Raumgeometrie - schiefe Pyramide

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1 1.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit AB = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Seite [AC]. Die Höhe [MS] ist 6 cm lang. 1.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS mit q = 0,5 und ω = 45. Die Strecke [MB] soll auf der Schrägbildachse liegen. 1.2 Auf der Seitenkante [BS] liegt der Punkt P. Zeichne das Dreieck MBP für SP = 6 cm in die Pyramide ABCS ein, und berechne seinen Flächeninhalt. 1.3 Berechne die Länge der Strecke [MP]. 2.0 Die Pyramide ABCS hat als Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [AB]. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 50 cm 2, die Länge der Basis 8 cm. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Dreiecksseite [BC]. Das Maß ϕ des Winkels MAS beträgt Fertige eine übersichtliche Schrägbildskizze der Pyramide ABCS an. 2.2 Berechne das Volumen V und die Oberfläche O der Pyramide ABCS. 2.3 Berechne die Innenwinkel aller Dreiecke. 3.0 Das Dreieck ABC mit AB = 12 cm, BC = 6 cm und AC = 9,5 cm ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide ABCS. Der Punkt F ist Fußpunkt der Höhe [FC] auf [AB]. Die Spitze S der Pyramide liegt 7 cm senkrecht über dem Punkt F. 3.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS. Die Strecke [AB] soll auf der Schrägbildachse liegen. ( ω = 45 ; q = 0,75) 3.2 Der Punkt M ist Mittelpunkt der Strecke [AB]. Berechne die Längen der Seiten und die Maße der Innenwinkel des Dreiecks MCS. 4.0 Der Punkt M ist Mittelpunkt der Basis [BC] des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit BC = 10 cm und AM = 9 cm. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D senkrecht über M mit MD = 11 cm liegt. 4.1 Zeichne des Schrägbild der Pyramide ABCD. [AM] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45 Berechne das Maß ϕ des Winkels MAD. [Ergebnis: ϕ = 51,34 ] 4.2 Punkte P n auf der Seitenkante [AD] der Pyramide sind Eckpunkte von Dreiecken BCP n. Zeichne des Dreieck BCP 1 für AP 1 = 5,5 cm in das Schrägbild ein. Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks BCP Es gibt ein Dreieck BCP 2, so dass P 2 MA = 50 gilt. Berechne das Maß ε des Winkels BP 2 C. Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden! RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 1 (6)

2 5.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge a ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke [ BC ]. Die Höhe [ MS ] der Pyramide entspricht der Länge der Strecke [ AM ]. Ebenen BCP n mit P [ AS ] bilden in der Pyramide Dreicke. Der Winkel SMP n soll mit ε bezeichnet werden. 5.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit einem Dreieck BCP. Für die Zeichnung gilt: a = 8 cm; ω = 45 ; q = 0,5; [ AP ] = 4 cm. Rißachse ist AM. 5.2 Berechne die Dreieckshöhe [ MP ] = x in Abhängigkeit von a und ε. Wie lauten die Grenzwerte für ε. Berechne die Grenzen der Dreieckshöhe [ MP ] in Abhängigkeit von a. 5.3 Berechne den Flächeninhalt A der Dreiecke BCP in Abhängigkeit von a und ε. 5.4 Für welche Werte von ε beträgt der Flächeninhalt A der Dreiecke 28 cm 2, wenn a = 8,5 cm lang ist. 5.5 Bestimme die Streckenlänge [ AP ] = z in Abhängigkeit von a und ε. 5.6 Der Punkt P ist die Spitze von Pyramiden ABCP. Berechne das Volumen V der Pyramiden in Abhängigkeit von a und ε. 5.7 Für welchen Wert von ε wird das Volumen a 3 / 48 cm 3 groß? Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden! 6.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 6cm und BC = 4cm ist Grundfläche einer 10cm hohen Pyramide. Die Spitze liegt dabei senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundkante [AD]. 6.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide für q = 0,75 und ω = 45. Die Kante [CD] soll dabei auf der Schrägbildachse s liegen. 6.2 Berechne das Maß δ des Winkels, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche einschließt. 6.3 Berechne das Maß ε = SCM. 7.0 Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Spitze S liegt senkrecht über C. Die Höhe h = 10 cm. Die Seite des Quadrates beträgt 6 cm. 7.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit ω = 45 und q = 0, Berechne die Länge der Seitenkanten BS und AS. 7.3 Berechne die Maße der Winkel CAS und CDS. 7.4 Welchen Abstand besitzt der Punkt C von der Seitenkante [AS]? Zeichne den Abstand d = [CP] in die Zeichnung ein und berechne sein Maß! 7.5 Zeige durch Rechnung, dass P die Seitenkante [AS] nicht halbiert. RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 2 (6)

