Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes

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1 Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Aufgabe 1: Wetterbericht Im Mittel sagt der Wetterbericht für den kommenden Tag zu 60 % schönes und zu 40% schlechtes Wetter voraus; die Trefferquote liegt für die Voraussage schön bei 80% und für die Voraussage schlecht bei 90 %. (a) Wieviel % schöne Tage gibt es? (b) Trotz schönen Wetters ist Kumpel K nicht zum verabredeten Fallschirmsprung erscheinen mit dem Hinweis, der gestrige Wetterbericht wäre schlecht gewesen, so dass er anders disponierte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war dies bei Unkenntnis des gestrigen Wetterberichts nur eine Ausrede? Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1: Wetterbericht (a) Allgemein gilt: Falls n Ereignisse A i paarweise disjunkt sind (sich gegenseitig ausschließen) und zusammen das sichere Ereignis bilden, kann man aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B A i ) für ein Ereignis B die (unbedingte) totale Wahrscheinlichkeit P(B) einfach ermitteln (Herleitung siehe Vorlesung): P(B) = n P(B A i )P(A i ) i=1 Hier: B: morgen ist schönes Wetter A 1 : Der Wetterbericht ist schön A 2 : Der Wetterbericht ist schlecht (Klar: Es gilt A 1 A 2 = ) Also: P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) = (1 0.9) = 0.52 = 52%. Hier wurde P(B A 2 ) = 1 P(B, A 2 ) = Thema: Satz von Bayes, Seite 1

2 verwendet mit P(B, A 2 ) der Wahrscheinlichkeit schlechten Wetters bei schlechter Voraussage. Da die totale Wahrscheinlichkeit P(B) eine unbedingte Wahrscheinlichkeit ist, hängt sie gar nicht vom Wetterbericht des Vortags ab und gilt damit für alle Tage (falls die Homogenitätsvoraussetzung erfüllt ist, d.h. der Wetterbericht nicht z.b. im Winter bessere Voraussagen macht als im Sommer). (b) Heute sei schönes Wetter. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lautete der gestrige Wetterbericht schön? Ausgangspunkt ist das Theorem von Bayes: P(A i B) = P(B A i)p(a i ) P(B) Mit ihm lässt sich aus den vor Durchführung des Zufallsexperiments geltenden A priori-wahrscheinlichkeiten P(A i ) sowie der bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B A i ) die nach Durchführung des Experiments geltenden Wahrscheinlichkeiten P(A i B) ( A posteriori-wahrscheinlichkeiten ) bestimmen. Anders ausgedrückt: Kennt also nur das Ergebnis, nicht aber, welche von sich voneinander aussschließenden Ursachen das Ergebnis bewirkt hat, so kann mit Bayes die Wahrscheinlichkeit für das Vorhandensein der diversen Ursachen ermittelt werden. Medizin! (A i = Krankeiten, B = festgestelltes Symptom) Hier: Gesucht: Gegeben: P(A 1 ) B) = P(gestern schöner Wetterbericht bei heute schönem Wetter). P(B) = 0.52 Totale Wahrscheinlichkeit schöner Tage, P(A 1 ) = 0.6 Wahrscheinlichleit für gute Wettervoraussage P(B A 1 ) Wahrscheinlichkeit schönen Wetters bei guter Voraussage Also P(A 1 ) B) = P(B A 1)P(A 1 ) P(B) = = 0.92 Zu 92% war es also eine faule Ausrede. Thema: Satz von Bayes, Seite 2

3 Anschauliche Lösung mit Wahrscheinlichkeitsbaum Zeit Wetterbericht schön schlecht Wetter schön Wetter schlecht 48% 12% Wetter schön Wetter schlecht 4% 36% Aufgabe 2: Aids Im Mittel sind in der untersuchten Gegend einer von Männern an Aids erkrankt. Der Aids-test erkennt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.99% Kranke und Gesunde richtig. Wie hoch ist bei einem positiven Befund die Wahrscheinlichkeit, Aids zu haben? (Lösung: 50%) Lösungsvorschlag zu Aufgabe 2: Aids Zeit untersuchte Männer 0.01% 99.99% hat Aids 1 bzw. 0.01% hat kein Aids 9999 bzw % 0.01% 99.99% 99.99% 0.01% Diagnose: kein Aids Diagnose: Aids Diagnose: kein Aids Diagnose: Aids Thema: Satz von Bayes, Seite 3

