A. Einleitung Versicherung finanzieller Risiken Versichertengemeinschaft Versicherungsleistung S Versicherungs- nehmer

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1 A. Einleitung Der Zweck einer Versicherung liegt im Transfer individueller finanzieller Risiken auf eine Versichertengemeinschaft, indem sie die Deckung eines im einzelnen ungewissen, insgesamt geschätzten Mittelbedarfs auf der Grundlage des Risikoausgleichs im Kollektiv und in der Zeit (FARNY) gewährleistet. Die versicherten Gefahren einer Versichertengemeinschaft sind dabei stets gleichartig, können aber aus einer großen Zahl von Bereichen stammen. Seit den Ursprüngen des Versicherungsgedankens in der antiken Seefahrt (Schutz vor den finanziellen Folgen von Schiffsuntergängen) haben sich zahlreiche weitere versicherbare Risiken herauskristallisiert, wie etwa der Schutz vor den Unbilden der Natur für Haus und Hof (Feuer, Sturm, Überschwemmung etc.) oder der Schutz vor den finanziellen Folgen von Krankheit, Invalidität und Tod für den Einzelnen und seine Familie. Gemeinsam ist allen Versichertengemeinschaften, dass sie finanziellen Ausgleich (eine Versicherungsleistung S) bei Eintritt eines Risikos gewähren (Vgl. FÜHRER/ GRIMMER bzw. VON FÜRSTENWERTH/WEIß). Im Gegenzug muss der Versicherungsnehmer eine verhältnismäßig geringe finanzielle Zahlung P < S an die Gemeinschaft leisten. Wichtig für die Herausbildung einer Versichertengemeinschaft ist: Die versicherten Risiken sollten in ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenhöhe wenigstens im stochastischen Mittel näherungsweise mathematisch erfassbar sein. Eintrittswahrscheinlichkeit und absehbare Schadenhöhe der versicherten Risiken müssen derart beschaffen sein, dass der vom einzelnen Versicherten zu leistende Beitrag nicht zu hoch ausfällt; anderenfalls lohnt sich der Risikotransfer auf das Versichertenkollektiv für den Einzelnen nicht. Die Versichertengemeinschaft ermöglicht so einen Risikoausgleich zum Nutzen aller Beteiligten, die auf Basis ihres Versicherungsverhältnisses Planungssicherheit, Schutz vor finanziellem Ruin und nicht zuletzt auch mehr Lebensqualität gewinnen. Im Laufe der Geschichte haben sich zwei grundlegende Ansätze zur Einrichtung von Versichertengemeinschaften herausgebildet, die zumeist auf privatem Unternehmertum beruhende Individualversicherung (Lebensversicherung, private Krankenversicherung etc.) und die auf staatliche Initiative zurückgehenden gesetzlichen Versicherungen, in der Hauptsache die gesetzliche Sozialversicherung (gesetzliche Rentenversicherung, gesetzliche Krankenversicherung etc.). Hauptunterschiede der beiden Systeme in der Praxis sind das jeweilige Finanzierungssystem und die auf seiner Grundlage gewährten Versicherungsleistungen: 1

2 Versicherung Individualversicherung Kapitaldeckungsverfahren Gesetzliche Sozialversicherung Umlageverfahren Abb. A.1: Finanzierungssysteme von Versicherungsformen Begrifflich haben sich für die Zahlungen an die jeweilige Versicherung die Begriffe Beitrag (in der gesetzlichen Sozialversicherung und bei Versicherern, die in der Rechtsform eines Versicherungsvereins auf Gegenseitigkeit [VVaG] geführt werden) bzw. Prämie (in der Individualversicherung, hier speziell bei Aktiengesellschaften) weitgehend durchgesetzt. In der Praxis der Individualversicherung tauchen Beitrag und Prämie häufig in bestimmten Zusammenhängen bevorzugt auf, was auch in diesem Buch respektiert wird; z. B. wird unabhängig von der Rechtsform meist von Prämienkalkulation, gleichzeitig aber von Beitragsfreistellung gesprochen. Mit Beitrag und Prämie ist dabei jeweils das Gleiche gemeint. Beim Umlageverfahren der gesetzlichen Sozialversicherung richtet sich die Beitragshöhe nach