( x) Thema 5 Verteilungen Statistik - Neff 5.1 ÜBERBLICK TEST-VERTEILUNGEN. Stetige Zufallsvariable Dichtefunktion f(x) Verteilungsfunktion F(x)

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1 5. ÜBERBLICK TEST-VERTEILUNGEN Dskrete Zufallsvarable Wahrschlk.-Fukto f( ) mt a W ( X = ) Vertelugsfukto F( ) mt a W ( X ) F( ) = W( X = ) å Stetge Zufallsvarable Dchtefukto f() Vertelugsfukto F() W( X ) = ò f( ) d = F( ) "Flächehalte" - 0,3000 0,500 0,3 0,5 Wahrschelchket 0,000 0,500 0,000 0,0500 0, 0,5 0, 0,05 0, Azahl "Treffer" Azahl "Tref fer" æ0ö f 0 0,4 () = 0,4 0,6 0- ç è bomalvertelt mt = 0, p = 0,4 Bomalvertelug æö - f, p( ) = ç pq è Für Zufallsversuche mt Zurücklege. möglche Eregsse: Treffer A, Nete AG mt de Wahrschelchkete p, q = p. st de Azahl der Treffer. Hypergeometrsche Vertelug æm öæn -M ö ç ç - fnm,, ( ) = è è ænö ç è Für Zufallsversuche ohe Zurücklege. möglche Eregsse: Treffer A, Nete AG mt de Wahrschelchkete p, q = p. st de Azahl der Treffer. µ 3 POISSON-Vertelug fµ ( ) = e! für klee Treffer-Wahrschelchkete p < 0,05 d.h. seltee Eregsse, d.h. sehr usymmetrsche Verteluge -m f4,55( ) = e,55 p æ-4ö - ç è,55 ormalvertelt mt µ = 4, s =,55 4 Fsher F-Vertelug F a p sd Tabelle 7.3 Der Zusammehag quattatver Date st statstsch geschert, we F emprsch > F crt. ud wetere Testverfahre 5 Studet-t-Vertelug F a (t) sd Tabelle 7.5 De Eflussvarable X lefert ee sgfkate Betrag zur (multple) Regresso, we t emprsch > t crtcal ud wetere Testverfahre 6 ch - c - Vertelug F a (c ) sd Tabelle 7.4 De Merkmale A, B sd abhägg, we c emprsch > c crt. ud wetere Testverfahre 7 Normalvertelug æ-µ ö - ç è σ -µ fµ σ( ) = e z= σ π σ F 0 (z) = F SN (z) sd Tabelle 7.6 Für hreched große kovergere de Verteluge bs 6 gege de Normalvertelug.

2 5. BERNOULLI-KETTEN Im Modell für Zufallsversuche "Werfe vo Reßägel" gbt es zwe möglche Eregsse: "Sptzelage" s ud "Rückelage" r, s se e Treffer, ^ se e Ncht-Treffer. De Treffer-Wahrschelchket st p, de für Ncht-Treffer st q = p. Be Zufallsversuche mt Zurücklege blebe de Wahrschelchkete p ud q kostat. De Eregsse eer Kette solcher Zufallsversuche sd voeader uabhägg. etsprcht "Zehe mt Zurücklege" Kette uabhägger Zufallsversuche mt jewels zwe möglche Eregsse et ma BERNOULLI-Kette. (Gutware Ausschuss, ja e, postv egatv, bestade cht best. ) [BERNOULLI, Jakob, Basel 73] Aus de Zufallsversuche (Abschtt 3.9) kee wr de Wahrschelchket dafür, dass e geworfeer Reßagel auf der Sptze legt: p = W(X) = W(s) = 0,39 ud q = p = 0,6. De Zufallsvarable X st de Azahl der Treffer (Sptzelage). Wrft ma -mal ee Reßagel, da ergebe sch de Möglchkete: ^ ^ ^s s^ ss X = 0 W(X) = q q q p p q p p ud q + q p + p = (q + p) = Wrft ma 3-mal ee Reßagel, da ergebe sch de Möglchkete: ^ ^ ^ ^ ^s, ^s^, s^ ^ ^ss, s^s, ss^ sss X = 0 3 W(X) = q q q 3 q p 3 q p p 3 ud q 3 p q p + 3 q p + p 3 = p p q + 3 p q + q 3 = (p + q) 3 =. De Wahrschelchkete der BERNOULLI-Kette folge der Bomaletwcklug (p+q). Z.B. Wahrschelchket für Treffer W(X=) = 3 p q = 3 0,39 0,6 = 0,78. Wederholug zu Bomalkoeffzete sehe Abschtt 5.5 æö - æö - Bomalvertelug: W(X = ) =f B,,p () = ç p q = ç p (- p) è è p Wahrschelchket der Treffer, ( p) - Wahrschelchket der Ncht-Treffer. (Multplkatosregel für uabhägge Eregsse, Abschtt 4.) æö ç glechwahrschelche Kombatoe (Addtosregel für uabh. Eregsse, vgl. 4.) è Der Erwartugswert µ = p, das st umttelbar eschtg. Für de Varaz glt s = p q. (sehe 5.4) De Bomalrehe für Treffer-Wahrschelchket p, Stchprobeumfag : æö 0 æö - æö - æö - æö 0 ( p+ q) = ç pq + ç pq + ç pq ç pq ç pq = è0 è è è è æö Wahrschelchket für geau Treffer: f,p () = pq - ç mt = 0,,,, è De Vertelugsfukto lefert de aufsummerte Werte der Bomalvertelug: k k æö - FB p ( k) = å fp, ( ) = åç pq Tabelle 7. = 0 = 0è

