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1 UNIVERSITÄT PADERBORN Die Universität der Informationsgesellschaft Institut für Elektrotechnik u. Informationstechnik Grundlagen der Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch 21

2 Inhaltsverzeichnis I Dynamik von Systemen 1 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme Ein mechanisches Beispiel Ein hydraulisches Beispiel Festwert-Linearisierung allgemein Ein elektronisches Beispiel Demonstrationssystem Wagen mit Stab Zusammenstellung einiger Begriffe Zustandsraum Zustandsdarstellung Grundlegende Begriffe Ruhezustand (Ruhelage) eines dynamischen Systems Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen Lösung der homogenen Differentialgleichungen Eigenbewegungen des freien Systems Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten Störungsrechnung für Trajektorien II Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 41 5 Plausibilitätsbetrachtungen am entkoppelten System Entkoppeltes System Verkoppeltes System Zustandstransformation und Hautus-Kriterien Reguläre Zustandstransformation allgemein Transformation auf Diagonalform

3 7 Definitionen und Kalman-Kriterien Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit: Definitionen Untersuchung der Steuerbarkeit Untersuchung der Beobachtbarkeit Dualität Beurteilung der Steuer- und Beobachtbarkeit des Systems Wagen mit Stab III Stabilität 56 8 Stabilität von Ruhelagen (Stabilitätskonzepte nach Ljapunov) Stabilitätscharakter Stabilitätsdefinitionen nach Ljapunov Stabilität linearer freier Systeme Stabilität des Eingangs-Ausgangsverhaltens (BIBO-Stabilität) Übertragungsfunktionen - Eingangs-Ausgangsbeschreibung Laplace-Transformation - Rückblick Übertragungsfunktionen linearer zeitinvarianter Eingrößensysteme Eigenbewegung und erzwungene Bewegung Gewichtsfunktion Impulsantwort BIBO-Stabilität Gegenüberstellung: Stabilität des freien Systems Stabilität des E/A-Verhaltens Asymptotische Stabilität des freien Systems BIBO-Stabilität des E/A-Verhaltens Gegenüberstellung Literatur 9

4 Teil I Dynamik von Systemen

5 Kapitel 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme Die meisten Systeme, seien es mechanische, elektrische, ökonomische, biologische, etc., weisen eine Dynamik auf. Will man die Übertragungseigenschaften solcher Systeme mit systemtechnischen Methoden systematisch untersuchen, benötigt man eine mathematische Beschreibung der wesentlichen dynamischen Phänomene - ein so genanntes mathematisches Modell des Systems. Obwohl der Anzahl von interessierenden dynamischen Systemen keine Grenzen gesetzt sind, ist die Anzahl der allgemeinen Formen zugehöriger mathematischer Modelle gering. Das Ziel dieses 1. Kapitels ist, verschiedene Formen mathematischer Modelle an einfachen Beispielen aufzuzeigen. Ist ein mathematisches Modell eines Systems erstellt, können verschiedenste analytische und rechnergestützte Methoden der Systemtechnik zur Analyse des dynamischen Verhaltens eingesetzt werden. Größen, die auf ein System einwirken, heißen Eingangsgrößen Abbildung 1.1: Übertragungssystem (Abb. 1.1). Diejenigen Eingangsgrößen, die eine gezielte Beeinflussung des Systems erlauben, nennt man Stellgrößen; diejenigen Eingangsgrößen, die sich unserer Kontrolle entziehen, heißen Störgrößen. Das Verhalten des Systems kann anhand der Ausgangsgrößen beobachtet werden. Wenn nun die Ausgangsgrößen nicht nur vom augenblicklichen Wert der Eingangsgrößen abhängen, sondern auch von deren Vergangenheit, so liegt ein dynamisches System vor; hängen die Ausgangsgrößen hingegen nur vom momentanen Wert der Eingangsgrößen ab, so liegt ein statisches System vor. 2

6 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme Ein mechanisches Beispiel Ein Körper mit der Masse m (Abb. 1.2) ist über ein Feder- Dämpfungssystem aufgehängt und kann über die eingeprägte Kraft F aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt werden (Auslenkung z(t)). Die rücktreibenden Kräfte sind die Federkraft F F (lineare Feder mit der Federkonstanten k) und die geschwindigkeitsproportionale (Geschwindigkeit v(t) = ż(t)) Dämpferkraft F D : Abbildung 1.2: Mechanisches System F F = k z F D = d v Die Bewegung des Körpers in z-richtung wird dann aufgrund des 2. Newtonschen Axioms durch die beiden linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung beschrieben: ż = v m v = k z d v F mit z() = z mit v() = v (1.1) Mit den Abkürzungen [ z x = v ], A = k m 1 d m, b = 1 m erhält man schließlich die kompakte Matrizendarstellung des mathematischen Modells

7 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 4 (1.1): ẋ(t) = A x(t) + b u(t) mit x() = x (1.2) In diesem Differentialgleichungssystem ist u(t) = F (t) die Eingangsgröße. Beobachtet man nur die Lage des Körpers (z(t) wird als Ausgangsgröße betrachtet), so kann man dies in der Ausgangsgleichung y(t) = z(t), bzw. in Matrizenschreibweise y(t) = c T x(t) (1.3) [ ] ausdrücken; hierin ist mit c T der Zeilenvektor 1 abgekürzt. Da das mathematische Modell (1.2) und (1.3) aus linearen Differentialgleichungen bzw. Gleichungen mit konstanten Koeffizienten besteht, nennt man es ein lineares zeitinvariantes Modell. 1.2 Ein hydraulisches Beispiel Ein Becken wird über einen Zufluss q (Volumenfluss in m 3 /s) gespeist; der Fluss q 1 aus diesem Becken speist ein weiteres Becken, aus dem der Fluss q 2 abfließt. Die Pegelhöhen der beiden Becken werden mit h 1 bzw. h 2 bezeichnet (siehe Abb. 1.3). Abbildung 1.3: Eine hydraulische Kaskade A ḣ1 = q q 1 A ḣ2 = q 1 q 2

8 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 5 zur mathematischen Beschreibung der Pegeländerungen. Den Ausflüssen aus den beiden Becken werden die Beziehungen q 1 = k h 1, q 2 = k h 2, h 1 h 2 zugrundegelegt (k ist eine hydraulische Konstante). Setzt man die letzten beiden Gleichungen in die obigen Differentialgleichungen ein, so erhält man die folgenden nichtlinearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung: A ḣ1 = k h 1 + q A ḣ2 = +k h 1 k mit h 1 () geg. h 2 mit h 2 () geg. (1.4) Da im mathematischen Modell (1.4) die Koeffizienten konstant sind, nennt man es ein nichtlineares zeitinvariantes Modell. Zur Verallgemeinerung der Schreibweise wird zunächst die Eingangsgröße q(t) mit u(t) bezeichnet; dann folgt mit den Abkürzungen x = [ x1 x 2 ] = [ h1 h 2 ], f = [ f1 (x 1, x 2, u) f 2 (x 1, x 2, u) ] = k A x1 + 1 A u + k x1 k x2 A A die kompakte Matrizendarstellung des nichtlinearen zeitinvarianten (1.4): ẋ(t) = f(x(t), u(t)) mit x() geg. Oft ist es möglich, auf eine nichtlineare mathematische Beschreibung der dynamischen Vorgänge zu verzichten und nur hinreichend kleine Abweichungen der Systemgrößen von einem stationären Betriebspunkt zu betrachten. Dies würde hier z.b. auf folgende Weise zutreffen: Wenn man das mathematische Modell für den Entwurf einer Einrichtung zur Konstanthaltung der Pegel h 1 und h 2 benötigen würde und diese Einrichtung letztlich auch bewirkt, dass die Pegel mehr oder weniger konstant gehalten werden, so braucht man beim Entwurf nur mehr die Dynamik hinreichend kleiner Abweichungen h 1 und h 2 von den stationären Höhen h 1 bzw. h 2 zu berücksichtigen. Ein stationärer Betrieb kann sich nur einstellen, wenn der Zufluss q konstant ist, also q = q, und ḣ1 = ḣ2 = gilt. Setzt man dies in die Differentialgleichungen (1.4) ein, so

