Ableitung einiger Formeln Pikettys. Friedrun Quaas & Georg Quaas, Juli 2015

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1 Ableiun einier Formeln Pikeys Friedrun Quaas & Geor Quaas, Juli 205 Dieses Papier ha das Ziel, die von Pikey in seinem Buch Das apial im 2. Jahrhunder verwendeen Formeln versändlich zu machen. Die einzelnen durchnummerieren Abschnie bauen nich aufeinander auf und sehen zueinander in keinem sysemaischen Zusammenhan. In jedem Abschni wird eine Formel hemaisier, wobei die Ableiun jeweils einem besimmen heoreischen Ansaz fol. Der Auor eines Abschnies is mi einem ürzel aneeben worden. In den Abschnien, 6 und 8 wird unersell, dass Pikey s Welformel r> mi Hilfe der Cobb-Doulas-Produkionsfunkion abeleie werden kann. In diesem Zusammenhan wird uner Berufun auf Doulas (976, pp.92-93) zwischen der Produkionsfunkion und der darauf aufbauenden Vereilunsreel unerschieden. Wennleich Doulas mein, dass sich beide Hypohesen eenseii süzen, is der Auor dieser Abschnie aufrund seiner empirischen Schäzunen nich davon überzeu. Auf der Grundlae einer srenen Unerscheidun zwischen beiden Hypohesen wird behaupe, dass die Produkionsfunkion rein echnischechnoloischer Ar is und in keinem zwinenden Zusammenhan zum neoklassischen Paradima seh. Die Abschnie 2, 3 und 4 verwenden einfache definiorische Gleichunen, die in dieser Weise in der Lieraur verschiedener Schulen, aber auch in den modernen Volkswirschaflichen Gesamrechnunen zu finden sind. Selbsversändlich können auch diese Formeln aus mahemaik-, um nich zu saen: wissenschafsfeindlicher Perspekive infrae esell und als Ideoloie ebrandmark werden eine Posiion, die die Auoren nich eilen. Der Abschni 4 enhäl übriens eine riik an einer der Formeln Pikeys, die diese zwar nich rundsäzlich dispensier, aber deren Beründun ween nich plausibler Daierun der Variablen korriier. Abschni 5 zei dann, dass die komplizieren Überleunen des 4. Abschnies wesenlich kürzer und einfacher absolvier werden können. Von ebenso eleaner Einfachhei is die Ableiun einer Pikey-Formel aus dem pos-keynesianischen Grundmodell im Abschni 7. Der folende Abschni 8 eh von der CD-Pf in ihrer Gänze aus, um zumindes rob die Grenzen der Welformel abzuschäzen. Abschni 9 resümier die Überleunen, indem die wichisen Formeln noch einmal zusammenefass werden. Abschni 0 is eine erse, sehr dürfie Sammlun von Beleen, die in der weieren Forschunsarbei wesenlich erweier werden wird. Abschni soll eine ewisse Orienierun eben, worauf sich die Forschun des Forschunsseminars Poliik und Wirschaf konzenrieren solle. Dadurch wird auch deulich emach, worin die Auoren die Desideraa des diskuieren Buches sehen. Dieses Papier spieel den Erkennnissand der Auoren im Juli 205 wider. Wir verdanken der Diskussion im Erwäunsseminar Ökonomische und poliische Bedinunen der Globalisierun (Sommersemeser 205) und im Forschunsseminar Poliik und Wirschaf (Sommersemeser 205) wesenliche Anreunen, um unsere Darsellunen zu präzisieren, und möchen uns dafür und für das lebhafe Ineresse an dieser ansonsen rockenen Ausarbeiun herzlich bedanken.