der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Einzelnen (sozialer Gedanke). Demgegenüber macht das Kapitaldeckungsverfahren (auch Anwartschaftsdeckungsverfahren) der Individualversicherung das versicherte Einzelrisiko (Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenhöhe) zur Grundlage der Prämienkalkulation, ein sozialer Ausgleich zwischen Arm und Reich wird nicht gesucht. Teilweise konkurrieren beide Systeme miteinander, teilweise ergänzen sie sich auch. So ist eine private Krankheitskostenvollversicherung bei bestimmten Personengruppen (Selbstständige, Beamte, besser verdienende Angestellte) substitutiv zur gesetzlichen Krankenversicherung, während eine private Rentenversicherung die Leistungen aus der gesetzlichen Rentenversicherung zumindest gegenwärtig im Allgemeinen lediglich ergänzen, nur selten aber vollständig ersetzen kann (und darf). Die Individualversicherung wird in der Praxis zumeist in drei Sparten, nämlich Lebens-, Kranken- und Sachversicherung (kurz Leben, Kranken, Sach) unterteilt. Speziell die private Lebensversicherung hat die Aufgabe, Produkte zum Schutz vor den finanziellen Folgen von Alter, Invalidität und Tod bereitzustellen. Die 100 im Jahresbericht 2008 der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) genannten Lebensversicherungsunternehmen bieten dafür unterschiedliche Produkte mit jeweils charakteristischen Merkmalen an. Die wichtigsten Produktklassen sind: 2

3 Risikolebensversicherung Gewährung einer einmaligen Versicherungsleistung bei Tod der versicherten Person (Todesfallleistung). Die gewöhnliche Risikolebensversicherung wird für einen Zeitraum von n Jahren abgeschlossen. Soll der Schutz gar lebenslänglich bestehen (d. h., die Todesfallleistung wird in jedem Falle fällig), spricht man von einer Todesfallversicherung. Kapitalbildende Lebensversicherung Gewährung einer einmaligen Versicherungsleistung bei Tod der versicherten Person oder bei Ablauf des Vertrages (Erlebensfallleistung). Eine Versicherungsleistung wird in jedem Falle fällig. Die kapitalbildende Lebensversicherung wird auch als gemischte Versicherung oder Kapitallebensversicherung bezeichnet. Spezialformen sind Produkte, bei denen die Erlebensfallleistung in mehreren Einzelzahlungen vorgenommen wird (so genannte Teilauszahlungstarife). Rentenversicherung (genauer Leibrentenversicherung) Gewährung einer laufenden Versicherungsleistung (Ratenzahlungen) bis zum Tod der versicherten Person. Rentenversicherungen können sowohl gegen Einmalprämie (dann meist mit sofortbeginnender Rentenzahlung) als auch gegen laufende Prämienzahlung abgeschlossen werden (dann mit aufgeschobenem Rentenbezug). Berufs- und Erwerbsunfähigkeitsversicherung (BU/EU) Gewährung einer laufenden Versicherungsleistung (Ratenzahlungen) im Falle von Berufs- bzw. Erwerbsunfähigkeit. Beide Produkte gibt es als Hauptversicherungen wie auch als Zusatzversicherungen zu einer der oben genannten Versicherungsformen. Im Jahre 2009 verzeichneten die deutschen Lebensversicherer nach Zahlen des Gesamtverbandes der Deutschen Versicherungswirtschaft e. V. (GDV) Gesamtbeitragseinnahmen von rd. 83 Mrd.. Dies entsprach ca. 49 % aller Prämieneinnahmen, was die Bedeutung dieser Sparte besonders hervorhebt. Dem standen im gleichen Jahr Versicherungsleistungen von ca. 73 Mrd. gegenüber, die in Form von Einmalzahlungen und Renten an die Versichertengemeinschaft geflossen sind. Die Bedeutung der Lebensversicherung in Deutschland wächst, da sich die Leistungen aus den staatlichen Sozialversicherungssystemen stetig verschlechtern. So verwundert es nicht, dass 2008/2009 immerhin mehr als ein Drittel aller Haushalte in Deutschland über eine kapitalbildende Lebensversicherung verfügte, rd. 24 % bzw. 3