9 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 6 erhält man für die stationären Pegel: h 1 = h 2 = ( q ) 2 (1.5) k Setzt man nun die Systemgrößen h 1, h 2 und q aus ihren stationären Anteilen und den zugehörigen Abweichungen zusammen h 1 = h 1 + h 1 h 2 = h 2 + h 2 q = q + q und setzt dies in die Differentialgleichungen (1.4) ein, so findet man zunächst die folgenden Beziehungen: ( h 1 ) = k A ( h 2 ) = + k A h1 1 + h 1 h 1 h1 1 + h 1 h A (q + q) k h2 1 + h 2 A h 2 Gilt weiteres h 1 h 1 und h 2 h 2, so kann man die Näherung 1 + ε 1 + ε/2 für ε 1 benutzen, was unter Beachtung der Gleichgewichtsbedingung (1.5) zu den folgenden linearen Differentialgleichungen für die Beschreibung hinreichend kleiner Pegeländerungen führt: ( h 1 ) = k2 2Aq h A q ( h 2 ) = + k2 h 1 k2 h 2 2Aq 2Aq mit h 1() geg. mit h 2 () geg. Mit den Abkürzungen [ h1 x = h 2 ] [, A = k2 1 2Aq 1 1 ], b = 1 A [ 1 ] erhält man schließlich die kompakte Matrizendarstellung des linearisierten mathematischen Modells: ẋ(t) = A x(t) + b q(t) mit x() geg.

10 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme Festwert-Linearisierung allgemein Linearisierung des nichtlinearen Modells ẋ = f(x, u) (1.6) mit x = x 1. x n, f = f 1 (x 1,..., x n, u). f n (x 1,..., x n, u) um die stationären Werte x R und u R. Die Taylor-Reihenentwicklung der (reellwertigen) Funktion f(x, u) um x R und u R lautet (unter der Voraussetzung, dass alle partiellen Ableitungen f i / x j (i, j = 1,..., n) vorhanden und stetig sind): f(x R + x, u R + u) = f(x R, u R ) + f x x + f xr,u R u u + r( x, u) (1.7) xr,u R Hierin ist f x = f 1 x 1. f n x 1 die Jacobimatrix oder Funktionalmatrix und f u = f 1 u. f n u f 1 x n. f n x n. Für die stationären Werte x R und u R gilt gemäß der Systembeschreibung (1.6): = f(x R, u R ) Damit verschwindet der 1. Ausdruck auf der rechten Seite der Gl. (1.7); sind darüberhinaus x 1,..., x n und u hinreichend klein, so kann auch das Restglied r in Gl. (1.7) vernachlässigt werden. Die Linearisierung des Modells (1.6) hat somit die Form ẋ(t) = A x(t) + b u(t)

11 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 8 mit A = f x und b = f xr, u R u. xr, u R 1.3 Ein elektronisches Beispiel Der über einen Kondensator C 2 rückgekoppelte Operationsverstärker ist über ein RC- Glied mit einer Spannungsquelle mit der Quellspannung u(t) verbunden. Die Spannung u(t) ist die Eingangsgröße. Der zweite Operationsverstärker ist über den Widerstand R 5 rückgekoppelt; am selben Eingang ist auch der erste Operationsverstärker über den Widerstand R 4 und die Spannungsquelle über den Widerstand R 2 angeschlossen. Die Ausgangsspannung y(t) des zweiten Operationsverstärkers ist die Ausgangsgröße des Systems. Abbildung 1.4: Ein elektronisches Übertragungssystem Die Operationsverstärker seien ideal, d.h. für den Innenwiderstand gilt R i und für den Verstärkungsfaktor gilt V. Die Kondensatoren seien zum Zeitpunkt t =

12 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 9 nicht geladen. Das Netzwerk wird dann durch folgende Gleichungen beschrieben: Differentialgln.: C 1 u 1 = i 1, u 1 () = C 2 u 2 = i 3, u 2 () = Knotengln.: = i 1 + i 3 = i 2 + i 4 + i 5 Maschengln.: = u i 1 R 1 u 1 = i 4 R 4 u 2 = y + i 5 R 5 = u i 2 R 2 Dies sind 8 Gleichungen für die 8 Unbekannten i 1,..., i 5, u 1, u 2, y. Nach elementaren Umformungen bzw. Substitutionen folgt aus diesen Gleichungen bzw. Differentialgleichungen: Mit den Abkürzungen x = [ u1 u 2 ], A = c T = u 1 = 1 R 1 C 1 u R 1 C 1 u u 2 = 1 R 1 C 2 u R 1 C 2 u y = R 5 R 4 u 2 R 5 R 2 u [ 1 R 1 C 1 1 R 1 C 2 ] R 5 R 4, b = und d = R 5 R 2 1 R 1 C 1 1 R 1 C 2, (1.8) erhält man schließlich die kompakte Matrizendarstellung des mathematischen Modells (1.8): ẋ(t) = A x(t) + b u(t) mit x() = y(t) = c T x(t) + d u(t) (1.9) Ein mathematisches Modell der Form 1.9 ist - wie schon im Beispiel 1.1 ausgeführt - ein lineares zeitinvariantes Modell; darüber hinaus besitzt dieses Modell noch eine Eigenschaft, die man Sprungfähigkeit nennt. Das liegt am Faktor d in der Gleichung

13 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 1 für die Ausgangsgröße y(t). Zur Veranschaulichung betrachte man die Schaltung nach Abbildung 1.4 mit folgenden Daten: 1 R 1 C 1 = 1, 1 R 1 C 2 = 2, R 5 R 4 =.5, R 5 R 2 = 2 Also das mathematische Modell: [ 1 ẋ(t) = 2 [ y(t) =.5 ] [ ] 1 x(t) + u(t) 2 ] x(t) 2u(t) Die Abbildung 1.5 zeigt die zeitlichen Verläufe von x 1 (t), x 2 (t) und y(t) für eine sprungförmige Erregung bei t = 2. D.h. für die Eingangsgröße u(t) wird die Sprungfunktion σ(t 2) gewählt. Für σ(t) gilt: { für t < σ(t) = 1 für t Abbildung 1.5: Spezielle Zeitverläufe im sprungfähigen System nach Abb. 1.4

14 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme Demonstrationssystem Wagen mit Stab Abbildung 1.6: Wagen mit Stab Betrachtet wird das mechanische System Wagen mit Stab als reibungsloses Problem in der Ebene. Zur Modellbildung mit Hilfe der Newtonschen Axiome sind die beiden starren Körper Wagen bzw. Stab in der Abbildung 1.7 getrennt mit der Zwangskraft S = [Sx, S z ] T gezeichnet. Der Wagen mit der Masse M kann nur die translatorische Bewegung mit der Schwerpunktskoordinate x ausführen; auf den Wagen wirkt die Kraft F als Eingangsgröße. Der homogene Stab mit der Masse m, dem Trägheitsmoment J und der Länge 2l in der Winkellage ϕ hat die Schwerpunktskoordinaten x s und z s ; der Drehpunkt ist am Wagen in der Höhe h angebracht.