2 2. Ableiun der Formel r > (G.Q.) Im Wirschafsdiens (205/5) behaupe ich, dass Pikeys konflikschwanere Formel r eine onsequenz der 928 erfundenen Cobb-Doulas-Produkionsfunkion, also rein echnischer Ar is. Frank Fehlber vermue, dass sich Pikey vom neoklassischen Modell (Solow) leien läss (bereis im Prookoll zum Erwäunsseminar vom erwähn). Beide Annahmen sind vereinbar. Nach F. Quaas ehör die Cobb-Doulas-Produkionsfunkion eindeui zur Neoklassik (aufrund der Grenzprodukiviäsheorie der Vereilun, die dem Marinaliäsprinzip fol). Um die Theoriezuehörikei zu enscheiden, hier die bislan einfachse Ableiun: Für den Zusammenhan zwischen Neoinvesiion I und apialsock il: I, () wobei das riechische Dela wie üblich den Zuwachs bezeichne. Die den Oupu seiernde Wirkun der Neoinvesiion kann über eine Cobb-Doulas- Produkionsfunkion k j AL (2) abeschäz werden (über die Parameer k und j wird hier ledilich vorausesez, dass sie kleiner als sind, siehe unen!). Uner der vereinfachenden Bedinun sanierender (konsaner) Beschäfiun erib sich für die Änderun des Einkommens aufrund einer Särkun des apialsocks durch zusäzliche Invesiionen in erser Näherun und mi Hilfe der ersen Ableiun: j (3) Nach einer einfache Umsellun dieser Gleichun: I j j (4) Der linke Term is die Wachsumsrae (des Volkseinkommens): (5) In der heoreischen Lieraur wird idealerweise unersell, dass Arbeinehmer nur konsumieren und Vermöensbesizer nur invesieren. Akzepier man dies, is I V. (6) Akzepier man dies nich, wie Richard Scholz mi seinem Einwand im Forschunsseminar, so il:

3 3 I V. (7) Diese unerschiedlichen Annahmen lassen sich zusammenfassen zu: I V (8) Berücksichi man (5) und (8), erhäl man aus (4): V I j j j jr (9) mi der apialrendie V r. (0) Für die Exponenen in der PF wird im Allemeinen k j () anenommen. Da dies empirisch of nich zuriff, kann man diese Bedinun reduzieren zu, k j. Uner den aneebenen Voraussezunen erweis sich Pikeys Formel als onsequenz der Cobb-Doulas-Produkionsfunkion. Ich mache darauf aufmerksam, dass in dieser Ableiun kein einzies Mal das Marinaliäsprinzip anewand wird. Insbesondere is NICHT vorausesez worden, dass durch die erse Ableiun der Produkionsfunkion die Vereilun besimm wird. Die Gleichun (0) is eine reine Definiion, die keinerlei subsanzielle ökonomische Theorie voraussez. 2. Ableiun einer zweien Formel (G.Q.): V V r Definiionen: Aneil des Einkommens aus Vermöen am Volkseinkommen V r, apialrendie, Verhälnis von apialsock zum (Volks-) Einkommen, üblicherweise als apialkoeffizien bezeichne, der hier allerdins auf das Volkseinkommen bezoen wird, was wiederum nich so üblich is. Berücksichi man, dass auch die Arbeinehmer sparen, so muss man einräumen, dass die Neoinvesiionen auch rößer als die Vermöenseinkommen sein können.

4 4 Auch bei dieser Ableiun kann man nichs erkennen, was ypisch neoklassisch wäre. 3. Vorläufie Ableiun einer drien Formel (G.Q.): S S I S S sˆ n ˆ n Definiionen: ŝ durchschniliche Ersparnis je akuelles Volkseinkommen ĝ durchschniliches Wachsum je akuelles Volkseinkommen In der Ableiun wird deulich, dass es sich um einen lanfrisien Zusammenhan handel. 4. Pikeys Ableiun Rekonsrukion (G.Q.) Im echnischen Anhan leie Pikey den lezen Zusammenhan uner der Voraussezun, dass I S wie fol ab (eändere Noaion!): S () S (2) Definiionen: Nach (2) und (3): und (3) S S (4a) S S (4b) s s (5)

5 5 s Fall : Ein hinreichend hoher apialkoeffizien nimm ab. s Fall 2: Ein kleiner apialkoeffizien endier zum Wachsen. s Fall 3: cons. (Gleichewich) riik:. Der Oupu is eine kumulaive Größe, die ers am Jahresende vorlie: is ein Jahresendwer. 2. Daraus erib sich eine riik an Pikeys Definiion der Wachsumsrae.Richi wäre:. 3. Nach () is ein Jahresanfanswer. In den Definiionen (3) wird ein Jahresanfanswer auf einen Jahresendwer bezoen das is inkonsisen. Eine möliche Richisellun der Ableiun von Formel 3 beseh darin, das apial als Jahresendwer zu definieren: S (*) S (2*) Die Definiionen (3) sind jez nich mehr inkonsisen. (3*) S s s (4*) (5) s s (6a) Alernaiv:

