Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17

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1 1/37 0. Organisatorisches 2/37 Übung Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17 Dr. Udo Lorz TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Links zur Vorlesung Website der Fakultät für Mathematik und Informatik: oder Website zur Vorlesung: Skript zur Vorlesung: Literatur zum Modul: (Der letzte Buchstabe ist ein kleines L!) Prüfungen zum Modul: 0. Organisatorisches 3/37 0. Organisatorisches 4/37 Links zur Übung Übungsleiter: Dr. Lorz Kontaktdaten: Website zur Übung (u.a. diese Folien): (Der letzte Buchstabe ist ein kleines L!) Übungsaufgaben: Formelsammlungen Göhler,W. Formelsammlung Höhere Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 17. Auflage, 2011, ISBN , e 10,80. Merziger, G.; Mühlbach, G.; Wille, D.; Wirth, T. Formeln + Hilfen Höhere Mathematik, Binomi-Verlag, 6. Auflage, 2010, ISBN , e 15,80.

2 1. Grundlagen Die reellen Zahlen 5/37 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Brüche 6/37 Schwerpunkte Brüche Potenzen Wurzeln Logarithmen Gleichungen mit Potenzen bzw. Logarithmen Ungleichungen Aufgabe 1.1 Fassen Sie die folgenden Ausdrücke zusammen a) b) und 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Brüche 7/37 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Potenzen 8/37 Aufgabe 1.2 Fassen Sie die folgenden Ausdrücke zusammen a) b) 1 a n a n + 1, a 0, n N und an 3 x 5 y 3n x n+2 y 4 + x2n y 6 x n, x 0, y 0, n N. yn+3 Aufgabe 1.3 Schreiben Sie den folgenden Ausdruck in der Form u a x b y c z d 3 ( x u 2 y 3 3 z (uy)3 z 3 x 2 z 3 : y 2 ) 2 6, u x 3 wobei a, b, c, d Q gemeine Brüche sind.

3 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Potenzen 9/37 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Logarithmen 10/37 Aufgabe 1.4 Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als Potenz Aufgabe 1.5 Zerlegen Sie den folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmengesetze ( e 4 (x 2) ( 1 3 ln x + 2y2) ) 4y xy x2 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Logarithmen 11/37 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Logarithmen 12/37 Aufgabe 1.6 Fassen Sie ohne Verwendung des Taschenrechners zusammen ln 2 ln 3 ln 4 + ln 6. Aufgabe 1.7 Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung log 4 log 3 log 2 x = 0.

4 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Gleichungen mit Potenzen bzw. Logarithmen 13/37 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Ungleichungen 14/37 Aufgabe 1.8 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen a) log 5 (x + 1) = 1, b) 2 x 6 2 x + 1 = 0, Themen Ungleichungen mit Beträgen Ungleichungen mit zwei Variablen und Beträgen grafische Darstellung von Lösungsmengen in der Ebene c) log log 2 (2 x + 1) = x und d) log log 2 (2 x 1) = x. 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Ungleichungen 15/37 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Ungleichungen 16/37 Aufgabe 1.9 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen a) 3x 9 < 1, b) (x 1) 2 2 x, c) x 2 x + 3 < 2x und 3 x d) 2x + 4 Aufgabe 1.10 Für welche x, y R gilt folgende Ungleichung a) x + y < 1, b) x + y < 1 und c) x 1 y 2 < 5. Skizzieren Sie den Bereich in der x, y-ebene.

5 1. Grundlagen Die reellen Zahlen - Ungleichungen 17/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen 18/37 Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen mit Beträgen 1 Bestimmen Sie die Definitionsmenge D der Ungleichung. 2 Bestimmen Sie die Anzahl n aller möglichen Fälle: Ein Betrag: zwei Fälle (n = 2), zwei Beträge: Bis zu vier Fälle (n 4). 3 Für jeden dieser Fälle (i = 1,..., n) Bestimmen Sie die Fallmenge Fi für die zu betrachtenden Variablen. Bestimmen Sie die Menge Ei der Werte der zu betrachtenden Variablen, die die Ungleichung erfüllen. Die Lösungsmenge Li für den i-ten Fall ergibt sich aus Schwerpunkte Darstellungsformen komplexer Zahlen Transformationen zwischen den Darstellungsformen Rechnen mit komplexen Zahlen grafische Darstellung von Mengen komplexer Zahlen Li = Fi Ei. 4 Die Lösungsmenge L für alle Fälle zusammen ergibt sich aus L = (L1 L2... Ln) D. 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Quadratische Gleichungen 19/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 20/37 Aufgabe 1.11 Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen in R bzw. C. a) x x 1 = 0, b) x = 0 und c) x 2 + 4x + 13 = 0 Aufgabe 1.12 Gegeben seien z1 = 4 5i und z2 = 4 + i. Berechnen Sie a) z1 + z2, b) z1 z2, c) z1 z2, d) z1 z1 und e) z1/z2.