15 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 12 Unter der Voraussetzung ϕ 1 lauten die Bewegungsgln.: M ẍ = F S x m ẍ s = S x m z s = S z mg J ϕ = S z lϕ S x l und Koppelgln.: = x + lϕ x s = z s + h + l z x s. m, J, l ϕ... l mg... z s S x h S z x z S z S x F M x x Abbildung 1.7: Wagen mit Stab - Modellbildung Das sind 6 Gleichungen für die 6 Unbekannten x, x s, z s, ϕ, S x, S z Nach einigen Umformungen dabei müssen die Koppelgleichungen zweimal nach der Zeit abgeleitet werden

16 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 13 folgt aus diesen Gleichungen bzw. Differentialgleichungen ein mathematisches Modell (M + m) ẍ + ml ϕ = F (J + ml 2 ) ϕ + ml ẍ mgl ϕ = in Form von zwei impliziten Differentialgleichungen 2. Ordnung in den gesuchten Funktionen x(t) und ϕ(t). Die in den Beispielen 1.1 bis 1.3 bereits aufgegriffene einheitliche Darstellung mathematischer Modelle umfasst im Wesentlichen 3 Ziele nämlich: nur explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung kompakte Matrizenschreibweise weitgehend einheitliche Bezeichnung Vereinheitlichung des mathematischen Modells am Beispiel Wagen mit Stab 2 Dgln. 2. Ord., implizit Xx(), x(), φ( ), φ( ) F(t) ( M + m ) x + m l φ = F ( J + m l ² ) φ + m l x - m g l φ = Xx(t) Φφ(t)

17 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 14 2 Dgln. 2. Ord., explizit Xx(), x(), φ( ), φ( ) Aa = 1 - m ² l ² g M ( J + m l ² ) + m J F(t) Xx = a φ Xφ + b F 1 1 = a 2φ + b 2 F Xx(t) Φφ(t) Aa = 2 Ab = 1 ( M + m ) m g l M ( J + m l ² ) + m J J + m l ² M ( J + m l ² ) + m J Ab = 2 - m l M ( J + m l ² ) + m J 4 Dgln. 1. Ord., explizit Xx(), ν (), φ ( ), ω( ) F(t) Xx = ν Xν = a 1φ + b 1 F Xφ = ω Xω = a 2φ + b 2 F Xx(t) Φφ(t) Matrizenschreibweise, speziell Uu (t) Xx () x = A x + b u y = C x Xy (t) 1 A = 1 a1 1 a 2 Φy 2(t) C = 1 1 Bb = B Bb B Bb 1 2

18 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme Zusammenstellung einiger Begriffe Im Zuge der Beispiele 1.1 bis 1.4 wurden einige Begriffe aus der Systemtechnik für zeitkontinuierliche Systeme eingeführt. Es folgt eine Zusammenstellung bzw. Ergänzung dieser Begriffe für lineare Eingrößensysteme - das sind lineare Systeme mit nur einer Eingangsgröße und nur einer Ausgangsgröße. Zustandsdarstellung für Eingrößensysteme ẋ(t) = A x(t) + b u(t) mit x() geg. (1.1) y(t) = c T x(t) + d u(t) (1.11) x(t)... Zustandsgrößen: n-dimensionaler Spaltenvektor; x 1 (t),..., x n (t) sind skalare zeitkontinuierliche Funktionen A... Systemmatrix: (n n)-dimensionale Matrix b... Eingangsvektor: n-dimensionaler Spaltenvektor u(t)... Eingangsgröße: skalare zeitkontinuierliche Funktion y(t)... Ausgangsgröße: skalare zeitkontinuierliche Funktion c T... Ausgangsvektor: n-dimensionaler Zeilenvektor d... Durchgriffsterm: d : Modell (1.1),(1.11) ist sprungfähig d = : Modell (1.1), (1.11) ist nicht sprungfähig Gl. (1.1)... Zustandsdifferentialgleichungen: System von n linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung Gl. (1.11)... Ausgangsgleichung Sind A, b, c T, d konstant, so ist das Modell (1.1), (1.11) zeitinvariant, andernfalls zeitvariant.

19 1 Mathematische Modelle dynamischer Systeme 16 Zustandsdarstellung für Mehrgrößensysteme ẋ(t) = A x(t) + B u(t) x() = x Zustandsdifferentialgln. y(t) = C x(t) + D u(t) Ausgangsglgn. x 1 (t) Zustandsgrößen: n-dimensionaler Spaltenvektor; x(t) =.... x 1 (t),..., x n (t) sind skalare zeitkontinuierliche x n (t) Funktionen u 1 (t) Eingangsgrößen: l-dimensionaler Spaltenvektor; u(t) =.... u 1 (t),..., u l (t) sind skalare zeitkontinuierliche u l (t) Funktionen y 1 (t) Ausgangsgrößen: m-dimensionaler Spaltenvektor; y(t) =.... y 1 (t),..., y m (t) sind skalare zeitkontinuierliche y m (t) Funktionen a 11 a 1n A = Systemmatrix: (n n)-dimensionale Matrix a n1 a nn b 11 b 1l B = Eingangsmatrix: (n l)-dimensionale Matrix b n1 b nl c 11 c 1n C = Ausgangsmatrix: (m n)-dimensionale Matrix c m1 c mn d 11 d 1l D = Durchgriffsmatrix: (m l)-dimensionale Matrix d m1 d ml Weitere Begriffe: dynamisch/statisch stationär linear zeitinvariant kausal sprungfähig Zustand Stetigkeit der Zustandsgrößen

20 Kapitel 2 Zustandsraum Zustandsdarstellung 2.1 Grundlegende Begriffe In den folgenden Überlegungen wird ein Übertragungssystem mit einer Eingangsgröße u(t) und einer Ausgangsgröße y(t) betrachtet: ẋ(t) = A x(t) + b u(t) mit x() = x (2.1) y(t) = c T x(t) + d u(t) (2.2) A, b, c T und d seien eine konstante Matrix, konstante Vektoren bzw. ein konstanter Skalar. Abbildung 2.1 zeigt das Strukturbild zu den Gln.(2.1) und (2.2). (Strukturbilder sind grafische Darstellungen von mathematischen Modellen). Da in Gl. (2.2) die Ausgangs- Abbildung 2.1: Strukturbild zum System (2.1), (2.2) größe y(t) nicht nur vom augenblicklichen Wert der Eingangsgröße u(t), sondern über die Gl. (2.1) auch von der Vergangenheit der Eingangsgröße u(τ) mit τ < t abhängt, handelt es sich um ein dynamisches System. Darüber hinaus ist das System (2.1)(2.2) kausal, da die Ausgangsgröße y(t) nicht von zukünftigen Werten der Eingangsgröße u(τ) mit τ > t abhängt. 17

21 2 Zustandsraum Zustandsdarstellung 18 Definition 2.1 Existieren für ein dynamisches System Größen x 1 (t),..., x n (t) mit der Eigenschaft, dass die Ausgangsgröße y zum Zeitpunkt t eindeutig durch den Verlauf der Eingangsgröße u(τ) in einem Intervall t τ t und den Werten x 1 (t ),..., x n (t ) festgelegt ist, dann nennt man diese Größen x 1 (t),..., x n (t) Zustandsgrößen; durch ihre Werte zum Zeitpunkt t ist der Zustand des Systems zu diesem Zeitpunkt gekennzeichnet. Die Differentialgleichungen (2.1) heißen daher Zustandsdifferentialgleichungen. Die Zustandsgrößen x 1 (t),..., x n (t) werden im n-dimensionalen Zustandsvektor x(t) zusammengefasst: x(t) = x 1 (t). x n (t) Der Vektor x wird als Element eines euklidischen Vektorraumes aufgefasst; dieser Vektorraum trägt die Bezeichnung Zustandsraum. Für ein festes t ist x(t) ein Punkt in diesem Zustandsraum; dieser Punkt durchläuft mit wachsenden t eine Bahn im Zustandsraum, die man Zustandskurve oder (Zustands-)Trajektorie nennt (siehe Abbildung 2.2). Systeme, deren Zustand sich durch einen n-dimensionalen (n endlich) Vektor angeben Abbildung 2.2: Trajektorie im zweidim. Zustandsraum (Zustandsebene) lässt, heißen auch Systeme mit finitem Zustand. Dynamische Systeme mit finitem Zustand werden durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben. Dynamische Systeme, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden, besitzen keinen finiten Zustand. Durch das mathematische Modell (2.1)(2.2) der Übertragungseigenschaften eines Systems ist eine Vorschrift gegeben, die bei bekanntem Anfangszustand x jeder Eingangsfunktion u(t) eine Ausgangsfunktion y(t) zuordnet, was durch die folgende Schreibweise