3 5.3 BINOMIALVERTEILUNG Bespel 5. I eer Klk werde eem Moat = 50 Geburte regstrert. De Wahrschelchket für Mädche st p = 0,486. a) We groß st de Wahrschelchket dafür, dass daruter 0 Mädchegeburte sd? geau! b) We groß st de Wahrschelchket dafür, dass daruter höchstes 0 Mädchegeburte sd? c) Erwartugswert, erwartete Varaz ud erwartete Stadardabwechug? d) We ädert sch de erwartete Stadardabwechug, we ma das Stchprobemttel aus eem Jahr betrachtet? q = 0,486 = 0,54 st de Wahrschelchket für de Geburt ees Juge. æ50 ö ! 0 30 a) fb 50 0,486(0) = ç 0, 486 0,54 = 0, 486 0, 54 = 0, 0543 = 5, 4% è0 0!30! 0 æ50ö 50- b) FB 50 0,486(0) = åç 0, 486 0, 54 = = 0 è æ50ö æ ö 49 æ ö 0 30 ç 0, 486 0,54 + ç 0, 486 0, ç 0, 486 0,54 = 0,4 = 4,% è0 è è0 Das st sehr aufwedg; ma hat zwe Möglchkete () e Numerk-Programm beutze z.b. Ecel: =BINOMVERT(0;50;0,486;) () mt Hlfe der Normalvertelug de Näherugswert bestmme, sehe ute Tabelle für F B (k) gbt es ur für glatte p ud, her etwa für p=0,5 ud =50. c) µ = p = 50 0,486 = 4,3 Mädche s = p q = 50 0,486 0,54 =,49 s =,49 = 3,53 Mädche σ 3,53 d) σ = = =,0 Mädche Bespel 5. A eem erososgefährdete Hag solle 0 Fchtepflaze agepflazt werde. De Baumschule gbt ee Awachswahrschelchket vo p = 40% a. We groß st de Wahrschelchket, dass a) geau 4 b) höchstes 3 c) mdestes 5 d) alle 0 awachse? e) Bestmme Se µ, s, s. f) Zeche Se das Hstogramm Aus Tabelle 7. a) f(4) = F(4) F(3) = = 0,633 0,383 = = 0,508 b) F(3) = 0,383 c) W(X 5) = F(4) = = 0,633 = 0,3669 d) "geau 0" W(X = 0) = = f(0) = F(0) F(9) = = 0,9999 = 0,000 e) µ = 0 0,4 = 4 Fchte. s = 0 0,4 0,6 =,4 < 9 s =,4 =,55 Fchte

4 5.4 VARIANZ s = p q Varaz eer bomalvertelte Zufallsvarable Für de Varaz eer Zufallsvarable glt: Spezell für Bomalvertelug: å s = f( )-µ æö s = å p q -( p) è - ç Be "Wurf": = 0 0 W( X 0) æ ö æ ö = = ç pq ud W( X= ) = ç pq è0 è æö 0 æö 0 s = 0 ç p q + ç p q -( p) = p - p = p( - p) = pq è0 è Be "Würfe": = X = 0; ; W(X=0); W(X=); W(X=) æö 0 æö æö 0 s = 0 ç p q + ç p q + ç p q -( p) = pq + 4 p - 4p = pq è0 è è Be 3 "Würfe": = 3 X = 0; ; ; 3 W(X=0); W(X=); W(X=); W(X=3) æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö s = 0 ç pq + ç pq + ç pq+ 3 ç pq -(3 p) = 3pq + 4 3pq+ 9p -9p è0 è è è ( ) ( ) ( ) = 3p q + 4pq + 3p - 3p = 3p q + 4pq + 3 p( p - ) = 3p q + 4pq -3pq = 3 p( q + pq) = 3 p( q + (- q) q) = 3 p( q + q - q ) = 3pq (das st ke Bewes, der Bewes läuft über de vollstädge Idukto) - -- Allgeme: s = p q LAPLACE-Bedgug: we pq > 9 ka ma Normalvertelug beutze Varaz pq > 9. Eakte Symmetre be p = q = 0,5. Je symmetrscher ud je größer, desto besser de Appromato a de Normalvertelug. Greze be pq = p(-p) = 9 => krtsch = 9 / ( 0,5. 0,5 ) = 36. Fuktosklasse f (p) = p (-p) = ( - ) = ( ) Parabelschar z.b. = 36 f() = 36 ( )

