Demo: Mathe-CD. Vektorrechnung. Vektorprodukt. Teil 1. Einführung INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

Transkript

1 Vektorrechnung Vektorprodukt Teil Einführung Datei 66 Stand 6. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inhalt Datei 66 Einführung des Vektorprodukts Datei 662. Vorbemerkungen.2 Das wichtigste Ergebnis zuerst 2.3 Eine langwierige Herleitung 5.4 Die wichtigsten Eigenschaften 0.5 Flächeninhalt des Parallelogramms.6 Überprüfen von Rechengesetzen 5.7 Lösung der Aufgaben Das Spatprodukt 3 2. Definition und Berechnung Volumen eines Spats Volumen von Pyramiden 37 3 Geraden und Ebenen Geradengleichungen Ebenengleichungen (!) Abstand eines Punktes von einer Geraden (R 3 ) Abstand windschiefer Geraden 46 Didaktische Bemerkung Die meisten Lehrpläne beinhalten für die Oberstufe nicht (mehr) das Vektorprodukt. Dies sollte begeisterte Lehrer jedoch nicht abschrecken, im Leistungskurs wenigstens die Berechnungsmethode und die Eigenschaften des Vektors a b als Information anzugeben. Eine paar nützliche Anwendungen davon lohnen sich unbedingt. Diese stehen im 2. Teil dieser Einführung. Dagegen ist methodisch genau so wenig etwas zu sagen, wie gegen den neuen Trend, mit CAS-Rechnern Aufgaben zu lösen. Deren Funktionsweise ist den meisten (auch Lehrern) genau so schleierhaft wie das Zustandekommen des Vektorproduktes. Schüler müssen die Fähigkeit erwerben, mit Informationen umgehen zu können!

3 66 Vektorprodukt. Vorbemerkungen. Einführung des Vektorprodukts Wir kennen bereits das so genannte Skalarprodukt, das als Ergebnis eine reelle Zahl 5 7 hat. Beispiel: a b = 3 2 = ( 2) 5 = = Wenn man dieses Skalarprodukt einführt, wundern sich Schüler oft, dass das Ergebnis der Multiplikation zweier Vektoren nicht wieder ein Vektor ist. Nun der Zweck heiligt auch hier die Mittel. Als man das Skalarprodukt eingeführt hat, wollte man gerade dieses Ergebnis, damit man damit Metrik betreiben kann, also Längen und Winkel berechnen kann. Es gibt aber auch eine andere Motivation, ein Vektorprodukt einzuführen, so dass nun das Ergebnis wirklich wieder ein Vektor ist. Dahinter stecken vor allem die Physiker, die nicht selten der Mathematik gesagt haben, was sie zur Berechnung ihrer Probleme an Methoden benötigen. In der Physik gibt es Situationen, in denen eine Wirkung senkrecht zu einer Ebene eintritt. Wenn sich beispielsweise ein geladenes Teilchen durch ein Magnetfeld bewegt, sagen wir der Einfachheit halber senkrecht zu den Feldlinien, dann erfährt es eine Kraft, die es aus ihrer Bahn ablenkt. Und diese Kraft steht nun seltsamerweise senkrecht auf der Flugrichtung (also senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor) und senkrecht zum Magnetfeld(vektor). Und das Ergebnis ist eine Kraft, also wieder ein Vektor! Das Ziel der jetzigen Einführung ist also ein Vektor, der aus zwei anderen entsteht und zu diesen orthogonal ist! Noch ein Wort zur Methodik. Ich gebe zunächst die Ergebnisse vor, damit man sieht, worauf alles hinaus läuft. Dann leite ich diese Berechnungsformel her, indem ich Vorgaben mache, also Forderungen an die gesuchte Berechnungsmethode stelle. Es sollen nämlich bestimmte Rechengesetze gelten. Daraus folgt dann diese Berechnungsformel. Nun weiß jeder, dass man eine Folgerung nicht unbedingt umkehren kann. Also sollte man auch hergehen und zeigen, dass aus dem Ergebnis auch umgekehrt die beabsichtigten Rechengesetze folgen. Diese Mühe spare ich mir hier. Sie kann in diversen Büchern nachgelesen werden. Mein Schwerpunkt liegt dann weiter auf der Anwendung des Vektorprodukts.

4 66 Vektorprodukt 2.2 Das wichtigste Ergebnis zuerst. Man schreibt das neue Produkt mit einem Kreuz, weshalb es auch Kreuzprodukt heißt, oder auch einfach nur Vektorprodukt. Gegeben seien die Vektoren a a = a 2 a3 und b b. = b 2 b3 Mit e = 0 0, 2 0 e = 0 0 und e3 = 0 bezeichnen wir die drei Einheitsvektoren, welche wir als Basis für unsere Raumgeometrie verwenden. Dann gilt e a b e a b () oder e3 a3 b3 e e2 e 3 a a2 a3 b b b 2 3 Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis. Ich bevorzuge eindeutig die erste Determinante, weil in ihr die Anordnung der Vektorkoordinaten a, a 2, a 3 und b, b 2 und b 3 vertikal ist, genau wie in der üblichen Vektordarstellung. Das birgt weniger Schreibfehler als in (2)! Diese Berechnung setzt aber voraus, dass man dreireihige Determinanten berechnen kann. Dies sei gleich gezeigt. Zunächst noch eine weitere Eigenschaft dieses Kreuzproduktes. Vertauscht man im Kreuzprodukt die Vektoren, erhält man den Gegenvektor: b a= a b (2) Daraufhin muss man sich die Frage stellen, ob denn andere Rechengesetze auch nicht gelten, oder positiv formuliert: Welche Gesetze gelten, und wie darf man mit diesem Kreuzprodukt rechnen? Das alles folgt in diesem Manuskript.

5 66 Vektorprodukt 3. Methode zur Berechnung dreireihiger Determinanten: Die Regel von Sarrus. Man schreibt sich die 2. und die 3. Spalte nochmals hinter die Determinante. Dann berechnet man die drei diagonalen Abwärtsprodukte und addiert sie, dann berechnet man die drei diagonalen Aufwärtsprodukte und subtrahiert sie: e a b e a e a b e a e a b e a = a2b3 e+ ab 2 e3 + ba 3 e2 a2b e3 a3b2 e b3a e2 = ab ba e + ab ba e + ab ba e ( ) ( ) ( ) Beispiel: a = 3 ; b = 2 ergibt 5 e 2 4 e 2 a b = e 3 2 e 3 = 5 e + 4 e + 4 e ( 2) e 2 e 0 e e 5 e a b = 7 e 6e2 + 6e3 = 6. 6 Wir können nun die Probe machen, ob dieser Vektor auch zu a und b orthogonal ist. Erinnern Sie sich? Dazu muss das Skalarprodukt Null werden. Rechnen wir also nach: 2 7 a ( a b) = 3 6 = = 0 6 und 4 7 b ( a b) = 2 6 = = Damit haben wir an einem Beispiel nachgerechnet, dass das Vektorprodukt zu den gegebenen Vektoren orthogonal ist.