22 2 Zustandsraum Zustandsdarstellung 19 zum Ausdruck gebracht wird: y(t) = G{x() = x, u(τ) τ t} (2.3) Während eine Funktion z = f(w) einer Zahl w eine Zahl z zuordnet, wird durch den Operator G festgelegt, wie bei bekanntem x aus einer Funktion u eine Funktion y gebildet wird. Weiters werde eine bei t = T abgeschnittene Funktion f(t) mit f(t) t T f T (t) = t > T bezeichnet. Definition 2.2 Ein mathematisches Modell y = G{x, u} heißt linear, wenn es die folgenden Eigenschaften G{x, u} = G{x, } + G{, u} G{α 1 x,1 + α 2 x,2, } = α 1 G{x,1, } + α 2 G{x,2, } G{, β 1 u 1 + β 2 u 2 } = β 1 G{, u 1 } + β 2 G{, u 2 } (2.4) für alle α 1, α 2, β 1, β 2 R besitzt. Diese Eigenschaften werden auch mit Superpositionsprinzip bezeichnet. Definition 2.3 Ein mathematisches Modell y = G{x, u} heißt zeitinvariant, wenn sich bei gemeinsamer zeitlicher Verschiebung des Anfangszustandes und der Eingangsgröße auch der Verlauf der Ausgangsgröße um das gleiche Zeitintervall verschiebt: y(t T ) = G{x(T ) = x, u(τ T )} (2.5) Definition 2.4 Ein mathematisches Modell y = G{x, u} heißt kausal, wenn der Wert der Ausgangsgröße y zu jedem Zeitpunkt t nur von Werten der Eingangsgröße u bis zu diesem Zeitpunkt t abhängt: G T {x, u} = G T {x, u T }. (2.6) Satz 2.1 Das mathematische Modell (2.1)(2.2) ist kausal, linear und zeitinvariant.

23 2 Zustandsraum Zustandsdarstellung Ruhezustand (Ruhelage) eines dynamischen Systems Die Bedingung für den Ruhezustand eines dynamischen Systems ist, dass die zeitliche Änderung der Zustandsgrößen (des Zustandsvektors) identisch verschwindet: ẋ(t) = Für zeitunabhängige Zustandsgrößen x(t) = x R und eine zeitunabhängige Eingangsgröße u(t) = u R folgt dann aus den Zustandsdifferentialgleichungen (2.1): A x R = b u R (2.7) Diese Gleichung ist bei gegebenem u R als Bestimmungsgleichung für den Ruhezustand x R aufzufassen; es sind n lineare Gleichungen für die Bestimmung der n unbekannten Größen x 1,R,..., x n,r. Beispiel: Man betrachte an dieser Stelle das mechanische System aus dem Unterkapitel 1.1 (Bild 1.2). Für die Systemmatrix A und den Eingangsvektor b dieses Systems gilt: 1 A = k m d, b = m Für die Determinante der Matrix A ergibt sich 1 m deta = k m Mit k ist auch deta und man kann die Gl.(2.7) von links mit der inversen Matrix A 1 multiplizieren; man erhält somit für die Ruhelage des mechanischen Systems: x R = A 1 b u R = d k m k 1 1 u R = m 1 k u R Zu jedem u R (konstante eingeprägte Kraft F ) existiert also eindeutig eine Ruhelage,

24 2 Zustandsraum Zustandsdarstellung 21 die durch x 1,R = 1 k u R x 1... Position z x 2,R = x 2... Geschwindigkeit v gekennzeichnet ist (die erste Gleichung drückt aus, dass in der Gleichgewichtslage die eingeprägte Kraft F gleich der Federkraft F F ist). Nun wird die Feder aus dem mechanischen System entfernt; das heißt, im mathematischen Modell ist die Federkonstante k = zu setzen. Damit gilt aber deta =, sodass die inverse Matrix A 1 nicht existiert. Der eben skizzierte Weg zur (eindeutigen) Auflösung der Gl.(2.7) kann nicht mehr verfolgt werden. Direktes Einsetzen der Matrix A (mit k = ) und des Vektors b in Gl.(2.7) liefert: 1 d m [ x1,r x 2,R ] = 1 u R = m x 2,R = d x 2,R = u R Man sieht unmittelbar, dass die beiden resultierenden Gleichungen für u R nicht erfüllbar sind; das System besitzt also für u R keine Ruhelage. Für u R = besitzt das System unendlich viele Ruhelagen: x 1,R... beliebig x 2,R = Für das mechanische System nach Abbildung 1.2 ohne Feder bedeutet dieses Ergebnis: Bei verschwindender Kraft F ist jede beliebige Position z eine Ruhelage. Ob die Bestimmungsgleichung (2.7) für den Ruhezustand lösbar, eindeutig lösbar oder nicht eindeutig lösbar ist, hängt von der Beschaffenheit von A und b ab. Die folgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung über diese Lösbarkeitseigenschaften; dabei wird die rechte Seite der Gl.(2.7) mit b = b u R abgekürzt: A x R = b (2.8) Darüber hinaus wird mit r(a) der Rang der Matrix A und mit r(a, b) der Rang der um die Spalte b erweiterten Matrix A bezeichnet.

25 2 Zustandsraum Zustandsdarstellung 22 Homogenes Gl.-System Inhomogenes Gl.-System Ax R = Ax R = b( b ) r(a, b) r(a) ist wegen b = nicht möglich System nicht lösbar r(a, b) = r(a) = ϱ System lösbar System lösbar ϱ = n nur triviale Lösung eindeutige Lösung x R = x R = A 1 b ϱ < n Lösung mehrdeutig Lösung mehrdeutig n ϱ n ϱ x R = β j z j x R = β j z j + ẑ j=1 j=1 mit Az j = mit Aẑ = b Tabelle 2.1: Zur Lösung des linearen Gleichungssystems (2.8) Auf die Tabelle 2.1 wird auch im folgenden Abschnitt zurückgegriffen; dort geht es aber nicht um die Berechnung von Ruhezuständen, sondern allgemein um die Eigenschaften der Lösungen von linearen Gleichungssystemen.

26 Kapitel 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen Satz 3.1 Die (vektorielle) Zustandsdifferentialgleichung (2.1) ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) mit x() = x besitzt zu jeder stückweise stetigen Eingangsfunktion u eine für alle t erklärte Lösung, sofern man die den einzelnen Stetigkeitsintervallen zugeordneten Lösungen stetig aneinander reiht. 3.1 Lösung der homogenen Differentialgleichungen Zur Lösung der homogenen Differentialgleichungen bzw. des freien Systems ẋ(t) = Ax(t) mit x() = x (3.1) gehe man vom Exponentialansatz x(t) = p e st (3.2) mit zunächst noch unbestimmtem Vektor p und unbestimmtem Skalar s aus. Diese beiden Größen sind so zu bestimmen, dass der Exponentialansatz die Differentialgleichung (3.1) erfüllt: s p e st = A p e st = (se A) p e st = Darin ist E die (n n)-dimensionale Einheitsmatrix. Dividiert man die letzte Beziehung (sie muss für alle t gelten) durch e st, so erhält man: (se A) p = (3.3) Das homogene Gleichungssystem (3.3) besitzt gemäß Tabelle 2.1 nur die triviale Lösung p =, sofern die Matrix (se A) einen Rang ρ = n aufweist. Da man aber an nicht trivialen Lösungen p interessiert ist, muss für den Rang der Matrix (se A) gelten: 23

27 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 24 ρ < n. D.h., die Determinante dieser Matrix muss verschwinden: det(se A) = (3.4) Die linke Seite der Gl.(3.4) ist ein Polynom n-ten Grades in s det(se A) = s n + a n 1 s n a 1 s + a, (3.5) dessen Koeffizienten a,..., a n 1 durch die Elemente der Matrix A bestimmt sind; so ist z.b.: a n 1 = spura a = ( 1) n deta Das Polynom (3.5) nennt man charakteristisches Polynom von A und die Gl.(3.4) charakteristische Gleichung; die n Nullstellen s 1,..., s n dieser Gleichung (bzw. die Wurzeln des charakteristischen Polynoms) nennt man Eigenwerte von A. Für jeden Eigenwert s i (i = 1,..., n) besitzt nunmehr das homogene Gleichungssystem (3.3) eine von Null verschiedene Lösung p = p i : (s i E A) p i = i = 1,..., n (3.6) Man bezeichnet diese Lösung p i als Eigenvektor von A zum Eigenwert s i. Annahme: Alle Eigenwerte s 1,..., s n von A sind voneinander verschieden. Mit dieser Annahme weist jede der Matrizen (s i E A) in Gl. (3.6) den Rang ρ i = n 1 auf, womit gemäß Tabelle 2.1 jede Lösung p i der Gl.(3.6) bis auf einen konstanten Faktor β i bestimmt ist; d.h., die Richtung des Eigenvektors p i liegt durch die Lösung der Gl.(3.6) fest, nicht jedoch seine Länge. Satz 3.2 Sind alle Eigenwerte s 1,..., s n von A voneinander verschieden, so sind die zugehörigen Eigenvektoren p 1,..., p n linear unabhängig. D.h. β 1 p 1 + β 2 p β n p n = lässt sich nur mit β 1 = β 2 =... = β n = erreichen.