4 Aufgabe 3: Schwarzfahrer In Dresden wird im Mittel zu 10% Schwarzgefahren. 70% der Schwarzfahrer haben keine Fahrkarte, während die anderen 30% gefälschte oder illegal besorgte Karten besitzen. Von den ehrlichen Fahrgästen haben im Mittel 5% ihre Fahrkarte vegessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein kontrollierter Fahrgast, der keine Karte vorzeigen kann, ein Schwarzfahrer? (Lösung: 7/11.5=61%) Lösungsvorschlag zu Aufgabe 3: Schwarzfahrer Aus der Aufgabe ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(S = Schwarzfahrer) = 1 10, P(K = keine Karte S) = 7 10, P(F = falsche Karte S) = 3 10, P(K E = ehrliche Fahrgäste) = Uns interessiert das Ereignis P(Schwarzfahrer keine Karte), was sich nach Bayes auch ausdrücken lässt als P(K S) P(S) P(S K) =. (1) P(K) Wir brauchen dafür P(K), also die totale Wahrscheinlichkeit über die disjunkte Zerlegung der ehrlichen Fahrgäste und der Schwarzfahrer: P(K) = P(K E)P(E) + P(K S)P(S) = = 0.115, (2) so dass sich als Ergebnis ergibt P(S K) = %. (3) Thema: Satz von Bayes, Seite 4

5 Zeit Kontrollierte Fahgäste ehrlich Schwarzfahrer Karte 86.5% Keine Karte 4.5% Karte Keine Karte 3% 7% Aufgabe 4: Disco oder: Ein Standardproblem für Heranwachsende Es sei eine Disco mit 4 Floors gegeben und die Flamme ist an einem beliebig herausgegriffenen Tag mit Wahrscheinlichkeit p in der Disco, d.h. in einen der 4 Floors. Der Typ hat null Peil über den Musikgeschmack seiner Flamme und fragt sich nach vergeblicher Suche in 3 der Floors, mit welcher Wahrscheinlichkeit w er sie im letzten Floor doch noch trifft. Berechnen Sie w. Für welchen Wert von p trifft er sie auf jeden Fall im 4. Floor? Und: Für welches p ist die Chance zumindest bei 50%? Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4: Disco Lösung mit dem Satz von Bayes lautet w = 1 4 p 3 Für p 1 ergibt sich w 1. Also für p = 1 ist die Flamme im letzten Floor anzutreffen. Weiterhin ergibt sich w! = 0.5 p = 4 5. (4) Nun zu der Herleitung mit Satz von Bayes: Wir definieren die Ereignisse A= Flamme in Disco mit P(A) = p B= Flamme in den ersten 3 Floors getroffen Thema: Satz von Bayes, Seite 5

6 Wegen der fehlenden Ahnung vom Musikgeschmack gelten fürderhin die bedingten Wahrscheinlichkeiten und natürlich P(B A) = 3/4, P( B A) = 1/4 P(B Ā) = 0. (Wenn nicht in Disco, dann auch nicht auf einen der ersten drei Floors). Daraus ergibt sich sofort auch das komplementäre Ereignis P( B Ā) = 1. Die totale Wahrscheinlichkeit ist P( B) = P(A)P( B A) + P(Ā)P( B Ā) = p + (1 p). (5) 4 Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit Aus dem Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten ergibt sich der Satz von Bayes w = P(A B). (6) P(A B) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B) P(A B) = P(B A)P(A) P(B) (7) und damit w = P( B A)P(A) P( B) = 1 q.e.d. (8) 3, 4 p Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4a: Lösung über Elementarereignisse Die Elementarereignisse sind: A 0 : Freundin nicht in Disko A i : Freundin in Raum i 1, 2, 3, 4. Offenbar sind alle komplementär. Wir sind interessiert an dem Ereignis A = A 4. Weiterhin gibt für das Ereignis aus dem vorigen Abschnitt B = A 1 A 2 A 3 = A 0 A 4. Damit ergibt sich P(A B) = = P(A B) P(B) P(A 4 ) P(A 0 ) + P(A 4 ) = = P(A 4 (A 4 A 0 )) P(A 0 A 4 ) p 4 1 p + p 4 = 1 4 p 3. Thema: Satz von Bayes, Seite 6