4 26 % konnten eine BU-/EU-Versicherung bzw. eine private Rentenversicherung vorweisen. Die Lebensversicherungswirtschaft leistet so einen bedeutenden Beitrag zur sozialen Absicherung der Bürger und entlastet die Sozialversicherungskassen. Sie ist zudem ein wichtiges Kapitalsammelbecken, das durch seine rege Investitionstätigkeit auf verschiedenen Finanzmärkten einen entscheidenden Motor der Volkswirtschaft bildet. Da das Kapitaldeckungsverfahren weitgehend unabhängig vom Beschäftigungsgrad einer Volkswirtschaft ist, gelingt dies der Lebensversicherungswirtschaft auch in Zeiten hoher Arbeitslosigkeit, durch die Umlageverfahren in erhebliche Probleme geraten. Umlageverfahren wiederum zeichnen sich durch ein hohes Maß an Immunität gegenüber Inflation aus, da die zeitnahe Auszahlung der eingenommen Beiträge einem Wertverfall vorbeugt. Die Natur der privaten Lebensversicherungswirtschaft bringt für ihre Produkte ein hohes Maß an Unvorhersehbarkeit mit sich. Weder Versicherungsnehmer noch Versicherungsunternehmen wissen zu Beginn ihres Vertragsverhältnisses, welche finanziellen Transaktionen auf beide Seiten in den kommenden Jahren insgesamt zukommen werden, da das versicherte Risiko niemals individuell, sondern nur über statistische Erwartungswerte gemessen und verstanden werden kann. Das führt uns zu mehreren Fragen: Wie kann das versicherte Risiko (Alter, Invalidität, Tod) überhaupt gemessen werden? Wie muss eine faire Prämie bemessen sein, die einerseits das versicherte Risiko sicher abdeckt, andererseits aber aus Sicht aller Vertragsparteien (dazu gehören auch etwaige Vermittler) hinreichend attraktiv erscheint, also marktgerecht ist? Wie kann sich der Versicherer dagegen absichern, dass es in einzelnen Jahren durchaus zu einer unerwarteten Häufung von Versicherungsfällen kommen kann? Gelingt eine solche Absicherung nicht, kann ein Konkurs des Versicherers drohen womit auch bestehende Vertragsverhältnisse gefährdet sind. In welchen Beziehungen stehen die wirtschaftliche Lage eines Versicherers und seine bestehenden Vertragsverhältnisse zueinander? Diese und weitere Fragen beantwortet die Lebensversicherungsmathematik, die sich als separater Bestandteil der Versicherungsmathematik versteht und seit dem 19. Jahrhundert als fest etablierter Wissenschaftszweig gelten darf. Sie bedient sich bei der Beantwortung der obigen Fragen unterschiedlicher mathematischer Ansätze und greift auf Erkenntnisse der Analysis, Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung (auch Stochastik), Spieltheorie und Risikotheorie zurück. Als praxisrelevante Wissenschaft wird sie stark vom rechtlichen Umfeld einer Volkswirtschaft beeinflusst, 4

5 ebenso freilich von betriebswirtschaftlichen, medizinisch-biometrischen und nicht zuletzt auch psychologischen Parametern. Sie ist daher in hohem Maße interdisziplinär ausgerichtet, was die Arbeit des Aktuars (Versicherungsmathematikers) interessant und spannend macht. Psychologie Betriebswirtschaftslehre Lebensversicherungsmathematik Medizin/Biometrie Jura Mathematik Abb. A.2: Lebensversicherungsmathematik und angrenzende Disziplinen Ziel dieses einführenden Buches soll es sein, dem Leser die Komplexität der Lebensversicherungsmathematik leicht verständlich und doch fundiert und praxisorientiert näher zu bringen. Besonderen Wert haben wir dabei bewusst nicht auf eine erschöpfende Darstellung aller Einzelaspekte gelegt, sondern auf eine Präsentation der entscheidenden Ideen und Konzepte. Sie soll den Leser in die Lage versetzen, auch komplexere aktuarielle Zusammenhänge, für die wir dann auf die weiterführende Literatur bzw. die berufliche Praxis verweisen, zumindest ansatzweise zu verstehen. Die Kapitel B und C stellen als hinführende Kapitel die zwei wichtigsten theoretischen Standbeine der