28 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 25 Gemäß dem Exponentialansatz (3.2) gibt es nunmehr n Einzellösungen: x i (t) = p i e s it i = 1,..., n, deren gewichtete Summe wegen der Linearität der Differentialgleichung (3.1) auch eine Lösung ist: x(t) = n γ i x i (t) = i=1 n γ i p i e s it Die Lösung (3.7) schreibt sich in Matrizenschreibweise: x(t) = [p 1... p n ] }{{} P e s 1t... i=1 } {{ e snt } diag(e s i t ) γ 1. γ n }{{} γ (3.7) = P diag(e s it ) γ (3.8) Die Lösung (3.7) bzw. (3.8) muss noch die Anfangsbedingungen x() = x erfüllen. Da mit t = die Diagonalmatrix diag(e s it ) in die Einheitsmatrix E übergeht, findet man zur Bestimmung des konstanten Vektors γ das folgende Gleichungssystem: P γ = x (3.9) Wegen Satz 3.2 besitzt die Matrix P den Rang ρ = n, sodass nach Tabelle 2.1 die Lösung des Gleichungssystems (3.9) eindeutig ist: γ = P 1 x Man erhält somit für die Lösung der homogenen Zustandsdifferentialgleichungen (3.1) zunächst x(t) = P diag(e s it ) P 1 x und mit der Abkürzung schließlich Φ(t) = P diag(e s it ) P 1 (3.1) x(t) = Φ(t) x (3.11) Man beachte, dass P die Matrix der Eigenvektoren p 1,..., p n ist (siehe Gl.(3.8)), die linear unabhängig sein müssen. Dies ist gemäß Satz 3.2 der Fall, wenn die Eigenwerte von A voneinander verschieden sind. Dann gilt für die so genannte Transitionsmatrix

29 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 26 Φ die Beziehung (3.1). Lässt man nun diese Annahme fallen und lässt somit beliebige Eigenwerte von A zu, so kann man die Transitionsmatrix auf folgende Weise berechnen: Setzt man die Lösung (3.11) in die Differentialgleichung (3.1) ein, so zeigt sich, dass die Transitionsmatrix die Matrixdifferentialgleichung Φ = A Φ mit Φ() = E (3.12) erfüllt. Mit dem Reihenansatz, der bereits der Anfangsbedingung Φ() = E genügt, Φ(t) = E + H 1 t + H 2 t und der daraus gebildeten Ableitung Φ(t) = H 1 + 2H 2 t + 3H 3 t folgt nach Einsetzen in die Dgl.(3.12): H 1 + 2H 2 t + 3H 3 t = A + AH 1 t + AH 2 t Diese Gleichung wird erfüllt, wenn gilt: H 1 = A H 2 = 1 2 AH 1 = 1 2! A2 H 3 = 1 3 AH 2 = 1 3! A3.. Man erhält somit für die Transitionsmatrix gemäß dem Reihenansatz: Φ(t) = E + A t 1! + A2 t2 2! +... = A ν tν ν= ν! Wegen der formalen Ähnlichkeit dieser Reihe mit der skalaren Exponentialreihe schreibt man auch: Φ(t) = e At (3.13)

30 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 27 Die Transitionsmatrix besitzt für beliebige t und τ folgende Eigenschaften: Φ(t) = A Φ(t) Φ() = E Φ(t + τ) = Φ(t)Φ(τ) (3.14) Φ 1 (t) = Φ( t) Satz 3.3 Die Transitionsmatrix ist immer regulär. 3.2 Eigenbewegungen des freien Systems Für die Lösungen der Differentialgleichungen des freien Systems (3.1) ẋ(t) = Ax(t) mit x() = x wurde gemäß (3.7) das folgende Ergebnis gefunden: x(t) = n γ i p i e s it i=1 (3.15) Darin ist p i (i = 1,..., n) der Eigenvektor zum Eigenwert s i (i = 1,..., n) und γ 1,..., γ n sind durch die Anfangsbedingung bestimmte Konstanten. Man bezeichnet nun die einzelnen Zeitfunktionen e sit in der Vektorgleichung (3.15) mit Eigenbewegungen. Beispiel 1: [ ] 2 2 ẋ = Ax = x.5 2 [ ] s det(se A) = det = (s + 2) 2 1 = s 2 + 4s + 3 = (s + 1)(s + 3).5 s + 2 det(se A) = Eigenwerte: s 1 = 1, s 2 = 3 Bestimmung des Eigenvektors p 1 zum Eigenwert s 1 aus (s 1 E A)p 1 = (siehe Gl.(3.6)): [ ] [ 1 2 p 1 = =.5 1 ] [ ] p11 p 12

31 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 28 [ p 11 2p 12 = 2.5p 11 + p 12 = p 11 = 2p 12 p 1 = 1 Bestimmung des Eigenvektors p 2 zum Eigenwert s 2 aus (s 2 E A)p 2 = : [ ] p 2 = = [ ] [ p21 p 22 ] ] [ p 21 2p 22 =.5p 21 p 22 = p 21 = 2p 22 p 2 = 2 1 ] Damit lautet die allgemeine Lösung: x(t) = [ 2 2 γ i p i e sit = γ 1 p 1 e s1t + γ 2 p 2 e s2t = γ 1 1 i=1 ] e t + γ 2 [ 2 1 ] e 3t (3.16) Die Abbildung 3.1 zeigt Verläufe der Trajektorie x(t) in der Zustandsebene x 2 P 1 x 1 P 2 Abbildung 3.1: Trajektorien für verschiedene Anfangszustände (x 1 - x 2 - Ebene) für verschiedene Anfangswerte x 1, x 2, d.h. für verschiedene Werte der Konstanten γ 1 und γ 2.

32 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 29 Berechnung der Transitionsmatrix gemäß der Beziehung (3.1): Φ(t) = P diag(e sit ) P 1 [ ] [ ] P = P 1 = [ ] [ ] [ ] 2 2 e t.25.5 Φ(t) = 1 1 e 3t.25.5 ] [ x(t) = Φ(t)x =.5(e t + e 3t ) (e t e 3t ).25(e t e 3t ).5(e t + e 3t ) x (3.17) Betrachtet man die Lösung (3.16) bzw. (3.17) im Zeitbereich (also nicht in der Zustandsebene wie in der Abbildung 3.1), so ist offensichtlich jeder zeitliche Lösungsverlauf eine Überlagerung zweier (gewichteter) exponentiell abklingender Funktionen e t und e 3t ; diese Exponentialfunktionen sind bestimmt durch die Eigenwerte s 1 = 1 und s 2 = 3. Ein reeller Eigenwert s charakterisiert eine Eigenbewegung in Form einer Exponentialfunktion e st, die abklingt falls s <, konstant bleibt falls s = und ansteigt falls s >. Beispiel 2: Die Eigenwerte des Systems ẋ = Ax = [ δ ω ω δ ] x sind konjugiert komplex: s 1 = δ +jω und s 2 = δ jω. Da die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms reell sind, muss zu jedem komplexen Eigenwert auch der konjugiert komplexe Eigenwert auftreten. Dasselbe gilt auch für die zugehörigen Eigenvektoren: p 1 = [1 j] T und p 2 = [1 j] T. Φ(t) = P diag(e sit ) P 1 [ ] [ ] 1 1 P = P 1 = 1 1 j j j 2 1 j

