6. Die Gruppe der Euklidischen Kongruenztransformationen

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1 6. Die Gruppe der Euklidischen Kongruenztransformationen Eine Fahne in der euklidischen Ebene besteht aus einem Tripel (P, g, H), wobei P ein Punkt, g eine Halbgerade mit Anfangspunkt P, und H eine Halbebene mit Rand g ist. Die Lage eines Punktes Q zu einer Fahne (P, g, H) kann man durch folgende Informationen eindeutig festlegen: (i) den Abstand von Q zur Geraden g, welcher von Q zu seinem Fußpunkt F gemessen wird; (ii) Den Abstand des Fußpunktes F vom Punkt P, (iii) die Information, ob F in g liegt, und ob Q in H liegt. Die euklidischen Kongruenztansformationen sind diejenigen Abbildungen der euklidischen Ebene auf sich, die Abstände von Punkten unverändert lassen. Weil die Winkel eines Dreiecks durch die Seitenlängen bestimmt sind, lassen euklidische Kongruenztransformationen Winkel ebenfalls unverändert. Eine solche Abbildung heißt gleichsinnig (oder Bewegung) bzw. gegensinnig, wenn der Umlaufsinn von Kreisen gleichbleibt bzw. sich ändert. Offenbar ist durch die Angabe einer Fahne und ihres Bildes eine euklidische Kongruenztransformation eindeutig bestimmt, weil man das Bild eines Punktes aus der Bild-Fahne rekonstruieren kann. Lemma. Für zwei Halbgerade g, h mit gemeinsamem Anfangspunkt gibt es genau eine Gerade w, sodaß die Spiegelung an w g in h überführt. Das folgt sofort aus Abschnitt 5. Diese Spiegelachse heißt die Winkelsymmetrale von g, h. Satz. Jede euklidische Kongruenztransformation ist das Produkt von höchstens drei Spiegelungen. Beweis. Wir zeigen, daß wir zwei Fahnen (P, g, H) und (P, g, H ) durch höchstens drei Spiegelungen ineinander überführen können. Falls nicht P = P, spiegeln wir an der Streckensymmetralen s P,P Dabei geht g in g über. Falls notwendig, spiegeln wir nun an der Winkelsymmetralen von g und g. Punkt und Halbgerade sind nun schon dort, wo sie sein sollen. Falls notwendig, spiegeln wir noch einmal an g, um auch H in die richtige Position zu bringen. Offenbar ist eine Spiegelung eine gegensinnige Kongruenztransformation, und es gilt Satz 2. Ein Produkt von Spiegelungen ist gleichsinnig genau dann, wenn die Anzahl der Spiegelungen gerade ist. Satz 3. Jede Bewegung ist das Produkt von zwei Spiegelungen. Sie ist entweder die identische Abbildung, eine Drehung um ein Zentrum, oder eine Parallelverschiebung. Beweis. Jede euklidische Kongruenztransformation ist ein Produkt von 0,, 2, oder 3 Spiegelungen. Für Bewegungen bleiben nur die Fälle 0 und 2 übrig. Den Fall 0 (die identische Abbildung) kann man auch durch zweimaliges Hintereinanderausführen derselben Spiegelung erzeugen. Daß die Produkte von zwei Spiegelungen entweder Drehungen oder Parallelverschiebungen sind, folgt aus Abschnitt 5. Man findet das Drehzentrum einer Bewegung durch Ausnützen der Eigenschaft, daß es von Ur- und Bildpunkten gleich weit entfernt liegt.

2 7. Winkel im Kreis einige Anwendungen Der Peripheriewinkelsatz und seine Verwandten haben viele Anwendungen in dem Sinne, daß sie sehr nützlich sind beim Beweis von elementargeometrischen Tatsachen. Hier sind zwei einfache Beispiele. 7. Das Erzeugnis von rotierenden Geraden Gegeben seien zwei Punkte P, Q, eine Gerade g durch P und eine Gerade h durch Q. Drehen wir beide Gerade um den gleichen orientierten Winkel α um P bzw. um Q, entstehen die Geraden g α bzw. h α. Die Menge aller Schnittpunkte g α h α bilden einen Kreis. Das folgt aus der Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes. 7.2 Die Ellipsenbewegung Rollt ein Kreis k im Inneren eines doppelt so großen Kreises k 0 ab, so sind die Bahnkurven der Punkte von k Durchmesserstrecken von k 0. Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Figur folgt das aus folgendem Argument: Die Halbgerade M 0 P trifft k 0 im Punkt P. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist (P 0 MP ) = 2 (P 0 M 0 P ) = 2 (P 0 M 0 P ). Die Bogenlänge P 0 P auf k ist daher gleich der Bogenlänge P 0 P auf k 0. Dies zeigt einerseits, daß P beim Abrollen schließlich nach P gelangen wird, und andereseits, daß derjenige Punkt von k, der schließlich nach P gelangen wird, genau an der Stelle P ist. Nachdem die genaue Position von k und P 0 in dieser Formulierung nicht eingeht, heißt das, daß alle Zwischenpositionen von P während des Rollvorganges auf der Geraden M 0 P = M 0 P liegen. Von der Ellipsenbewegung gibt es ein bewegliches, für den Overhead-Projektor geeignetes Modell.

