Aufgabe 00 (Einstiegsaufgabe zur Berechnung im Raum)

Transkript

1 Aufgabe 00 (Einstiegsaufgabe zur Berechnung im Raum) Das Modell zeigt die Pyramide ABCDS mit rechteckiger Grundfläche ABCD (AB cm; BC 7 cm). Die Spitze S liegt senkrecht über C (SC 5 cm). (Modell vergrößert gebaut!!) a) skizziere, wie das Modell direkt von oben aussieht (nicht räumlich zeichnen!!) b) Beschreibe die Form der Seitenflächen der Pyramide. c) Zeichne Schrägbilder aus verschiedenen Perspektiven Achtung: mit der Zeichnung recht weit unten beginnen (Verzerrungsfaktor ist immer q 0,5) i) Schrägbildachse ist AB, Verzerrungswinkel ω 45 ii) Schrägbildachse ist AD, Verzerrungswinkel ω 45 iii) Schrägbildachse AC, Verzerrungswinkel ω 60 d) Berechne das Maß folgender Winkel: CDS BAS CAS CSB SMB ASB e)

2 ! # # %& ( ) +,. / 0 + / # / # / /! 44 5! Pyramide - Arbeitsblatt - Lösung / / / / / B / A / A / & ( / ( / :; 7 &< /. > (! &. : ;? )! / / / Pyramide! 7& 7 / & Α& 7 7 / &< Α& Β. 9 7 &<. > &. Χ Α % ) % &. 9 + Ε :#;< : Ε ; Α :#;. > : Ε ; &. + Ε.

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4 Prüfungsdauer: 50 Minuten Pyramide Arbeitblatt Angabe Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B Nachtermin B.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das gleichschenklige Trapez ABCD mit AB CD ist. Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Strecke [AB], der Punkt F ist der Mittelpunkt der Strecke [CD]. Der Punkt N liegt auf der Strecke [EF]. Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem Punkt N. Es gilt: AB cm; CD 6cm; EF 8cm; Es gilt: EN cm ; SN 8cm. B E A S N C F D Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma. B. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [EF] auf der Schrägbildachse und der Punkt E links vom Punkt F liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SFN und die Länge der Strecke [SF]. [Ergebnisse: SFN 57,99 ; SF 9,4cm] 4 P B. Eine Parallele zur Geraden AB durch den Punkt N schneidet die Strecke [AD] im Punkt G und die Strecke [BC] im Punkt H. Zeichnen Sie die Strecke [GH] in das Schrägbild zu. ein und zeigen Sie sodann durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [GH] gilt: GH 9,75cm. P B. Das Dreieck GHF ist die Grundfläche von Pyramiden GHFP n, deren Spitzen P n auf der Strecke [SF] liegen. Für die Pyramide GHFP gilt: FP 7,5cm. Zeichnen Sie die Pyramide GHFP in das Schrägbild zu. ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [NP ] und das Maß des Winkels FNP. [Ergebnis: NP 6,44cm] P B.4 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide GHFP. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide GHFP am Volumen der Pyramide ABCDS. + B.5 Für die Länge der Strecken [NP n ] gilt: NPn xcm (x IR ). Für x 4,5 erhält man die Pyramide GHFP und die Pyramide GHFP. Zeichnen Sie die Strecken [NP ] und [NP ] in das Schrägbild zu. ein. Für x ]4,4;5[ erhält man jeweils zwei Pyramiden. Begründen Sie, warum es für x 4,4 und für x 5 jeweils nur eine Pyramide gibt. 4 P P Bitte wenden!

5 Lösungsmuster und Bewertung Pyramide - Arbeitsblatt - Lösung Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B Nachtermin RAUMGEOMETRIE B. S L K4 P P A E N P F D B C 8cm tan SFN SFN 57,99 SFN ]0 ;90 [ (8 - )cm L K5 SF 8 + (8 - ) cm SF 9,4cm 4 B. Einzeichnen der Strecke [GH] Es sei der Punkt K der Fußpunkt des Lotes vom Punkt C auf die Gerade AB; der Punkt L sei der Fußpunkt des Lotes vom Punkt H auf die Gerade AB. GH cm cm - tan HBL HBL ]0 ;90 [ 8cm tan CBK CBK ]0 ;90 [ 0,5 ( - 6)cm CBK 69,44 cm GH cm - tan69,44 GH 9,75cm L K4 L K K5