33 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 3 [ 1 1 ] [ e (δ+jω)t ] [ 1 j ] Φ(t) = 1 2 j j e (δ jω)t 1 j [ ] e δt cos ωt e δt sin ωt x(t) = Φ(t)x = x (3.18) e δt sin ωt e δt cos ωt Konjugiert komplexe Eigenwerte charakterisieren demnach Eigenbewegungen in Form von harmonischen Schwingungen, die mit wachsender Zeit t abklingen falls δ <, unverändert schwingen falls δ = und aufklingen falls δ >. Im(s) Re(s) Abbildung 3.2: Eigenbewegungen abhängig von der Lage der Eigenwerte

34 Eigenwerte s i Re(s i ) < (3.19) 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 31 Abbildung 3.2 zeigt zusammenfassend den Charakter der Eigenbewegungen zu unterschiedlichen Eigenwerten, deren Lage in der komplexen s - Ebene mit gekennzeichnet ist. Dabei wurde angenommen, dass die Eigenwerte einfach auftreten. Man erkennt, dass die Eigenbewegungen für t gegen streben, falls für die zugehörigen gilt, wenn also die Eigenwerte in der linken offenen s - Halbebene liegen. Ohne Beweis sei angeführt, dass dies auch gilt, wenn die Eigenwerte mehrfach auftreten. 3.3 Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen ẋ(t) = Ax(t) + b u(t), x() = x (3.2) kann man über die Variation der Konstanten in der homogenen Lösung (3.11) gewinnen (x q(t)): x(t) = Φ(t) q(t) (3.21) Differenziert man den Ansatz (3.21) nach der Zeit und substituiert dieses Ergebnis zusammen mit dem Ansatz (3.21) in die Differentialgleichungen (3.2), so erhält man: Φ(t) q(t) + Φ(t) q(t) = A Φ(t) q(t) + b u(t) Wegen der 1. Eigenschaft (3.14) der Transitionsmatrix folgt daraus: Φ(t) q(t) = b u(t) Wegen Satz 3.3 kann man diese Gleichung zunächst von links mit Φ 1 (t) multiplizieren, woraus sich wegen der 4. Eigenschaft (3.14) der Transitionsmatrix die folgende Differentialgleichung für die gesuchte Funktion q(t) im Ansatz (3.21) ergibt: q(t) = Φ( t) b u(t)

35 3 Lösung der linearen Zustandsdifferentialgleichungen 32 Die Integration dieser Differentialgleichung von bis t t d t q(τ) dτ = Φ( τ) b u(τ) dτ dτ ergibt q(t) = q() + t Φ( τ) b u(τ) dτ und man erhält vorerst für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung gemäß dem Ansatz (3.21): t x(t) = Φ(t) q() + Φ(t) Φ( τ) b u(τ) dτ = Φ(t) q() + t Φ(t τ) b u(τ) dτ Damit diese Lösung die Anfangswerte in Dgl.(3.2) erfüllt, muss wegen der 2. Eigenschaft (3.14) der Transitionsmatrix x() = q() = x gelten, woraus schließlich unter Beachtung der Gl.(3.13) folgt: x(t) = Φ(t) x + t Φ(t τ) b u(τ) dτ = e At x + t e A(t τ) b u(τ) dτ (3.22) Für das Übertragungssystem (2.1)(2.2) ergibt sich somit für die Ausgangsgröße y die folgende Abhängigkeit von der Eingangsgröße u und dem Anfangszustand x : y(t) = c T Φ(t) x + t c T Φ(t τ) b u(τ) dτ + d u(t) (3.23) Abbildung 3.3: Modifiziertes Strukturbild (2.1)

36 Kapitel 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 4.1 Störungsrechnung für Trajektorien x 1 x(t ) 1 x (t 1 ) x S (t 1 ) t x e x (t ) e x x 2 Abbildung 4.1: Verlauf von Ist- und Solltrajektorie x S (t ) = x x S (t e ) = x e Solltrajektorie x S (t) vorgegeben: ẋ S = f(x S, u S, t) Wird zum Zeitpunkt t 1 eine Abweichung x(t 1 ) festgestellt, so möchte man wissen, welche Abweichung vom vorgegebenen Endzustand x(t e ) = x(t e ) x e dies zur Folge haben wird, um diese Abweichung durch geeignete Korrektur, d.h. durch Veränderung der Eingangsgrößen u(t) = u S (t) + u(t), ausgleichen zu können. 33

37 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 34 Beispiel: Bahnkorrektur eines Satelliten z F D m F G M Rr (t) (t) y Abbildung 4.2: Bahnkorrektur eines Satelliten (Winkel φ(t) ϕ(t) im Kontext) m := Masse des Satelliten, M := Masse der Erde, R := Radius der Erde, r = r := Abstand Erde -Satellit. m d2 r = F dt 2 G + Gravitationskraft: F D Kraft der Steuerdüsen: F G = G Mm r 2 F D ( r r ) Mit g = G M R 2 folgt: d 2 r dt 2 = g ( ) 2 ( R r r r ) + 1 F D } m{{} u u := Beschleunigung erzeugt von den Steuerdüsen. Mit r = [ y z ] folgt: [ ÿ z ] = g ( ) [ 2 R y/r r z/r ] + u

38 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 35 Übergang auf Polarkoordinaten: y = r cos ϕ, z = r sin ϕ : r r ϕ 2 = ( ) 2 R g + u r r (4.1) r ϕ + 2ṙ ϕ = u ϕ Sollbahnen: r(t) = r S (t) ϕ(t) = ϕ S (t) u r (t) = u rs = u ϕ (t) = u ϕs = Für geeignet gewählte Anfangswerte ergeben sich geschlossene Kurven als Lösung von 4.1: r S (t) = p 1 + e cos ϕ S (t) p, e... geometr. Parameter e < 1... Ellipse e =... Kreis (4.2) Setzt man r = r S (t) nach Gl. (4.2) in die Dgln. (4.1) ein, so ergibt sich für ϕ S (t) die Dgl.: Kreise als Sollbahnen: ϕ S (t) = g R2 p 3 (1 + e cos ϕ S(t)) 2 (4.3) Zahlenbeispiel: e = : r S (t) = p =: r ϕ S (t) = g R2 r 3 =: Ω mit ϕ S () = : ϕ S (t) = Ω t Ω = 2π T T... Umlaufperiode T = 1d Ω = 7, s 1 r = 4, m

39 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 36 Einführung von Zustandsgrößen: x 1 := r x 2 := ṙ x 3 := ϕ x 4 := ϕ 4.1 = ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 x 2 4 g R2 + u r ẋ 3 = x 4 ẋ 4 = 2 x 2x 4 x 1 x x 1 u ϕ (4.4) Solltrajektorien x S (t) für Kreisbahnen: x S (t) = x 1S x 2S x 3S = r Ω t, u S = [ urs u ϕs ] [ = ] x 4S Ω Nichtlineare Zustandsdgln. (4.4) für die Solltrajektorie in Matrizenschreibweise: ẋ S = f(x S, u S ) mit x S () = [r,,, Ω ] T, u S (t) = Nichtlineare Zustandsdgln. (4.4) für die Isttrajektorie in Matrizenschreibweise: ẋ = f(x, u) mit x(), u(t) Nunmehr werden hinreichend kleine Abweichungen zwischen Ist- und Solltrajektorie betrachtet: x(t) = x S (t) + x(t), u(t) = u S (t) + u(t) Linearisierung um die Solltrajektorie: ẋ = ẋ ẋ S = f(x, u) f(x S, u S ) = f(x S + x, u S + u) f(x }{{} S, u S ) Taylorreihe 1.O. um x S, u S f(x S + x, u S + u) = f(x S, u S )+ f 1 f 1 x 1 x f 4 f 4 x 1 x 4 x S,u S x+ f 1 u r f 1 u ϕ.. f 4 f 4 u r u ϕ x S,u S u