3 8.0 Eine Pyramide PQRS hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck PQR mit der Seitenlänge s = 8 cm. Der Mittelpunkt M der Grundkante [QR] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h. Es gilt: MS = h = 12 cm. Ein Punkt T n bewegt sich auf [PS]. Durch [QR] und T n [PS] sind Ebenen festgelegt. Es sei T n MP = ε. 8.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 0,5 und ω = 60. Trage ein Dreieck T 1 QR in das Schrägbild ein. 8.2 Berechne das Maß des Neigungswinkels α der Seitenkante [PS] gegen die Grundfläche. ( Ergebnis: α = 60 ) 8.3 Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche QRT n in Abhängigkeit von ε. 24 ( Ergebnis: A( ε) = cm sin( 120 ε) 2 ) 8.4 Berechne das Winkelmaß ε 0, für das die Schnittfläche den kleinsten Flächeninhalt annimmt. 9.0 Bei einer schiefen Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche liegt die Spitze S senkrecht über dem Punkt D. Es gilt AB = 6 cm und DS = 8 cm. 9.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS mit q = 0,5 und ω = Berechne das Maß ε des Neigungswinkels SBD der Seitenkante [BS] gegenüber der Grundfläche. 9.3 Berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks SAC. [Teilergebnis: SCA = 64,90 ] 9.4 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks SAC. 9.5 Ein Punkt P liegt auf der Seitenkante [CS]. Von P wird das Lot auf [DC] gefällt; der Lotfußpunkt heißt Q. Zeichne den Punkt P und die Lotstrecke [PQ] für PQ = 6,6 cm in die Zeichnung ein. 9.6 Berechne die Längen der Strecken [CP] und [CQ] für PQ = 6,6 cm. [Teilergebnis: CP = 8,25 cm] 9.7 Der Punkt M ist der Schnittpunkt der Diagonalen im Quadrat ABCD. Berechne das Maß ϕ des Winkels CMP für PQ = 6,6 cm. Achtung: Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet! RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 3 (6)

4 10.0 Die Raute ABCD (a = 5,00 cm; α = 73,74 ) ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über C. CS = h = 6,00 cm. M ist Schnittpunkt der Diagonalen Berechne die Längen der Diagonalen [AC] und [BD] Zeichne ein Schrägbild dr Pyramide. Rissachse sei AC, ω = 45, q = 0, Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide ε = SAC. Berechne das Maß von ε Auf [AS] wandert der Punkt P n. ϕ n = AMP n Welche Werte kann das Maß von ϕ n annehmen? 10.7 Stelle die Flächeninhalte der Dreiecke BP n D als Funktion von ϕ n dar. 2,4 2 (Zwischenergebnis: MP = cm ) sin 36,87 +ϕ ( ) 10.8 Für welches Maß von ϕ erhält man das Dreieck mit minimalem Flächeninhalt? 10.9 Für welche Maße von ϕ aus 10.6 werden die Dreiecke BP n D gleichseitig? 7, Zeige, dass der Term A( ϕ ) = sin(36,87 +ϕ) auf die Form A( ϕ ) = 36 3cosϕ + 4sinϕ gebracht werden kann. RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 4 (6)