6 B. Einzeichnen der Pyramide GHFP NP FP + NF FP NF cos PFN NP 7,5 (8 ) 7,5(8 ) cos57,99 cm + NP 6,44cm sin FNP sin PFN FP NP FNP 80,94 FNP ]0 ;90 ] L K4 L K K5 B.4 V PyramideGHFP sin57,99 GH NF d(p;nf) d(p;nf) 7,5cm VPyramideGHFP 9,75 (8 ) 6,6cm d(p;nf) 6,6cm VPyramideGHFP V PyramideABCDS (+ 6) 88cm 5,68cm 0,7 9cm Der Anteil beträgt 7%. VPyramideABCDS 5,68cm 9cm 4 L K K5 B.5 Einzeichnen der Strecken [NP ] und [NP ] Die Punkte P n sind die Schnittpunkte der Strecke [SF] mit einem Kreis k mit dem + Mittelpunkt N und dem Radius r xcm (x IR ). Für x 4,4 gilt: r d(n;sf). d(n;sf) Denn: sin57,99 d(n;sf) 4,4cm 5cm Somit ist die Gerade SF eine Tangente an den Kreis k. Es gibt nur einen Berührpunkt und folglich nur eine Pyramide. Für x 5 gilt: r NF. Die Gerade SF ist zwar eine Sekante, jedoch ist einer der beiden Schnittpunkte mit dem Kreis k der Punkt F, sodass es nur eine Pyramide gibt. 7 L K4 L K K5 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

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8 REVISION HISTORY REV DESCRIPTION DATE APPROVED NAME DATE DRAWN Dieter Kroemer CHECKED ENG APPR MGR APPR UNLESS OTHERWISE SPECIFIED DIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS ANGLES ±X.X PL ±X.XX PL ±X.XXX /0/0 Solid Edge TITLE SIZE DWG NO A FILE NAME: pyramide_ab6_solidegde.dft SCALE: WEIGHT: SHEET OF REV

9 sungs uster und Be ertung Pyramide - Arbeitsblatt - Lösung Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B aupttermin RAUMGEOMETRIE B. S L K4 0 P P E R D A F M C B MS ( 4) cm MS cm cm tan S S M, S M ] ;9 cm B. Einzeichnen der Strecke [FG] SR cm,5cm SR 4,5cm FG 4,5cm FG cm cm cm B. Einzeichnen des Dreiecks EFG ER 4,5cm ER cm 4cm cm V V PyramideABDS PyramideEFGS cm 4,5cm VPyramideABDS VPyramideEFGS cm,5cm 4 L K K5 L K4 L K K5 L K4 L K K5

10 ,5cm cm,4 Der Anteil beträgt 4%. 4 B.4 Einzeichnen des Dreiecks P SR RP 4,5cm sin(80 (90 + 6,87 )) sin00 RP,66cm L K4 L K K5 AD PSR RP SR sin PRS A PSR PRS 80 (00 + 5, ),66 4,5 sin6,87 cm D AD PSR PRS 6,87,7cm B.5 Einzeichnen des Punktes P cm sin6,87 CP CP RP 4,5 + (0 5,00) 4,5 (0 5,00) cos5, cm RP 4,7cm 5,00cm sin j sin5, j ]6,5 ;00 [ 4,5cm 4,7cm j 57, L K4 L K K5 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

11 Pyramide - Arbeitsblatt - Angabe

12 Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik II Haupttermin Aufgabe B B.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche die Raute ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD] ist. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist der Punkt M. Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem Punkt A. Es gilt: AC 9cm ; BD 8cm ; AS 7cm. A S B M D C Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma. B. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Diagonale [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [SC] und das Maß ϕ des Winkels SCA. [Ergebnisse: SC,40cm ; ϕ 7,87 ] 4 P B. Punkte Z n [SC] mit ZC n xcm (x <,40; x IR + ) sind die Spitzen von Pyramiden BCDZ n. Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ für x in das Schrägbild zu. ein und berechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels CMZ. P B. Für die Pyramide BCDZ gilt: MZ AC. Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ in das Schrägbild zu. ein. Begründen Sie sodann, dass für die Pyramide BCDZ gilt: SZ ZC. P B.4 In der Pyramide BCDZ gilt: S CMZ 0. Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ und ihre Höhe [Z F] in das Schrägbild zu. ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [Z C]. [Ergebnis: ZC 7,95cm ] P B.5 Ermitteln Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide BCDZ am Volumen der Pyramide ABCDS. 4 P