5 5.5 BINOMIALKOEFFIZIENTEN æ De Bomalkoeffzete ö ç kee wr aus de Bomsche Formel (a+b). è Ma etmmt se rekursv aus dem PASCAL'sche Koeffzeteschema (sehe ute) oder bestmmt se mt eer der bede folgede Formel: æ ö ( - ) ( - )... ( - + )! ç = = è!!( -)! Be de meste Tascherecher gbt es dazu de Taste [Cr]: Number of Combatos æö ç èr (a+b) 0 = = a 0 b 0 (a+b) = a + b = a b 0 + a 0 b (a+b) = a + ab + b = a b 0 + a b + a 0 b (a+b) 3 = a a b + 3 a b + b 3 = a 3 b a b + 3 a b + a 0 b 3 (a+b) 4 = = a 4 b a 3 b + 6 a b + 4 a b 3 + a 0 b 4 æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö Bomalkoeffzete: ç ; ; ; ; = ç 0 ç ç ç 3 ç 4 è è è è è è 6 a b bedeutet, dass de Kombato a b be (a+b) 4 sechs mal vorkommt. æ4ö 4 3 kürze æ4ö 4! 4 o ç = = 6 (.Formel) ç = = = 6 (. Formel). è kürze è! (4 - )! mt Tascherecher: 4[Cr] æ75ö o ç = = ! cht mt Tascherecher! è3 3

6 5.6 ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN Bespel 5.3 (ach Lambacher-Schwezer S.35) I eer Ure befde sch M = 64 schwarze Kugel ud N - M = 36 weße Kugel. "Treffer" se das Zehe eer schwarze Kugel, d.h M M p = ud q = allgeme: p = ud q= N N Es werde = 5 Kugel acheader gezoge. Stchprobeumfag = 5. We groß st de Wahrschelchket uter de 5 Kugel 3 schwarze zu zehe, W(X=3)? Zehe mt Zurücklege BERNOULLI-Kette, p = 0,64 st kostat, X st bomalvertelt: æ5ö W( X = 3) = f5; 0,64(3) = ç 0, 64 0,36 0 0, = = è æö æ M ö æ M ö allgeme: W( X = ) = fp, ( ) = ç (Bomalvertelug) ç - N ç N è è è Zehe ohe Zurücklege: de Treffer-Wahrschelchket p ädert sch ach jedem Zug. æ5ö W( X = 3) = ç = 0,3486 è æö M M - N -M N -M - allgeme: W( X = ) = fnm,, ( ) = ç è N N - N - N -- fallede Faktore - fallede Faktore æm ö æn -M ö ç ç - Deser Ausdruck lässt sch zusammefasse zu W( X = ) = fhypnm,, ( ) = è è ænö ç è Das st de hypergeometrsche Wahrschelchkets-Fukto. We ma de Symbole p ud q aus der Bomalvertelug beutzt, ergebe sch Erwartugswert µ = p. Varaz s N - = p q N » N - N - Stadardabwechug σhyp = p q => Korrekturfaktor N - N - De Fuktoswerte f Hyp N M () sd vo 3 Parameter abhägg, N, M. Se lasse sch deshalb schwer tabellere. We der Auswahlsatz 0,05 ka ma de Hypergeometrsche Vertelug N mt Hlfe der Bomalvertelug appromere (aäher). Des st ee Appromatosbedgug. Uter der wetere Bedgug pq > 9 ka ma sogar de Normalvertelug beutze. We de Auswahlsatz-Bedgug /N 0,05 verletzt st, da muss ma de Korrekturfaktor N - verwede sehe ute N -

7 5.7 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG Bespel 5.4 Be der Produkto vo Elektromotore see m Durchschtt 5% Ausschuss. p=0,05 De Fertgugsmege umfasst N=00 Stück. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass be eer Etahme vo =0 Stück a) geau 5 Stück Ausschuss b) alle verwedbar c) höchstes Stück Ausschuss sd? d) Erwartugswert ud erwartete Varaz ud Stadardabwechug? e) Iwefer st es her zulässg, de Bomalvertelug zu verwede? f) Aufgabetel c) auch mt Bomalvertelug zum Verglech.. Das st ee Stchprobe ohe Zurücklege, das st der Normalfall!. N=00. =0. /N = 0, > 0,05 => f Hyp. M = p N= 0,05 00 = 0 Stück. Cr æ0ö æ90ö 0! 90! ç ç 5 5 5!5! 5!75! 5 6,58 0 a) "geau 5" W( X = 5) = f0;00;0(5) = è è = = = 0, 00 7 æ00ö 00!,6 0 ç è0 0!80! æ0ö æ90ö 0! 90! ç ç 0 0 0!0! 0!70! b) "0 Stück Ausschuss" W( X = 0) = f0;00;0 (0) = è è = =0,3398 æ00ö 00! ç è0 0!80! æ0ö æ90ö æ0ö æ90ö ç ç ç ç 9 8 c) W( X = 0) + W( X = ) + W( X = ) = 0, è è + è è = æ00ö æ00ö ç ç è0 è0 0! 90! 0! 90!!9! 9!7!!8! 8!7! = 0, = 0, , ,975 = 0, ! 00! 0!80! 0!80! d) µ = p = 0 0,05 = Stück Ausschuss s N = p q = 0 0,05 0,95 = 0,95 0,9045 = 0,859. N s = 0,859 = 0,97 Stück Ausschuss e) Das st cht zulässg, wel für de Auswahlsatz glt /N = 0, > 0,05. æ0ö 0- f) FB 0 0,05() = åç 0, 05 0,95 = = 0 è æ0ö 0 0 æ0ö 9 æ0ö 8 ç 0, 05 0,95 + ç 0, 05 0,95 + ç 0, 05 0, 95 = è0 è è = 0, , ,87 8 = 0,95 4