7 Aufgabe 5: Krankheit Eine Krankheit kommt bei ca. 5% der Bevölkerung vor. Ein Test zur Erkennung der Krankheit führt bei 99% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 2% der Gesunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, die Krankheit wirklich hat? Lösungsvorschlag zu Aufgabe 5: Krankheit Zum Selbermachen... Aufgabe 6: Mit dem LKW in die Türkei Eine Speditionsfirma transportiert unter anderem Maschinenteile von Deutschland in die Türkei (Wegstrecke: 4000 km). Da eine verzögerte Lieferung mit hohen Konventionalstrafen verbunden ist, ist vor jedem dieser Transporte eine Inspektion des LKW vorgesehen, die jedoch von den Fahrern aus Bequemlichkeit in 20% der Fälle nicht durchgeführt wird. Ohne Inspektion erleidet der LKW pro 1000 gefahrene km mit 3% Wahrscheinlichkeit eine Panne, die zu einer unzulässigen Verzögerung führt, mit Inspektion nur mit 0,5%. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Panne auf der 4000 km langen Strecke ohne und mit Inspektion? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein auf der Strecke liegengebliebener Fahrer die Inspektion nicht durchgeführt? Hinweis: Berechnen Sie zunächst die mittlere Pannenwahrscheinlichkeit durch entsprechende Gewichtung der in (a) berechneten Wahrscheinlichkeiten (Lösung: 3,88%) und wenden Sie dann den Satz von Bayes an! (c) Neben Pannen gibt es mit P(D) = 1% Wahrscheinlichkeit andere Gründe, die zu unzulässigen Verzögerungen führen wie z.b. Zoll oder Verkehrsstaus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen die Maschinenteile verspätet an? Lösungsvorschlag zu Aufgabe 6: Mit dem LKW in die Türkei Pannenwahrscheinlichkeit: Es seien folgende Ereignisse definiert: A: Inspektion wurde durchgeführt B: Es gab mindestens eine Panne auf der Fahrt in die Türkei C: Es gab mindestens eine Panne auf 1000 km Fahrt Bekannt ist die unbedingte (totale) Wahrscheinlichkeit P(A) = 0.8, sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(C A) = Pannenwahrscheinlichkeit pro 1000 km bei durchgeführter Inspektion P(C Ā) = 0.03 Pannenwahrscheinlichkeit pro 1000 km, falls die Inspektion nicht durchgeführt wurde Thema: Satz von Bayes, Seite 7

8 Da die Pannenwahrscheinlichkeit nicht vom Streckenabschnitt bzw. von schon erlittenen Pannen abhängt, gilt für die Wahrscheinlichkeit, mit (A) oder ohne (Ā) Inspektion keine Panne zu erleiden: P( B A) = (1 P(C A)) 4 = ( ) 4 bzw. P( B Ā) = (1 P(C Ā))4 = (1 0.03) 4 Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten, mindestens eine Panne zu erleiden: P(B A) = 1 P( B A) = 1 ( ) 4 = 1.985%, P(B Ā) = 1 P( B Ā) = 1 (1 0.03)4 = 11.47% Inspektionswahrscheinlichkeit: Unbedingte (totale) Wahrscheinlichkeit P(B): P(B) = k P(B A k )P(A k ) = P(B A)P(A) + P(B Ā)P(Ā) = Hier wurde A 1 = A und A 2 = Ā gesetzt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(Ā B) ergibt sich mit dem Satz von Bayes (mit A k = A 2 = Ā): P(B Ā)P(Ā) P(Ā B) = = = 0.59 P(B) Während die a-priori-wahrscheinlichkeit, keine Inspektion durchgeführt zu haben, nur P(Ā) = 0.2 beträgt, steigt sie auf P(Ā B) = 59%, wenn man die zusätzliche Information hat, dass eine Panne vorliegt. Verspätungswahrcheinlichkeit Sei Ereignis D: Sonsiger Grund für Verspätung. Dann gilt für Ereignis E = D B: Machinenteile kommen verspätet an bei Unabhängigkeit der sonstigen Ursachen wie Zoll etc. von den Pannen: P(E) = P(D B) DeMorgan = 1 P( D Unabhh. B) = 1 P( D)P( B) = = 4.84% Thema: Satz von Bayes, Seite 8