3 8. Inkommensurable Strecken der goldene Schnitt und das reguläre Fünfeck Eine positive reelle Zahl s besitzt eine Darstellung als Kettenbruch, die rekursiv folgendermaßen definiert ist: Ist die Zahl ganz, sind wir fertig. Ansonsten ist s = n + r mit n Z und einem Rest r mit 0 < r <. Wir setzen s = /r: () s = n + /s. Ist s ganzzahlig, so sind wir fertig, ansonsten wenden wir denselben Schritt auf s an, und so weiter. Zum Beispiel lautet die Kettenbruchentwicklung von 2.7 wie folgt: 2.7 = = 2 + 0/7 = 2 + (2) + 3 = = / Für rationale Zahlen p/q lautet der Algorithmus wie folgt: q ist in p n mal enthalten, mit p Rest, es ist also p/q = n + p /q mit p < q. Wir schreiben (3) p/q = n + q/p und wenden auf den Bruch q/p dasselbe Verfahren an. Für rationale Zahlen endet der Algorithmus irgendwann, denn von den beiden beteiligten Zahlen wird in jedem Schritt der Zähler kleiner und wandert in den Nenner. Umgekehrt ist ein endlicher Kettenbruch natürlich eine rationale Zahl. Die Entdeckung der irrationalen Zahlen wird den Pythagoreern zugeschrieben und basiert auf einem elementar-geometrischen Streckenverhältnis ohne endlichen Kettenbruch. Ein solches ist das Verhältnis Diagonale Seitenlänge in einem regulären Fünfeck ABCD (siehe Figur). Wir zeichnen die Diagonalen jede Diagonale ist aus Symmetriegründen parallel zu einer Seite und erhalten ein kleineres Fünfeck A B C D E, wobei immer gegenüberliegende Punkte denselben Buchstaben erhalten. Wegen des Parallelogramms AEDE ist AE gleich der Seitenlänge a 0 = ED, und wegen des Parallelogramms AC A D ist AD gleich der Diagonale d = A C im kleinen Fünfeck. Da das Verhältnis Seite zu Diagonale sowohl für das kleine (a /d ) als auch das große Fünfeck (a 0 /d 0 ) dasselbe ist, haben wir d 0 = AC a 0 AE = + E C = + AD = + AE AE AE AD (4) = + = + + D E + a = + AD d + d /a Wir sind also wieder bei demselben Verhältnis angelangt, von dem aus wir gestartet sind. Die Kettenbruchentwicklung bricht nie ab. Setzen wir fort, so erhalten wir (5) d 0/a 0 = Dieses Verhältnis heißt der goldene Schnitt. Diese von Pythagoras im 6. Jahrhundert v. Chr. gegründete philosophische Schule strebte unter anderem nach einer Erklärung der Geometrie, Musik und Arithmetik im besondern, und einer Antwort auf die große Frage betreffnd das Leben, das Universum, und den ganzen Rest im allgemeinen, in ganzen Zahlen. Im 5. Jahrhundert v. Chr. wurde entdeckt, daß in einigen einfachen geometrischen Figuren Verhältnisse von Streckenlängen auftreten, die nicht Vehältnisse von ganzen Zahlen sind. Diese Entdeckung hatte fatale Folgen für den naiven Standpunkt, daß das gesamte Universum durch ganze Zahlen beschrieben wird. Zumindest für die Pythagoreer, die das Quadrat und das reguläre Fünfeck für Teile der realen Welt hielten. Nach einigen Quellen wurde der Entdecker dieser furchtbaren Tatsache, Hippasus, nicht nur aus der Bruderschaft der Pythagoreer ausgeschlossen, sondern auch ertränkt.

