STETIGE VERTEILUNGEN

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1 STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen breiter und symmetrischer um den Erwartungswert μ = n p. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses wird immer kleiner, da die Flächensumme der Rechtecke immer die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt. Die Histogramme erhalten zunehmend Glockenform, wobei sich die (Symmetrie )Achse an der Stelle μ = n pimmer mehr nach rechts verschiebt. Um das Verhalten von B np für große Werte von n besser untersuchen zu können, verschiebt man die Schaubilder so, dass der Erwartungswert μ = n pauf der. Koordinatenachse liegt und gleicht somit die Verschiebung der (Symmetrie ) Achse aus. Jeder Wert X=k wird um μ Einheiten nach links verschoben. Gleichzeitig streckt man die Rechteckshöhen, die B (k) Werte, mit dem Faktor = n p q und die ursprünglichen Rechtecksbreiten mit LE mit dem Faktor. Damit gleicht man das Flacherwerden der Glockenform aus und hat gleichzeitig die Konstanz der Flächenmaßzahlen der Rechtecke (der Einzelwahrscheinlichkeiten) gewahrt. np Damit gilt: Man erhält eine neu Zufallsvariable, ein standartisierte Zufallsvaiable μ Z = (k μ) = k. Für k > μ nimmt die standartisierte Zufallsvariable positive, für k < μ negative Werte an. Eine solche Verteilung heißt standartisierte Binomialverteilung: P(Z) De Moivre hat erkannt, dass die Histogramme bestimmter standartisierter Binomialverteilungen trotz unterschiedlicher Parameter n und p in guter Näherung einen fast identischen Verlauf zeigen. Diese Histogramme haben einen glockenförmigen Verlauf. Laplace hat diese Überlegungen weitergeführt und erkannt, dass die Histogramme standartisierter Binomialverteilungen um so besser von glockenförmigen Graphen umrandet Annette Kronberger 00 Seite

2 werden, je größer die Standardabweichung ist.( Faustregel: Wenn die Laplace Bedingung > 3 erfüllt ist) x Das Schaubild der Funktion ϕ :x e x lr liefert die Grenzkurve,die π Glockenkurve (als Grenzlage der Histogramme für n ) Diese Funktionϕ heißt Gauß Funktion, ihr Schaubild heißt Gauß sche Glockenkurve. Diese Glockenkurve ist symmetrisch zur y Achse und hat die x Achse als Asymptote. Moivre hat diese Glockenkurve für p=0,5 untersucht, Laplace zeigte, dass sich auch im Fall p 0,5für große Werte von n dieselbe Grenzkurve ergibt. Beispiel: Binomialverteilung mit n=60, p=0,5, μ = n p = 30, = n p q,74 Standartisierte Binomialverteilung: Gauss Kurve: Der Flächeninhalt zwischen der Gauß Kurve und der x Achse entspricht somit dem der Summe der Inhalte aller Rechtecksflächen des Histogramms einer binomialverteilten Zufallsvariablen X ebenso Annette Kronberger 00 Seite

3 wie die der dazugehörigen standardisierten Zufallsvariablen Z und hat der Wert : ϕ(x)dx = Die Summenwahrscheinlichkeit P(X k) = B np(x k) kann dann näherungsweise durch den Inhalt der Teilfläche, die von der Gauss Kurve und der x Achse (bzw. z Achse) im Intervall ( z] eingeschlossen wird, berechnet werden: Für die integrale Näherung der Summenwahrscheinlichkeit P(X k) = B (X k) gilt: np z k μ B np(x k) = ϕ(x)dx mit z = Diese Gleichung bezeichnet man als integrale Näherungsformel von de Moivre Laplace. Die Integrale z ϕ(x)dx =Φ(z) sind Näherungswerte der Summenwahrscheinlichkeiten B (X k). np Folgerungen: () P(X>k)= P(X k) = B np(x k) = Φ(z) () Die Intervallwahrscheinlichkeit P(k ist X k ) näherungsweise gleich der Differenz z z Φ(z ) Φ (z ) = ϕ(z)dz ϕ( z)dz k μ k μ mit z = und z = Annette Kronberger 00 Seite 3 Korrekturglieder: Da k und k die Mitten der Rechtecksbreiten sind, rückt man vor der Standardisierung k um 0,5 LE nach links und k um