5 12.0 Eine Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und AB = 6 cm ist gegeben. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über A, es gilt AS = 6 2 cm. Zeichne mit q = 0,5 und ω = 45 ein Schrägbild der Pyramide Ein Punkt bewegt sich auf der Seitenkante [CS] von C nach S. Die Dreiecke DBP schließen mit der Grundfläche die Winkel CMP mit dem Maß ϕ ein, wobei M der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD] ist. Zeichne ein Dreieck DBP in das Schrägbild zu 12.1 ein und berechne den Flächeninhalt A(ϕ) der Dreiecke DBP in Abhängigkeit von ϕ. (Ergebnis: A(ϕ) = sin( 45 ) ϕ + cm 2 ) 12.2 Ermittle das Winkelmaß ϕ 0 für das flächenkleinste Dreieck DBP Die Winkel MBP haben das Maß α. Stelle α in Abhängigkeit von ϕ dar und zeichne den zugehörigen Graphen. Für welchen Wert von ϕ nimmt α einen Extremwert an? (Teilergebnis: tanα = sin45 sin(45 +ϕ) oder tanα = 1 2 sin( ϕ+ 45 ) ) 13.0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basislänge BC = 12 cm und der Höhe AM = 10 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCS. Ihre Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt H der Strecke [AM] mit HS = 12 cm. Die Punkte P n auf der Strecke [MS] sind die Spitzen von Pyramiden ABCP n. Winkel P n AS ist ϕ Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. Dabei soll die Strecke [AM] auf der Schrägbildachse liegen. Zeichne dann die Pyramide ABCP 1 für ϕ = 15 ein. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne α = MAS. ( Ergebnis: α = 67,38 ) 13.3 Ermittle die Streckenlänge AP n (ϕ) in Abhängigkeit von ϕ. Unter den Strecken [AP n ] ist [AP 0 ] die kürzeste Strecke. Gib das zugehörige Winkelmaß ϕ 0 und AP 0 an. 923, ( Teilergebnis: AP n ( ϕ) = ) sin( 45, 24 + ϕ) 13.4 Berechne ϕ so, daß AP n = 9,5 cm gilt Ermittle rechnerisch das Volumen V(ϕ) der Pyramiden ABCP n in Abhängigkeit von ϕ. Berechne ϕ, so daß die zugehörige Pyramide ABCP 2 ein Volumen von 100 cm 3 hat. ( Teilergebnis: V( ϕ) = 184, 6 sin( 67, 38 ϕ) cm 3 ) sin( 45, 24 + ϕ) RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 5 (6)

6 14.0 Das Rechteck ABCD mit den Seitenlängen [AB] = a cm und [BC] = a 2 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit der Höhe h= a 3 cm. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke [AD]. Eine Ebene APQD mit P [BS] und Q [CS] schneidet aus der Pyramide gleichschenklige Trapeze APQD aus. Der Punkt R ist der Mittelpunkt der Strecke [PQ]. Der Winkel RMS hat das Maß ϕ Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDS und ein Trapez APQD. Trage den Winkel ϕ ein. Für die Zeichnung: a = 6 cm; ω = 45 ; q = 0,5; Rißachse ist CD Berechne die Trapezhöhe MR = x cm in Abhängigkeit von a und ϕ Berechne die Streckenlänge PQ in Abhängigkeit von a und ϕ Für welchen Wert von ϕ wird PQ = 12, a cm lang? 15.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 6 cm und BC = 4 cm ist Grundfläche einer 10 cm hohen Pyramide. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundkante [AD] Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 3 4 und ω = 45. Die Kante [CD] soll dabei auf der Schrägbildachse liegen Berechne das Maß des Winkels DAS, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche einschließt. Begründe, warum DAS der Schnittwinkel der angegebenen Flächen ist Berechne das Maß des Winkels SCM Ebenen schneiden die Pyramide in gleichschenkligen Trapezen BCF n G n. Sie schließen mit der Grundfläche Winkel mit dem Maß ϕ ein. Zeichne jenes Trapez BCF 1 G 1 ein, welches die Pyramidenhöhe halbiert. ( Zur Beschriftung: E ist Mittelpunkt von [BC], P ist Mittelpunkt von [F 1 G 1 ], ϕ = PEM ) 15.5 Welche Winkelmaße kann ϕ annehmen? 15.6 Berechne die Höhe [EP] und den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von ϕ. RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 6 (6)

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