4 9. Konstruieren auf der Zahlengeraden Der Strahlensatz Satz. Sind g, h zwei Gerade, und l, l 2,... eine Schar von Parallelen, die g und h schneiden, so gibt es eine reelle Zahl α, sodaß für die orientierten Entfernungen der Schnittpunkte die Relationen () g l i g l j = α h l i h l j gelten. Wir nehmen die Gültigkeit dieses Satzes an und versuchen keinen Beweis, was in diesem Rahmen auch nicht sinnvoll wäre Wir beschreiben die Punkte der Ebenen durch ein kartesisches oder schiefwinkeliges (affines) Koordinatensystem. Die Punkte der x-achse haben Koordinaten (a, 0), und die Punkte der y-achse Koordinaten (0, b). Wir verwenden die x-achse als Zahlengerade und identifizieren ihre Punkte mit der Menge der reellen Zahlen. Wir wollen ausgehend von den Punkten (a, 0) und (b, 0) die Punkte (a + b, 0) und (ab, 0) konstruieren. Addition Wir verwenden horizontale Gerade (Parallele zur x- Achse), vertikale Gerade (Parallele zur y-achse), und eine dritte Parallelschar von Geraden, die hier transversale Gerade heißen sollen. Für unsere Figuren wählen wir die transversalen Geraden mit einer Steigung von. Wir addieren die Punkte (a, 0) und (b, 0), indem wir eine Transversale durch (a, 0) mit der Vertikalen durch (0, 0) schneiden dies ergibt (0, a). Die Vertikale durch (b, 0) schneidet die Horizontale durch (0, a) in (b, a). Die Transversale durch (b, a) schneidet die x-achse in (a + b, 0) (siehe Figur). Multiplikation Wir multiplizieren die Punkte (a, 0) und (b, 0) wie folgt (siehe Figur): (2) (3) (, 0)(0, ) (b, 0)(0, b) (a, 0)(0, ) (ab, 0)(0, b) Das folgt aus dem Strahlensatz. Es ist dabei nicht notwendig, daß die Punkte (0, ) und (, 0) denselben Abstand vom Ursprung haben. Die Konstruktion funktioniert genauso, wenn die Skalen auf der x- und der y-achse verschieden sind. Außerdem ist es nicht notwendig, daß x- und y-achse aufeinander orthogonal stehen. Der Höhensatz Um die Quadratwurzel aus einer Zahl zu ziehen, erinnern wir uns an den Höhensatz im rechtwinkeligen Dreieck (siehe Figur): (4) h 2 = pq Der Höhensatz folgt daraus, daß Dreiecke mit denselben Winkeln dieselben Seitenverhältnisse besitzen (siehe Figur). Offenbar ist p : h = h : q, woraus die Aussage folgt. Das Ziehen der Quadratwurzel Wählt man p =, ist h = q und man kann die Quadratwurzel aus einer Strecke ziehen (siehe Figur). Man beachte, daß man für die Konstruktion von Summe und Produkt nur die Operationen Verbindungsgerade, Schnittpunkt, Parallelverschieben benötigt. Zum Quadratwurzelziehen benötigt man die Orthogonalität und einen Zirkel. Ein Beweis im Rahmen der linearen Algebra ist ein Übungsbeispiel. Für einen Beweis im Rahmen eines Axiomensystems der euklidischen Geometrie siehe etwa D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, 899.

5 0. Rechengesetze und geometrische Konfigurationen Die Rechengesetze, die für die Addition und die Multiplikation von reellen Zahlen gelten, können durch das konstruktive Addieren und Multiplizieren von Punkten auf der Zahlengeraden in geometrische Schließungssätze umgewandelt werden. Die untenstehenden Figuren zeigen der Reihe nach die Relationen () a + b = b + a (a b) c = a (b c) a b = b a Je nachdem, welche Konstruktion man wählt, um die Summe bzw. das Produkt zu ermitteln, ergeben sich verschiedene Schließungssätze. Meist läßt man auch Gerade, die nur Anhängsel sind, weg. Ein besonders prominenter und einfacher Satz ergibt sich aus der Relation ab = ba und lautet wie folgt: Satz. (Satz von Pappos, affine Variante) Liegen drei Punkte P, P 3, P 5 auf einer Geraden, und drei Punkte P 2, P 4, P 6 ebenfalls auf einer Geraden (der y-achse), sodaß (2) P P 2 P 4 P 5, P 2 P 3 P 5 P 6, dann ist auch (3) P 3 P 4 P 6 P. Beweis. Wir verwenden die beiden Geraden als x- und y-achse eines affinen (schiefwinkeligen) Koordinatensystems, und bezeichnen die Punkte mit P = (a, 0), P 3 = (b, 0), P 2 = (0, ), P 4 = (0, b). Wegen der Parallelitäten ist dann P 6 = (0, a) und P 5 = (ab, 0). Die letzte Parallelität folgt aus dem Strahlensatz bzw. aus der Kommutativität der Multiplikation.