4 0,5 LE nach rechts. Damit hat man einen besseren Näherungswert der Intervallwahrscheinlichkeit. Für die standardisierten Variablen gilt dann: k 0,5 μ k + 0,5 μ z = und z = und für die integrale Näherung der Intervallwahrscheinlichkeit k + 0,5 μ k 0,5 μ B (k < X < k ) = Φ Φ np Diese Korrektur ist insbesondere dann wichtig, wenn n und nicht hinreichend groß sind. (3) Ist z<0, ist Φ (z) < 0,5 (4) Es gilt: Φ ( z) < Φ( z ). Die Gauß sche Glockenfunktion x Die Gauß sche Glockenfunktion ϕ mit ϕ(x) = e, mit der man die Konturen von π Binomialverteilungen beschreiben kann, heißt Standard Glockenfunktion. Funktionen ϕμ mit ϕμ (x) = e πf festen Parametern μ und. (x μ) heißen Gauß sche Glockenfunktionen mit den Sie besitzen eine Maximalstelle bei x = μ mit dem Maximalwert ymax = π und zwei Wendestellen bei x = μ ± mit dem Funktionswert yw = e π Und es gilt: ϕμ (x)dx = Annette Kronberger 00 Seite 4

5 Für μ = 0 und = erhält man die Standard Glockenfunktion. Anmerkungen: () Die Gauß schen Glockenfunktionen lassen sich nur numerisch integrieren. () Verschiedene Schaubilder: Annette Kronberger 00 Seite 5

6 3. Stetige Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichte Diskrete Zufallsvariable sind Zufallsvariable, deren Werte abzählbar sind und durchnummeriert werden können. Je zwei benachbarte Ergebnisse sind eindeutig unterscheidbar. Ihre Wahrscheinlichkeiten kann man in Tabellen darstellen. Beispiel: 00mal würfeln, die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der 6en an. Stetige Zufallsvariable sind Zufallsvariable, deren Werte beliebig dicht liegende reelle Zahlen sind, wobei zwischen zwei beliebig dicht liegenden Werten einer stetigen Zufallsvariablen immer noch unendlich viele Werte liegen. Beispiel für eine stetige Zufallsvariable: In einer Zentrifuge befindet sich ein kleines Holzkügelchen, das durch mehrere Öffnungen die Zentrifuge verlassen kann. Die Winkelgeschwindigkeit der Zentrifuge wird innerhalb von Minuten auf einen maximalen Wert hochgefahren. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis das Kügelchen innerhalb dieser Minuten die Zentrifuge verlassen hat (wobei die Kugel auf jeden Fall innerhalb von Min die Zentrifuge verlässt.) Es gibt also unendlich viele Werte für die Zufallsvariable im Intervall (0:], alle Zahlen x mit 0<x sind möglich. Die Zufallsvariable ist stetig. Eine Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integrieren erhält, nennt man Wahrscheinlichkeitsdichte. Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall I=[ab] (oder I=(ab) ), wenn gilt: () f(x) 0 für alle x I b () f(x)dx = a Anmerkungen:. Durch () ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeiten von Teilintervallen nicht negativ sind.. Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Intervalls beträgt =00% 3. Man nennt f auch Dichtefunktion. 4. Eine Zufallsvariable X mit reellen Werten im Intervall I heißt stetig verteilt, wenn gilt: k P(k X k ) = f(x)dx für alle k,k lr k Annette Kronberger 00 Seite 6