13 Abschlussprüfung 008 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Haupttermin Aufgabe B Lösungsmuster und Bewertung RAUMGEOMETRIE B. S L K4 Z Z D Z A. F. M C B SC cm SC,40cm 7cm tan ϕ ϕ 7,87 ϕ ]0 ;90 [ 9cm B. Einzeichnen der Pyramide BCDZ sinε sin ϕ ΜΖ ZC MZ 4,5 4,5 cos7,87 cm + MZ,7cm sinε sin7,87 ε,79 ε ]0 ;90 [ cm,7cm 4 L K5 L K4 L K K5 B. Einzeichnen der Pyramide BCDZ MZ AS. Da der Punkt M der Mittelpunkt der Strecke [CA] ist, muss nach dem Vierstreckensatz der Punkt Z der Mittelpunkt der Strecke [CS] sein. Damit gilt: SZ ZC. L K4 L K

14 - - B.4 Einzeichnen der Pyramide BCDZ und ihrer Höhe [Z F] ZC MC sinscmz sinsmz C L K4 L K K5 ZC 4,5cm sin0 sin(80 (7, )) ZC 7,95cm ACBD ZF V PyramideBCDZ B.5 V PyramideABCDS AC BD AS L K K5 V V sin PyramideBCDZ PyramideABCDS ZF ϕ ZC 0,5 ZF 4,88cm Der Anteil beträgt 5%. 4 7 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

15 Abschlussprüfung 006 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Wahlteil Haupttermin Aufgabe B Lösungsmuster und Bewertung B. B. BC BC AM 4 cm BC 8 cm 4 cm tan ϕ ϕ 4,7 ϕ ]0 ;90 [ 0 cm S ϕ P P Q P F C A M Zeichnen der Pyramide ABCS B

16 - - B. Einzeichnen des Dreiecks P QS SP SQ SQ SM QM SP SA SP SA SA SM SM SM ( ) SM cm SM,7 cm (,7 6) SP 0 cm SP 5,07 cm,7 oder SP cos ϕ... SQ B.4 Einzeichnen des Dreiecks P QS PQ QS sin ASM sin QPS 6,7 sin 4,7 PQ cm sin(80 4,7 ) PQ,75cm 4 B.5 Einzeichnen des Dreiecks BCP A BC MP AM 4 cos 0 MP cm MP cos 0 A 8 7,7 cm MP 7,7 cm A 9,48cm B.6 Einzeichnen der Pyramide BCP Q und der Höhe [FQ] V A FQ FQ FQ sin SMP sin[( , 7 ) 0 ] MQ 6cm FQ 6 sin 5, 8 cm FQ, 47 cm V 9,48,47 cm V 4,0cm 7 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

17 Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik II Wahlteil - Haupttermin Aufgabe B B.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Dreieckshöhe AM 4 cm ist. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Punkt A der Grundfläche mit AS 0 cm. Der Winkel ASM hat das Maß ϕ. S ϕ C A M B. Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: BC B 8 cm und ϕ 4, 7. P B. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45 P B. Auf der Strecke [MS] liegt der Punkt Q mit MQ 6 cm. Punkte P n liegen auf der Seitenkante [AS] und bilden zusammen mit den Punkten Q und S Dreiecke P n QS. Unter den Dreiecken P n QS gibt es ein rechtwinkliges Dreieck P QS mit der Hypotenuse [QS]. Zeichnen Sie das Dreieck P QS in das Schrägbild zu. ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [SP ]. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [Teilergebnis: SM,7 cm ] 4 P B.4 Das Dreieck P QS ist gleichschenklig mit der Seite [QS] als Basis. Zeichnen Sie das Dreieck P QS in das Schrägbild zu. ein und berechnen Sie sodann auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge des Schenkels [PQ]. P B.5 Für den Punkt P hat der Winkel P MA das Maß 0. Zeichnen Sie das Dreieck BCP in das Schrägbild zu. ein und zeigen Sie sodann dass der Flächeninhalt 9,48 cm² beträgt. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) B.6 Das Dreieck BCP ist die Grundfläche der Pyramide BCP Q mit der Spitze Q. Zeichnen Sie die Pyramide BCP Q und die zugehörige Höhe [FQ] mit dem Höhenfußpunkt F auf der Strecke [P M] in das Schrägbild zu. ein. Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCP Q. P P