Prämienkalkulation dar, die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Finanzmathematik. Im Blickpunkt steht dabei die spätere aktuarielle Anwendung. Beide Kapitel wollen entsprechende Fachliteratur zu diesen Gebieten nicht ersetzen, sondern ermöglichen einen Einstieg in die Lebensversicherungsmathematik ohne den Umweg über hierfür meist zu ausführliche Standardwerke. Bei entsprechenden Vorkenntnissen können sie quer gelesen oder ganz übersprungen werden, um direkt in die Prämienkalkulation einzusteigen. Faire und sichere Verfahren zur Prämienkalkulation sind Gegenstand des zentralen Kapitels D. Hier soll es vor allem um die Frage gehen, wie Risiko, Zins und Kosten (die drei wesentlichen Rechnungsgrundlagen) die Versicherungsprämie bestimmen. Vorbereitend hierzu diskutieren wir die wichtigsten rechtlichen Grundlagen der privaten Lebensversicherung, ebenso wie eine adäquate Messung des versicherten 5

6 Risikos auf der Basis von Sterbetafeln. Um dem Leser die Entwicklung eines in der beruflichen Praxis unentbehrlichen Fingerspitzengefühls für Prämien zu erleichtern, wird der Einfluss einzelner Eingangsparameter auf die Prämienhöhe in mehreren Parameterstudien beleuchtet. Wichtig ist auch das folgende Kapitel E zur Deckungsrückstellung. Hier geht es darum, wie sich bei zeitlich schwankendem Risikoverlauf (so ist die Natur) eine zeitlich konstante Prämienzahlweise (das wünscht der Versicherungsnehmer) gewährleisten lässt. Dies wird dadurch erreicht, dass in jungen Jahren geeignete Reserven gebildet werden, die später ein finanzielles Polster für Zeiten mit ungünstigerem Risikoverlauf darstellen. Damit der Versicherungsnehmer mit dem Begriff Versicherung etwas wirklich Sicheres assoziieren kann, werden die Rechnungsgrundlagen bei der Prämienkalkulation extrem vorsichtig gewählt. In der Folge bescheren die meisten Geschäftsjahre den Lebensversicherern erhebliche Überschüsse, die überwiegend an die Versichertengemeinschaft zurück transferiert werden. Da die Versicherungsaufsicht Lebensversicherer zu einer fairen Beteiligung aller Versicherungsnehmer an den Überschüssen verpflichtet, sind Verfahren zur Überschussermittlung und -verteilung entwickelt worden, die wir in Kapitel F erläutern. Die Brücke zur betriebswirtschaftlichen Situation eines Lebensversicherers schlägt Kapitel G über die Rechnungslegung im Lebensversicherungsunternehmen. Hier geht es um die Beziehung zwischen einzelnen Größen der Bilanz und der Gewinn- und Verlustrechnung einerseits und den vorangegangenen Kapiteln andererseits. Der Leser soll so in die Lage versetzt werden, die Mathematik der Lebensversicherung als Instrument der Unternehmensanalyse und -bewertung zu verstehen. Kapitel G erlaubt damit einen Blick über den klassischen Rahmen der Lebensversicherungsmathematik hinaus und unterstreicht ihre zentrale Bedeutung für die Unternehmensführung in der Versicherungswirtschaft. Kapitel H gestattet dem interessierten Leser kurze Einblicke in weiterführende Themen und erhebt daher keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Vielmehr soll es konkrete Anwendungen der Lebensversicherungsmathematik im Ansatz beschreiben und verständlich machen. Einige dieser Gebiete wie die Preferred-Lives-Tarifierung sind noch relativ jung, sodass hier in den nächsten Jahren mit interessanten Entwicklungen gerechnet werden darf, die sich auf die Produktwelt der Lebensversicherungswirtschaft auswirken werden. Die in den erkennbar mathematisch geprägten Kapiteln B E angesiedelten Übungsaufgaben bieten Anwendungsbeispiele und sollen den Lehrstoff abrunden und vertiefen. Einige Fragestellungen haben wir bewusst in die Aufgaben verlegt, um so dem besonders motivierten Leser Anregungen zur Erweiterung des Stoffes zu geben. 6