7 5. Die Funktionswerte f(x) sind keine Wahrscheinlichkeiten. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau den Wert k annimmt, berechnet sich durch k P(X = k) = f(x)dx = 0 k,d.h. die Einzelwahrscheinlichkeiten sind exakt null. Annette Kronberger 00 Seite 7

8 4. Normalverteilte Zufallsvariablen Eine stetige Zufallsvariable, die durch ihren Erwartungswert μ und ihre Standardabweichung festgelegt ist und nach der Standardisierung als Dichtefunktion die Gauß sche Glockenfunktion ϕ heißt normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern Man sagt: X ist N( μ ) verteilt. μ besitzt, μ und. k μ z = Wahrscheinlichkeiten für Bereiche lassen sich durch Integration der Dichtefunktion bestimmen: Φ μ μ z (z) = ϕ (x)dx Speziell: Die Normalverteilung für μ = 0und = (mit der Standard x Glockenfunktion ϕ mit ϕ(x) = e ) heißt Standardnormalverteilung N(0). π Die Wahrscheinlichkeit P( X k) einer standardnormalverteilten (stetigen) Zufallsvariablen X z x k μ berechnet sich durch: P(X k) = e dx = Φ (z) mit z = π Anmerkungen:. Die Normalverteilung ist eine spezielle stetige Verteilung.. Einsatz des GTR: Mit normalcdf(a,b, μ, )erhält man den Wert für Mit normalcdf(,x, μ, ) ist die zugehörige Integralfunktion Annette Kronberger 00 Seite 8 b ϕ μ a (x)dx μ μ gegeben, man kann Funktionswerte an jeder Stelle x=x 0 bestimmen. (Bei manchen TR muss man statt einen Näherungswert (z.b. 00) einsetzen.) Mit invnorm(y, μ, ) kann man die Stelle x bestimmen, an der die Integralfunktion den Wert Y annimmt: x μ x) ϕμ Y =Φ ( = (t) dt Φ x (x) = ϕ (Bsp.: invnorm( 0.75,7.8,.5) ergibt ungefähr den Wert 8.8, d.h. an der Stelle x=8,8 hat die Integralfunktion Φ 7,8,5 den Wert 0,75. (t)dt

9 3. Bei der Normalverteilung ist μ der Erwartungswert und die Standardabweichung. Begr. LS S Es gilt P( a X b) = P(a < X < b) Annette Kronberger 00 Seite 9

10 5. Für jede normalverteilte Zufallsvariable gelten die Sigma Regeln: P( μ X μ + ) = Φ() Φ( ) 68,3% (Begründung: μ+ μ + μ μ μ P ( μ X μ + ) = ϕμ (x)dx = Φ Φ = Φ() Φ( ) μ P( μ X μ + ) = Φ() Φ( ) 95, 4% P( μ 3 X μ + 3 ) = Φ(3) Φ( 3) 99,7% bzw. P( μ, 64 X μ +, 64 ) = 90% P( μ, 96 X μ +, 96 ) = 95% P( μ,58 X μ +,58 ) = 99% 68,3% ) 6. Binomialverteilung und Normalverteilung Die Gauß schen Glockenfunktionen sind einerseits Wahrscheinlichkeitsdichten stetiger Zufallsvariablen. Andererseits beschreiben sie die Kontur von Binomialverteilungen unter bestimmten Bedingungen: Für binomialverteilte Zufallsvariable X mit μ = n p und = n p ( p) mit > 3 gelten die Näherungen: () P(X = k) = B np (k) ϕ μ (k) (lokale Näherungsformel) b+ 0,5 () P(a X b) = ϕ μ (x)dx (integrale Näherungsformel mit Stetigkeitskorrektur) a 0,5 Diese Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung begründet die Sigma Regel für binomialverteilte Zufallsvariable: μ+ + 0,5 μ+ P( μ X μ + ) ϕ (x)dx ϕ (x)dx 0,68 μ μ μ 0,5 μ Annette Kronberger 00 Seite 0

11 Weitere spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Die Poisson Verteilung Geometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Annette Kronberger 00 Seite