40 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 37 Daraus folgt ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) (4.5) mit den Abkürzungen: A(t) = f 1 f 1 x 1 x f 4 f 4 x 1 x 4 x S (t),u S (t) und B(t) = f 1 u r f 1 u ϕ.. f 4 f 4 u r u ϕ x S (t),u S (t) Zustandsdgln. (4.5) für Abweichungen von Kreisbahnen: ẋ = 1 3Ω 2 2r Ω 1 x + 2Ω /r 1 1/r u Annahme: Satellit befindet sich zum Zeitpunkt t = auf der Sollkreisbahn, aber um 1km zurück; d.h.: x() = 1 6 /r Aufgabe: Wie ist der Satellit zu steuern ( u(t) ), damit diese Anfangsabweichung ab einem gegebenen Endzeitpunkt t e verschwindet? t e x(t e ) = Φ(t e ) x() + Φ(t e τ)b u(τ)dτ =! Mit: Φ(t) = 4 3 cos Ω t 1 Ω sin Ω t 2r Ω (1 cos Ω t) 3Ω sin Ω t cos Ω t 2r sin Ω t (sin Ω t Ω t) (cos Ω t 1) 1 sin Ω t 3t r r Ω Ω 6Ω r (cos Ω t 1) 2 r sin Ω t 4 cos Ω t 3

41 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 38 Anfangsabweichung soll nach einem halben Umlauf ausgeglichen sein: t e = π Ω t 1= 2 Sollposition Istposition t e= M m t = t = Abbildung 4.3: Satellitenkreisbahn 1/2 Umlaufzeit 12h Schubzeit sec, min } = Schub: δ-impuls Konstante Schubkraft der Düsen: F D Beschleunigung u = F D m u "flächengleich" t z t Abbildung 4.4: δ-impuls und Beschleunigungsfläche Geschwindigkeit (Beschleunigungsfläche) v = t z u dt = u t z Zündzeit t z = v u

42 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 39 Ansatz für den Steuereingriff u(t) = v δ(t) + v 1 δ(t t 1 ) x(t e ) = Φ(t e ) x() + t e t e Φ(t e τ)b u(τ)dτ = = Φ(t e ) x() + Φ(t e τ)b [v δ(τ) + v 1 δ(τ t 1 )] dτ = t e = Φ(t e ) x() + Φ(t e τ)bv δ(τ)dτ + t e Φ(t e τ)bv 1 δ(τ t 1 )dτ! = Wegen folgt daraus: t f(τ)δ(τ t x )dτ = f(t x ) Φ(t e ) x() + Φ(t e )Bv + Φ(t e t 1 )Bv 1 = Φ(t e ) x() + Φ(t e )Bv + Φ( t e 2 )Bv 1 = Dies sind 4 Gleichungen zur Bestimmung der 4 unbekannten Beschleunigungsflächen v r, v ϕ, v 1r, v 1ϕ : v = [ vr v ϕ ], v 1 = [ v1r v 1ϕ ] Mit den Matrizen Φ(t e ) = 7 4r Ω 1 6π 4 1 3π r r Ω Ω 12Ω 7 r, Φ( t e 2 ) = 4 1 Ω 2r Ω 3Ω 2r 6 3π π r r Ω 2Ω 6Ω 2 3 r r erhält man als Lösung: v r = 2v 1ϕ v ϕ = v 1ϕ v 1r = 2v 1ϕ v 1ϕ = 16 Ω π = 22.2m s

43 4 Anwendung am Beispiel der Bahnkorrektur eines Satelliten 4 Setzt man die Beschleunigung einer gezündeten Düse u = F D m folgende zeitliche Verlauf des Steuereingriffs: =.1, so ergibt sich der.1 u r 444 t t u 222 t t -.1 Abbildung 4.5: Zeitlicher Verlauf des Steuereingriffs

44 Teil II Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

45 Kapitel 5 Plausibilitätsbetrachtungen am entkoppelten System Es ist plausibel, dass das Balance-Experiment Wagen mit Stab nur gelingen kann, d.h. der Zustand des Systems wird bei x(t) gehalten, wenn einerseits alle Zustandsgrößen von der Eingangsgröße beeinflussbar sind und andererseits in den Messwerten für die Wagenposition x(t) und den Stabwinkel ϕ(t) genügend Information über den gesamten Zustand des Systems steckt. 5.1 Entkoppeltes System ẋ = x u y = [ 1 1 ] x Bei einem Zustandsmodell mit einer Systemmatrix in Diagonalform (entkoppeltes System) kann anhand des Eingangsvektors b = [b 1... b n ] T festgestellt werden, welche Zustandsgrößen von u(t) beeinflussbar - also steuerbar - sind und anhand des Ausgangsvektors c T = [c 1... c n ] kann beurteilt werden, welche Zustandsgrößen in y(t) enthalten - also beobachtbar - sind: b i x i (t) steuerbar c i x i (t) beobachtbar Man vergleiche hierzu das Strukturbild 5.1, in dem vor den Eingangssummierern die Elemente des Eingangsvektors b und vor dem Ausgangssummierer die Elemente des Ausgangsvektors c hervorgehoben sind. 42

46 5 Plausibilitätsbetrachtungen am entkoppelten System 43 x u 1 x 2 1 y x 3 x 4-4 Abbildung 5.1: Beispiel eines entkoppelten Systems 5.2 Verkoppeltes System Handelt es sich um ein verkoppeltes System (beliebig besetzte Systemmatrix), kann die Steuerbarkeit bzw. die Beobachtbarkeit nicht mehr anhand des Eingangs- bzw. Ausgangsvektors beurteilt werden, wie das folgende Beispiel zeigt. [ ] [ ] 1 1 ẋ = x + u 1 y = [ 1 ] x

47 5 Plausibilitätsbetrachtungen am entkoppelten System 44 x u 1 x 2 y Abbildung 5.2: Beispiel eines verkoppelten Systems Zustandstransformation: z 1 = x 1 x 2 z 2 = x 2 = x 1 = z 1 + z 2 x 2 = z 2 [ 1 ] [ 1 ] ż = z + 1 u y = [ 1 1 ] z -1 z u 1 z 2 1 y Abbildung 5.3: Transformiertes System nach der Abbildung 5.2

48 Kapitel 6 Zustandstransformation und Hautus-Kriterien 6.1 Reguläre Zustandstransformation allgemein Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass die Wahl der Zustandsvariablen nicht eindeutig ist. Vielmehr können die Zustandsvariablen x des Zustandsmodelles ẋ = A x + b u y = c T x (6.1) durch eine Transformation der Form x = Tz aus anderen Zustandsvariablen z ermittelt werden. Ist die Transformation auch umkehrbar (die Inverse der Transformationsmatrix T existiert), dann spricht man von einer regulären Zustandstransformation: x = Tz z = T 1 x Das Modell mit den Zustandsvariablen z lautet: ż = T 1 AT z + T 1 b u = à z + b u y = c T T z = c T z (6.2) Die Eigenwerte der Systemmatrix à sind identisch mit den Eigenwerten der Systemmatrix A, denn: ( ) det se à = det (se T 1 AT) = det (T 1 (se A) T) = = det T 1 det (se A) det T = det (se A) 6.2 Transformation auf Diagonalform Setzt man die Eigenvektorgleichungen (s i E A) p i = bzw. s i p i = A p i 45

49 6 Zustandstransformation und Hautus-Kriterien 46 für i = 1,..., n spaltenweise zu einer Matrixgleichung zusammen, so erhält man [s 1 p 1 s n p n ] = [A p 1 A p n ] bzw. und schließlich [p 1 p n ] s 1... s n = A [p 1 p n ] P diag{s i } = AP (6.3) Sind nun die Eigenvektoren p 1,..., p n linear unabhängig, so existiert P 1, so dass ein Vergleich der von links mit P 1 multiplizierten Gl. (6.3) mit der transformierten Zustandsdifferentialgleichung (6.2) zeigt, dass die spezielle Transformationsmatrix T = P auf Diagonalform transformiert: Ã = P 1 AP = diag{s i } Für den transformierten Ausgangsvektor folgt unmittelbar c T = c T P = [ c T p 1 c T p n ] und für den transformierten Eingangsvektor b = P 1 b = ϱ T 1 b. ϱ T nb, wobei ϱ T i, i = 1,..., n die Zeilenvektoren von P 1 darstellen: P 1 = ϱ T 1. ϱ T n Zur Namensgebung: A p i = s i p i p i... Rechtseigenvektor von A A T ϱ i = s i ϱ i bzw. ϱ T i A = s i ϱ T i ϱ T i... Linkseigenvektor von A