8 5.8 NÄHERUNG NACH POISSON We Eregsse selte auftrete, da st de Treffer-Wahrschelchket p kle. Für klee p ka ma ee Grezwert für g bestmme. Für bomalvertelte Zufallsvarable glt: µ = pþ p= µ ud q= - p = - µ - æö - æ ö æµ ö æ µ ö fp ; ( ) = ç pq = ç - ç ç è è è è ( -)( -)...( - + ) µ æ µ ö ( -)( -)...( - + ) µ æ µ ö =! ç - = -! ç è è ( -)( -)...( - + ) µ æ µ ö = ç -...! è µ æ µ ö æ µ ö =... ç - ç -! è è - - µ æ µ ö æ öæ ö æ -ö æ µ ö µ = ç - ç - ç -... ç - ç - ¾¾¾ e! è è è è è! µ æ öæ ö æ -ö æ µ ö ç - ç -... ç - ç - strebe alle für gege de Grezwert. è è è è æ µ ö é -µ æ ö æ ö æ ö ù - lmç - e vgl. lm e. lm e. lm e = ê ç + = ç + = - = ú ç è êë è è è úû De POISSON-Vertelug hat µ -µ µ de Wahrschelchketsfukto fpo µ( ) = e = µ!! e k µ -µ ud de Vertelugsfukto FPo µ ( k) = å e Tabelle 7. = 0! der Erwartugswert st µ = p erwartete Varaz s æ µ ö = µ wel σ = pq = µ (- p ) = µ ç - ¾¾¾ µ è ur ee Parameter, ämlch µ. De Fuktoswerte f Po () lasse deshalb efacher bereche ud tabellere als f B () ud f Hyp (). [POISSON, Sméo Des, Pars 837] We de Appromatosbedguge erfüllt sd, wrd ma de Hypergeometrsche Vertelug ud de Bomalvertelug durch de POISSON-Vertelug appromere: Appromatosbedguge: Übergag vo f Hyp () zu f B (), we 0,05 N mt M. M p = µ = N N Übergag vo f B () zu f Po (), we ³ 500 (d.h. p kle, groß) p /N 0,05 /p 500 Hypergeom.Vert. ¾¾¾¾ Bomal-Vert. ¾¾¾¾ ³ Posso-Vert.

9 5.9 POISSON-VERTEILUNG Bespel 5.5 I eem Uterehme mt eer sehr große Azahl N sehr groß Telefoate beträgt de Azahl der falsche Verbduge p= %. We groß st de Wahrschelchket, dass be eer Stchprobe vo =00 Telefoate geau =3 falsche Verbduge etstehe?. Das st ee Stchprobe ohe Zurücklege. "sehr große Azahl der Telefoate" => /N = 00/N < 0,05 => ma ka f B beutze: æ00ö W( X = 3) = fb, 00; 0,0(3) = ç 0, 0 0,99 = 0,8 è3 3. Ma ka sogar de POISSON-Vertelug beutze, wel /p = 00/0,0 = 0000 > 500 µ = p = 00 0,0 = glatte Zahl => Tabelle 3 W( X = 3) = fpo,(3) = = 0,804 W(X=3)=W(X<3)-W(X<)=0,857-0,6767 3! e 3. We groß muss N se, damt ma f B beutze darf? Greze be 00/N = 0,05 => N We groß muss Stchprobeumfag mdestes se, damt ma de POISSON-Vertelug verwede ka? Greze be /0,0=500 => = 5. Bespel 5.6 I eem Betreb werde vele, N groß Trasstore hergestellt, vo dee m Durchschtt 3% fehlerhaft sd. We groß st de Wahrschelchket, dass eer Sedug vo =00 Stück Treffer e fehlerhaft, e) Mt welcher Vertelug ka ma her de Wahrschelchkete bestmme? Prüfe Se de Appromatosmöglchkete geau. a) kee Ausschuss-Stücke =0, b) geau 5 Ausschuss-Stücke, c) höchstes 4 Ausschuss-Stücke, d) mdestes 8 Ausschuss-Stücke ethalte sd? e) Das st ee Stchprobe ohe Zurücklege. N st sehr groß, () wege /N <0,05 ka ma f B verwede. () p kle?"ausschuss" st e seltees Eregs: wege 00/0,03=3333 > 500 => ka maf Po verwede. µ = 00 0,03 = 3, für dese Erwartugswert legt ee Tabelle vor => Tabelle a) W( X = 0) = f3(0) = F3(0) = e = 0,0498» 5% 0! b) W( X = 5) = å e - å e = F3(5) - F3(4) = 0,96-0,853 = 0,008» 0%!! = 0 = c) W( X 4) = å e = F3(4) = 0,853 = 0! d) W( X ³ 8) = - F (7) = - 0,988 = 0,09 3