6 6 s (6b) Das apial-einkommen-verhälnis wird auomaisch in dem Maße verriner, wie wächs. Eine Sparquoe > 0 wirk dieser Verminderun eneen. Ein Gleichewich sell sich ein bei: s s (7a) (7b) Also dann, wenn die zukünfie Ersparnis zur zukünfien Wachsumsrae dem eenwärien apial-einkommen-verhälnis ensprich. s. (8) 5. urze Ableiun der Gleichewichsendenz (F. Q.): C s S ween I S in eschlossenen Volkswirschafen. I k I 6. Differenzierun der Wachsumsrae (G.Q.) Ausanspunk is eine (verallemeinere) Cobb-Doulas-Produkionsfunkion bei neuralem echnischen Forschri (Solow 957): T k j Ae L mi = (Neo-) Naionaleinkommen, A Produkiviäsniveau, T Rae des durch den echnischen Forschris verursachen Wachsums, Zei, L = Arbei, = apialsock. Die Verallemeinerun beseh in der Lockerun der Bedinun k j, an deren Selle die beiden Einschränkunen k, j (*)

7 7 für die Elasiziäen k und j reen. 4 Wir definieren den dreidimensionalen Raum G,, L, Die C-D-Pf spann eine Fläche in Fläche: e e e e k e j e L L L T L eordneer Quadrupel. 4 G auf. Wir definieren den Gradienen auf dieser Definiionen/Erläuerunen: Pikey apial-einkommen-verhälnis, bewe sich empirisch zwischen 4 und 7, maximal 0 (nach Thomas Pikey). L Arbei-Einkommen-Verhälnis (uner Einkommen wird das Neonaionaleinkommen versanden). Dieses Verhälnis inorier Pikey. Muliplizier man es mi dem durchschnilichen Lohnsaz w, erib sich der Aneil des Fakors Arbei am Naionaleinkommen: sh L H wl, wobei H ein Indikaor für das Humankapial is. Es sei c L L eine Änderun des Fakoreinsazes während einer Produkionsperiode, der vom echnoloischen Forschri beleie wird. Dabei erib sich eine Veränderun des Einkommens zu: y c Die Wachsumsrae des Naionaleinkommens wird definier und berechne durch: yc L L T k j T k j L L Analo zur Definiion der Wachsumsrae des Einkommens und des durch echnischen Forschri verursachen Wachsum lassen sich Wachsumsraen des Humankapials und des apialsocks wie fol definieren: H L wl H und L wl H Mi diesen Definiionen erib sich aus der obien Ableiun der zusammenfassende Ausdruck:

8 8 T kh j (*) Und es sell sich die Frae, von welchem sprich Pikey eienlich? Höchswahrscheinlich von. Der oben bereis abeleiee Zusammenhan mi der Profirae r: V I j j j jr muss jez wie fol präzisier werden: r. (**) Dami wird aus (**): T kh jr Ween (**) dürfe klar sein, dass der Wachsumsbeira des apialsockes ses kleiner als die Profirae is. Dies drück die mi seiner Größe nachlassende Grenzleisunsfähikei des apialsockes aus. Das Wachsum des Naionaleinkommens hän neben der ewicheen Profirae r direk vom echnischen Forschri ab, der sich im niedrien Prozenbereich bewe, sowie vom Wachsum des Humankapials, das mi k ewiche wird. (Forsezun siehe Abschni 8.) 7. Ableiun einer Pikey-Formel aus dem poskeynesianischen Grundmodell (F. Q.) Die onsumneiun der Unernehmer beeinfluss das Profiniveau und dami die Vereilun des Neoprodukionswers auf Löhne und Gewinne. Die Profirae erib sich als das Verhälnis der Akkumulaionsrae (Wachsumsrae) zur Sparneiun aus Profien: Profirae r=p/, P Profie Wachsumsrae =I/, I Invesiionen mi I=s P P (s p Sparneiun aus Profien) r=p/ = P /I = P /s P P = /s P Da die Sparneiun aus Profien bei onsumneiun der Unernehmer immer kleiner als is, il r>. 8. Wann ri r < auf? Eine Abschäzun (G.Q.) There is no loical necessiy for he rae of reurn o exceed he rowh rae (Solow 204)