50 6 Zustandstransformation und Hautus-Kriterien 47 Das auf Diagonalform transformierte System besitzt nun folgende Struktur: ż = s 1... s n z + ϱ T 1 b. ϱ T nb u (6.4) y = [ c T p 1 c T p n ] z z 1 z 1 ϱ T 1 b c T p 1 u s 1 y. z n z n ϱ T n b c T p n s n Abbildung 6.1: Strukturbild der Diagonalform (6.4) Dieser Diagonalform (siehe auch Abbildung 6.1) kann man nun folgende Aussagen entnehmen: Wenn ein Linkseigenvektor ϱ T i orthogonal zum Eingangsvektor b ist, also ϱ T i b = gilt, kann die transformierte Zustandsgröße z i bzw. die zugehörige Eigenbewegung e sit nicht von der Eingangsgröße u beeinflusst werden das System (6.2) ist nicht steuerbar. Wenn ein Rechtseigenvektor p i orthogonal zum Ausgangsvektor c T ist, also c T p i = gilt, ist in der Ausgangsröße y keine Information über die transformierte Zustandsgröße z i bzw. über die zugehörige Eigenbewegung e sit enthalten das System (6.2) ist nicht beobachtbar.

51 6 Zustandstransformation und Hautus-Kriterien 48 Von Hautus (1969) wurde gezeigt, dass diese Aussagen auch bei Systemen mit nichtdiagonalisierbarer Systemmatrix gültig sind Hautus-Kriterien: Satz 6.1 Das System (6.1) ist genau dann steuerbar, wenn der Eingangsvektor b zu keinem Linkseigenvektor von A orthogonal ist: ϱ T i b i = 1,..., n Satz 6.2 Das System (6.1) ist genau dann beobachtbar, wenn der Ausgangsvektor c T zu keinem Rechtseigenvektor von A orthogonal ist: c T p i i = 1,..., n Äquivalent zu den Sätzen (6.1) und (6.2) sind folgende Kriterien zur Überprüfung der Steuerbarkeit und der Beobachtbarkeit: Satz 6.3 Das System (6.1) ist genau dann steuerbar, wenn die charakteristische Matrix von A erweitert um den Eingangsvektor b für jeden Eigenwert vollen Rang besitzt: rg [s i E A, b] = n i = 1,..., n Satz 6.4 Das System (6.1) ist genau dann beobachtbar, wenn die charakteristische Matrix von A erweitert um den Ausgangsvektor c T für jeden Eigenwert vollen Rang besitzt: [ ] si E A rg = n i = 1,..., n c T Zur Herleitung der letzten beiden Sätze untersuche man die Bedingungen der Sätze (6.1) und (6.2) zusammen mit den zugehörigen Eigenvektorgleichungen.

52 Kapitel 7 Definitionen und Kalman-Kriterien 7.1 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit: Definitionen Mit dem Begriff der Steuerbarkeit eines mathematischen Modells gelangt man zu Aussagen, wie der Systemzustand von der Eingangsgröße beeinflußt werden kann. Mit dem Begriff der Beobachtbarkeit eines mathematischen Modells untersucht man, welche Kenntnis man über den Systemzustand erhalten kann, wenn nur die Ausgangsgröße gemessen werden kann. Um die folgenden Definitionen von anderen gebräuchlichen, hier aber nicht weiter betrachteten Definitionen abzugrenzen, sei festgehalten, dass mit Steuerbarkeit bzw. Beoachtbarkeit die vollständige Zustandssteuerbarkeit bzw. die vollständige Zustandsbeobachtbarkeit des Systems (S) angesprochen wird. Es wird das folgende Eingrößensystem der Ordnung n betrachtet: (S) ẋ = A x + b u y = c T x (7.1) Definition 7.1 (S) wird steuerbar genannt, wenn jeder beliebige Anfangszustand x() = x durch geeignete Wahl von u(t) in endlicher Zeit t T in den Endzustand x(t ) = übergeführt werden kann. Definition 7.2 (S) wird beobachtbar genannt, wenn bei gegebenem u(t) aus der Kenntnis von y(t) in einem endlichen Zeitintervall t T der Anfangszustand x() = x ermittelt werden kann. 49

53 7 Definitionen und Kalman-Kriterien Untersuchung der Steuerbarkeit Die allgemeine Lösung der Zustandsdifferentialgleichungen des Systems (S) ist gemäß Gl. (3.22) durch x(t) = e At x + t e A(t τ) b u(τ) dτ gegeben. Ist nun das System (S) steuerbar, so gibt es nach Definition 7.1 zu jedem Anfangszustand x eine geeignete Eingangsgröße u(t) = u (t) im Intervall t T derart, dass x(t ) = e AT x + T e A(T τ) b u (τ) dτ = gilt. Multipliziert man diese Gleichung von links mit e AT (man beachte, dass die Transitionsmatrix immer regulär ist), so erhält man: x = = T T e Aτ b u (τ) dτ = A ν b ν= T ν= ( τ) ν u (τ) dτ ν! A ν ( τ)ν ν! b u (τ) dτ = Die Auswertung der Klammerausdrücke ergibt für jedes ν eine gewisse Zahl γ ν, so dass man auch schreiben kann: x = γ ν A ν b = γ b + γ 1 Ab + γ 2 A 2 b +... (7.2) ν= Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht eine Linearkombination der n-dimensionalen Vektoren b, Ab, A 2 b,..., von denen höchstens n Vektoren linear unabhängig sein können. Da gemäß Definition 7.1 x ein beliebiger n-dimensionaler Vektor ist, muss es in der Linearkombination der rechten Seite genau n linear unabhängige Vektoren geben. Dass es dann gerade die ersten n Vektoren b, Ab, A 2 b,..., A n 1 b (7.3)

54 7 Definitionen und Kalman-Kriterien 51 sind, zeigt folgende Überlegung: b, Ab, A 2 b,..., A r 1 b, }{{} r lin. unabh. Vektoren A r b, }{{} lin. abh. A r+1 b,..., A n 1 b, A n b,... }{{} (7.4) Angenommen, es seien die ersten r < n Vektoren linear unabhängig, aber A r b linear abhängig von ihnen. Dann gilt A r b = β b + β 1 Ab + β 2 A 2 b β r 1 A r 1 b, wobei nicht alle β i (i =,..., r 1) verschwinden. Multipliziert man diese Gleichung von links mit A, so sieht man, daß auch der nächste Vektor A r+1 b A r+1 b = β Ab + β 1 A 2 b + β 2 A 3 b β r 1 A r b = = β Ab + β 1 A 2 b + β 2 A 3 b β r 1 (β b + β 1 Ab + β 2 A 2 b β r 1 A r 1 b) = = β b + β 1 Ab + β 2 A 2 b β r 1 A r 1 b von den ersten r Vektoren linear abhängig ist. Setzt man diese Prozedur fort, so findet man folgendes Ergebnis: Ist in der Reihenfolge (7.4) ein Vektor (trivialerweise ist dies nicht der Nullvektor) linear abhängig von den vorangegangenen, so sind es auch alle nachfolgenden. Wenn also n Vektoren in (7.2) linear unabhängig sind, dann sind es die ersten n, womit gezeigt ist, dass die Vektoren (7.3) notwendigerweise linear unabhängig sein müssen. Man kann zeigen, dass diese Bedingung auch hinreichend ist, was im folgenden Kriterium zum Ausdruck kommt (Steuerbarkeitskriterium nach Kalman). Satz 7.1 Das mathematische Modell (S) ist genau dann steuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix Q S := [ b, Ab, A 2 b,..., A n 1 b ] vollen Rang besitzt: rgq S = n Ein vergleichbares Kriterium zur Beurteilung der Beobachtbarkeit wird nun im Rahmen des Dualitätsprinzips gewonnen.

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