10 5.0 DISKRETE VERTEILUNGEN Aufgabe Dskrete Verteluge gegebe: Sachverhalt we de obge Bespele, (versteckte) Hwese auf "Zehe ohe Zurücklege", "große N", Tabelle ud Appromatosbedguge der Formelsammlug. gesucht / Schrtte:. Passedes Modell aufgrud der Appromatosbedguge etschede, ob f Hyp, f B, f Po her beutzt werde köe/solle/müsse, dazu de Lste der Appromatosbedguge als Checklst esetze.. Wahrschelchkete für ezele Eregsse oder Itervalle aus der Bomal-, hypergeometrsche oder/ud POISSON-Vertelug. Verglech zu Ergebsse mt adere Verteluge. Formelmäßge Asätze für de kokret gegebee Zahle. Prüfe, ob ee geegete Tabelle vorhade st, Wahrschelchkete durch Reche ahad der Formel oder mt Hlfe der Tabelle bestmme, W(X st "mdestes" k) = W(X st "höchstes" k ) Verglechsrechug mt aderer Wahrschelchketsvertelug durchführe (über Tabelle oder Bereche der betreffede Werte). Asätze, dem ma de kokrete Zahle de Formel esetzt. 3. Erwartugswert, erwartete Varaz, erwartete Stadardabwechug p, q,, evtl. N de etsprechede Formel esetze

11 5. NORMALVERTEILUNG De meste Merkmale X lasse sch mt Hlfe der Normalvertelug utersuche. Das glt besoders für Zufallsvarable X, de durch Überlagerug veler Zufallsvarable etstehe. Für ormalvertelte Zufallsvarable glt de Dchtefukto fnorm μ,σ( ) = e σ p æ -µ ö - ç è σ æ -µ ö - ç è σ de Vertelugsfukto W ( X ) = FNorm μ,σ( ) = ò e d σ p - [DEMOIVRE, Abraham, 733 Lodo, GAUSS, Carl Fredrch, 86 Göttge] g Ecel / Normalvertelug Dchtefukto f Norm 4,55 Vertelugsfukto F Norm 4,55 Egeschafte der Dchtefukto f Norm µ s. Zwe Parameter Erwartugswert µ, Stadardabwechug s. De Dchte f µ,s () sd symmetrsch zur Achse = µ. 3. Der Hochpukt legt be (µ f(µ)), das typsche zetrale Mamum 4. De Wedepukte be ; = µ ± s. 5. De Dchte f µ,s () kovergere für ± gege ull. 6. Mt zuehmeder "Streuug" s wrd der Fuktosgraph breter ud flacher. 7. De Vertelugsfukto F Norm µ s st S-förmg, mooto steged, lm F( ) =. De Dchtefukto der stadardserte Normalvertelug f SN (z) = e p - z - z = 0,4e æ -0ö - ç - è erhält ma mt µ = 0 ud s = fsn 0 ( ) = e = e p p De Dchte sd symmetrsch zur f(z)-achse, Hochpukt (0 0,4), Wedepukte ( ±0,4). - z De Vertelugsfukto W( Z z) = FSN ( z) = e dz p ò Tabelle se st parameterfre, ee ezge Fukto, ee ezge Tabelle! -µ Mt de Umrechuge z = bzw. = µ + z s s schleßt ma vo kokrete -Werte auf stadardserte z-werte ud umgekehrt. Oft schrebt ma auch j(z) statt f SN (z) ud F(z) statt F SN (z). z