18 Pyramide - Arbeitsblatt4 - Lösung Abschlussprüfung 004 an den vierstufigen Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabengruppe C Aufgabe C Lösungsmuster und Bewertung C. S P P 0 E N F D A M C B Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS 8,5 cm tan ε ε 64,80 ε ]0 ;90 [ 4cm MS 4 + 8,5 cm MS 9,9 cm C. Einzeichnen der Strecke [EF] EF BD 6cm 5cm EF EF,9 cm SN MS 9,9 cm 4

19 - - C. Einzeichnen des Dreiecks EFP ASM 90 64,80 ASM 5,0 NP SP + SN SP SN cos ASM NP,5 + 5,5 5 cos 5, 0 cm NP,94 cm sin ϕ sin ASM 0 <ϕ< 54,80 SP NP,5 cm sin 5, 0 sin ϕ ϕ, ( ϕ 58,77 ),94 cm C.4 Einzeichnen des Dreiecks EFP 0 A ist minimal, wenn gilt: [P0 N] [AS] A 0,5 EF NP min 0 NP sin P SN SN NP 5 cm sin 5, 0 NP0, cm Amin 0,5,9 cm, cm Amin,40cm C.5 Einzeichnen der Pyramide ABDN Pyramidenhöhe h ABDN : sin ε habdn MN h ABDN (9,9 cm 5 cm) sin 64,80 habdn,97cm VABDN BD AM habdn VABDN 6 4,97cm VABDN 5,88cm VABCDS AC BD AS VABCDS 6 8,5cm VABCDS 9,50cm 5,88 cm p 00 9,50 cm p 6,98 oder VABCN 5,88 cm VABCDS 9,50cm V 0,698 V Der Anteil des Volumens der Pyramide ABCN beträgt 6,98% des Volumens der Pyramide ABCDS. ABCN ABCDS 4 6 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

20 Pyramide - Arbeitsblatt4 - Angabe Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den vierstufigen Realschulen in Bayern R4 Mathematik II Aufgabengruppe C Aufgabe C C.0 Das Drachenviereck ABCD mit AC als Symmetrieachse und M als Diagonalenschnittpunkt ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt A und es gilt: AC cm, BD 6 cm, AM 4 cm und AS 8,5 cm. C. Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45 Berechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels SMA und die Länge der Strecke [MS] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnisse: ε 64,80 ; MS 9,9cm ] 4 P C. Der Punkt N [MS] ist der Mittelpunkt der Strecke [EF] mit E [BS] und F [DS]. Dabei gilt: [EF] [BD] und SN 5 cm. Zeichnen Sie die Strecke [EF] in das Schrägbild zu. ein und berechnen Sie die Länge der Strecke [EF] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnis: EF,9 cm ] P C. Die Punkte P n [AS] mit SPn x cm bilden zusammen mit den Punkten E und F Dreiecke EFP n. Die Winkel SNP n besitzen das Maß ϕ. Zeichnen Sie das Dreieck EFP für x,5 in das Schrägbild zu. ein. Berechnen sie sodann das Maß ϕ des Winkels SNP. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [Teilergebnis: NP,94 cm ] P C.4 Unter den Dreiecken EFP n hat das Dreieck EFP 0 den kleinsten Flächeninhalt. Zeichnen Sie das Dreieck EFP 0 in das Schrägbild zu. ein und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt A min. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) C.5 Der Punkt N ist die Spitze der Pyramide ABDN. Zeichnen Sie die Pyramide ABDN in das Schrägbild zu. ein. Berechnen Sie anschließend den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide ABDN am Volumen der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) P 4 P

21 Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabengruppe B Aufgabe B B. Pyramide - Arbeitsblatt5 - Lösung Lösungsmuster und Bewertung S T P L R Q D A α M C B Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS 0 cm tan α α 59,04 α ]0 ;90 [ 6cm AS cm AS, 66 cm 4 B. Einzeichnen der Pyramide P Q R T M x ]0;,66[

22 - - B. V PR QT ML ML 0 cm SL SL sin59,04 SL 4cm cos59,04 PL 4cm,4 cm ML 6,57 cm PL,06cm PR PL PR 4,cm QT,4cm QT,4cm 0 cm 0 cm V 4,cm,4cm 6,57cm V 5,47cm VABCDS cm 0cm 0cm VABCDS 00cm 5,47 cm p% 00% p% 7,74% 00 cm PM 6cm B.4 sin 59,04 sin[80 (59, )] 6cm sin59,04 PM PM 5,6cm sin 65,96 B.5 [P0 M] ist minimal, wenn gilt: [P0M] [AS] PM 6cm 0 sin59,04 P0M 5,5 cm (x cm) (0 cm) (5,5 cm) x 0 5,5 x 8, Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden.

