Q y. dx dy dz. qdv. Bilanzgleichung des Wärmestroms

Transkript

1 T( x, y, z, τ ) dv = dx dy dz Q z + dz Q y + dy Q * qdv x Q x + dx Q x+ dx Q x( x + dx, y, z, τ ) Q Q ( x, y + dy, z, τ ) y+ dy y Q Q ( x, y, z + dz, τ ) z+ dz z Q Q y Q z Bilanzgleichung des Wärmestroms

2 Randbedingung. Art (Dirichlet-Randbedingung) T( Ω, τ ) = T S ( Ω, τ ) TS ( Ω, τ ) Ω Ω Randbedingung 2. Art (Neumann-Randbedingung) T k ( Ω ) = q S ( Ω, τ ) n T q S = ( Ω, τ ) n k Ω Ω Lösungsgebiet: Ω Berandung: Ω Normalableitung / n Wärmeleitung: zulässige Randbedingungen

3 Randbedingung 2. Art - adiabat T q S = k ( Ω ) = n q S T = = n Ω Ω Randbedingung 3. Art (gemischte Randbedingung) T k ( Ω ) = h T( Ω) T n ( ) T T-T T k ( Ω ) = h T( Ω) T n ( ) Ω Ω Lösungsgebiet: Ω Berandung: Ω Normalableitung / n Wärmeleitung: zulässige Randbedingungen

4 Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten und Gasen

5 Laplace-Operator = + + x y z Kartesisch = r + + r r r r θ z = r sin 2 + θ r r r r sinθ θ θ r sin θ ϕ Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

6 k(t).25 T km = k( T ) dt ϑ( T) = k( T ) dt k T ϑ(t) m T T Wärmeleitfähigkeit k(t) T [K] Transformierte Temperatur ϑ(t) (T = 3 K, T = 5 K) T [K] Kirchhoff-Transformation

7 T( x, y ) = T sin( π x/ w) + T max m Temperatur-Isolinien 3-D-Ansicht der Temperaturverteilung stationäre Lösung der Wärmeleitungsgleichung (ebene Platte)

8 θ ( ξη, ) = sin( πx/ w) max normierte Temperatur-Isolinien 3-D-Ansicht der Temperaturverteilung stationäre Lösung der Wärmeleitungsgleichung (ebene Platte)

9 ξ=: θ (τ) (R.B.. Art) A.B.: θ (ξ,τ=) = θ (ξ) ξ=: θ (τ) f(τ) (R.B.. Art) einfache Anfangsbedingung einfache Randbedingung Summen-Lösung ξ.6 ξ ξ.8.8 τ + τ + τ Aufheizung unendlicher Platte mit einseitigem Temperaturanstieg

10 ξ=: θ/ ξ -Bi θ() (R.B. 3. Art) A.B.: θ (ξ,τ=) = ξ=: θ (τ) f(τ) (R.B.. Art) Bi =. Bi = Bi = τ + τ + τ ξ ξ.8.8 ξ.8 Aufheizung unendlicher Platte mit konvektiver Randbedingung

11 Beispiele für Wärmeübergang bei vergrößerter Oberfläche

12 Wärmetauscher mit Rippen

13 Erhöhung des Wärmeübergangs durch Rippen / Finnen

14 Kontrollvolumen bei quasi-eindimensionaler Wärmeleitung

15 Definition der Kontrollvolumina für quasi-eindimensionale Rechnung

16 Formen von Rippen / Finnen, Ringrippen und Nadeln

17 Q Basis dt = k A() dx x= Q U, konv Q Basis Q,konv L ( ) ( ) Q = hu( x) T( x) T dx+ h A( L) T( L) T konv, ges T W Berechnung Gesamt-Wärmestrom in Rippe

18 Quasi-eindimensionale Wärmeleitung bei Rippe und Nadel

19 2 5 5 Exp(x) Cosh(x) Exp(-x) Sinh(x) Exponentialfunktion und hyperbolische Funktionen

20 Temperaturverlauf in Rippen aus verschiedenen Materialien

21 θ(ξ) adiabat bei x=l θ(ξ) Konvektion bei x=l.4 adiabat bei x=l.2.2 Konvektion bei x=l m = ξ = x/l m = 3 ξ = x/l Temperaturverlauf in Rippe / Nadel mit konstantem Querschnitt (Bi = )