12 5. "4-STUNDEN-LICHTER" Bespel 5.7 De Bredauer hadelsüblcher Kerze vo Typ "4-Stude-Lcht" st äherugswese ormalvertelt mt eem Erwartugswert µ = 4 Stude ud eer Stadardabwechug vo s = 4 Stude. Stetge Zufallsvarable! Stadardserug: µ = 4 s = 4 -µ -4 z = = s 4 = µ + z. ¾ Achse z -Achse: Bredauer [Stude] kokrete Achse We groß st de Wahrschelchket dafür, dass ee solche Kerze a) höchstes 30 Stude bret? b) höchstes 6 Stude bret? c) mehr als 6 Stude bret? (Gegewahrschelchket vo b) d) mdestes 0 Stude bret? Stetge Zufallsvarable! e) zwsche 4 s ud 4 + s Stude bret, also m -s-berech legt? f) zwsche 0 ud 6 Stude bret? g) zwsche 4,96 s ud 4+,96 s Stude bret? (d.h. m 95%-Berech legt?) [4-7,84 ; 4 + 7,84] = [6,6 h ; 3,84 h] h) Wr messe de Bredauer be 5 Kerze, Erwartugswert ud erwartete Stadardabwechug des Stchprobemttels X sd zu bereche a) z = =,5 Þ W( X 30) = FSN (,5) = 0,933 F SN( z) -Spalte! b) z = = - Þ W( X 6) = FSN (- ) = 0, 08 F SN( -z) - Spalte 4 c) Gegewahrschelchket der Gegespalte: -F (- ) = F () = 0, d) z = =- Þ W( X ³ 0) = - W( X 0) = -FSN (- ) = - 0,587 = 0,843 4 e) s- Itervall: D() = 0, 687 = W(0 X 8) = F () -F (- ) = 0,843-0, f) µ - 4 X µ + cht symmetrsch, cht mt D(z) z = =-. z = = 0,5 4 4 W(0 X 6) = W( X 6) - W( X 0) = = F (0,5) -F (- ) = 0, 695-0,587 = 0,538 SN g),96s- Itervall: D(,96) = 0,9500 SN σ 4 h) µ X = µ = 4 [Stude] σx = = = 0,8 [Stude] 5 SN SN SN SN

13 5.3 TABELLE ABLESEN Ablesebespele F SN (-z) = W(X 6) F SN (+z) = W(X 30) D(z) = W(8 X 30 ) Vertelugsfukto der stadardserte Normalvertelug F SN (z) = z e p ò - - z dz a) für z > 0 als Tabelle F SN (z) tabellert, z.b. F SN (,7) = 0,9554 b) F SN (z) kovergert für z ach = 00%. c) Wedepukt be W(0 0,5)

14 5.4 STETIGKEITSKORREKTUR Für egermaße ormalvertelte stetge Zufallsvarable beutzt ma de Normalvertelug. Uter bestmmte Appromatosbedguge geht das auch für dskrete Zufallsvarable. Bespel 5. och emal A eem erososgefährdete Hag solle 0 Fchtepflaze agepflazt werde. De Baumschule gbt ee Awachswahrschelchket vo p = 40% a. We groß st de Wahrschelchket, dass höchstes 5 awachse? Ma ka de Mttelpukte der Rechteckoberkate m Hstogramm zur Bomalvertelug verbde. Dese "Hüllkurve" st ee Appromato der Dchtefukto der Normalvertelug. Gaz etspreched glt das für de Vertelugsfuktoe F B (k) ud F Norm () 5 0 F B 0 0,4 (5) = 0,8338 = å æ0ö 0,4 k 0,6 -k ç k= 0 k µ = 0.0,4 = 4 ¾ = pq è µ = 0 0,4 = 4. s 5-4 = 0 0,4 0,6 =,4. s =,55. z = = 0,645. F SN (0,645) = 0,7406,55 + 0,5- µ 5+ 0,5-4 5,5-4 mt Stetgketskorrektur: z = = = = 0,967 F SN (0,967) = 0,8334 σ,55, 55 We ma dskrete Zufallsvarable mt der Normalvertelug utersucht, verbessert de Stetgketskorrektur de Näherugswert. + 0,5-µ Stadardormalvarable z mt Stetgketskorrektur: z = σ weter Bespel 5. Egetlch darf ma für ee bomalvertelte Zufallsvarable ur da de Normalvertelug als Näherug beutze, we glt Varaz s = pq > 9. s > 3. LAPLACE-Bedgug. Her st s = 0 0,4 0,6 =,4 < 9. Mt der Stetgketskorrektur st trotzdem ee recht gute Näherug errecht worde! Nu solle a deser Stelle 40 Fchtepflaze agepflazt werde. We groß st de Wahrschelchket, dass höchstes 0 Pflaze awachse? s = p q = 40 0,4 0,6 = 9,6 > 9 appromerbar 0 0,5 6 W(X 0) =F SN (z) = F æ + - SN ç ö = FSN (, 45) = 0,965 3,098 zum Verglech: F B (0) = 0,96 è