23 Pyramide - Arbeitsblatt5 - Angabe Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabengruppe B Aufgabe B B.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalenlängen AC cm und BD 0 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche mit MS 0 cm. B. B. B. B.4 B.5 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45 Berechnen Sie sodann das Maß α des Winkels MAS und die Länge der Strecke [AS] jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnis: α 59,04, AS,66 cm ] Die Punkte P n [AS], Q n [BS], R n [CS] und T n [DS] sind die Eckpunkte von Rauten P n Q n R n T n. Ihre Diagonalen [P n R n ] und [Q n T n ] verlaufen jeweils parallel zu den Diagonalen [AC] und [BD] und schneiden sich in den Punkten L n. Es gilt: PS n xcm. Die Punkte P n, Q n, R n, T n und M legen Pyramiden P n Q n R n T n M fest. Zeichnen Sie die Pyramide P Q R T M für x 4 in die Zeichnung zu. ein. Geben Sie an, für welche Werte von x es Pyramiden P n Q n R n T n M gibt. Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide P Q R T M und sodann den prozentualen Anteil von V am Volumen V der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) Die Seitenkante [P M] der Pyramide P Q R T M schließt mit der Grundfläche ABCD der Pyramide ABCDS den Winkel P MA mit dem Maß ε 55 ein. Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [P M]. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) In der Pyramide P 0 Q 0 R 0 T 0 M ist die Länge der Seitenkante [P 0 M] minimal. Berechnen Sie PM 0 und den dazugehörigen Wert für x. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

24 . Abschlussprüfung 000 B Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS 8cm tan α ; α 8,66 0 < α < 90 0cm FS 0² + 8² cm FS,8 cm 4. Einzeichnen des Dreiecks PQ R R Q (,8 9)cm 8cm,8cm R Q,8 cm

25 - 4 - PM 9² + 6² 9 6 cos 8, 66 cm PM 5,7 A PQR,8 5,7 cm² A PQR 6,8 cm² 5. xcm 6cm sin 75 sin(80 8,66 75 ) ; x 6, x <,8 ; x %.4 PM 6 sin8,66 cm PM,75 cm PS 4 ² + 8² cm PS 8,94 cm PM [,75 cm ; 8,94 cm[ 4 47 Hinweis: Bei einigen Aufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Gesamtzahl bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht überschritten werden.

26 .0 Das Rechteck ABCD mit AB 0 cm und BC 8 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dein Mittelpunkt E der Strecke [AD] und es gilt ES 8 cm. Der Punkt F halbiert die Strecke [BC]. Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [EF] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung: q ; ω 45 Berechnen Sie sodann das Maß α des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS] jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnis: α 8,66 ]. Der Punkt P liegt auf [EF] mit EP 4 cm. Für die Punkte M n auf [FS] gilt FM n x cm mit x <.8 und x %. Die Punkte M n sind die Mittelpunkte von Strecken [Q n R n ] mit Q n auf [CS], R n auf [BS] und [Q n R n ] [BC]. Die Punkte P, Q n und R n sind die Eckpunkte von Dreiecken PQ n R n. Zeichnen Sie das Dreieck PQ R für x 9 in das Schrägbild zu. ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQ R. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.). Für das Dreieck PQ R gilt FPM 75. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet..4 Im Dreieck PQ R hat die Höhe PM den kleinstmöglichen Wert. Berechnen Sie PM auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. Ermitteln Sie sodann das Intervall für die Höhen PM n der Dreiecke PQ n R n (Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet). Abschlussprüfung 000 B

27 .. Schulaufgabe aus der Mathematik Klasse 0 Datum: Name:..0 Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist der Punkt M der Mittelpunkt der Basis [BC] mit BC cm und AM 7,5 cm. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCS mit der Höhe AS 0 cm... Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45 P... Berechnen Sie das Maß α des Winkels SMA, die Länge der Strecke [MS] und das Volumen V der Pyramide auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnis: α 5, ; MS,50 cm ] P. Die Strecke [PQ] ist parallel zu [BC], wobei der Punkt P auf [BS] und der Punkt Q auf [CS] liegt. Der Punkt N ist der Mittelpunkt der Strecke [PQ] und es gilt: NM 4 cm. Punkte R n auf [AS] sind Eckpunkte von Dreiecken PQR n. Zeichnen Sie das Dreieck PQR mit SNR 60 in das Schrägbild zu. ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQR. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [Teilergebnis: PQ 8,6 cm ] 5 P..4 Für das Dreieck PQR gilt: SR cm. Zeichnen Sie das Dreieck PQR in die Zeichnung zu. ein und berechnen Sie das Maß ε des Winkels PR Q auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. P..5 Das Dreieck PQR ist gleichseitig. Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge der Strecke [NR ] und zeichnen Sie das Dreieck PQR in die Zeichnung zu. ein. Berechnen Sie sodann das Maß ϕ des Winkels NR S auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnis: NR 7,07 cm ] P