22 θ(ξ) η(x).8 m =.8 Konvektion bei x=l m = m = 3.2 adiabat bei x=l ξ = x/l Temperaturverlauf in Rippe θ(ξ) m Rippeneffektivität η(m) Temperaturverlauf und Rippenwirkungsgrad in ebener Rippe

23 Q Q ges ohne Rippe 5 4 a =.2 η(x).8 a = a = a =.2 a = 5 a = m m normierter Rippen-Wärmestrom (h =h) Rippeneffektivität η(m) Rippenwirkungsgrad in ebener Rippe

24 Rippenwirkungsgrad von ebenen Rippen

25 r b T h T w T w Definition des Kontrollvolumens in Ringrippe

26 h r b Q konv r e Q r Q r + dr h T W Energeibilanz am Kontrollvolumen in Ringrippe

27 5 I (x) 4 K (x) I (x) K (x) Modifizierte Bessel-Funktionen I, I, K, K

28 θ(x) r e = 5r b, w / d b =.2.8 m = m =.2 m = r/r b Temperaturverlauf in Ringrippe

29 Q nor m =.2 w = r e /5 2 Q nor 8 6 m = 5 w = r e /5 w=r e 4 w=r e 5 2 w = 4r e w = 4r e r/r b r/r b Wärmestrom durch Ringrippe normiert auf Wärmestrom ohne Rippe

30 η(x) w =.3 r e η(x) w = 3 r e m= m=3 m= r e /r b dünne Rippe r e /r b dicke Rippe Rippenwirkungsgrad in Ringrippe (konvektiver Wärmeübergang am Ende)

31 Rippenwirkungsgrad von Ringrippen

32 Randbedingungen Isolinien der reduzierten Temperatur θ(x,y) Stationäre Wärmeleitung in rechteckiger Platte

33 stationäre Wärmeleitung: Adiabaten und Temperatur-Isolinien

34 Randbedingung θ(x,y=w) = f(x) Randbedingung θ(x,y=w) = t Randbedingung θ(x,y=w) = f(x), θ(x,y=) = φ(x) Stationäre Wärmeleitung in rechteckiger Platte

35 π =. π Bi = Bi π π = = Bi Bi Quadratische Platte mit konvektivem Wärmeübergang an Stirnseite

36 Leitungsformfaktoren ()

37 Leitungsformfaktoren (2)

38 Leitungsformfaktoren (3)

39 T i T(τ) U ( τ ) t > T = T(τ) du Qconv dτ = Abkühlung eines Werkstücks (Blockkapazitätsmethode)

40 Instationäre Aufheizung einer unendlichen Platte bei verschiedenen Biot-Zahlen

41 T T(x,τ) T L x Instationärer Abkühlvorgang einer unendlich ausgedehnten Platte

42 T( x, τ) = ( T T ) θ ( ξ, τ + ) + T i Bi i T h T T(x i,τ) L Instationärer Abkühlvorgang eines Werkstücks

43 T (x) τ ξ Instationärer Wärmeausgleich in unendlicher Platte

44 (, + ) = n sin( n 2 )exp( n 2 + ) n= θ ξτ θ πξ πτ 2( ) n + θn = θ π n τ ξ Instationärer Wärmeausgleich in Platte (konstante Anfangstemperatur)

45 Instationäre Abkühlung einer unendlichen Platte Anfangsbedingung: Temperatur konstant (θ(x,fo=) = )

46 Anfangsbedingung Grundlösung der instationären WL-Gleichung Instationäre Wärmeleitung in unendlicher Platte mit beliebiger Anfangs-Temperaturverteilung T(x,τ=) = f(x)

47 Instationäre Wärmeleitung in halb-unendlichem Körper

48 Instationäre Wärmeleitung in unendlich langem Stab mit rechteckigem Querschnitt: Lösung durch Produktansatz

49 Quader (Schnitt von 3 ebenen Platten) Kreisscheibe (Schnitt von Zylinder und Platte) Lösung der instationären Wärmeleitungsgleichung durch Produktansatz: Quader und Kreisscheibe

50 .5.25 θ(l/2)..75 exakt Term τ x/l τ + τ x/l Lösung mit. Term in Reihe exakte Lösung Instationäre Wärmeleitung in isoliertem Draht mit Wärmequelle

51