15 5.5 AUFGABEN ZUR NORMALVERTEILUNG Aufgabe Normalvertelug gegebe: Sachverhalt mt dskreter (bomalvertelter) oder stetger Zufallsvarable. Tabelle ud Appromatosbedguge der Formelsammlug. gesucht / Schrtte:. Appromatosbedguge für de Normalvertelug prüfe stetge Zufallsvarable: ohe weteres awede dskrete Zufallsvarable: /N 0,05 /p ³ 500 Hypergeom.Vert. ¾¾¾¾ Bomal-Vert. ¾¾¾¾ Posso-Vert. pq> 9 Bomal.Vert ¾ ¾ ¾ ¾ Normalvertelug da mt Stetgketskorrektur reche. Wahrschelchkete für bestmmte Itervalle Formelmäßge Asätze für de kokret gegebee Zahle. jewels beötgte Stadard-Normalvarable z breche aus: - µ 0,5 stetg bzw. + - z = z = µ dskret bereche, σ σ damt F SN (z) oder D SN (z) bereche, we de Bespele 5.7 ud 5. (Abschtt 5.4) W(X st "mdestes" k) = W(X st "höchstes" k) 3. µ, s, s für das Stchprobemttel σ µ = µ X, σ = X awede 4. Egeschafte der Normalvertelug ud der Stadard-Normalvertelug Zusatzfrage überlegt ma sch am lechteste, dem ma sch de Fuktosgraphe zu de Dchtefuktoe f Norm µ s () bzw. f SN (z) vorstellt oder skzzert.

16 5.6 APPROXIMATIONSBEDINGUNGEN Übergag vo der Hypergeometrsche V. zur Bomal-V., we /N 0,05 Bomal-V. zur POISSON-V., we /p 500 Hypergeometrsche V. zur POISSON-V., we /N 0,05 ud /p 500 Bomal-V zur Normalvertelug, we s = p q > 9 (LAPLACE-Bedgug) Hypergeometrsche V. zur Normalvertelug, we /N 0,05 ud s = p q > 9 POISSON-V. zur Normalvertelug, we µ = s > 9 STUDENT-t-V. zur Normalvertelug, we > 30, be ormalvertelter Grudgesamthet we > 50, be ubekater Vertelug der Grudgesamthet g Ecel / Normalvertelug / Zele 7 Apassug ud Korrekturfaktore Dskrete Zufallsvarable X Stchprobemttel σx + 0,5-µ z = (Stetgketskorrektur) σ σ -µ σ = Þ z = σ N - /N > 0,05: s korrgert = s N - -µ -µ s ubekat, < 30 bzw. < 50 t = bzw. t = s s s wrd durch de Stadardabwechug s aus der Stchprobe ersetzt (Thema 6) Bomal Hypergeometrsch Posso /N 0,05 s = p q > 9 uter de Appromatosbedguge: Stadard- Normalvertelug f SN (z), F SN (z) 4 Apassugsprobleme. Umrechug kokret stadardsert -µ z= s. Für Stchprobemttelwerte statt Ezelobjekte -µ z= s 3. Für ohe Zurücklege be /N > 0,05 -µ z= N- s N- 4. s ubekat, ersatzwese s aus der Stchprobe utze: -µ t = s

17 5.7 CHI -, STUDENT-T-, FISHER-F- VERTEILUNG a) Ch -, c -Vertelug [Pearso, Karl, ch, Lodo, ca. 94] Ee stetge Zufallsvarable X st c -vertelt mt Frehetsgrade, we hre Dchtefukto ν c - - -t - ν 0 G( ν) fν( c ) = ( c ) e mt G ( ) = ò e t dt (Gammafukto) g Tabelle 7.4 Es see X, X,, X uabhägge stadardormalvertelte Zufallsvarable. Da st de Zufallsvarable C = X + X Xν c -vertelt. Aweduge: () Ch -Uabhäggketstest, zum Prüfe omaler Merkmale auf Uabhäggket (4.4) () Ch -Apassugstest, zum Prüfe, ob ee Zufallsvarable ormalvertelt st (5.7) (3) Varaztest, zum Teste, ob s Stchprobe sgfkat vo s Grudgesamthet abwecht. b) t-vertelug (STUDENT-t-Vertelug) [GOSSET, WILLIAM, "STUDENT", Dubl, Irlad, 908] Ee stetge Zufallsvarable X st t-vertelt mt Frehetsgrade, we hre Dchtefukto æ ν+ ö G ç æ ö ν ç p ν G( ) è ν ν+ - t -t - f ( t) = è + mt G ( ) = e t dt g Tabelle 7.5 ò (Gammafukto) Es se X ee stadardormalvertelte Zufallsvarable ud C ee c -vertelte Zufallsvarable mt Frehetsgrade. X ud C sd uabhägge Zufallsvarable. Da st de Zufallsvarable T = X studet-t-vertelt mt Frehetsgrade. C ν Aweduge: () Multple Regressosaalyse, zum Prüfe, ob e Eflussfaktor ee sgfkate Betrag zur Regresso lefert. (Abschtt.4) () Hypothesetests, zum Prüfe, ob g Stchprobe sgfkat vo µ Grudgesamthet abwecht, astelle der Normalvertelug, we s Grudgesamthet ubekat st. (Abschtt 6.3) 0 c) FISHER -F-Vertelug [FISHER, RONALD, Rothamsted, GB, 98] De Zufallsvarable X se c -vertelt mt p Frehetsgrade ud de vo X uabhägge Zufallsvarable Y se c -vertelt mt Frehetsgrade, da st de Zufallsvarable Z X p Z= FISHER-F-vertelt mt de Frehetsgrade p ud Y ν g Tabelle 7.3 Aweduge: () Korrelatosaalyse, zum Prüfe, ab e sgfkater Zusammehag besteht (.). () Varazaalyse, z.b. zum Teste, ob s Stchprobe A sgfkat vo s Stchprobe B abwecht.