28 . Lösungsmuster und Bewertung.. S R R Q R P N C A M.. 0 cm tan α α 5, α ]0 ;90 [ 7,5 cm MS 0 7,5 cm V ABCS + MS,50 cm 7,5 0cm VABCS 50 cm B

29 Einzeichnen des Dreiecks PQR APQR PQ NR PQ (,5 4) cm cm,5 cm A PQR 8,5 PQ cm PQ 8,6 cm,5 NRS 80 (90 5, ) 60 NR S 8, NR 8,5 cm sin(90 5, ) sin8, 8,5 sin 6,87 NR cm NR 5,4 cm sin8, 8,6 5,4cm APQR 0,97cm.4 Einzeichnen des Dreiecks PQR NR + 8,5 8,5 cos 6,87 cm NR 6,6 cm ε 4,08 cm tan ε 65,6 ε ]0 ;80 [ 6,6cm NR.5 tan 60 NR 0,5 PQ Einzeichnen des Dreiecks PQR sin ϕ sin 6,87 8,5 cm 7,07 cm Aufgrund der Zeichnung gilt: ( ϕ 46,7 ) ϕ,8 4,08 tan 60 cm NR 7,07 cm 8,5 sin 6,87 sin ϕ 7,07 5 6

30 .. (Nachhol-)Schulaufgabe aus der Mathematik Klasse 0 Datum: Name:..0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS, deren Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist. M ist der Mittelpunkt der Basis [BC] mit BC cm. Für die Dreieckshöhe S [AM] gilt: AM 8 cm. Die Seitenfläche BCS der Pyramide ABCS ist ein gleichseitiges Dreieck. Der Neigungswinkel SMA der Seitenfläche BCS zur Grundfläche ABC der Pyramide hat das Maß 65. A B M C.. Berechnen Sie die Streckenlänge MS auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. Zeichnen Sie sodann das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q ; ω 45 [Teilergebnis: MS 0,9 cm ] P.... Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [AS] und das Maß α des Winkels MAS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [Teilergebnis: AS 0,08 cm ] P. Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide ABCS und den Flächeninhalt der Seitenfläche ABS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [Teilergebnis: V 50,7 cm ] 5 P.4 Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lotes von A auf die Strecke [MS]. Außerdem ist F der Mittelpunkt der Strecke [PQ] mit P [BS] und Q [CS] und [PQ] [BC]. Das Dreieck PQS ist die Grundfläche der Pyramide PQSA mit der Spitze A. Zeichnen Sie die Pyramide PQSA in das Schrägbild zu. ein. Berechnen Sie die Streckenlängen AF, SF und PQ. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [Teilergebnisse: SF 7,00 cm ; PQ 8,08 cm ] 4 P..5 Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide PQSA am Volumen der Pyramide ABCS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) P

31 . Lösungsmuster und Bewertung.. MS cm MS 0,9 cm S Q A α P F 65 M C B.. Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCS AS 8 + 0,9 8 0,9 cos 65 cm AS 0,08 cm 8 + 0,08 0,9 cos α 80,08 α 69,05 α ]0 ;80 [

32 h 0,9cm sin65 h 9,4cm V cm 8 cm 9, 4 cm V 50,7 cm AB cm AB 0 cm 0 0, 08 cos + SBA 0 SBA 5,6 AΔ ABS 0 sin5,6 cm AΔ ABS 48,0cm.4 Einzeichnen der Pyramide PQSA AF 8 cm sin 65 AF 7,5 cm SF 0, 08 7, 5 cm SF 7,00 cm PQ SF BC SM 7,00 cm cm PQ PQ 8,08 cm 0,9 cm VPQSA 8,08cm 7,00cm 7,5cm 68,4 cm 00% 45,4% 50,7 cm VPQSA 68,4cm. 7