Warum nicht?

21 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes C n m A B o Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes zweite Operation Id S m S n S o R 120 R 240 Id S m erste Operation S n S o R 120 R 240 Die Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreieckes bilden eine Gruppe, die so genannte symmetrische Gruppe S 3. Die Gruppe ist nicht abelsch, deshalb ist es wichtig, zwischen der ersten und der zweiten Operation zu unterscheiden.

22 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 20 Die symmetrische Gruppe S 3 kann auch als die Menge aller Permutationen von drei Elementen gesehen werden und entsprechend als Kartenspiel dargestellt werden. 2. Karte 1. Karte = 2. Karte 1. Karte Kartenspiel zur symmetrischen Gruppe S 3

23 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Karte 1. Karte = 2. Karte 1. Karte Die Verknüpfungstabelle Die für das Spiel benötigten sechs Karten sind im Anhang als Schnittmuster beigefügt.

24 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen Zyklische Gruppe Rotationen beim Dreieck Die orientierungserhaltenden Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreieckes, also die Identität und die Rotationen, bilden eine Untergruppe, die zyklische Gruppe A 3. Id R 120 R 240 Id R 120 R 240 Rotationen beim gleichseitigen Dreieck Addition modulo mod Addition modulo 3 Die Gruppen, die sich bei den Rotationen eines Dreieckes und beim Addieren modulo 3 ergeben, sind isomorph ( gleichgestaltig ). Sie werden deshalb beide als A 3 bezeichnet.

25 Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen 23 Anhang: Das Kartenspiel Kartenspiel für die symmetrische Gruppe S 3