18 5.8 IST X NORMALVERTEILT? Scho oft heß es "ormalvertelte" Zufallsvarable. Es st zu prüfe, ob ee Zufallsvarable "egermaße" ormalvertelt st. Wr werte ee möglchst große Stchprobe aus => k Klasse, Häufgkete, g, s. Wr vergleche dese beobachtete Häufgkete mt de theoretsche Häufgkete u. Geau so sd wr bem Ch -Uabhäggketstest vorgegage (Abschtt 4.4). Als Testgröße blde wr weder de Summe der ormerte Abwechugsquadrate ch ( - u ) k emprsch =c emprsch =å ud teste mt dem Prüfmaß c crt. = u Der Test heßt Ch -Apassugstest, wel de Güte der Apassug eer theoretsche Vertelug a ee emprsche Vertelug überprüft wrd. De Nullhypothese H 0 lautet: de zu prüfede Grudgesamthet gehorcht der Normalvertelug. Wr spreche besser vo Vertelugshypothese, de zu bestätge oder abzulehe st. Auf ählche Wese ka ma prüfe, ob ee Zufallsvarable eer adere theoretsche Vertelug gehorcht, etwa ob se POISSON-vertelt st, oder ob se jee Dchtefukto für de Verspätug X der U-Bah hat Bespel 5.8 (ach Bleymüller S.9) Es soll geprüft werde, ob de "Lebesdauer" X ees bestmmte Akku-Typs ormalvertelt st. Es wurde ee Stchprobe m Umfag = 80 Stück ausgewertet. Sgfkazveau a = 0,05. De stetge Zufallsvarable Lebesdauer wurde 7 Merkmalsklasse gegledert: k = 7. Als mttlere Lebesdauer ergbt sch = 3,4[Jahre], de Stadardabwechug st s = 0,7 [Jahre].. Zuächst ee Arbetstabelle mt der Häufgketsvertelug der k Klasse [ ute ; obe ]. ud s sd scho gegebe, de Klassemtte * ud de Spalte beötge wr cht. g Ecel / Apassugstest. Wr beötge de Wahrschelchkete F SN (z ) für de Itervalle < X obe. obe - Dazu bestmme wr de Stadardormalvarable z =. s Für dese z lese wr aus der Tabelle F SN de Werte F SN (z ) ab. 3. Wr beötge de Wahrschelchkete (= theoretsche relatve Häufgkete) w für de Klasse. Wr erhalte de w durch Dfferezebldug w = F SN (z ) F SN (z ). Dabe setze wr F SN (z 0 ) = Wr beötge de theoretsche absolute Häufgkete u = w. <= w = u / Bem Ch -Apassugstest wrd vorausgesetzt, dass jeder Klasse u 5 st. We des cht der Fall st, da müsse Klasse etspreched zusammegefasst werde. 5. Zum Vergleche der emprsche Häufgkete mt de theoretsche Häufgkete u bldet ma de Summe der ormerte Abwechugsquadrate k c emprsch =å = ( - u ) 6. Zum Ablese des Prüfmaßes c crt beötge wr de Scherhetsgrad a ud de Frehetsgrade: = k p. k st de Azahl der Klasse, p st de Azahl der Parameter (g, s), de aus der Stchprobe ermttelt wurde. We µ Grudgesamthet gegebe st, da st k =. u 7. De Vertelugshypothese bestätge wr, we c c (H 0 wr bebehalte). emprsch crt.

19 5.9 CHI - ANPASSUNGSTEST Aufgabe Apassugstest gegebe: Häufgketsvertelug mt k Klasse ud de Häufgkete., s aus der Stchprobe oder µ, s aus der Grudgesamthet. Vertelugshypothese. Sgfkazsveau (Irrtums-Wahrschelchket) a. gesucht: Schrtte: Es st zu prüfe, ob de utersuchte Zufallsvarable ormalvertelt st. Arbetstabelle ud Zwscheschrtte sd azugebe. We auf der voragehede Sete dargestellt. obe a) Arbetstabelle mt Spalte b) Spalte Stadardormalvarable obe - z = s c) Spalte F SN (z ) d) Spalte w = F SN (z ) F SN (z ) e) Spalte u = w Klasse zusammefasse, we u 5 f) Spalte g) Summe blde: ( -u ) u k c emprsch =å = ( - u ) u h) Frehetsgrade bereche = k p. p st 0, oder je achdem we vele Parameter aus der Stchprobe komme. ) c crt Tabelle 7.4 ablese: c crt a. (be Scherhetsgrad a) j) Vertelugshypothese bestätge, we c c, aderfalls ablehe emprsch crt.