9 9 Uner der Bedinun sarker apialkonzenraion in den Händen wenier apialeiner is der onsumaneil am Profi erin, so dass eine hohe Sparquoe aus Profien sp vorlie. Follich is r. Aus der Gleichun (*) fol: k jr r T H? T k j H? r Sez man weierhin die Gülikei der Gleichun () voraus, so fol daraus eine Bedinunsleichun: T H k r Wird außerdem die Hypohese j (siehe Abschni 2) anenommen, so kann man folendes Zahlenbeispiel konsruieren, dessen Vorkommen empirisch erin wahrscheinlich is: Das Wachsum kann bei sehr schnellem echnischen Forschri (>3%), eriner Lohnquoe k j (</2) und sark wachsendem Humankapial (4%) rößer als r (8%) sein (die Zahlen dienen nur zur Illusraion). 9. Resümee (G.Q.) In allen weieren Diskussionen zu Pikey sollen die Wachsumsraen (Einkommen, echnoloischer Forschri, Humankapial, apialsock) präzise unerschieden werden. Dasselbe il für die beiden Sparquoen, die hier im Spiel sind (Sparen aus dem Einkommen und aus Profien). An die Selle der zwar viel ziieren, aber unenauen Formel r > solle die exake Formel reen: T kh j (*) Uner der realisischen Bedinun, dass apialeiner konsumieren, il: r. (**) Wenn jedoch Arbeinehmer sparen, könne auch das Geeneil der Fall sein. Ein Gesez (Tauoloie) is der Zusammenhan: r (***) Lanfrisi und bei unesörem Wachsum näher sich der apialkoeffizien dem Verhälnis:

10 0 s y (#) Ewas unhandlich is die folende Formel, da die Sparquoen aus Profien nur sehr umsändlich zu berechnen sind: r (##) sp Mölicherweise ereben sich weiere ineressane Formeln, wenn man die Formeln kombinier. Zum Beispiel fol aus (**) und (***) r Und dami eine Abschäzun für das Wachsum des apialsockes:. 0. Inerpreaionen Zu Formel (***): Suppose we accep Pikey s educaed uess ha he capial-income raio will increase over he nex cenury before sabilizin a a hih value somewhere around 7. Does i follow ha he capial share of income will also e bier? No necessarily: remember ha we have o muliply he capial-income raio by he rae of reurn, and he same law of diminishin reurns suess ha he rae of reurn on capial will fall. As producion becomes more and more capial-inensive, i es harder and harder o find profiable uses for addiional capial, or easy ways o subsiue capial for labor. Wheher he capial share falls or rises depends on wheher he rae of reurn has o fall proporionally more or less han he capial-income raio rises. (Solow 204) Zu Formel #: Wenn eine Volkswirschaf einen besimmen Aneil ihres Volkseinkommens spar, wächs das Vermöen, das ja durch die Akkumulaion dieser Ersparnis ebilde wird, lanfrisi ebenfalls mi derselben Rae, mi der das Volkseinkommen wächs. Das Verhälnis von Vermöen und Einkommen kann also ar nich dauerhaf anseien. (Sinn 205) Das behaupe Pikey auch nich (GQ).. Forschunsaufaben:. Idenifizierun der Variablen, die Pikey verwende 2. Aufarbeiun der Lieraur zum Humankapial und zum Bevölkerunswachsum mi dem Ziel, den Wachsumsbeira des Humankapials zu eruieren. 3. Abschäzun des echnoloischen Forschris länderbezoen oder/und welwei.

11 4. Welche onsequenzen ereben sich für das Wachsum des Volkseinkommens, wenn der apialkoeffizien lanfrisi eine Quasi-onsane is? 5. Unerscheidun zwischen apialakkumulaion und apialkonzenraion. Analyse der Prozesse, die einer apialkonzenraion eneen wirken (können). Lieraur: Doulas, Paul H. (976): The Cobb-Doulas Producion Funcion Once Aain: Is Hisory, Is Tesin, and Some New Empirical Values. In: Journal of Poliical Economy, 976, Vol. 84, No. 5. Pikey, Thomas (204): Das apial im 2. Jahrhunder. München. Quaas, Geor (2007): Das saldenmechanische Modell von Friz Helmeda und die Empirie. In: Wirschafsdiens. 87. J., H.6., S Quaas, Geor (205): Der Preis zusäzlichen Wachsums lan- und kurzfrisie Effeke saalicher Invesiionen. Wirschafsdiens 95. J., Hef 5, S Sinn, Hans-Werner (205): Unleichhei is nich so einfach, wie Thomas Pikey laub. Gasbeira Frankfurer Allemeine vom 8. Juli 205. Solow, Rober M. (957): Technical Chane and he Areae Producion Funcion. In: The Review of Economics and Saisics, Vol. 39, No. 3, pp Solow, Rober M. (204): Thomas Pikey Is Rih. Everyhin you need o know abou Capial in he Tweny-Firs Cenury. The New Republic (URL: hp:// 22. April 204.