6 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Darstellungsformen komplexer Zahlen 21/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Darstellungsformen komplexer Zahlen 22/37 Themen und Begriffe kartesische, algebraische bzw. arithmetische Form polare bzw. trigonometrische Form exponentielle Form (Eulersche Formel) Aufgabe 1.13 Geben Sie den Real- und Imaginärteil von z C an a) z = 1 und i + 1 b) z = ( ) i. 1 i 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Darstellungsformen komplexer Zahlen 23/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Darstellungsformen komplexer Zahlen 24/37 Aufgabe 1.14 Bestimmen Sie Betrag und Argument von 3i a) z = 2e i π 4 und b) z = 4(cos(2α) i sin(2α))(cos α + i sin α), α (0, 2π).

7 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Transformationen zwischen den Darstellungsformen 25/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Transformationen zwischen den Darstellungsformen 26/37 Transformation von der polaren bzw. exponentiellen in die kartesische Form Gegeben: z C, z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ mit r 0 und ϕ [0, 2π). Gesucht: x, y R mit z = x + iy. Transformation: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Aufgabe 1.15 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von a) z = 4 ( cos ( 5 6 π) + i sin ( 5 6 π)) und b) z = e 4 i3,5π. 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Transformationen zwischen den Darstellungsformen 27/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Transformationen zwischen den Darstellungsformen 28/37 Transformation von der kartesischen in die polare bzw. exponentielle Form Gegeben: z C mit z = x + iy, x, y R. Gesucht: r 0 und ϕ [0, 2π) mit z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ. Transformation: r = z = x 2 + y 2 0 für x = 0 und y = 0, arctan ( y ) x für x > 0 und y 0, π ϕ = arg(z) = 2 für x = 0 und y > 0, π + arctan ( y ) x für x < 0 und y R, 3 2π für x = 0 und y < 0, 2π + arctan ( y ) x für x > 0 und y < 0. Hinweis: In einigen Formelsammlungen (z.b. Göhler) wird von ϕ [ π, π) ausgegangen. Daher sind auch andere Formeln für die Berechnung des Arguments ϕ = arg(z) zu verwenden. Aufgabe 1.16 Bestimmen Sie Argument und Betrag der komplexen Zahl z C und geben Sie z in polarer und exponentieller Form an a) z = 2i, b) z = 1 + i, c) z = 2(1 3i), d) z = 3i, e) z = i 3.

8 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 29/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 30/37 Potenzieren einer komplexen Zahl Aufgabe 1.17 Bestimmen Sie die kartesische Form von a) z = (2 i 3) 3 und b) z = (1 i) Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 31/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 32/37 Radizieren einer komplexen Zahl Aufgabe 1.18 Bestimmen Sie die kartesische Form der komplexen Zahl w C. a) w 4 = 1 2 (i 3 1) b) iw 3 = 8, c) w 2 2iw + 8 = 0 und d) (1 i) 2 (w 4 2) = (1 + i) 2.

9 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 33/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen 34/37 Wurzeln komplexer Zahlen Für gegebenes z = re iϕ C, r = z > 0, ϕ = arg(z) [0, 2π), hat die Wurzelgleichung die n Lösungen mit w n = z, n = 2, 3,... wk = n r e iϕk = n r (cos ϕk + i sin ϕk), k = 1,..., n, (1) ϕ1 = ϕ n und ϕk = ϕk 1 + 2π n ϕ + 2(k 1)π =, k = 2,..., n. n Anwendung Bei Gleichungen der Form (w z0) n = z (2) für gegebene z, z0 C, z 0, und n = 2, 3,... setzt man w0 := w z0 und erhält so eine Wurzelgleichung der Form w n 0 = z mit den Lösungen w0,k, k = 1,..., n, aus (1). Die Gleichung (2) hat dann die Lösungen wk = w0,k + z0, k = 1,..., n. 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Grafische Darstellung von Mengen komplexer Zahlen 35/37 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Grafische Darstellung von Mengen komplexer Zahlen 36/37 Aufgabe 1.19 Beträge in R und C Skizzieren Sie die Menge der komplexen Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene, die die folgenden Bedingungen erfüllen a z a a) z 2, b) z + 4i 3 = 3, x a a 0 a x a a e c) Re(z) + Im(z) 1 und 2z < 4 sowie d) Im(z(i + 1)) 1. a

10 1. Grundlagen Die komplexen Zahlen - Grafische Darstellung von Mengen komplexer Zahlen 37/37 Beträge in R und C z z 0 a x x 0 a Im z 0 a z 0 0 x 0 a x 0 x 0 a x Re z 0 e